Субфунктор

В теории категорий , разделе математики , подфунктор — это особый тип функтора , который является аналогом подмножества .

Определение

Пусть C — категория , и пусть F — контравариантный функтор из C в категорию множеств Set . Контравариантный функтор G из C в Set является подфунктором F , если

1. Для всех объектов из C G c ( c ) ⊆ F ( c ) и
2. всех стрел f : c ′ → c из C , G ( f ) является ограничением F G ( f ) на ( Для c ).

Это соотношение часто записывают как G ⊆ F .

Например, пусть 1 — категория с одним объектом и одной стрелкой. Функтор F : 1 → Set отображает уникальный объект 1 в некоторое множество S и уникальную стрелку идентичности 1 в тождественную функцию 1 _S на S . Подфунктор G из F отображает уникальный объект 1 в подмножество T из S и отображает уникальную тождественную стрелку в тождественную функцию 1 _T на T . что 1 _T — это ограничение 1 _S на T. Обратите внимание , Следовательно, подфункторы F соответствуют подмножествам S .

Замечания

Субфункторы в целом похожи на глобальные версии подмножеств. Например, если представить объекты некоторой категории C аналогами открытых множеств топологического пространства, то контравариантный функтор из C в категорию множеств дает многозначный предпучок на C , то есть сопоставляет множества к объектам C способом, совместимым со стрелками C . Затем подфунктор связывает подмножество с каждым набором, опять же совместимым способом.

Важнейшими примерами субфункторов являются субфункторы функтора Hom . Пусть c — объект категории C и рассмотрим функтор Hom(−, c ) . Этот функтор принимает объект c ′ из C и возвращает все морфизмы c ′ → c . Подфунктор Hom(−, c ) возвращает лишь некоторые морфизмы. Такой подфунктор называется решетом и обычно используется при определении топологий Гротендика .

Открытые подфункторы

Субфункторы используются также при построении представимых функторов на категории окольцованных пространств . Пусть F — контравариантный функтор из категории окольцованных пространств в категорию множеств и G ⊆ F . Предположим, что этот морфизм включения G → F представим в виде открытых погружений, т. е. для любого представимого функтора Hom(−, X ) и любого морфизма Hom(−, X ) → F расслоенное произведение G × _F Hom(−, X ) является представимым функтором Hom(−, Y ) , а морфизм Y → X , определенный леммой Йонеды, является открытым погружением. Тогда G называется открытым F . подфунктором Если F накрыта представимыми открытыми подфункторами, то при определенных условиях можно показать, что F представимо. Это полезный метод построения кольцевых пространств. Оно было открыто и широко использовано Александром Гротендиком , который применил его особенно к случаям схем . Формальное утверждение и доказательство см. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique , vol. 1, 2-е изд., глава 0, раздел 4.5.