Jump to content

Субфунктор

В теории категорий , разделе математики , подфунктор — это особый тип функтора , который является аналогом подмножества .

Определение [ править ]

Пусть C категория , и пусть F — контравариантный функтор из C в категорию множеств Set . Контравариантный функтор G из C в Set является подфунктором F , если

  1. Для всех объектов из C G c ( c ) F ( c ) и
  2. Для всех стрел f : c c из C , G ( f ) является ограничением F ( ( f ) на G ) c .

Это соотношение часто записывают как G F .

Например, пусть 1 — это категория с одним объектом и одной стрелкой. Функтор F : 1 Set отображает уникальный объект 1 в некоторое множество S и уникальную стрелку идентичности 1 в тождественную функцию 1 S на S . Подфунктор G из F отображает уникальный объект 1 в подмножество T из S и отображает уникальную тождественную стрелку в тождественную функцию 1 T на T . что 1 T — это ограничение 1 S на T. Обратите внимание , Следовательно, подфункторы F соответствуют подмножествам S .

Замечания [ править ]

Субфункторы в целом похожи на глобальные версии подмножеств. Например, если представить объекты некоторой категории C аналогами открытых множеств топологического пространства, то контравариантный функтор из C в категорию множеств дает многозначный предпучок на C , то есть сопоставляет множества к объектам C способом, совместимым со стрелками C . Затем подфунктор связывает подмножество с каждым набором, опять же совместимым способом.

Важнейшими примерами субфункторов являются субфункторы функтора Hom . Пусть c — объект категории C и рассмотрим функтор Hom(−, c ) . Этот функтор принимает объект c из C и возвращает все морфизмы c c . Подфунктор Hom(−, c ) возвращает лишь некоторые морфизмы. Такой подфунктор называется решетом и обычно используется при определении топологий Гротендика .

Открытые подфункторы [ править ]

Субфункторы используются также при построении представимых функторов на категории окольцованных пространств . Пусть F — контравариантный функтор из категории окольцованных пространств в категорию множеств и G F . Предположим, что этот морфизм включения G F представим в виде открытых погружений, т. е. для любого представимого функтора Hom(−, X ) и любого морфизма Hom(−, X ) → F расслоенное произведение G × F Hom(−, X ) является представимым функтором Hom(−, Y ) , а морфизм Y X , определенный леммой Йонеды, является открытым погружением. Тогда G называется подфунктором F . открытым Если F накрыта представимыми открытыми подфункторами, то при определенных условиях можно показать, что F представимо. Это полезный метод построения кольцевых пространств. Оно было открыто и широко использовано Александром Гротендиком , который применил его особенно к случаям схем . Формальное утверждение и доказательство см. Grothendieck, Éléments de géométrie algébrique , vol. 1, 2-е изд., глава 0, раздел 4.5.

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e761e26e9e4aa9fd3e69c8a7593c071c__1706271240
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e7/1c/e761e26e9e4aa9fd3e69c8a7593c071c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Subfunctor - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)