Сито (теория категорий)
В теории категорий , разделе математики , решето — это способ выбора стрелок с общей кодовой областью . Это категорический аналог набора открытых подмножеств фиксированного открытого множества в топологии . В топологии Гротендика некоторые сита становятся категорическими аналогами открытых покрытий в топологии . Сита были введены Жиро (1964) с целью переформулировать понятие топологии Гротендика.
Определение [ править ]
Пусть C — категория , и пусть c объект C. — Сито на c является подфунктором Hom(−, c ), т. е. для всех объектов c ′ из C , S ( c ′) ⊆ Hom( c ′, c ), и для всех стрелок f : c ″→ c ′, S ( f ) — ограничение Hom( f , c ), обратного образа по f (в смысле предкомпозиции, а не расслоенных произведений), на S ( c ′); см. следующий раздел ниже.
Другими словами, решето — это совокупность S стрелок с общей кодовой областью, которая удовлетворяет условию: «Если g : c ′→ c — стрелка в S , и если f : c ″→ c ′ — любая другая стрелка в C , то gf находится в S. " Следовательно, сита подобны правым идеалам в теории колец или фильтрам в теории порядка .
Отвод сит [ править ]
Самая распространенная операция на сите — откат . Оттягивание решета S на c стрелкой f : c ′→ c дает новое решето f. * S на c '. Это новое сито состоит из всех стрелок S , проходящих через c '.
Существует несколько эквивалентных способов определения f * С. Самый простой:
- Для любого объекта d из C , f * S ( d ) знак равно { грамм : d → c ′ | fg ∈ S ( d )}
Более абстрактная формулировка:
- ж * S — образ расслоенного произведения S × Hom(−, c ) Hom(−, c ′) при естественной проекции S × Hom(−, c ) Hom(−, c ′)→Hom(−, c ′) .
Здесь отображение Hom(−, c ′)→Hom(−, c ) — это Hom(−, f ), сдвиг вперед по f .
Последняя формулировка предполагает, что мы также можем взять образ S × Hom(−, c ) Hom(−, c ′) при естественном отображении в Hom(−, c ). Это будет изображение f * S в составе с f . Для каждого объекта d из C это решето будет состоять из всех стрелок fg , где g : d → c ′ — стрелка f * С ( д ). Другими словами, он состоит из всех стрелок в S , которые можно факторизовать через f .
Если мы обозначим через ∅ c пустое решето на c , то есть решето, для которого ∅( d ) всегда является пустым множеством, то для любого f : c ′→ c , f * ∅ c это ∅ c ′ . Кроме того, ф * Hom(−, c ) = Hom(−, c ′).
Свойства сит [ править ]
Пусть S и S ′ — два сита на c . Мы говорим, что S ⊆ S ′, если для всех объектов c ′ из C , S ( c ′) ⊆ S ′( c ′). Для всех объектов d из C мы определяем ( S ∪ S ′)( d ) как S ( d ) ∪ S ′ ( d ) и ( S ∩ S ′)( d ) как S ( d ) ∩ S ′( г ). Мы можем ясно распространить это определение на бесконечные объединения и пересечения.
Если мы определим Sieve C ( c ) (или Sieve( c ) для краткости) как множество всех сит на c , то Sieve( c ) станет частично упорядоченным при ⊆. Из определения легко увидеть, что объединение или пересечение любого семейства решет на c является решетом на c , поэтому Sieve( c ) является полной решеткой .
представляет Топология Гротендика собой набор сит, обладающих определенными свойствами. Эти сита называются покрывающими ситами . Множество всех покрывающих решет объекта c является подмножеством J ( c ) Sieve( c ). J ( c ) удовлетворяет нескольким свойствам в дополнение к требуемым по определению:
- Если S и S ’ — сита на c , S ⊆ S ′ и S ∈ J ( c ), то S ′ ∈ J ( c ).
- Конечные пересечения элементов J ( c ) находятся в J ( c ).
Следовательно, J ( c ) также является дистрибутивной решёткой и конфинальной в Sieve( c ).
Ссылки [ править ]
- Артин, Майкл ; Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье , ред. (1972). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963-64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - вып. 1 . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 269.Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . XIX+525. дои : 10.1007/BFb0081551 . ISBN 978-3-540-05896-0 .
- Жиро, Жан (1964), «Анализ места», Семинар Бурбаки, 1962/63. Фаск. 3 , Париж: Математический секретариат, MR 0193122.
- Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7 . Збл 1034.18001 .