Промежуток (теория категорий)

В теории категорий , или крыша являются соответствие обобщением понятия связи между двумя объектами категории пролет . Когда категория имеет все обратные модели (и удовлетворяет небольшому количеству других условий), промежутки можно рассматривать как морфизмы в категории дробей .

Понятие пролета принадлежит Нобуо Йонеде (1954) и Жану Бенабу (1967).

Формальное определение [ править ]

Пролет — это диаграмма типа $\Lambda =(-1\leftarrow 0\rightarrow +1),$ то есть диаграмма вида $Y\leftarrow X\rightarrow Z$ .

То есть пусть Λ — категория (-1 ← 0 → +1). Тогда промежутком в категории C является функтор S : Λ → C . Это означает, что диапазон состоит из трех объектов X , Y и Z из C и морфизмов f : X → Y и g : X → Z : это два отображения с общей областью определения .

Копредел это промежутка — pushout .

Примеры [ править ]

Если R — это отношение между множествами X и Y (т. е. X подмножеством × Y ) , то X ← R → Y — это промежуток, где карты — это карты проекций. $X\times Y{\overset {\pi _{X}}{\to }}X$ и $X\times Y{\overset {\pi _{Y}}{\to }}Y$ .
Любой объект дает тривиальный диапазон A ← A → A, где отображения являются тождественными.
В более общем смысле, пусть $\phi \colon A\to B$ быть морфизмом в некоторой категории. Существует тривиальная оболочка A ← A → B , где левое отображение — это единица на A, а правое — заданное отображение φ .
Если M — модельная категория , а W — множество слабых эквивалентностей , то промежутки вида $X\leftarrow Y\rightarrow Z,$ где левый морфизм находится в W, можно считать обобщенным морфизмом (т. е. там, где «обращают слабые эквивалентности»). Обратите внимание, что это не обычная точка зрения при работе с категориями моделей.

Коспанс [ править ]

Коспан K в категории C — это функтор K : Λ ^на → С ; эквивалентно, контравариантный функтор из Λ в C . То есть диаграмма типа $\Lambda ^{\text{op}}=(-1\rightarrow 0\leftarrow +1),$ то есть диаграмма вида $Y\rightarrow X\leftarrow Z$ .

Таким образом, оно состоит из трёх объектов X , Y и Z из C и морфизмов f : Y → X и g : Z → X : это два отображения с общей кодовой областью.

Пределом является коспана откат .

Примером коспана является кобордизм W между двумя многообразиями M и N эти два отображения являются включениями в W. , где Обратите внимание, что, хотя кобордизмы являются коспанами, категория кобордизмов не является «категорией коспанов»: это не категория всех коспанов в «категории многообразий с включениями на границе», а скорее ее подкатегория , поскольку требование, чтобы M и N образуют раздел границы W — глобальное ограничение.

Категория nCob конечномерных кобордизмов является кинжально-компактной категорией . В более общем смысле, категория Span ( C ) промежутков любой категории C с конечными пределами также компактна.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

пробежка в n Lab
Йонеда, Нобуо (1954). «К теории гомологии модулей». Дж. Фак. наук. унив. Токийская секта. Я. 7 : 193–227.
Бенабу, Жан (1967). «Введение в бикатегории». Отчеты семинара по категории Среднего Запада . Конспект лекций по математике. Том. 47. Спрингер. стр. 1–77. дои : 10.1007/BFb0074299 . ISBN 978-3-540-35545-8 .