Откат (теория категорий)
В теории категорий , разделе математики , обратный образ (также называемый расслоенным произведением , расслоенным произведением , расслоенным произведением или декартовым квадратом ) — это предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов f : X → Z и g : Y → Z с общий кодомен. Откат написан
- п знак равно Икс × ж , Z , грамм Y .
Обычно морфизмы f и g в обозначениях опускаются, и тогда обратный образ записывается
- п знак равно Икс × Z Y .
Обратный образ снабжен двумя естественными морфизмами P → X и P → Y . Обратный образ двух морфизмов f и g не обязательно должен существовать, но если он существует, то он по существу однозначно определяется этими двумя морфизмами. Во многих ситуациях X × Z Y можно интуитивно представить как состоящее из пар элементов ( x , y ) с x в X , y в Y и f ( x ) = g ( y ) . Для общего определения используется универсальное свойство , которое по сути выражает тот факт, что обратный образ является «наиболее общим» способом завершения двух данных морфизмов до коммутативного квадрата .
Двойная концепция отката – это выталкивание .
Универсальная собственность
[ редактировать ]Явно, образ морфизмов f и g состоит из объекта P и двух морфизмов p 1 : P → X и p 2 : P → Y , для которых диаграмма
ездит на работу . Более того, образ ( P , p 1 , p 2 ) должен быть универсальным относительно этой диаграммы. [1] То есть для любой другой такой тройки ( Q , q 1 , q 2 ) , где q 1 : Q → X и q 2 : Q → Y являются морфизмами с f q 1 = g q 2 , должен существовать единственный u : Q → P такой, что
Эту ситуацию иллюстрирует следующая коммутативная диаграмма.
Как и все универсальные конструкции, обратный образ, если он существует, уникален с точностью до изоморфизма . Фактически, для данных двух обратных образов ( A , a 1 , a 2 ) и ( B , b 1 , b 2 ) одного и того же коспана X → Z ← Y существует уникальный изоморфизм между A и B относительно структуры обратного образа.
Откат и продукт
[ редактировать ]Откат похож на продукт , но не тот же самый. Произведение можно получить, «забыв» о существовании морфизмов f и g объекта Z. и забыв о существовании Тогда остается дискретная категория, содержащая только два объекта X и Y без стрелок между ними. Эту дискретную категорию можно использовать в качестве набора индексов для построения обычного двоичного произведения. Таким образом, откат можно рассматривать как обычное (декартово) произведение, но с дополнительной структурой. Вместо того, чтобы «забывать» Z , f и g , можно также «упрощать» их, сделав терминальным Z объектом (при условии, что он существует). f и g тогда определяются однозначно и, таким образом, не несут никакой информации, и можно увидеть, что обратный отсчет этого коспана является произведением X и Y .
Примеры
[ редактировать ]Коммутативные кольца
[ редактировать ]В категории коммутативных колец (с единицей) образ называется расслоенным произведением. Пусть A , B и C — коммутативные кольца (с единицей) и α : A → C и β : B → C (сохраняющие тождество) кольцевые гомоморфизмы . Тогда обратный образ этой диаграммы существует и задается подкольцом кольца A произведений × B , определяемым формулой
наряду с морфизмами
данный и для всех . Тогда у нас есть
Группы и модули
[ редактировать ]По полной аналогии с приведенным выше примером коммутативных колец можно показать, что все образы существуют в категории групп и в категории модулей над некоторым фиксированным кольцом.
Наборы
[ редактировать ]В категории множеств обратный образ функций f : X → Z и g : Y → Z всегда существует и задается множеством
вместе ограничениями проекций и π 1 Z π 2 на X × Y . с
В качестве альтернативы можно рассматривать откат в Set асимметрично:
где является дизъюнктным объединением множеств (вовлеченные множества не являются непересекающимися сами по себе, если только f или g не инъективны ). В первом случае проекция π 1 извлекает индекс x , а π 2 забывает индекс, оставляя элементы Y .
Этот пример мотивирует другой способ охарактеризовать обратный образ: как эквалайзер морфизмов f ∘ p 1 , g ∘ p 2 : X × Y → Z , где X × Y — произведение двоичное X и Y , а p 1 и p 2 равны естественные проекции. Это показывает, что откаты существуют в любой категории с бинарными продуктами и эквалайзерами. Фактически, по теореме существования пределов все конечные пределы существуют в категории с двоичными произведениями и эквалайзерами; эквивалентно, все конечные пределы существуют в категории с терминальным объектом и откатами (поскольку двоичное произведение = откат конечного объекта и что эквалайзер — это откат, включающий двоичное произведение).
Графики функций
[ редактировать ]Конкретным примером отката является график функции. Предположим, что это функция. График множество f представляет собой График можно переформулировать как возврат f и тождественную функцию на Y . По определению, этот откат и это равно .
Пучки волокон
[ редактировать ]Другой пример обратного образа приходит из теории расслоений : для заданного отображения расслоения π : E → B и непрерывного отображения f : X → B обратный образ (сформированный в категории топологических пространств с непрерывными отображениями ) X × B E — расслоение над X, называемое расслоением обратного образа . Соответствующая коммутативная диаграмма является морфизмом расслоений. То же самое относится и к категории дифференцируемых многообразий. Особым случаем является обратный образ двух расслоений E 1 , E 2 → B . В этом случае E 1 × E 2 является расслоением над B × B , и возврат назад по диагональному отображению B → B × B дает пространство, гомеоморфное (диффеоморфное) E 1 × B E 2 , которое является расслоением над Б. Обратный образ двух гладких трансверсальных отображений в одно и то же дифференцируемое многообразие также является дифференцируемым многообразием, а касательное пространство обратного образа - это обратный образ касательных пространств вдоль дифференциальных отображений.
Прообразы и пересечения
[ редактировать ]Прообразы множеств под функциями можно описать как откаты следующим образом:
Предположим f : A → B , B 0 ⊆ B. , Пусть g — отображение включения B 0 ↪ B . Тогда обратный образ f и g (в Set ) задается прообразом f −1 [ B 0 ] вместе с включением прообраза в A
- ж −1 [ Б 0 ] ↪ А
и ограничение f на f −1 [ Б 0 ]
- ж −1 [ Б 0 ] → Б 0 .
Благодаря этому примеру в общей категории возврат морфизма f и мономорфизма g можно рассматривать как «прообраз» под f подобъекта , заданного g . Точно так же возвраты двух мономорфизмов можно рассматривать как «пересечение» двух подобъектов.
Наименьшее общее кратное
[ редактировать ]Рассмотрим мультипликативный моноид натуральных чисел Z + как категорию с одним объектом. В этой категории возврат двух натуральных чисел m и n — это просто пара числители являются наименьшим общим кратным m , где и n . Эта же пара также является пушаутом.
Характеристики
[ редактировать ]- любой категории с терминальным объектом T обратный образ X × TY Y. просто обычное произведение X × В — это [2]
- Мономорфизмы устойчивы относительно образа: если стрелка f на диаграмме является моникической, то такой же является и стрелка p 2 . Аналогично, если g является мотическим, то и p 1 тоже . [3]
- Изоморфизмы также стабильны, поэтому, например, X × X Y ≅ Y для любого отображения Y → X (где подразумеваемое отображение X → X является тождественным).
- В абелевой категории существуют все возвраты, [4] и они сохраняют ядра в следующем смысле: если
- диаграммой обратного образа, то индуцированный морфизм ker( p2 является ) → ker( f ) является изоморфизмом, [5] и то же самое происходит с индуцированным морфизмом ker( p 1 ) → ker( g ) . Таким образом, каждая обратная диаграмма порождает коммутативную диаграмму следующей формы, в которой все строки и столбцы точны :
- Более того, в абелевой категории, если X → Z является эпиморфизмом, то таким же является и его обратный образ → Y , и симметрично: если Y → Z является эпиморфизмом, то таким же является и его обратный образ P → X. P [6] В этих ситуациях квадрат отката также является квадратом выталкивания. [7]
- Существует естественный изоморфизм ( A × C B )× B D ≅ A × C D . Явно это означает:
- отображения f : A → C , g : B → C и h : D → B и если заданы
- обратный образ f и g задается формулами r : P → A и s : P → B , и
- обратный образ s и h определяется формулами t : Q → P и u : Q → D ,
- обратный образ f и gh определяется формулами rt : Q → A и u : Q → D. тогда
- Графически это означает, что два обратного квадрата, расположенные рядом и имеющие один и тот же морфизм, образуют более крупный обратный квадрат при игнорировании внутреннего общего морфизма.
- В любой категории с откатами и товарами есть эквалайзеры.
Слабые откаты
[ редактировать ]Слабый образ коспана слабо X → Z ← Y — это конус над коспаном, который является лишь универсальным , то есть опосредующий морфизм u : Q → P, указанный выше, не обязательно должен быть уникальным.
См. также
[ редактировать ]- Откат в дифференциальной геометрии
- Эквисоединение в реляционной алгебре
- Волоконное произведение схем
Примечания
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Адамек, Иржи, Херрлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э.; (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF, 4,2 МБ). Первоначально опубл. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 . (теперь бесплатное онлайн-издание).
- Кон, Пол М .; Универсальная алгебра (1981), D. Reidel Publishing, Голландия, ISBN 90-277-1213-1 (первоначально опубликовано в 1965 году издательством Harper & Row) .
- Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Академическая пресса.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Интерактивная веб-страница , генерирующая примеры откатов в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн.
- откат в n Lab