Категория бетона

В математике конкретная категория — это категория , снабженная точным функтором категории множеств (или иногда другой категории, см. «Относительная конкретность» ниже ). Этот функтор позволяет рассматривать объекты категории как множества с дополнительной структурой , а ее морфизмы — как функции, сохраняющие структуру. Многие важные категории имеют очевидную интерпретацию как конкретные категории, например категория топологических пространств и категория групп , а также, тривиально, и сама категория множеств. С другой стороны, гомотопическая категория топологических пространств не конкретизируема , т. е. не допускает точного функтора в категорию множеств.

Конкретная категория, если она определена без ссылки на понятие категории, состоит из класса объектов , каждый из которых оснащен базовым набором ; и для любых двух объектов A и B набор функций, называемых , из основного набора A в основной набор B. гомоморфизмами Более того, для каждого объекта A тождественная функция на базовом множестве A должна быть гомоморфизмом из A в A , а композиция гомоморфизма из A в B, за которым следует гомоморфизм из B в C, должна быть гомоморфизмом из A в C. С. ​

Определение

Конкретная категория — это пара ( C , U ) такая, что

• C — это категория, а
• U : C → Set (категория множеств и функций) — точный функтор .

Функтор U следует рассматривать как забывчивый функтор , который присваивает каждому объекту C его «основное множество», а каждому морфизму в C — его «основную функцию».

Морфизмы в конкретной категории принято называть гомоморфизмами (например, гомоморфизмами групп, гомоморфизмами колец и т. д.). Благодаря точности функтора U гомоморфизмы конкретной категории могут быть формально отождествлены со своими основными функциями (т. е. их изображения под U ); гомоморфизмы затем вновь обретают обычную интерпретацию как функции, «сохраняющие структуру».

Категория C конкретизируема , если существует конкретная категория ( C , U );т. е. если существует точный функтор U : C → Set . Все малые категории конкретизируемы: определите U так, чтобы его объектная часть отображала каждый объект b из C в множество всех морфизмов C которых , кодоменой является b (т.е. все морфизмы формы f : a → b для любого объекта a из C ). , а его морфизмная часть отображает каждый морфизм g : b → c группы C в функцию U ( g ): U ( b ) → U ( c ), которая отображает каждый член f : a → b группы U ( b ) в композицию gf : a → c , член U ( c ). (Пункт 6 в разделе «Дальнейшие примеры» выражает то же самое U на менее элементарном языке через предпучки.) В разделе «Контрпримеры» представлены две большие категории, которые не поддаются конкретизации.

Замечания

Важно отметить, что, вопреки интуиции, конкретность — это не свойство , которому категория может или не может соответствовать, а скорее структура, которой категория может быть или не быть оснащена. В частности, категория C может допускать в Set несколько точных функторов . может существовать несколько конкретных категорий ( C , U ), соответствующих одной и той же категории C. Следовательно ,

Однако на практике выбор точного функтора часто очевиден, и в этом случае мы говорим просто о «конкретной категории C ». Например, «конкретная категория Set » означает пару ( Set , I ), где I обозначает тождественный функтор Set → Set .

Требование точности U означает, что он отображает разные морфизмы одних и тех же объектов в разные функции. Однако U может отображать разные объекты в один и тот же набор, и, если это произойдет, он также будет отображать разные морфизмы в одну и ту же функцию.

Например, если S и T — две разные топологии на одном и том же множестве X , то ( X , S ) и ( X , T ) являются разными объектами в категории Top топологических пространств и непрерывных отображений, но отображаются в один и тот же набор X функтором забвения Top → Set . Более того, тождественный морфизм ( X , S ) → ( X , S ) и тождественный морфизм ( X , T ) → ( X , T ) считаются разными морфизмами в Top , но они имеют одну и ту же основную функцию, а именно тождественную функцию на Х. ​

Аналогично любому набору из четырех элементов можно задать две неизоморфные групповые структуры: одну, изоморфную $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, а другой изоморфен $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$.

Дальнейшие примеры

1. Любую группу G можно рассматривать как «абстрактную» категорию с одним произвольным объектом. $\ast$и один морфизм для каждого элемента группы. Согласно интуитивному представлению, описанному в начале этой статьи, это не будет считаться конкретным. Но каждое точное G -множество (т. е. каждое представление G как группы перестановок ) определяет точный функтор G → Set . Поскольку каждая группа действует добросовестно сама по себе, G можно превратить в конкретную категорию по крайней мере одним способом.
2. Аналогично, любое частично упорядоченное множество P можно рассматривать как абстрактную категорию с уникальной стрелкой x → y всякий раз, когда x ≤ y . Это можно конкретизировать, определив функтор D : P → Set , который отображает каждый объект x в $D(x)=\{a\in P:a\leq x\}$ и каждая стрелка x → y к карте включения $D(x)\hookrightarrow D(y)$.
3. Категорию Rel , объекты которой являются множествами , а морфизмы которой являются отношениями, можно конкретизировать, взяв U для отображения каждого множества X в его набор степеней. $2^{X}$ и каждое отношение $R\subseteq X\times Y$ к функции $\rho :2^{X}\rightarrow 2^{Y}$ определяется $\rho (A)=\{y\in Y\mid \exists \,x\in A:xRy\}$. Учитывая, что степенные множества представляют собой полные решетки по включению, те функции между ними, возникающие из некоторого отношения R, таким образом являются в точности отображениями, сохраняющими супремум . Следовательно, Rel эквивалентна полной подкатегории категории Sup полных решеток и их сохраняющих sup отображений. И наоборот, исходя из этой эквивалентности, мы можем восстановить U как составной Rel → Sup → Set функтора забывания для Sup с этим вложением Rel в Sup .
4. Категория Набор ^на может быть вложено в Rel, представляя каждый набор как он сам, а каждую функцию f : X → Y как отношение Y к X, сформированное как набор пар ( f ( x ), x ) для всех x ∈ X ; следовательно, Set ^на является конкретизируемым. Возникающий таким образом функтор забывания представляет собой контравариантный функтор набора степеней Set ^на → Установить .
5. Из предыдущего примера следует, что противоположность любой конкретизируемой категории C снова конкретизируема, поскольку если U — точный функтор C → Set , то C ^на может быть оснащен композитным C ^на → Установить ^на → Установить .
6. Если C — любая малая категория, то существует точный функтор P : Set ^{С на} → Установите , который отображает предпучок X в копроизведение $\coprod _{c\in \mathrm {ob} C}X(c)$. Составив это с помощью вложения Йонеды Y : C → Set ^{С на} получается точный функтор C → Set .
7. По техническим причинам категория Ban ₁ банаховых пространств и линейных сокращений часто снабжается не «очевидным» функтором забвения, а функтором U ₁ : Ban ₁ → Set , который отображает банахово пространство в его (замкнутый) единичный шар .
8. Категорию Cat, объекты которой являются малыми категориями, а морфизмы — функторами, можно конкретизировать, отправив каждую категорию C в множество, содержащее ее объекты и морфизмы. Функторы можно просто рассматривать как функции, действующие на объекты и морфизмы.

Контрпримеры

Категория hTop , где объектами являются топологические пространства , а морфизмы — гомотопическими классами непрерывных функций, является примером категории, которая не является конкретизируемой. Хотя объекты представляют собой множества (с дополнительной структурой), морфизмы между ними являются не фактическими функциями, а скорее классами функций. Тот факт, что не существует какого-либо точного функтора из hTop в Set, был впервые доказан Питером Фрейдом .В той же статье Фрейд цитирует более ранний результат о том, что категория «малых категорий и классов естественной эквивалентности функторов» также не поддается конкретизации.

Неявная структура конкретных категорий

Учитывая конкретную категорию ( C , U ) и кардинальное число N , пусть U ^Н — функтор C → Set, определяемый U ^Н (в) = (U(с)) ^Н .Тогда подфунктор U ​ ^Н называется N-арным предикатом , а естественная трансформация U ^Н → U операция N-арная .

Класс всех N -арных предикатов и N -арных операций конкретной категории ( C , U ), где N охватывает класс всех кардинальных чисел, образует большую сигнатуру . Категория моделей для этой сигнатуры содержит полную эквивалентную C. подкатегорию ,

Относительная конкретность

В некоторых разделах теории категорий, особенно в теории топосов принято заменять , категорию Set другой категорией X , часто называемой базовой категорией . По этой причине имеет смысл называть пару ( C , U ), где C — категория, а U — точный функтор C → X конкретной категорией над X. , Например, может быть полезно думать о моделях теории с N сортами как о формирующих конкретную категорию над множеством ^Н .

В этом контексте конкретную категорию над Set иногда называют конструкцией .

Ссылки

• Адамек, Иржи, Херрлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э.; (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF, 4,2 МБ). Первоначально опубл. Джон Уайли и сыновья. ISBN   0-471-60922-6 . (теперь бесплатное онлайн-издание).
• Фрейд, Питер; (1970). Гомотопия не конкретна . Первоначально опубликовано в: «Алгебра Стинрода и ее приложения», Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Переиздано в бесплатном онлайн-журнале: Reprints in Theory and Applications of Category, № 6 (2004), с разрешения Springer-Verlag.
• Росицкий, Иржи; (1981). Конкретные категории и бесконечные языки . Журнал чистой и прикладной алгебры , том 22, выпуск 3.