Лемма Зарисского

В алгебре лемма Зариского , доказанная Оскаром Зариски ( 1947 ), гласит, что если поле K как конечно порождено ассоциативная алгебра над другим полем k , то K является конечным расширением поля k ( то есть оно также конечно генерируется как векторное пространство ).

Важным применением леммы является доказательство слабой формы Nullstellensatz Гильберта : если я истинным идеалом являюсь $k[t_{1},...,t_{n}]$ ( k — алгебраически замкнутое поле ), то I имеет ноль; т. е. существует точка x в $k^{n}$ такой, что $f(x)=0$ для f в I. всех (Доказательство: замена I максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$, мы можем предположить $I={\mathfrak {m}}$ является максимальным. Позволять $A=k[t_{1},...,t_{n}]$ и $\phi :A\to A/{\mathfrak {m}}$ быть естественным сюръективным. По лемме $A/{\mathfrak {m}}$ является конечным расширением. Поскольку k алгебраически замкнуто, это расширение должно быть k . Тогда для любого $f\in {\mathfrak {m}}$,

$f(\phi (t_{1}),\cdots ,\phi (t_{n}))=\phi (f(t_{1},\cdots ,t_{n}))=0$;

то есть, $x=(\phi (t_{1}),\cdots ,\phi (t_{n}))$ является нулем ${\mathfrak {m}}$.)

Лемму можно понять и со следующей точки зрения. В общем случае кольцо R является кольцом Джекобсона тогда и только тогда, когда каждая конечно порожденная R -алгебра, являющаяся полем, конечна над R . Таким образом, утверждение леммы следует из того, что поле является кольцом Джекобсона.

Доказательства

Два прямых доказательства даны у Атьи – Макдональда; один принадлежит Зарискому, а другой использует лемму Артина – Тейта . Оригинальное доказательство Зарисского см. в оригинальной статье. Другое прямое доказательство на языке колец Джекобсона приведено ниже. Лемма также является следствием леммы Нётер о нормализации . Действительно, по лемме о нормализации K — конечный модуль над кольцом полиномов $k[x_{1},\ldots ,x_{d}]$ где $x_{1},\ldots ,x_{d}$ являются элементами K , алгебраически независимыми над k . Но поскольку K имеет нулевую размерность Крулля и поскольку целое кольцевое расширение (например, конечное кольцевое расширение) сохраняет размерность Крулля, кольцо многочленов должно иметь нулевую размерность; то есть, $d=0$.

Следующая характеристика кольца Джекобсона содержит лемму Зарисского как частный случай. Напомним, что кольцо является кольцом Джекобсона, если каждый простой идеал является пересечением максимальных идеалов. (Когда A — поле, A — кольцо Джекобсона, и приведенная ниже теорема является в точности леммой Зарисского.)

Теорема — Пусть А — кольцо. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. А — кольцо Джекобсона.
2. Любая конечно порожденная A -алгебра B , являющаяся полем, конечна A. над

Доказательство: 2. $\Rightarrow$ 1.: Пусть ${\mathfrak {p}}$ — простой идеал A и положим $B=A/{\mathfrak {p}}$. Нам нужно доказать, что Джекобсона B радикал равен нулю. Для этого пусть f будет ненулевым элементом B . Позволять ${\mathfrak {m}}$ — максимальный идеал локализации $B[f^{-1}]$. Затем $B[f^{-1}]/{\mathfrak {m}}$ — поле, которое является конечно порожденной A конечно над A -алгеброй и, следовательно, по предположению ; таким образом, оно конечно над $B=A/{\mathfrak {p}}$ и поэтому конечно над подкольцом $B/{\mathfrak {q}}$ где ${\mathfrak {q}}={\mathfrak {m}}\cap B$. По целостности, ${\mathfrak {q}}$ — максимальный идеал, не содержащий f .

1. $\Rightarrow$ 2. Поскольку фактор-кольцо кольца Джекобсона является джекобсоновым, мы можем предположить, что B содержит A как подкольцо. Тогда утверждение является следствием следующего алгебраического факта:

(*) Позволять $B\supseteq A$ — области целостности такие, что B конечно порождена как A -алгебра. Тогда существует ненулевое а в А такое, что любой гомоморфизм колец $\phi :A\to K$, K — алгебраически замкнутое поле, причем $\phi (a)\neq 0$ распространяется на ${\widetilde {\phi }}:B\to K$.

Действительно, выберем максимальный идеал ${\mathfrak {m}}$ из A, содержащего . не Записывая K для некоторого алгебраического замыкания $A/{\mathfrak {m}}$, каноническое отображение $\phi :A\to A/{\mathfrak {m}}\hookrightarrow K$ распространяется на ${\widetilde {\phi }}:B\to K$. Поскольку B — поле, ${\widetilde {\phi }}$ инъективен, и поэтому B алгебраичен (следовательно, конечно алгебраичен) над $A/{\mathfrak {m}}$. Теперь докажем (*). Если B содержит элемент, трансцендентный над A , то он содержит кольцо полиномов над A , до которого φ продолжается (без требования к a ), и поэтому мы можем предположить, что B алгебраичен над A (скажем, по лемме Цорна). Позволять $x_{1},\dots ,x_{r}$ — генераторы B как A -алгебры. Затем каждый $x_{i}$ удовлетворяет отношению

$a_{i0}x_{i}^{n}+a_{i1}x_{i}^{n-1}+\dots +a_{in}=0,\,\,a_{ij}\in A$

где n зависит от i и $a_{i0}\neq 0$. Набор $a=a_{10}a_{20}\dots a_{r0}$. Затем $B[a^{-1}]$ является целым по $A[a^{-1}]$. Теперь дано $\phi :A\to K$, мы сначала расширим его до ${\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to K$ установив ${\widetilde {\phi }}(a^{-1})=\phi (a)^{-1}$. Дальше пусть ${\mathfrak {m}}=\operatorname {ker} {\widetilde {\phi }}$. По целостности, ${\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap A[a^{-1}]$ для некоторого максимального идеала ${\mathfrak {n}}$ из $B[a^{-1}]$. Затем ${\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to A[a^{-1}]/{\mathfrak {m}}\to K$ распространяется на $B[a^{-1}]\to B[a^{-1}]/{\mathfrak {n}}\to K$. Ограничьте последнее отображение до B, чтобы завершить доказательство. $\square$

Источники

• Атья, Майкл ; Макдональд, Ян Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Серия Аддисона-Уэсли по математике. Аддисон-Уэсли . ISBN  0-201-40751-5 .
• Милн, Джеймс (19 марта 2017 г.). «Алгебраическая геометрия» . Проверено 1 февраля 2022 г.
• Зариский, Оскар (апрель 1947 г.). «Новое доказательство Nullstellensatz Гильберта» . Бюллетень Американского математического общества . 53 (4): 362–368. дои : 10.1090/s0002-9904-1947-08801-7 . МР   0020075 .