Jump to content

Откат (теория категорий)

(Перенаправлено с продукта Fibered )

В теории категорий , разделе математики , обратный образ (также называемый расслоенным произведением , расслоенным произведением , расслоенным произведением или декартовым квадратом ) — это предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов f : X Z и g : Y Z с общий кодомен. Откат написан

п знак равно Икс × ж , Z , грамм Y .

Обычно морфизмы f и g в обозначениях опускаются, и тогда обратный образ записывается

п знак равно Икс × Z Y .

Обратный образ снабжен двумя естественными морфизмами P X и P Y . Обратный образ двух морфизмов f и g не обязательно должен существовать, но если он существует, то он по существу однозначно определяется этими двумя морфизмами. Во многих ситуациях X × Z Y можно интуитивно представить как состоящее из пар элементов ( x , y ) с x в X , y в Y и f ( x ) = g ( y ) . Для общего определения используется универсальное свойство , которое по сути выражает тот факт, что обратный образ является «наиболее общим» способом завершения двух данных морфизмов до коммутативного квадрата .

Двойная концепция отката – это выталкивание .

Универсальная собственность

[ редактировать ]

Явно, образ морфизмов f и g состоит из объекта P и двух морфизмов p 1 : P X и p 2 : P Y , для которых диаграмма

ездит на работу . Более того, образ ( P , p 1 , p 2 ) должен быть универсальным относительно этой диаграммы. [1] То есть для любой другой такой тройки ( Q , q 1 , q 2 ) , где q 1 : Q X и q 2 : Q Y являются морфизмами с f q 1 = g q 2 , должен существовать единственный u : Q P такой, что

Эту ситуацию иллюстрирует следующая коммутативная диаграмма.

Как и все универсальные конструкции, обратный образ, если он существует, уникален с точностью до изоморфизма . Фактически, для данных двух обратных образов ( A , a 1 , a 2 ) и ( B , b 1 , b 2 ) одного и того же коспана X Z Y существует уникальный изоморфизм между A и B относительно структуры обратного образа.

Откат и продукт

[ редактировать ]

Откат похож на продукт , но не тот же самый. Произведение можно получить, «забыв» о существовании морфизмов f и g объекта Z. и забыв о существовании Тогда остается дискретная категория, содержащая только два объекта X и Y без стрелок между ними. Эту дискретную категорию можно использовать в качестве набора индексов для построения обычного двоичного произведения. Таким образом, откат можно рассматривать как обычное (декартово) произведение, но с дополнительной структурой. Вместо того, чтобы «забывать» Z , f и g , можно также «упрощать» их, сделав терминальным Z объектом (при условии, что он существует). f и g тогда определяются однозначно и, таким образом, не несут никакой информации, и можно увидеть, что обратный отсчет этого коспана является произведением X и Y .

Коммутативные кольца

[ редактировать ]
Категория коммутативных колец допускает обратные связи.

В категории коммутативных колец (с единицей) образ называется расслоенным произведением. Пусть A , B и C коммутативные кольца (с единицей) и α : A C и β : B C (сохраняющие тождество) кольцевые гомоморфизмы . Тогда обратный образ этой диаграммы существует и задается подкольцом кольца A произведений × B , определяемым формулой

наряду с морфизмами

данный и для всех . Тогда у нас есть

Группы и модули

[ редактировать ]

По полной аналогии с приведенным выше примером коммутативных колец можно показать, что все образы существуют в категории групп и в категории модулей над некоторым фиксированным кольцом.

В категории множеств обратный образ функций f : X Z и g : Y Z всегда существует и задается множеством

вместе ограничениями проекций и π 1 Z π 2 на X × Y   . с

В качестве альтернативы можно рассматривать откат в Set асимметрично:

где является дизъюнктным объединением множеств (вовлеченные множества не являются непересекающимися сами по себе, если только f или g не инъективны ). В первом случае проекция π 1 извлекает индекс x , а π 2 забывает индекс, оставляя элементы Y .

Этот пример мотивирует другой способ охарактеризовать обратный образ: как эквалайзер морфизмов f p 1 , g p 2 : X × Y Z , где X × Y произведение двоичное X и Y , а p 1 и p 2 равны естественные проекции. Это показывает, что откаты существуют в любой категории с бинарными продуктами и эквалайзерами. Фактически, по теореме существования пределов все конечные пределы существуют в категории с двоичными произведениями и эквалайзерами; эквивалентно, все конечные пределы существуют в категории с терминальным объектом и откатами (поскольку двоичное произведение = откат конечного объекта и что эквалайзер — это откат, включающий двоичное произведение).

Графики функций

[ редактировать ]

Конкретным примером отката является график функции. Предположим, что это функция. График множество f представляет собой График можно переформулировать как возврат f и тождественную функцию на Y . По определению, этот откат и это равно .

Пучки волокон

[ редактировать ]

Другой пример обратного образа приходит из теории расслоений : для заданного отображения расслоения π : E B и непрерывного отображения f : X B обратный образ (сформированный в категории топологических пространств с непрерывными отображениями ) X × B   E — расслоение над X, называемое расслоением обратного образа . Соответствующая коммутативная диаграмма является морфизмом расслоений. То же самое относится и к категории дифференцируемых многообразий. Особым случаем является обратный образ двух расслоений E 1 , E 2 B . В этом случае E 1 × E 2 является расслоением над B × B , и возврат назад по диагональному отображению B B × B дает пространство, гомеоморфное (диффеоморфное) E 1 × B E 2 , которое является расслоением над Б. ​Обратный образ двух гладких трансверсальных отображений в одно и то же дифференцируемое многообразие также является дифференцируемым многообразием, а касательное пространство обратного образа - это обратный образ касательных пространств вдоль дифференциальных отображений.

Прообразы и пересечения

[ редактировать ]

Прообразы множеств под функциями можно описать как откаты следующим образом:

Предположим f : A B , B 0 B. , Пусть g — отображение включения B 0 B . Тогда обратный образ f и g Set ) задается прообразом f −1 [ B 0 ] вместе с включением прообраза в A

ж −1 [ Б 0 ] ↪ А

и ограничение f на f −1 [ Б 0 ]

ж −1 [ Б 0 ] → Б 0 .

Благодаря этому примеру в общей категории возврат морфизма f и мономорфизма g можно рассматривать как «прообраз» под f подобъекта , заданного g . Точно так же возвраты двух мономорфизмов можно рассматривать как «пересечение» двух подобъектов.

Наименьшее общее кратное

[ редактировать ]

Рассмотрим мультипликативный моноид натуральных чисел Z + как категорию с одним объектом. В этой категории возврат двух натуральных чисел m и n — это просто пара числители являются наименьшим общим кратным m , где и n . Эта же пара также является пушаутом.

Характеристики

[ редактировать ]
  • любой категории с терминальным объектом T обратный образ X × TY   Y. просто обычное произведение X × В — это [2]
  • Мономорфизмы устойчивы относительно образа: если стрелка f на диаграмме является моникической, то такой же является и стрелка p 2 . Аналогично, если g является мотическим, то и p 1 тоже . [3]
  • Изоморфизмы также стабильны, поэтому, например, X × X   Y Y для любого отображения Y X (где подразумеваемое отображение X X является тождественным).
  • В абелевой категории существуют все возвраты, [4] и они сохраняют ядра в следующем смысле: если
диаграммой обратного образа, то индуцированный морфизм ker( p2 является ) → ker( f ) является изоморфизмом, [5] и то же самое происходит с индуцированным морфизмом ker( p 1 ) → ker( g ) . Таким образом, каждая обратная диаграмма порождает коммутативную диаграмму следующей формы, в которой все строки и столбцы точны :
Более того, в абелевой категории, если X Z является эпиморфизмом, то таким же является и его обратный образ Y , и симметрично: если Y Z является эпиморфизмом, то таким же является и его обратный образ P X. P [6] В этих ситуациях квадрат отката также является квадратом выталкивания. [7]
  • Существует естественный изоморфизм ( A × C B B D A × C D . Явно это означает:
    • отображения f : A C , g : B C и h : D B и если заданы
    • обратный образ f и g задается формулами r : P A и s : P B , и
    • обратный образ s и h определяется формулами t : Q P и u : Q D ,
    • обратный образ f и gh определяется формулами rt : Q A и u : Q D. тогда
Графически это означает, что два обратного квадрата, расположенные рядом и имеющие один и тот же морфизм, образуют более крупный обратный квадрат при игнорировании внутреннего общего морфизма.
  • В любой категории с откатами и товарами есть эквалайзеры.

Слабые откаты

[ редактировать ]

Слабый образ коспана слабо X Z Y — это конус над коспаном, который является лишь универсальным , то есть опосредующий морфизм u : Q P, указанный выше, не обязательно должен быть уникальным.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Митчелл, с. 9
  2. ^ Адамек, стр. 197.
  3. ^ Митчелл, с. 9
  4. ^ Митчелл, с. 32
  5. ^ Митчелл, с. 15
  6. ^ Митчелл, с. 34
  7. ^ Митчелл, с. 39
  • Адамек, Иржи, Херрлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э.; (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF, 4,2 МБ). Первоначально опубл. Джон Уайли и сыновья. ISBN   0-471-60922-6 . (теперь бесплатное онлайн-издание).
  • Кон, Пол М .; Универсальная алгебра (1981), D. Reidel Publishing, Голландия, ISBN   90-277-1213-1 (первоначально опубликовано в 1965 году издательством Harper & Row) .
  • Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Академическая пресса.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b428f206f3fd89b73b64c79ee499e6e8__1710693240
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b4/e8/b428f206f3fd89b73b64c79ee499e6e8.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Pullback (category theory) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)