Морфизм схем

В алгебраической геометрии морфизм схем обобщает морфизм алгебраических многообразий точно так же, как схема обобщает алгебраическое многообразие . По определению это морфизм в категории схем.

Морфизм алгебраических стеков обобщает морфизм схем.

Определение [ править ]

По определению, морфизм схем — это всего лишь морфизм локально окольцованных пространств .

Схема по определению имеет открытые аффинные карты и, следовательно, морфизм схем также может быть описан в терминах таких карт (ср. определение морфизма многообразий ). ^[1]Пусть ƒ: X → Y — морфизм схем. Если x является точкой X , поскольку ƒ непрерывен, существуют открытые аффинные подмножества U = Spec A в X , содержащие x и V = Spec B в Y , такие, что ƒ( U ) ⊆ V . Тогда ƒ: U → V является морфизмом аффинных схем и, следовательно, индуцируется некоторым кольцевым гомоморфизмом B → A (ср. #Аффинный случай ). Фактически, это описание можно использовать для «определения» морфизма схем; говорят, что ƒ: X → Y является морфизмом схем, если он локально индуцирован кольцевыми гомоморфизмами между координатными кольцами аффинных карт.

Примечание . Нежелательно определять морфизм схем как морфизм окольцованных пространств. Одна из тривиальных причин заключается в том, что существует пример морфизма кольцевого пространства между аффинными схемами, который не индуцирован кольцевым гомоморфизмом (например, ^[2] морфизм кольцевых пространств:
$\operatorname {Spec} k(x)\to \operatorname {Spec} k[y]_{(y)}=\{\eta =(0),s=(y)\}$

который отправляет уникальную точку в s и поставляется с

k[y]_{(y)}\to k(x),\,y\mapsto x

.) Более концептуально, определение морфизма схем должно отражать «локальную природу Зарисского» или локализацию колец ; ^[3] эта точка зрения (т. е. локально-кольцевое пространство) существенна для обобщения (топоса).

Пусть f : X → Y — морфизм схем с $\phi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ . Тогда для каждой точки x из X гомоморфизм на стеблях:

\phi :{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}

является локальным кольцевым гомоморфизмом : т. е. $\phi ({\mathfrak {m}}_{f(x)})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}$ и, таким образом, индуцирует инъективный гомоморфизм полей вычетов

\phi :k(f(x))\hookrightarrow k(x)

.

(Фактически, φ отображает n -ю степень максимального идеала в n -ю степень максимального идеала и, таким образом, индуцирует отображение между кокасательными пространствами (Зариского) .)

Для каждой схемы X существует естественный морфизм

\theta :X\to \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),

который является изоморфизмом тогда и только тогда, когда X аффинно; θ получается путем склеивания U → target, которые возникают из ограничений на открытые аффинные U из X. подмножества Этот факт можно также сформулировать следующим образом: для любой схемы X и кольца A существует естественная биекция:

\operatorname {Mor} (X,\operatorname {Spec} (A))\cong \operatorname {Hom} (A,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})).

(Доказательство: карта $\phi \mapsto \operatorname {Spec} (\phi )\circ \theta$ справа налево — искомая биекция. Короче говоря, θ — присоединение.)

Более того, этот факт (сопряженное отношение) можно использовать для характеристики аффинной схемы : схема X аффинна тогда и только тогда, когда для каждой схемы S естественное отображение

\operatorname {Mor} (S,X)\to \operatorname {Hom} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))

является биективным. ^[4] (Доказательство: если отображения биективны, то $\operatorname {Mor} (-,X)\simeq \operatorname {Mor} (-,\operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))$ и X изоморфен $\operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ по лемме Йонеды ; обратное очевидно.)

Морфизм как относительная схема [ править ]

Зафиксируйте схему S , называемую базовой схемой . Тогда морфизм $p:X\to S$ называется схемой над S или S -схемой; идея терминологии состоит в том, что это схема вместе с отображением в базовую схему S. X Например, векторное расслоение E → S над схемой S является S -схемой.

S p -морфизм из p : X → S в q : Y → S — это морфизм ƒ: X → Y схем такой, что = q ∘ ƒ. Учитывая S -схему $X\to S$ , рассматривая S как S -схему над собой через тождественное отображение, S -морфизм $S\to X$ называется S -секцией или просто секцией .

Все S -схемы образуют категорию: объект в категории является S -схемой, а морфизм в категории — S -морфизмом. (Коротко говоря, эта категория является категорией среза категории схем с базовым объектом S. )

Аффинный случай [ править ]

Позволять $\varphi :B\to A$ — кольцевой гомоморфизм и пусть

{\begin{cases}\varphi ^{a}:\operatorname {Spec} A\to \operatorname {Spec} B,\\{\mathfrak {p}}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\end{cases}}

быть индуцированным отображением. Затем

$\varphi ^{a}$ является непрерывным. ^[5]
Если $\varphi$ сюръективно, то $\varphi ^{a}$ является гомеоморфизмом своего образа. ^[6]
Для каждого идеала I из A , ${\overline {\varphi ^{a}(V(I))}}=V(\varphi ^{-1}(I)).$ ^[7]
$\varphi ^{a}$ имеет плотный образ тогда и только тогда, когда ядро $\varphi$ состоит из нильпотентных элементов. (Доказательство: предыдущая формула с I = 0.) В частности, когда B уменьшается, $\varphi ^{a}$ имеет плотное изображение тогда и только тогда, когда $\varphi$ является инъективным.

Пусть f : Spec A → Spec B — морфизм схем между аффинными схемами с отображением обратного образа. $\varphi$ : Б → А. То, что это морфизм локально окольцованных пространств, означает следующее утверждение: если $x={\mathfrak {p}}_{x}$ является точкой Spec A ,

{\mathfrak {p}}_{f(x)}=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}_{x})

.

(Доказательство: В общем, ${\mathfrak {p}}_{x}$ состоит из g в A , который имеет нулевой образ в поле вычетов k ( x ); то есть имеет образ в максимальном идеале ${\mathfrak {m}}_{x}$ . Таким образом, работая в местных рингах, $g(f(x))=0\Rightarrow \varphi (g)\in \varphi ({\mathfrak {m}}_{f(x))})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}\Rightarrow g\in \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})$ . Если $g(f(x))\neq 0$ , затем $g$ является единичным элементом и поэтому $\varphi (g)$ является единичным элементом.)

Следовательно, каждый гомоморфизм колец B → A определяет морфизм схем Spec A → Spec B и, наоборот, все морфизмы между ними возникают таким же образом.

Примеры [ править ]

Основные [ править ]

Пусть R — поле или $\mathbb {Z} .$ Для каждой R -алгебры A указать элемент A , скажем, f в A , значит задать R -алгебры. гомоморфизм $R[t]\to A$ такой, что $t\mapsto f$ . Таким образом, $A=\operatorname {Hom} _{R-{\text{alg}}}(R[t],A)$ . Если X — схема над S = Spec R , то взяв $A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$ и используя тот факт, что Spec является правосопряженным функтором глобального сечения, мы получаем $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {A} _{S}^{1})$ где $\mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])$ . Обратите внимание, что равенство такое же, как у колец.
Аналогично для любой S -схемы X происходит отождествление мультипликативных групп: $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {G} _{m})$ где $\mathbb {G} _{m}=\operatorname {Spec} (R[t,t^{-1}])$ — мультипликативная групповая схема.
Многие примеры морфизмов происходят из семейств, параметризованных некоторым базовым пространством. Например, ${\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y][a,b,c]}{(ax^{2}+bxy+cy^{2})}}\right)\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [a,b,c])=\mathbb {P} _{a,b,c}^{2}$ является проективным морфизмом проективных многообразий, в котором базовое пространство параметризует квадрики в $\mathbb {P} ^{1}$ .

Морфизм графа [ править ]

Учитывая морфизм схем $f:X\to Y$ над схемой S морфизм $X\to X\times _{S}Y$ вызванный идентичностью $1_{X}:X\to X$ и f называется графа f . морфизмом Морфизм графа тождества называется диагональным морфизмом .

Виды морфизмов [ править ]

Конечный тип [ править ]

Морфизмы конечного типа — один из основных инструментов построения семейств многообразий. Морфизм $f:X\to S$ имеет конечный тип, если существует покрытие $\operatorname {Spec} (A_{i})\to S$ такие, что волокна $X\times _{S}\operatorname {Spec} (A_{i})$ может быть покрыто конечным числом аффинных схем $\operatorname {Spec} (B_{ij})$ создавая индуцированные кольцевые морфизмы $A_{i}\to B_{ij}$ на морфизмы конечного типа . Типичным примером морфизма конечного типа является семейство схем. Например,

\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{(x^{n}+zy^{n},z^{5}-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [z]}{(z^{5}-1)}}\right)

является морфизмом конечного типа. Простым непримером морфизма конечного типа является $\operatorname {Spec} (k[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]))\to \operatorname {Spec} (k)$ где $k$ это поле. Другой - бесконечный непересекающийся союз

\coprod ^{\infty }X\to X

Закрытое погружение [ править ]

Морфизм схем $i:Z\to X$ является замкнутым погружением , если выполняются следующие условия:

$i$ определяет гомеоморфизм $Z$ на его изображение
$i^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$ является сюръективным

Это условие эквивалентно следующему: при наличии аффинно открытого $\operatorname {Spec} (R)=U\subseteq X$ существует идеал $I\subseteq R$ такой, что $i^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)$

Примеры [ править ]

Конечно, любое (градуированное) частное $R/I$ определяет подсхему $\operatorname {Spec} (R)$ ( $\operatorname {Proj} (R)$ ). Рассмотрим квазиаффинную схему $\mathbb {A} ^{2}-\{0\}$ и подмножество $x$ -ось, содержащаяся в $X$ . Тогда, если мы возьмем открытое подмножество $\operatorname {Spec} (k[x,y,y^{-1}])$ идеальный пучок - это $(x)$ в то время как на аффинном открытом $\operatorname {Spec} (k[x,y,x^{-1}])$ идеала не существует, поскольку подмножество не пересекает эту диаграмму.

Отдельно [ править ]

Разделенные морфизмы определяют семейства схем, которые являются «хаусдорфовыми». Например, учитывая разделенный морфизм $X\to S$ в ${\text{Sch}}/\mathbb {C}$ соответствующие аналитические пространства $X(\mathbb {C} )^{an}\to S(\mathbb {C} )^{an}$ оба являются Хаусдорфами. Мы говорим морфизм схемы $f:X\to S$ отделим, если диагональный морфизм $\Delta _{X/S}:X\to X\times _{S}X$ это закрытое погружение. В топологии аналогичное условие для пространства $X$ быть Хаусдорфом, если диагональное множество

\Delta =\{(x,x)\in X\times X\}

является закрытым подмножеством $X\times X$ . Тем не менее, большинство схем не являются хаусдорфовыми топологическими пространствами, поскольку топология Зарисского, как правило, совершенно нехаусдорфова.

Примеры [ править ]

Большинство морфизмов, встречающихся в теории схем, будут разделены. Например, рассмотрим аффинную схему

X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)

над $\operatorname {Spec} (\mathbb {C} ).$ Так как схема продукта

X\times _{\mathbb {C} }X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)

идеал, определяющий диагональ, порождается

x\otimes 1-1\otimes x,y\otimes 1-1\otimes y

показывающий, что диагональная схема аффинна и замкнута. Это же вычисление можно использовать, чтобы показать, что проективные схемы также разделены.

Непримеры [ править ]

Единственный момент, когда необходимо соблюдать осторожность, — это когда вы склеиваете семейство схем. Например, если взять диаграмму включений

{\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\\&\searrow &\\&&\operatorname {Spec} (R[x])\\&\nearrow &\\\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\end{matrix}}

тогда мы получим теоретико-схемный аналог классической прямой с двумя началами.

Правильно [ править ]

Морфизм $f:X\to S$ называется правильным , если

оно отделено
конечного типа
универсально закрытый

Последнее условие означает, что для данного морфизма $S'\to S$ морфизм замены базы $S'\times _{S}X$ это закрытое погружение. Большинство известных примеров собственных морфизмов на самом деле проективны; но примеры собственных многообразий, которые не являются проективными, можно найти с помощью торической геометрии .

Проективный [ править ]

Проективные морфизмы определяют семейства проективных многообразий над фиксированной базовой схемой. Обратите внимание, что существует два определения: Хартсхорнс, который утверждает, что морфизм $f:X\to S$ называется проективным, если существует замкнутое погружение $X\to \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} ^{n}\times S$ и определение EGA, в котором говорится, что схема $X\in {\text{Sch}}/S$ является проективным, если существует квазикогерентная ${\mathcal {O}}_{S}$ -модуль конечного типа такой, что существует замкнутое погружение $X\to \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})$ . Второе определение полезно, поскольку точная последовательность ${\mathcal {O}}_{S}$ модули можно использовать для определения проективных морфизмов.

Проективный морфизм над точкой [ править ]

Проективный морфизм $f:X\to \{*\}$ определяет проективную схему. Например,

{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )

определяет проективную кривую рода $(n-1)(n-1)/2$ над $\mathbb {C}$ .

Семейство проективных гиперповерхностей [ править ]

Если мы позволим $S=\mathbb {A} _{t}^{1}$ тогда проективный морфизм

{\underline {\operatorname {Proj} }}_{S}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]}{\left(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-tx_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\right)}}\right)\to S

определяет семейство вырождающихся многообразий Калаби-Яу.

Карандаш Лефшеца [ править ]

Другой полезный класс примеров проективных морфизмов — это карандаши Лефшеца: это проективные морфизмы. $\pi :X\to \mathbb {P} _{k}^{1}=\operatorname {Proj} (k[s,t])$ над каким-то полем $k$ . Например, для гладких гиперповерхностей $X_{1},X_{2}\subseteq \mathbb {P} _{k}^{n}$ определяется однородными полиномами $f_{1},f_{2}$ существует проективный морфизм

{\underline {\operatorname {Proj} }}_{\mathbb {P} ^{1}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf_{1}+tf_{2})}}\right)\to \mathbb {P} ^{1}

давая карандаш.

Проект EGA [ править ]

Хорошим классическим примером проективной схемы является построение проективных морфизмов, учитывающих рациональные свитки. Например, возьмите $S=\mathbb {P} ^{1}$ и векторное расслоение ${\mathcal {E}}={\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}(3)$ . Это можно использовать для построения $\mathbb {P} ^{2}$ -пучок $\mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})$ над $S$ . Если мы хотим построить проективный морфизм, используя этот пучок, мы можем взять точную последовательность, например

{\mathcal {O}}_{S}(-d)\oplus {\mathcal {O}}_{S}(-e)\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0

определяющий структурный пучок проективной схемы $X$ в $\mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}}).$

Квартира [ править ]

Интуиция [ править ]

Плоские морфизмы имеют алгебраическое определение, но имеют очень конкретную геометрическую интерпретацию: плоские семейства соответствуют семействам многообразий, которые «непрерывно» меняются. Например,

\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{(xy-t))}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])

представляет собой семейство гладких аффинных квадратичных кривых, вырождающихся до нормального пересекающегося дивизора

\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\right)

в начале.

Свойства [ править ]

Одним из важных свойств, которым должен удовлетворять плоский морфизм, является то, что размеры слоев должны быть одинаковыми. Тогда простой непример плоского морфизма является раздутием, поскольку слои являются либо точками, либо копиями некоторого $\mathbb {P} ^{n}$ .

Определение [ править ]

Позволять $f:X\to S$ быть морфизмом схем. Мы говорим, что $f$ плоский в какой-то точке $x\in X$ если индуцированный морфизм ${\mathcal {O}}_{f(x)}\to {\mathcal {O}}_{x}$ дает точный функтор $-\otimes _{{\mathcal {O}}_{f(x)}}{\mathcal {O}}_{x}.$ Затем, $f$ плоская , если она плоская в каждой точке $X$ . Он также совершенно плоский , если является сюръективным морфизмом.

Непример [ править ]

Используя нашу геометрическую интуицию, очевидно, что

f:\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])

не является плоским, поскольку волокно находится над $0$ является $\mathbb {A} ^{1}$ с остальными волокнами это просто точка. Но мы также можем проверить это, используя определение с помощью локальной алгебры: рассмотрим идеал ${\mathfrak {p}}=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy)).$ С $f({\mathfrak {p}})=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])$ мы получаем морфизм локальной алгебры

f_{\mathfrak {p}}:\left(\mathbb {C} [x]\right)_{(x)}\to \left(\mathbb {C} [x,y]/(xy)\right)_{(x)}

Если мы тензорируем

0\to \mathbb {C} [x]_{(x)}{\overset {\cdot x}{\longrightarrow }}\mathbb {C} [x]_{(x)}

с $(\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}$ , карта

(\mathbb {C} [x,y]/(xy)))_{(x)}{\xrightarrow {\cdot x}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}

имеет ненулевое ядро из-за исчезновения $xy$ . Это показывает, что морфизм не является плоским.

Неразветвленный [ править ]

Морфизм $f:X\to Y$ аффинных схем неразветвлено , если $\Omega _{X/Y}=0$ . Мы можем использовать это для общего случая морфизма схем $f:X\to Y$ . Мы говорим, что $f$ неразветвлен на $x\in X$ если существует аффинное открытое соседство $x\in U$ и аффинное открытие $V\subseteq Y$ такой, что $f(U)\subseteq V$ и $\Omega _{U/V}=0.$ Тогда морфизм неразветвлен, если он неразветвлен в каждой точке множества. $X$ .

Геометрический пример [ править ]

Одним из примеров плоского и неразветвленного в общем случае морфизма, за исключением точки, является

\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])

Мы можем вычислить относительные дифференциалы, используя последовательность

{\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\otimes _{\mathbb {C} [t]}\mathbb {C} [t]dt\to \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dt\oplus {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(nx^{n-1}dx-dt)\to \Omega _{X/Y}\to 0

показывая

\Omega _{X/Y}\cong \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\neq 0

если мы возьмем волокно $t=0$ , то морфизм разветвлен, так как

\Omega _{X_{0}/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{x^{n}}}dx\right)/(x^{n-1}dx)

иначе у нас есть

\Omega _{X_{\alpha }/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{n}-\alpha )}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(\alpha )}}dx\cong 0

показывая, что он неразветвлен повсюду.

Этале [ править ]

Морфизм схем $f:X\to Y$ называется этальной, если она плоская и неразветвленная. Это алгебро-геометрический аналог накрывающих пространств. Два основных примера, о которых следует подумать, — это накрывающие пространства и конечные сепарабельные расширения полей. Примеры в первом случае можно построить, рассматривая разветвленные накрытия и ограничиваясь неразветвленным локусом.

Морфизмы как точки [ править ]

По определению, если X , S — схемы (над некоторой базовой схемой или кольцом B ), то морфизм из S в X (над B ) является S -точкой X , и пишут:

X(S)=\{f\mid f:S\to X{\text{ over }}B\}

для множества всех S -точек X . Это понятие обобщает понятие решений системы полиномиальных уравнений классической алгебраической геометрии. Действительно, пусть X = Spec( A ) с $A=B[t_{1},\dots ,t_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})$ . Для B -алгебры R задать R -точку X значит задать гомоморфизм алгебры A → R , что, в свою очередь, равнозначно заданию гомоморфизма

B[t_{1},\dots ,t_{n}]\to R,\,t_{i}\mapsto r_{i}

это всех _{убивает} . Таким образом, происходит естественная идентификация:

X(\operatorname {Spec} R)=\{(r_{1},\dots ,r_{n})\in R^{n}|f_{1}(r_{1},\dots ,r_{n})=\cdots =f_{m}(r_{1},\dots ,r_{n})=0\}.

Пример : Если X — S- схема со структурным отображением π: X → S , то S -точка X (над S ) — это то же самое, что сечение π.

В теории категорий лемма Йонеды гласит, что для данной категории C контравариантный функтор

C\to {\mathcal {P}}(C)=\operatorname {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Sets} ),\,X\mapsto \operatorname {Mor} (-,X)

полностью верен (где ${\mathcal {P}}(C)$ означает категорию предпучков на C ). Применяя лемму к категории C = схем над B , это говорит о том, что схема над B определяется ее различными точками.

Оказывается, на самом деле достаточно рассматривать S -точки только с аффинными схемами S именно потому, что схемы и морфизмы между ними получаются склейкой аффинных схем и морфизмов между ними. По этой причине обычно пишут X ( R ) = X (Spec R ) и рассматривают X как функтор из категории коммутативных B -алгебр в Sets .

Пример : даны S -схемы X , Y со структурными отображениями p , q ,

(X\times _{S}Y)(R)=X(R)\times _{S(R)}Y(R)=\{(x,y)\in X(R)\times Y(R)\mid p(x)=q(y)\}

.

Пример : поскольку B по-прежнему обозначает кольцо или схему, для каждой B -схемы X существует естественная биекция.

\mathbf {P} _{B}^{n}(X)=

{ классы изоморфизма линейных расслоений L на X вместе с n + 1 глобальными сечениями, порождающими L . };

на самом деле, сечения s _i языка L определяют морфизм $X\to \mathbf {P} _{B}^{n},\,x\mapsto (s_{0}(x):\dots :s_{n}(x))$ . (См. также Проект строительства#Global Proj .)

Замечание : Изложенная точка зрения (известная под названием функтора точек и принадлежащая Гротендику) оказала значительное влияние на основы алгебраической геометрии. со значением категории Например, работа с (псевдо)функтором вместо функтора с множеством значений приводит к понятию стека , который позволяет отслеживать морфизмы между точками.

Рациональная карта [ править ]

Рациональное отображение схем определяется аналогично для многообразий. Таким образом, рациональное отображение приведенной схемы X в отделённую схему Y является классом эквивалентности пары $(U,f_{U})$ состоящее из открытого плотного подмножества U в X и морфизма $f_{U}:U\to Y$ . Если X неприводимо, рациональная функция на X по определению является рациональным отображением X на аффинную прямую. $\mathbb {A} ^{1}$ или проективная линия $\mathbb {P} ^{1}.$

Рациональное отображение является доминирующим тогда и только тогда, когда оно переводит общую точку в общую точку. ^[8]

Кольцевой гомоморфизм между функциональными полями не обязательно должен индуцировать доминантное рациональное отображение (даже просто рациональное отображение). ^[9]Например, Spec k [ x ] и Spec k ( x ) имеют одно и то же функциональное поле (а именно, k ( x )) но нет рационального отображения первого во второе. Однако верно, что любое включение функциональных полей алгебраических многообразий индуцирует доминантное рациональное отображение (см. морфизм алгебраических многообразий#Свойства .)

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Вакил 2014 , Упражнение 6.3.C.
^ Вакил 2014 , Упражнение 6.2.E.
^ Производная алгебраическая геометрия V: Структурированные пространства (PDF) , 22 февраля 2011 г., § 1.
^ Гротендик и Дьедонне 1960 , гл. I, следствие 1.6.4.
^ Доказательство: ${\varphi ^{a}}^{-1}(D(f))=D(\varphi (f))$ для f в A. всех
^ Гротендик и Дьедонне 1960 , гл. I, следствие 1.2.4.
^ Гротендик и Дьедонне 1960 , гл. Я, 1.2.2.3.
^ Вакил 2014 , Упражнение 6.5.A.
^ Vakil 2014 , Абзац после упражнения 6.5.B.

Ссылки [ править ]

Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Милн, Обзор алгебраической геометрии в алгебраических группах: теория групповых схем конечного типа над полем.
Вакил, Рави (30 декабря 2014 г.), Основы алгебраической геометрии (PDF) (проект ред.)

[1] Вакил 2014 , Упражнение 6.3.C.

[2] Вакил 2014 , Упражнение 6.2.E.

[3] Производная алгебраическая геометрия V: Структурированные пространства (PDF) , 22 февраля 2011 г., § 1.

[4] Гротендик и Дьедонне 1960 , гл. I, следствие 1.6.4.

[5] Доказательство: ${\varphi ^{a}}^{-1}(D(f))=D(\varphi (f))$ для f в A. всех

[6] Гротендик и Дьедонне 1960 , гл. I, следствие 1.2.4.

[7] Гротендик и Дьедонне 1960 , гл. Я, 1.2.2.3.

[8] Вакил 2014 , Упражнение 6.5.A.

[9] Vakil 2014 , Абзац после упражнения 6.5.B.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]