Диагональный морфизм (алгебраическая геометрия)

В алгебраической геометрии задан морфизм схем $p:X\to S$, диагональный морфизм

$\delta :X\to X\times _{S}X$

является морфизмом, определяемым универсальным свойством расслоенного произведения $X\times _{S}X$ p p и применительно к тождеству $1_{X}:X\to X$ и личность $1_{X}$.

Это частный случай морфизма графа : если морфизм $f:X\to Y$ над S его графический морфизм равен $X\to X\times _{S}Y$ вызванный $f$ и личность $1_{X}$. Диагональное вложение — это морфизм графа $1_{X}$.

По определению X — отделимая схема над S ( $p:X\to S$ — отделимый морфизм ), если диагональный морфизм — замкнутое погружение . Кроме того, морфизм $p:X\to S$ локально конечного представления является неразветвленным морфизмом тогда и только тогда, когда диагональное вложение является открытым погружением.

Объяснение

В качестве примера рассмотрим алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем k и $p:X\to \operatorname {Spec} (k)$ карта структуры. Тогда, отождествляя X с множеством его k -рациональных точек, $X\times _{k}X=\{(x,y)\in X\times X\}$ и $\delta :X\to X\times _{k}X$ дается как $x\mapsto (x,x)$; откуда и произошло название диагонального морфизма.

Разделенный морфизм

— Отделённый морфизм это морфизм $f$ такая, что продукт волокнистый $f$ с собой вместе $f$ имеет свою диагональ как замкнутую подсхему — другими словами, диагональный морфизм представляет собой замкнутое погружение .

Как следствие, схема $X$ отделяется , когда диагональ $X$ внутри продукт схемы $X$ с самим собой есть закрытое погружение. Подчеркивая относительную точку зрения, можно было бы эквивалентно определить схему, которая будет разделена, если уникальный морфизм $X\rightarrow {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )$ разделен.

Заметим, что топологическое пространство Y является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда диагональное вложение

$Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\times Y,\,y\mapsto (y,y)$

закрыт. В алгебраической геометрии приведенная выше формулировка используется потому, что схема, представляющая собой хаусдорфово пространство, обязательно пуста или нульмерна. Разница между топологическим и алгебро-геометрическим контекстом исходит из топологической структуры расслоенного произведения (в категории схем). $X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X$, которое отличается от произведения топологических пространств.

Любая аффинная схема Spec A является отделимой, поскольку диагональ соответствует сюръективному отображению колец (следовательно, является замкнутым погружением схем):

$A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'$.

Позволять $S$ быть схемой, полученной путем идентификации двух аффинных линий через карту идентичности, за исключением начальных точек (см. схему склейки#Примеры ). Оно не разделено. Действительно, образ диагонального морфизма $S\to S\times S$ изображение имеет два начала координат, а его замыкание — четыре начала.

в

Классический способ определения произведения пересечения алгебраических циклов. $A,B$ на гладком многообразии X путем пересечения (ограничения) их декартова произведения с диагональю (до) диагонали: именно,

$A\cdot B=\delta ^{*}(A\times B)$

где $\delta ^{*}$ – это возврат вдоль диагонального вложения $\delta :X\to X\times X$.

См. также

• регулярное встраивание
• Диагональный морфизм

Ссылки

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157