Производная категория

В математике производная категория D ( A ) абелевой категории A представляет собой конструкцию гомологической алгебры , введенную для уточнения и в определенном смысле упрощения теории производных функторов определенных на A. , Конструкция продолжается на том основании, что ( A объектами D ) должны быть цепные комплексы в A , причем два таких цепных комплекса считаются изоморфными, когда существует цепное отображение , индуцирующее изоморфизм на уровне гомологии цепных комплексов. Затем для цепных комплексов можно определить производные функторы, уточняя концепцию гиперкогомологий . Определения приводят к существенному упрощению формул, иначе описываемых (не совсем точно) сложными спектральными последовательностями .

Разработка производной категории Александром Гротендиком и его учеником Жаном-Луи Вердье вскоре после 1960 года теперь кажется завершающим моментом во взрывном развитии гомологической алгебры в 1950-х годах, десятилетии, за которое она добилась замечательных успехов. Основная теория Вердье была изложена в его диссертации, опубликованной наконец в 1996 году в журнале Asterisque (резюме ранее появилось в SGA 4½ ). Аксиоматика потребовала новации, понятия триангулированной категории , а конструкция основана на локализации категории , обобщении локализации кольца . Первоначальный импульс к развитию «производного» формализма возник из необходимости найти подходящую формулировку когерентной теории двойственности Гротендика . Производные категории с тех пор стали незаменимы и за пределами алгебраической геометрии , например, при формулировке теории D-модулей и микролокального анализа . Недавно выведенные категории также стали важными в областях, близких к физике, таких как D-браны и зеркальная симметрия .

Неограниченные производные категории были введены Спалтенштейном в 1988 году.

Мотивы

В когерентной теории пучков, доведя до предела то, что можно было сделать с двойственностью Серра без предположения о неособой схеме необходимость взять целый комплекс пучков вместо одного дуализирующего пучка , стала очевидной . Фактически условие кольца Коэна – Маколея , ослабление несингулярности, соответствует существованию единственного дуализирующего пучка; и это далеко не общий случай. С нисходящей интеллектуальной позиции, которую всегда занимал Гротендик, это означало необходимость переформулировать. Вместе с этим возникла идея, что «настоящие» тензорные произведения и функторы Hom должны существовать на производном уровне; Что касается них, Tor и Ext становятся больше похожими на вычислительные устройства.

Несмотря на уровень абстракции, производные категории стали приняты в последующие десятилетия, особенно в качестве удобного средства для пучковых когомологий . Возможно, самым большим достижением стала формулировка соответствия Римана-Гильберта в размерностях больше 1 в производных терминах примерно в 1980 году. Школа Сато приняла язык производных категорий, и последующая история D-модулей представляла собой теорию, выраженную в тех условия.

Параллельное развитие получила категория спектров в теории гомотопий . Гомотопическая категория спектра и производная категория кольца являются примерами триангулированных категорий .

Определение

Позволять ${\mathcal {A}}$быть абелевой категорией . (Примеры включают категорию модулей над кольцом и категорию пучков абелевых групп в топологическом пространстве.) Производная категория $D({\mathcal {A}})$ определяется универсальным свойством относительно категории $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})$ коцепных комплексов с членами в ${\mathcal {A}}$. Объекты $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})$ имеют форму

$\cdots \to X^{-1}\xrightarrow {d^{-1}} X^{0}\xrightarrow {d^{0}} X^{1}\xrightarrow {d^{1}} X^{2}\to \cdots ,$

где каждый X ^я является объектом ${\mathcal {A}}$ и каждый из композитов $d^{i+1}\circ d^{i}$равен нулю. i - я группа когомологий комплекса равна $H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}$. Если $(X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })$ и $(Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })$ два объекта в этой категории, то морфизм $f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })$ определяется как семейство морфизмов $f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}$ такой, что $f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{Y}^{i}\circ f_{i}$. Такой морфизм индуцирует морфизмы на группах когомологий $H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })$, и $f^{\bullet }$ называется квазиизоморфизмом, если каждый из этих морфизмов является изоморфизмом в ${\mathcal {A}}$.

Универсальным свойством производной категории является то, что она является локализацией категории комплексов относительно квазиизоморфизмов. В частности, производная категория $D({\mathcal {A}})$ является категорией вместе с функтором $Q\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to D({\mathcal {A}})$, обладающий следующим универсальным свойством: Предположим, ${\mathcal {C}}$ это другая категория (не обязательно абелева) и $F\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to {\mathcal {C}}$ является функтором таким, что всякий раз, когда $f^{\bullet }$ является квазиизоморфизмом в $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})$, его изображение $F(f^{\bullet })$ является изоморфизмом в ${\mathcal {C}}$; затем $F$ факторы через $Q$. Любые две категории, обладающие этим универсальным свойством, эквивалентны.

Отношение к категории гомотопий

Если $f$ и $g$ это два морфизма $X^{\bullet }\to Y^{\bullet }$ в $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})$, то цепная гомотопия или просто гомотопия $h\colon f\to g$ представляет собой набор морфизмов $h^{i}\colon X^{i}\to Y^{i-1}$ такой, что $f^{i}-g^{i}=d_{Y}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ d_{X}^{i}$для каждого я . Несложно показать, что два гомотопических морфизма индуцируют тождественные морфизмы на группах когомологий. Мы говорим, что $f\colon X^{\bullet }\to Y^{\bullet }$ является цепной гомотопической эквивалентностью , если существует $g\colon Y^{\bullet }\to X^{\bullet }$ такой, что $g\circ f$ и $f\circ g$ являются цепными гомотопными тождественным морфизмам на $X^{\bullet }$ и $Y^{\bullet }$, соответственно. Гомотопическая категория коцепных комплексов $K({\mathcal {A}})$ категория с теми же объектами, что и $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})$но чьи морфизмы являются классами эквивалентности морфизмов комплексов относительно отношения цепной гомотопии. Существует естественный функтор $\operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to K({\mathcal {A}})$который является тождеством объектов и который переводит каждый морфизм в его класс цепной гомотопической эквивалентности. Поскольку всякая цепная гомотопическая эквивалентность является квазиизоморфизмом, $Q$факторы через этот функтор. Следовательно $D({\mathcal {A}})$ с таким же успехом можно рассматривать как локализацию гомотопической категории.

С точки зрения модельных категорий , производная категория D ( A ) является истинной «гомотопической категорией» категории комплексов, тогда как K ( A ) можно было бы назвать «наивной гомотопической категорией».

Построение производной категории

Существует несколько возможных конструкций производной категории. Когда ${\mathcal {A}}$— малая категория, то происходит прямое построение производной категории путем формального присоединения обратных квазиизоморфизмов. Это пример общего построения категории с помощью образующих и отношений.

Когда ${\mathcal {A}}$— это большая категория, эта конструкция не работает по теоретико-множественным причинам. Эта конструкция строит морфизмы как классы эквивалентности путей. Если ${\mathcal {A}}$имеет собственный класс объектов, все из которых изоморфны, то существует правильный класс путей между любыми двумя из этих объектов. Таким образом, конструкция генераторов и отношений гарантирует только то, что морфизмы между двумя объектами образуют правильный класс. Однако морфизмы между двумя объектами в категории обычно должны быть множествами, и поэтому эта конструкция не может создать реальную категорию.

Даже когда ${\mathcal {A}}$мала, однако конструкция с помощью генераторов и отношений обычно приводит к категории, структура которой непрозрачна, где морфизмы представляют собой пути произвольной длины, подчиняющиеся загадочному отношению эквивалентности. По этой причине принято строить производную категорию более конкретно, даже когда теория множеств не является предметом обсуждения.

Эти другие конструкции проходят через категорию гомотопий. Коллекция квазиизоморфизмов в $K({\mathcal {A}})$образует мультипликативную систему . Это набор условий, позволяющих переписать сложные пути как более простые. Теорема Габриэля-Зисмана подразумевает, что локализация в мультипликативной системе имеет простое описание в терминах крыш . Морфизм $X^{\bullet }\to Y^{\bullet }$ в $D({\mathcal {A}})$ можно описать как пару $(s,f)$, где для некоторого комплекса $Z^{\bullet }$, $s\colon Z^{\bullet }\to X^{\bullet }$ является квазиизоморфизмом и $f\colon Z^{\bullet }\to Y^{\bullet }$— класс цепной гомотопической эквивалентности морфизмов. Концептуально это представляет собой $f\circ s^{-1}$. Две крыши считаются эквивалентными, если они имеют общую крышу.

Замена цепочек морфизмов крышами также позволяет решить теоретико-множественные проблемы, связанные с производными категориями больших категорий. Исправить комплекс $X^{\bullet }$ и рассмотрим категорию $I_{X^{\bullet }}$ чьи объекты являются квазиизоморфизмами в $K({\mathcal {A}})$ с кодоменом $X^{\bullet }$и чьи морфизмы являются коммутативными диаграммами. Эквивалентно, это категория объектов над $X^{\bullet }$структурные отображения которых являются квазиизоморфизмами. Тогда из условия мультипликативной системы следует, что морфизмы из $D({\mathcal {A}})$ от $X^{\bullet }$ к $Y^{\bullet }$ являются

$\varinjlim _{I_{X^{\bullet }}}\operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}((X')^{\bullet },Y^{\bullet }),$

предполагая, что этот копредел на самом деле является множеством. Пока $I_{X^{\bullet }}$потенциально является большой категорией, в некоторых случаях она контролируется небольшой категорией. Это имеет место, например, если ${\mathcal {A}}$ является абелевой категорией Гротендика (это означает, что она удовлетворяет AB5 и имеет набор образующих), причем существенным моментом является то, что релевантны только объекты ограниченной мощности. В этих случаях предел может быть рассчитан для небольшой подкатегории, и это гарантирует, что результатом будет набор. Затем $D({\mathcal {A}})$ может быть определено так, чтобы эти множества были его $\operatorname {Hom}$ наборы.

Существует другой подход, основанный на замене морфизмов производной категории морфизмами гомотопической категории. Морфизм в производной категории, ко-область которой является ограниченным снизу комплексом инъективных объектов, аналогичен морфизму этого комплекса в гомотопической категории; это следует из почленной инъективности. Заменяя почленную инъективность более сильным условием, можно получить аналогичное свойство, применимое даже к неограниченным комплексам. Комплекс $I^{\bullet }$ является K -инъективным , если для любого ациклического комплекса $X^{\bullet }$, у нас есть $\operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}(X^{\bullet },I^{\bullet })=0$. Прямым следствием этого является то, что для любого комплекса $X^{\bullet }$, морфизмы $X^{\bullet }\to I^{\bullet }$ в $K({\mathcal {A}})$ такие же морфизмы в $D({\mathcal {A}})$. Теорема Серпе, обобщающая работы Гротендика и Спалтенштейна, утверждает, что в абелевой категории Гротендика каждый комплекс квазиизоморфен K-инъективному комплексу с инъективными членами, и, более того, он функториален. В частности, мы можем определить морфизмы в производной категории, перейдя к K-инъективным резольвентам и вычислив морфизмы в гомотопической категории. Функториальность конструкции Серпе гарантирует корректность определения композиции морфизмов. Как и конструкция с использованием крыш, эта конструкция также обеспечивает подходящие теоретико-множественные свойства для производной категории, на этот раз потому, что этим свойствам уже удовлетворяет гомотопическая категория.

Производные Hom-множества

Как отмечалось ранее, в производной категории наборы домов выражаются через крыши или впадины. $X\rightarrow Y'\leftarrow Y$, где $Y\to Y'$является квазиизоморфизмом. Чтобы получить лучшее представление о том, как выглядят элементы, рассмотрим точную последовательность

$0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0$

Мы можем использовать это для построения морфизма $\phi :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]$усекая приведенный выше комплекс, сдвигая его и используя очевидные морфизмы, приведенные выше. В частности, у нас есть картинка

${\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}$

где нижний комплекс имеет ${\mathcal {E}}_{0}$ сконцентрирован в степени $0$, единственная нетривиальная стрелка вверх — это морфизм равенства, а единственная нетривиальная стрелка вниз — это $\phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}$. Эта диаграмма комплексов определяет морфизм

$\phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])$

в производной категории. Одним из применений этого наблюдения является построение класса Atiyah.

Замечания

Для определенных целей (см. ниже) используется ограничение снизу ( $X^{n}=0$ для $n\ll 0$), ограниченный сверху ( $X^{n}=0$ для $n\gg 0$) или ограниченный ( $X^{n}=0$ для $|n|\gg 0$) комплексы вместо неограниченных. Соответствующие производные категории обычно обозначаются D ⁺ (А) , Д ⁻ (А) и Д ^б (А) соответственно.

Если принять классическую точку зрения на категории, согласно которой существует множество морфизмов одного объекта в другой (а не только класс ), то для доказательства этого необходимо привести дополнительный аргумент. Если, например, абелева категория А мала, т.е. имеет только набор объектов, то с этим вопросом проблем не будет. Кроме того, если A — абелева категория Гротендика , то производная категория D ( A ) эквивалентна полной подкатегории гомотопической категории K ( A ) и, следовательно, имеет только набор морфизмов одного объекта в другой. К абелевым категориям Гротендика относятся категория модулей над кольцом, категория пучков абелевых групп в топологическом пространстве и многие другие примеры.

Композиция морфизмов, т.е. крыш, в производной категории достигается путем нахождения третьей крыши поверх двух крыш, которые должны быть составлены. Можно проверить, что это возможно и дает четко определенную ассоциативную композицию.

Поскольку K(A) — триангулированная категория , ее локализация D(A) также триангулирована. Для целого числа n и комплексного X определите комплекс X [ n ] должен быть X сдвинут вниз на n , так что

$X[n]^{i}=X^{n+i},$

с дифференциалом

$d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.$

По определению выделенный треугольник в D(A) — это треугольник, изоморфный в D(A) треугольнику X → Y → Cone( f ) → X [1] для некоторого отображения комплексов f : X → Y . Здесь Cone( ) обозначает конус отображения f . f В частности, для короткой точной последовательности

$0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0$

в A треугольник X → Y → Z → X [1] выделен в D(A) . Вердье объяснил, что определение сдвига X [1] обусловлено требованием, чтобы X [1] был конусом морфизма X → 0.

Если рассматривать объект A как комплекс, сконцентрированный в нулевой степени, то производная категория D(A) будет содержать A как полную подкатегорию . Морфизмы в производной категории включают информацию обо всех группах Ext : для любых объектов X и Y в A и любого целого числа j ,

${\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).$

Проективное и инъективное разрешения

Легко показать, что гомотопическая эквивалентность является квазиизоморфизмом , поэтому второй шаг в приведенной выше конструкции можно опустить. Определение обычно дается таким образом, поскольку оно раскрывает существование канонического функтора.

$K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).$

В конкретных ситуациях очень сложно или невозможно напрямую обрабатывать морфизмы в производной категории. Поэтому ищут более управляемую категорию, эквивалентную производной категории. Классически существует два (двойственных) подхода к этому: проективная и инъективная резолюция . В обоих случаях ограничение приведенного выше канонического функтора на соответствующую подкатегорию будет эквивалентностью категорий .

Далее мы опишем роль инъективных резольвент в контексте производной категории, которая является основой для определения правых производных функторов , которые, в свою очередь, имеют важные применения в когомологиях пучков или в на топологических пространствах более продвинутых теориях когомологий, таких как этальные когомологии. или групповые когомологии .

Чтобы применить эту технику, нужно предположить, что рассматриваемая абелева категория имеет достаточно инъектив что каждый объект X категории допускает мономорфизм инъективному объекту I. , а это означает , (Ни карта, ни инъективный объект не должны быть однозначно определены.) Например, каждая абелева категория Гротендика имеет достаточное количество инъектив. Вложение X в некоторый инъективный объект I ⁰ , коядро этого отображения в некоторое инъективное I ¹ и т. д., строится инъективная резольвента X последовательность , т. е. точная (вообще говоря, бесконечная)

$0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,$

где I * — инъективные объекты. Эта идея обобщается и дает разрешения ограниченных снизу комплексов X , т. е . X ^н = 0 для достаточно малого n . Как отмечалось выше, инъективные резольвенты не определены однозначно, но фактом является то, что любые две резольвенты гомотопически эквивалентны друг другу, т. е. изоморфны в гомотопической категории. Более того, морфизмы комплексов однозначно продолжаются до морфизма двух данных инъективных резольвент.

Это тот момент, когда гомотопическая категория снова вступает в игру: отображение объекта X из A в (любую) инъективную резольвенту I * из A продолжается до функтора

$D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))$

от ограниченной снизу производной категории к ограниченной снизу гомотопической категории комплексов, члены которых являются инъективными объектами в A .

Нетрудно видеть, что этот функтор на самом деле является обратным ограничению упомянутого в начале функтора канонической локализации. Другими словами, морфизмы Hom( X , Y ) в производной категории могут быть вычислены путем разрешения X и Y и вычисления морфизмов в гомотопической категории, что, по крайней мере, теоретически проще. На самом деле, достаточно разрешить Y : для любого комплексного X и любого ограниченного снизу комплекса Y инъективных

$\mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).$

Двойственно, предполагая, что A имеет достаточно проективов , т.е. для каждого объекта X существует эпиморфизм проективного объекта P в X , можно использовать проективные резольвенты вместо инъективных.

В 1988 году Спалтенштейн определил неограниченную производную категорию ( Spaltenstein (1988) ), которая сразу же оказалась полезной при изучении сингулярных пространств; см., например, книгу Кашивары и Шапиры («Категории и пучки») о различных применениях неограниченной производной категории. Спалтенштейн использовал так называемые K-инъективную и K-проективную резольвенты.

Келлер (1994) и Мэй (2006) описывают производную категорию модулей над DG-алгебрами. Келлер также дает приложения к двойственности Кошуля, когомологиям алгебры Ли и гомологиям Хохшильда.

В более общем плане, тщательно адаптируя определения, можно определить производную категорию точной категории ( Келлер 1996 ).

Отношение

Производная категория является естественной основой для определения и изучения производных функторов . Пусть далее F : A → B — функтор абелевых категорий. Существуют две двойственные концепции:

• правые производные функторы происходят от левых точных функторов и вычисляются с помощью инъективных резольвент.
• левые производные функторы происходят от правых точных функторов и вычисляются с помощью проективных разрешений.

Далее мы опишем правые производные функторы. Итак, предположим, что F точен слева. Типичными примерами являются F : A → Ab, заданные формулой X ↦ Hom( X , A ) или X ↦ Hom( A , X ) для некоторого фиксированного объекта A , или функтора глобальных сечений на пучках или функтора прямого изображения . Их правые производные функторы — Ext ^н (–, А ) , Внеш. ^н ( А ,–), Н ^н ( Икс , F ) или р ^н f _∗ ( F ) соответственно.

Производная категория позволяет нам инкапсулировать все производные функторы R ^н F в одном функторе, а именно в так называемом полном производном функторе RF : D ⁺ ( А ) → Д ⁺ ( Б ). Это следующий состав: D ⁺ ( А ) ≅ К ⁺ (Inj( A )) → K ⁺ ( Б ) → Д ⁺ ( B ), где первая эквивалентность категорий описана выше. Классические производные функторы связаны с полным через R ^н F ( Икс ) знак равно ЧАС ^н ( РФ ( Х )). Можно сказать, что Р. ^н F забывает о цепном комплексе и сохраняет только когомологии, тогда как RF отслеживает комплексы.

Производные категории в некотором смысле являются «подходящим» местом для изучения этих функторов. Например, спектральная последовательность Гротендика композиции двух функторов

${\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,$

такой, что F отображает инъективные объекты из A в G -ациклики (т.е. R ^я G ( F ( I )) = 0 для всех i > 0 и инъективного I ), является выражением следующего тождества полных производных функторов

р ( грамм ∘ F ) ≅ RG ∘ РФ .

Ж.-Л. Вердье показал, как производные функторы, связанные с абелевой категорией A, можно рассматривать как кановские расширения вдоль вложений A в подходящие производные категории [Мак Лейн].

эквивалентность

Может случиться так, что две абелевы категории A и B не эквивалентны, но их производные категории D( A ) и D( B ) эквивалентны. Часто это интересная связь A и B. между Такие эквивалентности связаны с теорией t-структур в триангулированных категориях . Вот некоторые примеры.

• Позволять $\mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})$— абелева категория когерентных пучков на проективной прямой над полем k . Пусть K ₂ -Rep — абелева категория представлений кронекеровского колчана с двумя вершинами. Это очень разные абелевы категории, но их (ограниченные) производные категории эквивалентны.
• Пусть Q — любой колчан , а P — колчан, полученный из Q перестановкой некоторых стрел. Вообще категории представлений Q и P различны, но D ^б ( Q -Rep) всегда эквивалентен D ^б ( П -Реп).
• Пусть X — абелево многообразие , Y — его двойственное абелево многообразие . Тогда Д ^б (Coh( X )) эквивалентно D ^б (Coh( Y )) по теории преобразований Фурье–Мукаи . Многообразия с эквивалентными производными категориями когерентных пучков иногда называют партнерами Фурье-Мукаи .

См. также

• Гомотопическая категория цепных комплексов
• Производная некоммутативная алгебраическая геометрия
• Когерентные когомологии пучков
• Когерентная двойственность
• Производная алгебраическая геометрия

Ссылки

• Доорн, MGM van (2001) [1994], «Производная категория» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Келлер, Бернхард (1996), «Производные категории и их использование» , в Хазевинкеле, М. (ред.), Справочник по алгебре , Амстердам: Северная Голландия, стр. 671–701 , ISBN.  0-444-82212-7 , МР   1421815
• Келлер, Бернхард (1994), «Вывод категорий DG», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 27 (1): 63–102, doi : 10.24033/asens.1689 , ISSN   0012-9593 , MR   1258406
• Мэй, JP (2006), Производные категории с топологической точки зрения (PDF) дает интерпретацию производной категории модулей над DG-алгебрами.
• Спалтенштейн, Н. (1988), «Разрешения неограниченных комплексов» , Compositio Mathematica , 65 (2): 121–154, ISSN   0010-437X , MR   0932640
• Вердье, Жан-Луи (1996), «Категории, производные от абелевых категорий», Asterisk (на французском языке), 239 , Париж: Société Mathématique de France , ISSN   0303-1179 , MR   1453167

Четыре учебника, в которых обсуждаются производные категории:

• Гельфанд, Сергей И.; Манин, Юрий Иванович (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Publishers , ISBN  978-3-540-43583-9 , МР   1950475
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006), Категории и пучки , Основные учения математических наук, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-27949-5 , МР   2182076
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .
• Екутиэли, Амнон (2019). Производные категории . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 183. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1108419338 .