Категория топологических векторных пространств

В математике категория топологических векторных пространств — это категория которой , объектами являются топологические векторные пространства , а морфизмы — непрерывные линейные отображения между ними. Это категория, потому что композиция двух непрерывных линейных карт снова является непрерывной линейной картой. Эту категорию часто обозначают TVect или TVS .

Зафиксировав топологическое поле K , можно также рассматривать подкатегорию TVect _K топологических векторных пространств над K с непрерывными K в качестве морфизмов -линейными отображениями.

TVect — это конкретная категория

Как и многие категории, категория TVect является конкретной категорией , то есть ее объекты представляют собой множества с дополнительной структурой (т.е. структурой векторного пространства и топологией ), а ее морфизмы являются функциями, сохраняющими эту структуру. Существуют очевидные функторы забывания в категории топологических пространств , категории векторных пространств и категории множеств .

ТВект _$K$ это топологическая категория

Категория является топологической, что означает, грубо говоря, что она относится к своей «базовой категории», категории векторных пространств, так же, как Top относится к Set . Формально для любого K -векторного пространства $V$ и каждая семья $((V_{i},\tau _{i}),f_{i})_{i\in I}$ топологических K -векторных пространств $(V_{i},\tau _{i})$ и K -линейные отображения $f_{i}:V\to V_{i},$ существует топология векторного пространства $\tau$ на $V$ так, чтобы выполнялось следующее свойство:

В любое время $g:Z\to V$ является K -линейным отображением топологического K -векторного пространства. $(Z,\sigma ),$ он утверждает, что

$g:(Z,\sigma )\to (V,\tau )$ является непрерывным $\iff$ $\forall i\in I:f_{i}\circ g:(Z,\sigma )\to (V_{i},\tau _{i})$ является непрерывным.

Топологическое векторное пространство $(V,\tau )$ называется «исходным объектом» или «исходной структурой» по отношению к заданным данным.

Если заменить «векторное пространство» на «множество» и «линейную карту» на «карту», ​​можно получить характеристику обычных исходных топологий в Top . По этой причине категории, обладающие этим свойством, называются «топологическими».

Это свойство имеет множество последствий. Например:

• Существуют «дискретные» и «недискретные» объекты. Топологическое векторное пространство является недискретным тогда и только тогда, когда оно является исходной структурой относительно пустого семейства. Топологическое векторное пространство является дискретным тогда и только тогда, когда оно является исходной структурой относительно семейства всех возможных линейных отображений во все топологические векторные пространства. (Это семейство является собственным классом, но это не имеет значения: начальные структуры по отношению ко всем классам существуют тогда и только тогда, когда они существуют по отношению ко всем множествам.)
• Финальные структуры (аналог окончательных топологий) существуют. Но есть одна загвоздка: хотя исходная структура вышеуказанного свойства на самом деле представляет собой обычную начальную топологию на $V$ относительно $(\tau _{i},f_{i})_{i\in I}$, конечные структуры не обязательно должны быть окончательными по отношению к заданным картам в смысле Top . Например: Дискретные объекты (= финальные по отношению к пустому семейству) в ${\textbf {TVect}}_{K}$ не несут дискретной топологии.
• Поскольку следующая диаграмма забывчивых функторов коммутирует

${\begin{array}{ccc}{\textbf {Vect}}_{K}&\rightarrow &{\textbf {Set}}\\\uparrow &&\uparrow \\{\textbf {TVect}}_{K}&\rightarrow &{\textbf {Top}}\end{array}}$

и функтор забывчивости из ${\textbf {Vect}}_{K}$ к Set правосопряжен, забывчивый функтор из ${\textbf {TVect}}_{K}$ to Top также сопряжено справа (и соответствующие левые сопряженные укладываются в аналоговую коммутативную диаграмму). Этот левый сопряженный определяет «свободные топологические векторные пространства». Явно это свободные K -векторные пространства, наделенные некоторой начальной топологией.

• С ${\textbf {Vect}}_{K}$ является (со)полным, ${\textbf {TVect}}_{K}$ также (со)полна.

См. также

• Категория групп – категория в математике. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Категория метрических пространств - математическая категория с метрическими пространствами в качестве объектов и картами, не увеличивающими расстояние, в качестве морфизмов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Категория множеств - Категория в математике, где объектами являются множества.
• Категория топологических пространств – категория, объекты которой являются топологическими пространствами, а морфизмы – непрерывными картами. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Категория топологических пространств с базовой точкой – Топологическое пространство с выделенной точкой. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.

Ссылки

• Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс – Лондон – Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.