Слабая эквивалентность (гомотопическая теория)

В математике слабая эквивалентность — это понятие из теории гомотопий , которое в некотором смысле идентифицирует объекты, имеющие одинаковую «форму». Это понятие формализовано в аксиоматическом определении модельной категории .

Модельная категория — это категория с классами морфизмов , называемых слабыми эквивалентностями, расслоениями и корасслоениями , удовлетворяющими нескольким аксиомам. Соответствующая гомотопическая категория модельной категории имеет те же объекты, но морфизмы изменяются, чтобы превратить слабые эквивалентности в изоморфизмы . Полезно заметить, что соответствующая гомотопическая категория зависит только от слабых эквивалентностей, а не от расслоений и корасслоений.

Топологические пространства

Категории модели были определены Квилленом как аксиоматизация теории гомотопий, применимая к топологическим пространствам , а также ко многим другим категориям в алгебре и геометрии . Примером, с которого началась тема, является категория топологических пространств с расслоениями Серра в качестве расслоений и слабыми гомотопическими эквивалентностями в качестве слабых эквивалентностей (корасслоения для этой модельной структуры можно описать как ретракты относительных клеточных комплексов X ⊆ Y ). По определению непрерывное отображение f : X → Y пространств называется слабой гомотопической эквивалентностью, если индуцированная функция на множествах компонент пути

$f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)$

является биективным , и для каждой точки x в X и любого n ≥ 1 индуцированный гомоморфизм

$f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n}(Y,f(x))$

на гомотопических группах является биективным. (Для X и Y , соединенных путями , первое условие является автоматическим, и достаточно сформулировать второе условие для одной точки x в X. )

Для односвязных топологических пространств X и Y отображение f : X → Y является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда индуцированный гомоморфизм f _* : H _n ( X , Z ) → H _n ( Y , Z ) на сингулярных группах гомологий является биективным для всех n . Аналогично, для односвязных пространств X и Y отображение f : X → Y является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда гомоморфизм обратного образа f *: H ^н ( Y , Z ) → ЧАС ^н ( X , Z ) на сингулярных когомологиях биективен для всех n .

Пример. Пусть X — набор натуральных чисел {0, 1, 2, ...}, а Y — набор {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, оба с топология подпространства от реальной линии . Определите f : X → Y , сопоставив 0 с 0 и n с 1/ n для положительных целых чисел n . Тогда f непрерывна и фактически является слабой гомотопической эквивалентностью, но не является гомотопической эквивалентностью .

Гомотопическая категория топологических пространств (полученная обращением слабых гомотопических эквивалентностей) значительно упрощает категорию топологических пространств. Действительно, эта гомотопическая категория эквивалентна категории комплексов CW , морфизмы которых являются гомотопическими классами непрерывных отображений.

Были также рассмотрены многие другие модельные структуры категории топологических пространств. Например, в структуре модели Стрёма на топологических пространствах расслоениями являются расслоения Гуревича , а слабыми эквивалентностями являются гомотопические эквивалентности.

Цепные комплексы

Некоторые другие важные категории моделей включают цепные комплексы . Пусть A — абелева категория Гротендика , например категория модулей над кольцом или категория пучков абелевых групп в топологическом пространстве. Определим категорию C ( A ) с объектами - комплексами X объектов из A ,

$\cdots \to X_{1}\to X_{0}\to X_{-1}\to \cdots ,$

и морфизмы отображают цепочки . (Это эквивалентно рассмотрению «коцепных комплексов» объектов A , где нумерация записывается как

$\cdots \to X^{-1}\to X^{0}\to X^{1}\to \cdots ,$

просто определив X ^я = Икс _{- я} .)

Категория C ( A ) имеет модельную структуру, в которой корасслоения являются мономорфизмами , а слабые эквивалентности — квазиизоморфизмами . По определению цепное отображение f : X → Y является квазиизоморфизмом, если индуцированный гомоморфизм

$f_{*}\colon H_{n}(X)\to H_{n}(Y)$

по гомологии является изоморфизмом для всех целых чисел n . (Здесь H _n ( X ) — объект A определенный как ядро n ​​X _→ , X _{n −1} по модулю образа X . _{n +1} → X _n .) Полученная гомотопическая категория называется производной категорией D ( A ) .

Тривиальные расслоения и тривиальные корасслоения

В любой модельной категории расслоение, которое также является слабой эквивалентностью, называется тривиальным (или ациклическим ) расслоением . Корасслоение, которое также является слабой эквивалентностью, называется тривиальным (или ациклическим ) корасслоением .

Ссылки

• Беке, Тибор (2000), «Категории гомотопической модели, допускающие расслоение», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 129 : 447–473, arXiv : math/0102087 , Bibcode : 2000MPCPS.129..447B , doi : 10.1017/S030500410000 4722 , МР   1780498
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-79540-0 , МР   1867354
• Хови, Марк (1999), Категории моделей (PDF) , Американское математическое общество , ISBN  0-8218-1359-5 , МР   1650134
• Стрём, Арне (1972), «Гомотопическая категория — это гомотопическая категория», Archiv der Mathematik , 23 : 435–441, doi : 10.1007/BF01304912 , MR   0321082