Производная некоммутативная алгебраическая геометрия

В математике производная некоммутативная алгебраическая геометрия , производная версия некоммутативной алгебраической геометрии - это геометрическое исследование производных категорий и связанных с ними конструкций триангулированных категорий с использованием категориальных инструментов. Некоторые основные примеры включают ограниченную производную категорию когерентных пучков на гладком многообразии, $D^{b}(X)$, называемая его производной категорией, или производной категорией совершенных комплексов на алгебраическом многообразии, обозначаемой $D_{\operatorname {perf} }(X)$. Например, производная категория когерентных пучков $D^{b}(X)$ на гладком проективном многообразии может использоваться как инвариант основного многообразия во многих случаях (если $X$ имеет обильный (анти)канонический пучок). К сожалению, изучение производных категорий как самих геометрических объектов не имеет стандартизированного названия.

Производная категория проективной линии

Производная категория $\mathbb {P} ^{1}$ является одним из мотивирующих примеров производных некоммутативных схем благодаря своей простой категориальной структуре. Напомним, что Эйлера последовательность $\mathbb {P} ^{1}$ это короткая точная последовательность

$0\to {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}(-1)^{\oplus 2}\to {\mathcal {O}}\to 0$

если рассматривать два слагаемых справа как комплекс, то получим выделенный треугольник

${\mathcal {O}}(-1)^{\oplus 2}{\overset {\phi }{\rightarrow }}{\mathcal {O}}\to \operatorname {Cone} (\phi ){\overset {+1}{\rightarrow }}.$

С $\operatorname {Cone} (\phi )\cong {\mathcal {O}}(-2)[+1]$ мы построили этот сноп ${\mathcal {O}}(-2)$ используя только категориальные инструменты. Мы могли бы повторить это еще раз, тензоризировав последовательность Эйлера плоским пучком ${\mathcal {O}}(-1)$, и снова примените конструкцию конуса. Если мы возьмем двойственные пучкам, то мы сможем построить все линейные расслоения в $\operatorname {Coh} (\mathbb {P} ^{1})$ используя только его триангулированную структуру. Оказывается, правильный способ изучения производных категорий на основе их объектов и триангулированной структуры — это использование исключительных коллекций.

Полуортогональные разложения и исключительные коллекции.

Основная статья: полуортогональное разложение

Техническими средствами кодирования этой конструкции являются полуортогональные разложения и исключительные коллекции. Полуортогональное разложение триангулированной категории ${\mathcal {T}}$ представляет собой набор полных триангулированных подкатегорий ${\mathcal {T}}_{1},\ldots ,{\mathcal {T}}_{n}$ такие, что выполняются следующие два свойства

(1) Для объектов $T_{i}\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}}_{i})$ у нас есть $\operatorname {Hom} (T_{i},T_{j})=0$ для $i>j$

(2) Подкатегории ${\mathcal {T}}_{i}$ генерировать ${\mathcal {T}}$, то есть каждый объект $T\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})$ можно разложить на последовательность $T_{i}\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})$,

$0=T_{n}\to T_{n-1}\to \cdots \to T_{1}\to T_{0}=T$

такой, что $\operatorname {Cone} (T_{i}\to T_{i-1})\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}}_{i})$. Обратите внимание, что это аналогично фильтрации объекта в абелевой категории , при которой коядра находятся в определенной подкатегории.

Мы можем специализироваться еще немного, рассматривая исключительные коллекции объектов, которые генерируют свои собственные подкатегории. Объект $E$ в триангулированной категории называется исключительным, если выполнено следующее свойство

$\operatorname {Hom} (E,E[+\ell ])={\begin{cases}k&{\text{if }}\ell =0\\0&{\text{if }}\ell \neq 0\end{cases}}$

где $k$ является основным полем векторного пространства морфизмов. Коллекция исключительных объектов $E_{1},\ldots ,E_{r}$ это исключительная коллекция длины $r$ если для любого $i>j$ и любой $\ell$, у нас есть

$\operatorname {Hom} (E_{i},E_{j}[+\ell ])=0$

и является сильным исключительным набором , если, кроме того, для любого $\ell \neq 0$ и любой $i,j$, у нас есть

$\operatorname {Hom} (E_{i},E_{j}[+\ell ])=0$

Затем мы можем разложить нашу триангулированную категорию на полуортогональное разложение.

${\mathcal {T}}=\langle {\mathcal {T}}',E_{1},\ldots ,E_{r}\rangle$

где ${\mathcal {T}}'=\langle E_{1},\ldots ,E_{r}\rangle ^{\perp }$, подкатегория объектов в $E\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {T}})$ такой, что $\operatorname {Hom} (E,E_{i}[+\ell ])=0$. Если вдобавок ${\mathcal {T}}'=0$ тогда сильная исключительная коллекция называется полной .

Теорема Бейлинсона

Бейлинсон представил первый пример полноценной, сильной и исключительной коллекции. В производной категории $D^{b}(\mathbb {P} ^{n})$ линейные пучки ${\mathcal {O}}(-n),{\mathcal {O}}(-n+1),\ldots ,{\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}$ сформировать полноценную сильную исключительную коллекцию. Он доказывает теорему в двух частях. Сначала показывая, что эти объекты представляют собой исключительную коллекцию, а во-вторых, показывая диагональ. ${\mathcal {O}}_{\Delta }$ из $\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n}$ имеет разрешение, композиции которого представляют собой тензоры отката исключительных объектов.

Техническая лемма

Исключительная коллекция снопов $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{r}$ на $X$ полно, если существует разрешение

$0\to p_{1}^{*}E_{1}\otimes p_{2}^{*}F_{1}\to \cdots \to p_{1}^{*}E_{n}\otimes p_{2}^{*}F_{n}\to {\mathcal {O}}_{\Delta }\to 0$

в $D^{b}(X\times X)$ где $F_{i}$ представляют собой произвольные когерентные пучки на $X$.

Другой способ переформулировать эту лемму для $X=\mathbb {P} ^{n}$ рассматривая комплекс Кошула, связанный с

$\bigoplus _{i=0}^{n}{\mathcal {O}}(-D_{i})\xrightarrow {\phi } {\mathcal {O}}$

где $D_{i}$ являются делителями гиперплоскости $\mathbb {P} ^{n}$. Это дает точный комплекс

$0\to {\mathcal {O}}\left(-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\right)\to \cdots \to \bigoplus _{i\neq j}{\mathcal {O}}(-D_{i}-D_{j})\to \bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(-D_{i})\to {\mathcal {O}}\to 0$

который дает возможность построить ${\mathcal {O}}(-n-1)$ используя шкивы ${\mathcal {O}}(-n),\ldots ,{\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}$, поскольку они являются пучками, используемыми во всех терминах в указанной выше точной последовательности, за исключением

${\mathcal {O}}\left(-\sum _{i=0}^{n}D_{i}\right)\cong {\mathcal {O}}(-n-1)$

что дает производную эквивалентность остальных членов вышеуказанного комплекса с ${\mathcal {O}}(-n-1)$. Для $n=2$ комплекс Кошула, приведенный выше, является точным комплексом

$0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\to 0$

дающий квазиизоморфизм ${\mathcal {O}}(-3)$ с комплексом

$0\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\to 0$

Теорема реконструкции Орлова

Если $X$ является гладким проективным многообразием с обильным (анти)каноническим пучком и существует эквивалентность производных категорий $F:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)$, то существует изоморфизм лежащих в основе многообразий.

Эскиз доказательства

Доказательство начинается с анализа двух индуцированных функторов Серра на $D^{b}(Y)$ и найти изоморфизм между ними. В частности, это показывает, что есть объект $\omega _{Y}=F(\omega _{X})$ который действует как дуализирующий пучок на $Y$. Изоморфизм между этими двумя функторами дает изоморфизм множества основных точек производных категорий. Тогда необходимо проверить изоморфизм $F(\omega _{X}^{\otimes k})\cong \omega _{Y}^{\otimes k}$, для любого $k\in \mathbb {N}$, дающий изоморфизм канонических колец

$A(X)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }H^{0}(X,\omega _{X}^{\otimes k})\cong \bigoplus _{k=0}^{\infty }H^{0}(Y,\omega _{Y}^{\otimes k})$

Если $\omega _{Y}$ можно показать, что (анти)обильна, то продж этих колец будет давать изоморфизм $X\to Y$. Все подробности содержатся в записках Долгачева.

Провал реконструкции

Эта теорема неверна в случае $X$ является Калаби-Яу, поскольку $\omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}$, или является продуктом разновидности Калаби-Яу . Абелевы многообразия — это класс примеров, в которых теорема восстановления никогда не может быть выполнена. Если $X$ является абелевым многообразием и ${\hat {X}}$ является его двойственным преобразованием Фурье–Мукаи с ядром ${\mathcal {P}}$, расслоение Пуанкаре, дает эквивалентность

$FM_{\mathcal {P}}:D^{b}(X)\to D^{b}({\hat {X}})$

производных категорий. Поскольку абелево многообразие обычно не изоморфно своему двойственному, существуют производные эквивалентные производные категории без изоморфных основных многообразий. Существует альтернативная теория тензорной триангулированной геометрии , в которой мы рассматриваем не только триангулированную категорию, но и моноидальную структуру, т.е. тензорное произведение. В этой геометрии есть теорема полной реконструкции с использованием спектра категорий.

Эквивалентности на поверхностях K3

Поверхности K3 — еще один класс примеров, когда реконструкция не удается из-за их свойства Калаби-Яу. Существует критерий определения того, являются ли две поверхности К3 производными эквивалентными: производная категория поверхности К3. $D^{b}(X)$ выведено эквивалентно другому K3 $D^{b}(Y)$ тогда и только тогда, когда существует изометрия Ходжа $H^{2}(X,\mathbb {Z} )\to H^{2}(Y,\mathbb {Z} )$, то есть изоморфизм структуры Ходжа . Более того, эта теорема отражена и в мотивном мире, где мотивы Чоу изоморфны тогда и только тогда, когда существует изометрия структур Ходжа.

Автоэквиваленты

Одним из хороших применений доказательства этой теоремы является отождествление автоэквивалентностей производной категории гладкого проективного многообразия с обильным (анти)каноническим пучком. Это дано

$\operatorname {Auteq} (D^{b}(X))\cong (\operatorname {Pic} (X)\rtimes \operatorname {Aut} (X))\times \mathbb {Z}$

Где автоэквивалентность $F$ задается автоморфизмом $f:X\to X$, затем тензорированный линейным расслоением ${\mathcal {L}}\in \operatorname {Pic} (X)$ и, наконец, сочинил со сдвигом. Обратите внимание, что $\operatorname {Aut} (X)$ действует на $\operatorname {Pic} (X)$ через карту поляризации, $g\mapsto g^{*}(L)\otimes L^{-1}$.

Связь с мотивами

Ограниченная производная категория $D^{b}(X)$ широко использовался в SGA6 для построения теории пересечения с $K(X)$ и $Gr_{\gamma }K(X)\otimes \mathbb {Q}$. Поскольку эти объекты тесно связаны с Чжоу кольцом $X$, его мотивом еды , Орлов задал следующий вопрос: если задан вполне добросовестный функтор

$F:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)$

существует ли наведенная карта по мотивам еды

$f:M(X)\to M(Y)$

такой, что $M(X)$ представляет собой сумму $M(Y)$? В случае поверхностей К3 аналогичный результат подтвержден, поскольку производные эквивалентные поверхности К3 обладают изометрией структур Ходжа, что дает изоморфизм мотивов.

Производная категория особенностей

На гладком многообразии имеется эквивалентность производной категории $D^{b}(X)$ и толстый полная триангуляция $D_{\operatorname {perf} }(X)$ совершенных комплексов. Для разделенных нётеровых схем конечной размерности Крулля (называемых условием ELF ) это не так, и Орлов определяет производную категорию особенностей как их разность с помощью фактора категорий. Для схемы ELF $X$ его производная категория особенностей определяется как

$D_{sg}(X):=D^{b}(X)/D_{\text{perf}}(X)$

для подходящего определения локализации триангулированных категорий.

Построение локализации

Хотя локализация категорий определена для класса морфизмов $\Sigma$ в категории, замкнутой относительно композиции, мы можем построить такой класс из триангулированной подкатегории. Учитывая полную триангулированную подкатегорию ${\mathcal {N}}\subset {\mathcal {T}}$ класс морфизмов $\Sigma ({\mathcal {N}})$, $s$ в ${\mathcal {T}}$ где $s$ вписывается в выделенный треугольник

$X{\xrightarrow {s}}Y\to N\to X[+1]$

с $X,Y\in {\mathcal {T}}$ и $N\in {\mathcal {N}}$. Можно проверить, что это образует мультипликативную систему, используя аксиому октаэдра для выделенных треугольников. Данный

$X{\xrightarrow {s}}Y{\xrightarrow {s'}}Z$

с выделенными треугольниками

$X{\xrightarrow {s}}Y\to N\to X[+1]$

$Y{\xrightarrow {s'}}Z\to N'\to Y[+1]$

где $N,N'\in {\mathcal {N}}$, то существуют отмеченные треугольники

$X\to Z\to M\to X[+1]$

$N\to M\to N'\to N[+1]$ где $M\in {\mathcal {N}}$ с ${\mathcal {N}}$ закрыт в разделе расширений. Эта новая категория имеет следующие свойства

• Он является канонически триангулированным, где треугольник в ${\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}$ выделяется, если он изоморфен образу треугольника в ${\mathcal {T}}$
• Категория ${\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}$ обладает следующим универсальным свойством: любой точный функтор $F:{\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}'$ где $F(N)\cong 0$ где $N\in {\mathcal {N}}$, то он однозначно факторизуется через фактор-функтор $Q:{\mathcal {T}}\to {\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}$, поэтому существует морфизм ${\tilde {F}}:{\mathcal {T}}/{\mathcal {N}}\to {\mathcal {T}}'$ такой, что ${\tilde {F}}\circ Q\simeq F$.

Свойства категории особенности

• Если $X$ — регулярная схема, то всякий ограниченный комплекс когерентных пучков совершенен. Следовательно, категория особенностей тривиальна.
• Любой связный пучок ${\mathcal {F}}$ который имеет поддержку со стороны $\operatorname {Sing} (X)$ идеален. Следовательно, нетривиальные когерентные пучки в $D_{sg}(X)$ иметь поддержку на $\operatorname {Sing} (X)$.
• В частности, объекты в $D_{sg}(X)$ изоморфны ${\mathcal {F}}[+k]$ для некоторого связного пучка ${\mathcal {F}}$.

Модели Ландау – Гинзбурга

Концевич предложил модель Ландау–Гинзбурга, которая была доведена до следующего определения: модель Ландау–Гинзбурга представляет собой гладкое многообразие. $X$ вместе с морфизмом $W:X\to \mathbb {A} ^{1}$ который плоский . Есть три связанные категории, которые можно использовать для анализа D-бран в модели Ландау – Гинзбурга с использованием матричной факторизации из коммутативной алгебры.

Связанные категории

Согласно этому определению, есть три категории, которые могут быть связаны с любой точкой. $w_{0}\in \mathbb {A} ^{1}$, а $\mathbb {Z} /2$-оценочная категория $DG_{w_{0}}(W)$, точная категория $\operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)$и триангулированная категория $DB_{w_{0}}(W)$, каждый из которых имеет объекты

${\overline {P}}=(p_{1}:P_{1}\to P_{0},p_{0}:P_{0}\to P_{1})$ где $p_{0}\circ p_{1},p_{1}\circ p_{0}$ являются умножением на $W-w_{0}$.

Существует также функтор сдвига $[+1]$ отправлять ${\overline {P}}$ к

${\overline {P}}[+1]=(-p_{0}:P_{0}\to P_{1},-p_{1}:P_{1}\to P_{0})$.

Разница между этими категориями заключается в определении морфизмов. Наиболее общим из них является $DG_{w_{0}}(W)$ чьи морфизмы являются $\mathbb {Z} /2$-комплекс

$\operatorname {Hom} ({\overline {P}},{\overline {Q}})=\bigoplus _{i,j}\operatorname {Hom} (P_{i},Q_{j})$

где оценка дается $(i-j){\bmod {2}}$ и дифференциал, действующий на степень $d$ однородные элементы по

$Df=q\circ f-(-1)^{d}f\circ p$

В $\operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)$ морфизмы - это степень $0$ морфизмы в $DG_{w_{0}}(W)$. Окончательно, $DB_{w_{0}}(W)$ имеет морфизмы в $\operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)$ по модулю нуль-гомотопий. Более того, $DB_{w_{0}}(W)$ может быть наделен треугольной структурой посредством градуированной конусной конструкции в $\operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)$. Данный ${\overline {f}}:{\overline {P}}\to {\overline {Q}}$ есть код сопоставления $C(f)$ с картами

$c_{1}:Q_{1}\oplus P_{0}\to Q_{0}\oplus P_{1}$ где $c_{1}={\begin{bmatrix}q_{0}&f_{1}\\0&-p_{1}\end{bmatrix}}$

и

$c_{0}:Q_{0}\oplus P_{1}\to Q_{1}\oplus P_{0}$ где ${\displaystyle c_{0}={\begin{bmatrix}q_{1}&f_{0}\\0&-p_{0}\end{bmatrix}}}$

Затем диаграмма ${\overline {P}}\to {\overline {Q}}\to {\overline {R}}\to {\overline {P}}[+1]$ в $DB_{w_{0}}(W)$ называется выделенным треугольником, если он изоморфен конусу из $\operatorname {Pair} _{w_{0}}(W)$.

Категория D-браны

Используя конструкцию $DB_{w_{0}}(W)$ мы можем определить категорию D-бран типа B на $X$ с суперпотенциалом $W$ как категория продукта

$DB(W)=\prod _{w\in \mathbb {A} _{1}}DB_{w_{0}}(W).$

Это связано с категорией сингулярности следующим образом: при наличии суперпотенциала $W$ с изолированными особенностями только при $0$, обозначаем $X_{0}=W^{-1}(0)$. Тогда имеет место точная эквивалентность категорий

$DB_{w_{0}}(W)\cong D_{sg}(X_{0})$

задается функтором, индуцированным из функтора коядра $\operatorname {Cok}$ отправка пары ${\overline {P}}\mapsto \operatorname {Coker} (p_{1})$. В частности, поскольку $X$ является регулярным, теорема Бертини показывает $DB(W)$ является лишь конечным произведением категорий.

Вычислительные инструменты

Периодичность рычаний

Существует преобразование Фурье-Мукаи. $\Phi _{Z}$ о производных категориях двух родственных многообразий, дающих эквивалентность их категорий особенности. Эта эквивалентность называется периодичностью Кноррера . Это можно построить следующим образом: учитывая плоский морфизм $f:X\to \mathbb {A} ^{1}$ из выделенной регулярной нетеровой схемы конечной размерности Крулля существует ассоциированная схема $Y=X\times \mathbb {A} ^{2}$ и морфизм $g:Y\to \mathbb {A} ^{1}$ такой, что $g=f+xy$ где $xy$ это координаты $\mathbb {A} ^{2}$-фактор. Рассмотрим волокна $X_{0}=f^{-1}(0)$, $Y_{0}=g^{-1}(0)$и индуцированный морфизм $x:Y_{0}\to \mathbb {A} ^{1}$. И волокно $Z=x^{-1}(0)$. Затем проводится инъекция $i:Z\to Y_{0}$ и проекция $q:Z\to X_{0}$ формирование $\mathbb {A} ^{1}$-пучок. Преобразование Фурье-Мукаи

$\Phi _{Z}(\cdot )=\mathbf {R} i_{*}q^{*}(\cdot )$

индуцирует эквивалентность категорий

$D_{sg}(X_{0})\to D_{sg}(Y_{0})$

называется периодичностью Кноррера . Существует еще одна форма этой периодичности, где $xy$ заменяется полиномом $x^{2}+y^{2}$. Эти теоремы о периодичности являются основными вычислительными методами, поскольку они позволяют сократить анализ категорий особенностей.

Вычисления

Если мы возьмем модель Ландау–Гинзбурга $(\mathbb {C} ^{2k+1},W)$ где $W=z_{0}^{n}+z_{1}^{2}+\cdots +z_{2k}^{2}$, то единственный слой особого слоя $W$ является происхождением. Тогда категория D-бран модели Ландау–Гинзбурга эквивалентна категории особенностей $D_{\text{sing}}(\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [z]/(z^{n})))$. По алгебре $A=\mathbb {C} [z]/(z^{n})$ есть неразложимые объекты

$V_{i}=\operatorname {Coker} (A{\xrightarrow {z^{i}}}A)=A/z^{i}$

морфизмы которых можно полностью понять. Для любой пары $i,j$ есть морфизмы $\alpha _{j}^{i}:V_{i}\to V_{j}$ где

• для $i\geq j$ это естественные прогнозы
• для $i<j$ это умножение на $z^{j-i}$

где любой другой морфизм является композицией и линейной комбинацией этих морфизмов. Есть много других случаев, которые можно явно вычислить, используя таблицу особенностей, найденную в оригинальной статье Кнёррера.

См. также

• Производная категория
• Триангулированная категория
• Идеальный комплекс
• Полуортогональное разложение
• Преобразование Фурье – Мукая
• Условие устойчивости Бриджленда
• Гомологическая зеркальная симметрия
• Примечания к производным категориям — http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/derived9.pdf

Ссылки

Научные статьи

• Некоммутативная версия теоремы Бейлинсона.
• Производные категории торических многообразий
• Производные категории торических многообразий II