Закрытое погружение

Чтобы узнать о концепции дифференциальной геометрии, см. Погружение (математика) .

В алгебраической геометрии схем замкнутое погружение — . это морфизм схем $f:Z\to X$ который идентифицирует Z как замкнутое подмножество X такое, что локально регулярные функции на Z могут быть расширены до X . Последнее условие можно формализовать, сказав, что $f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}$ является сюръективным.

Примером может служить карта включения $\operatorname {Spec} (R/I)\to \operatorname {Spec} (R)$ индуцированное каноническим отображением $R\to R/I$.

Другие характеристики

Следующие действия эквивалентны:

1. $f:Z\to X$ это закрытое погружение.
2. Для каждого открытого аффинного $U=\operatorname {Spec} (R)\subset X$, существует идеал $I\subset R$ такой, что $f^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)$ как схемы над U .
3. Существует открытое аффинное накрытие $X=\bigcup U_{j},U_{j}=\operatorname {Spec} R_{j}$ и для каждого j существует идеал $I_{j}\subset R_{j}$ такой, что $f^{-1}(U_{j})=\operatorname {Spec} (R_{j}/I_{j})$ как схемы закончились $U_{j}$.
4. Существует квазисвязный пучок идеалов. ${\mathcal {I}}$ на X такой, что $f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$ и f — изоморфизм Z на глобальную Spec группы ${\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$ над Х. ​

Определение локально окольцованных пространств

В случае локально окольцованных пространств морфизм $i:Z\to X$ является закрытым погружением, если удовлетворяется аналогичный список критериев

1. Карта $i$ является гомеоморфизмом $Z$ на его изображение
2. Соответствующая карта пучка ${\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$ является сюръективным с ядром ${\mathcal {I}}$
3. Ядро ${\mathcal {I}}$ локально генерируется разделами как ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль

Единственное изменяющееся условие — третье. Полезно рассмотреть контрпример, чтобы понять, что дает третье условие, глядя на карту, которая не является замкнутым погружением. $i:\mathbb {G} _{m}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}$ где

$\mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])$

Если мы посмотрим на стебель $i_{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {G} _{m}}|_{0}$ в $0\in \mathbb {A} ^{1}$тогда разделов нет. Это означает, что для любой открытой подсхемы $U\subset \mathbb {A} ^{1}$ содержащий $0$связка не имеет секций. Это нарушает третье условие, поскольку хотя бы одна открытая подсхема $U$ покрытие $\mathbb {A} ^{1}$ содержит $0$.

Свойства

Замкнутое погружение конечно и радикально (универсально инъективно). В частности, замкнутое погружение универсально замкнуто. Закрытое погружение стабильно при изменении основания и состава. Понятие замкнутого погружения является локальным в том смысле, что f является замкнутым погружением тогда и только тогда, когда для некоторого (эквивалентно любого) открытого накрытия $X=\bigcup U_{j}$ индуцированная карта $f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}$ это закрытое погружение.

Если состав $Z\to Y\to X$ представляет собой закрытое погружение и $Y\to X$ отделяется , то $Z\to Y$это закрытое погружение. Если X — отделимая S -схема, то каждое S -сечение X является замкнутым погружением.

Если $i:Z\to X$ представляет собой закрытое погружение и ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}$ есть квазикогерентный пучок идеалов, вырезающий Z , то прямой образ $i_{*}$ из категории квазикогерентных пучков над Z в категорию квазикогерентных пучков над X является точным, вполне точным с существенным образом, состоящим из ${\mathcal {G}}$ такой, что ${\mathcal {I}}{\mathcal {G}}=0$.

Плоское замкнутое погружение конечного представления — это открытое погружение открытой замкнутой подсхемы.

См. также

• Вложение Сегре
• Регулярное встраивание

Ссылки

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР   0217083 .
• Стеки Проект
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157