Конечно порожденная алгебра

В математике ( конечно порожденная алгебра также называемая алгеброй конечного типа ) — это ассоциативная алгебра A над полем K , где существует конечное множество элементов a ₁ ,..., an _из коммутативная A такое, что каждый элемент из A A можно выразить в виде от a 1 _, ..., an _{полинома} с коэффициентами из K .

Эквивалентно, существуют элементы $a_{1},\dots ,a_{n}\in A$ такой, что гомоморфизм оценок в ${\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})$

\phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A

является сюръективным ; таким образом, применяя первую теорему об изоморфизме , $A\simeq K[X_{1},\dots ,X_{n}]/{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})$ .

И наоборот , $A:=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I$ для любого идеала $I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ это $K$ -алгебра конечного типа, да и любой элемент из $A$ является полиномом по смежным классам $a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n$ с коэффициентами в $K$ . Таким образом, мы получаем следующую характеристику конечно порожденных $K$ -алгебры ^[1]

A

является конечно порожденным

K

-алгебра тогда и только тогда, когда она изоморфна фактор - кольцу типа

K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I

по идеалу

I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]

.

Если необходимо выделить поле K то говорят, что алгебра конечно порождена над K. , Алгебры, не являющиеся конечно порожденными, называются бесконечно порожденными .

Примеры [ править ]

Алгебра полиномов K [ x ₁ ,..., x _n ] конечно порождена. Алгебра полиномов в счетном и бесконечном числе образующих бесконечно порождена.
Поле E = K ( t ) рациональных функций одной переменной над бесконечным полем K является не порожденной алгеброй над K. конечно С другой стороны, E генерируется над K элементом t одним в качестве поля .
Если E / F — конечное расширение поля то из определений следует, что E — конечно порожденная алгебра над F. ,
И наоборот, если E / F — расширение поля, а E — конечно порожденная алгебра над F , то расширение поля конечно. Это называется леммой Зарисского . См. также интегральное расширение .
Если G — конечно порожденная группа то групповая алгебра KG — конечно порожденная алгебра над K. ,

Свойства [ править ]

Гомоморфный образ . конечно порожденной алгебры сам по себе конечно порожден Однако подобное свойство для подалгебр, вообще говоря, не имеет места.
Базисная теорема Гильберта : если A — конечно порожденная коммутативная алгебра над нётеровым кольцом то каждый идеал A A конечно порождён, или, что то же самое, , — нётерово кольцо.

с аффинными Связь разновидностями

Конечно порожденные редуцированные коммутативные алгебры — основные объекты рассмотрения в современной алгебраической геометрии , где они соответствуют аффинным алгебраическим многообразиям ; по этой причине эти алгебры также называются (коммутативными) аффинными алгебрами . Точнее, учитывая аффинное алгебраическое множество $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$ мы можем связать конечно порожденный $K$ -алгебра

\Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)

называется аффинным координатным кольцом $V$ ; более того, если $\phi \colon V\to W$ является регулярным отображением между аффинными алгебраическими множествами $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$ и $W\subseteq \mathbb {A} ^{m}$ , мы можем определить гомоморфизм $K$ -алгебры

\Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi ,

затем, $\Gamma$ — контравариантный функтор из категории аффинных алгебраических множеств с регулярными отображениями в категорию приведенных конечно порожденных $K$ -алгебры: этот функтор оказывается ^[2] быть эквивалентностью категорий