Алгебра

Элементарная алгебра интересуется полиномиальными уравнениями и стремится выяснить, какие значения их решают .

Абстрактная алгебра изучает алгебраические структуры , такие как кольцо целых чисел, заданное набором целых чисел (

\mathbb {Z}

вместе с операциями сложения ( )

+

) и умножение (

\times

).

Алгебра — это раздел математики , изучающий алгебраические структуры и манипулирование утверждениями внутри этих структур. Это обобщение арифметики , которое вводит переменные и алгебраические операции, отличные от стандартных арифметических операций, таких как сложение и умножение .

Элементарная алгебра является основной формой алгебры, преподаваемой в школе, и изучает математические утверждения с использованием переменных для неуказанных значений. Он стремится определить, для каких ценностей утверждения верны. Для этого он использует различные методы преобразования уравнений для изоляции переменных. Линейная алгебра — это тесно связанная область исследования переменных, которые появляются в нескольких линейных уравнениях , так называемых системах линейных уравнений . Он пытается найти значения, которые решают все уравнения одновременно.

Абстрактная алгебра изучает алгебраические структуры, которые состоят из набора математических объектов вместе с одной или несколькими бинарными операциями, определенными над этим набором. Это обобщение элементарной и линейной алгебры, поскольку оно допускает математические объекты, отличные от чисел и неарифметических операций. Он различает различные типы алгебраических структур, таких как группы , кольца и поля , на основе количества операций, которые они используют, и законов, которым они следуют . Универсальная алгебра представляет собой дальнейший уровень обобщения, который не ограничивается бинарными операциями и исследует более абстрактные закономерности, характеризующие различные классы алгебраических структур.

Алгебраические методы впервые изучались в древний период для решения конкретных задач в таких областях, как геометрия . Последующие математики исследовали общие методы решения уравнений независимо от их конкретных приложений. Они полагались на словесные описания задач и решений до 16-17 веков, когда был разработан строгий математический формализм. В середине 19 века сфера применения алгебры расширилась за пределы теории уравнений и охватила различные типы алгебраических операций и алгебраических структур. Алгебра имеет отношение ко многим разделам математики, таким как геометрия, топология , теория чисел и исчисление , а также к другим областям исследований, таким как логика и эмпирические науки .

Определение и этимология

Алгебра – это раздел математики, изучающий алгебраические операции. ^[а] и алгебраические структуры . ^[2] Алгебраическая структура — это непустой набор математических объектов , таких как действительные числа , вместе с алгебраическими операциями, определенными на этом наборе, такими как сложение и умножение . ^[3]Алгебра исследует законы, общие характеристики и типы алгебраических структур. В рамках определенных алгебраических структур он изучает использование переменных в уравнениях и способы манипулирования этими уравнениями. ^[4]^[б]

Алгебру часто понимают как обобщение арифметики . ^[8] Арифметика изучает арифметические операции, такие как сложение, вычитание , умножение и деление , в определенной области чисел, например, действительных чисел. ^[9] Элементарная алгебра представляет собой первый уровень абстракции. Как и арифметика, она ограничивается определенными типами чисел и операций. Он обобщает эти операции, допуская неопределенные величины в виде переменных в дополнение к числам. ^[10]Более высокий уровень абстракции достигается в абстрактной алгебре, которая не ограничивается конкретной областью и изучает различные классы алгебраических структур, таких как группы и кольца . Эти алгебраические структуры не ограничиваются типичными арифметическими операциями и помимо них охватывают и другие бинарные операции. ^[11] Универсальная алгебра еще более абстрактна, поскольку она не ограничивается бинарными операциями и не интересуется конкретными классами алгебраических структур, а исследует характеристики алгебраических структур в целом. ^[12]

Термин «алгебра» иногда используется в более узком смысле для обозначения только элементарной алгебры или только абстрактной алгебры. ^[14] При использовании в качестве исчисляемого существительного алгебра представляет собой особый тип алгебраической структуры , которая включает в себя векторное пространство , оснащенное определенным типом бинарной операции . ^[15] В зависимости от контекста «алгебра» может также относиться к другим алгебраическим структурам, таким как алгебра Ли или ассоциативная алгебра . ^[16]

Слово алгебра происходит от арабского термина الجبر ( аль-джабр ), который первоначально относился к хирургическому лечению вживления кости . В 9 веке этот термин получил математическое значение, когда персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми использовал его для описания метода решения уравнений и использовал его в качестве названия трактата по алгебре, также известного под названием «Сборник книг». о расчете по завершению и балансировке . Это слово вошло в английский язык в 16 веке из итальянского, испанского и средневековой латыни. ^[17]Первоначально значение этого термина ограничивалось теорией уравнений , то есть искусством манипулирования полиномиальными уравнениями с целью их решения. Ситуация изменилась в 19 веке. ^[с] когда сфера применения алгебры расширилась и стала охватывать изучение различных типов алгебраических операций и алгебраических структур вместе с лежащими в их основе аксиомами. ^[20]

Основные отрасли

Элементарная алгебра

Элементарная алгебра, также называемая школьной алгеброй, студенческой алгеброй и классической алгеброй. ^[21]Это старейшая и самая основная форма алгебры. Это обобщение арифметики , основанное на использовании переменных и исследующее, как математические утверждения . можно преобразовать ^[22]

Арифметика изучает числовые операции и исследует, как числа комбинируются и преобразуются с помощью арифметических операций, таких как сложение , вычитание , умножение и деление . Например, операция сложения объединяет два числа, называемые слагаемыми, в третье число, называемое суммой, как в $2+5=7$ . ^[9]

Элементарная алгебра опирается на те же операции, но допускает переменные в дополнение к обычным числам. Переменные — это символы неуказанных или неизвестных величин. Они позволяют устанавливать отношения, точные значения которых неизвестны, и выражать общие законы, которые являются истинными, независимо от того, какие числа используются. Например, уравнение $2\times 3=3\times 2$ принадлежит арифметике и выражает равенство только для этих конкретных чисел. Заменяя числа переменными, можно выразить общий закон, применимый к любым возможным комбинациям чисел, например принцип коммутативности , выраженный в уравнении $a\times b=b\times a$ . ^[22]

Алгебраические выражения образуются с помощью арифметических операций по объединению переменных и чисел. По соглашению строчные буквы $x$ , $y$ и $z$ представляют переменные. В некоторых случаях для различения переменных добавляются индексы, например: $x_{1}$ , $x_{2}$ , и $x_{3}$ . Строчные буквы $a$ , $b$ , и $c$ обычно используются для констант и коэффициентов . ^[д] Например, выражение $5x+3$ — это алгебраическое выражение, созданное путем умножения числа 5 на переменную $x$ и прибавляем к результату цифру 3. Другие примеры алгебраических выражений: $32xyz$ и $64x_{1}^{2}+7x_{2}-13$ . ^[23]

Алгебраические выражения используются для создания операторов, которые связывают два выражения друг с другом. Уравнение — это утверждение, образованное путем сравнения двух выражений со знаком равенства ( $=$ ), как в $5x^{2}+6x=3y+4$ . Неравенства формируются с помощью таких символов, как знак меньше ( $<$ ), тем знак больше ( $>$ ) и знак неравенства ( $\neq$ ). В отличие от простых выражений, утверждения могут быть истинными или ложными, и их значение истинности обычно зависит от значений переменных. Например, заявление $x^{2}=4$ верно, если $x$ равно либо 2, либо −2, а в противном случае — ложно. ^[24]Уравнения с переменными можно разделить на тождественные уравнения и условные уравнения. Уравнения идентичности верны для всех значений, которые можно присвоить переменным, например уравнение $2x+5x=7x$ . Условные уравнения верны только для некоторых значений. Например, уравнение $x+4=9$ верно только в том случае, если $x$ это 5. ^[25]

Основная цель элементарной алгебры — определить, для каких значений утверждение верно. Для достижения этой цели используются методы преобразования и манипулирования утверждениями. Ключевой принцип, лежащий в основе этого процесса, заключается в том, что любая операция, применяемая к одной стороне уравнения, должна быть выполнена и к другой стороне уравнения. Например, если вычесть 5 из левой части уравнения, необходимо также вычесть 5 из правой части уравнения, чтобы сбалансировать обе части. Цель этих шагов обычно состоит в том, чтобы изолировать интересующую вас переменную с одной стороны. Этот процесс известен как решение уравнения для этой переменной. Например, уравнение $x-7=4$ можно решить для $x$ добавив 7 к обеим сторонам, что изолирует $x$ в левой части и приводит к уравнению $x=11$ . ^[26]

Есть много других методов, используемых для решения уравнений. Упрощение используется для замены сложного выражения эквивалентным, более простым. Например, выражение $7x-3x$ можно заменить выражением $4x$ . ^[27] Факторизация используется для перезаписи выражения как произведения нескольких факторов. Этот метод является общим для полиномов. ^[Это]чтобы определить, для каких значений выражение равно нулю . Например, полином $x^{2}-3x-10$ может быть факторизован как $(x+2)(x-5)$ . Полином в целом равен нулю тогда и только тогда, когда один из его множителей равен нулю, т. е. если $x$ равно либо −2, либо 5. ^[29]Для операторов с несколькими переменными замена — это распространенный метод замены одной переменной эквивалентным выражением, которое не использует эту переменную. Например, если человек знает, что $y=3x$ тогда можно упростить выражение $7xy$ прибыть в $21x^{2}$ . Аналогичным образом, если кто-то знает точное значение одной переменной, он может использовать его для определения значения других переменных. ^[30]

Элементарная алгебра находит применение во многих областях математики, естественных наук, бизнеса и повседневной жизни. ^[31]Важным применением в области геометрии является использование алгебраических уравнений для описания геометрических фигур в виде графика . Для этого различные переменные в уравнении интерпретируются как координаты , а значения, которые решают уравнение, интерпретируются как точки графика. Например, если $x$ устанавливается равным нулю в уравнении $y=0.5x-1$ затем $y$ должно быть -1, чтобы уравнение было верным. Это означает, что $x$ - $y$ -пара $(0,-1)$ является частью графика уравнения. $x$ - $y$ -пара $(0,7)$ , напротив, не решает уравнение и поэтому не является частью графика. График охватывает совокупность всех $x$ - $y$ -пары, решающие уравнение. ^[32]

Линейная алгебра

Линейная алгебра использует методы элементарной алгебры для изучения систем линейных уравнений . ^[33]Уравнение является линейным, если ни одна переменная не умножается на другую переменную и такие операции, как возведение в степень , извлечение корней и логарифм к переменным не применяются . Например, уравнения $0.25x-4=y$ и $x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0$ линейны, а уравнения $x^{2}=y$ и $3x_{1}x_{2}+15=0$ являются нелинейными . Несколько уравнений образуют систему уравнений, если все они основаны на одном и том же наборе переменных. ^[34]

Системы линейных уравнений часто выражаются через матрицы ^[ф] и векторы ^[г]представить всю систему в одном уравнении. Это можно сделать, переместив переменные в левую часть каждого уравнения и переместив постоянные члены в правую часть. Затем система выражается путем формулирования матрицы, содержащей все коэффициенты уравнений, и умножения ее на вектор-столбец , состоящий из переменных. ^[35] Например, система уравнений

(а)

9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}=0

(б)

2.3x_{1}+7x_{3}=9

(с)

-5x_{1}-17x_{2}=-3

можно записать как

{\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}

Как и элементарная алгебра, линейная алгебра занимается манипулированием и преобразованием уравнений для их решения. Он выходит за рамки элементарной алгебры, поскольку имеет дело с несколькими уравнениями одновременно и ищет значения, для которых все уравнения верны одновременно. Например, если система состоит из двух уравнений $3x_{1}-x_{2}=0$ и $x_{1}+x_{2}=8$ затем используя значения 1 и 3 для $x_{1}$ и $x_{2}$ не решает систему уравнений, поскольку решает только первое, но не второе уравнение. ^[36]

Два центральных вопроса линейной алгебры: имеет ли система уравнений какие-либо решения и, если да, то имеет ли она единственное решение. Система уравнений, имеющая решения, называется совместной . Это тот случай, когда уравнения не противоречат друг другу. Если два и более уравнений противоречат друг другу, то система уравнений несовместна и не имеет решений. Например, уравнения $x_{1}-3x_{2}=0$ и $x_{1}-3x_{2}=7$ противоречат друг другу, поскольку никакие значения $x_{1}$ и $x_{2}$ существуют решения, которые решают оба уравнения одновременно. ^[37]

Имеет ли непротиворечивая система уравнений единственное решение, зависит от количества переменных и числа независимых уравнений . Некоторые уравнения являются независимыми друг от друга, если они не предоставляют одинаковую информацию и не могут быть выведены друг из друга. Единственное решение существует, если количество переменных равно количеству независимых уравнений. Недоопределенные системы , напротив, имеют больше переменных, чем уравнения, и имеют бесконечное количество решений, если они непротиворечивы. ^[38]

Многие методы, используемые в элементарной алгебре для решения уравнений, также применяются в линейной алгебре. Метод замены начинается с одного уравнения и изолирует в нем одну переменную. Он переходит к следующему уравнению и заменяет изолированную переменную найденным выражением, тем самым уменьшая количество неизвестных переменных на одну. Он снова применяет тот же процесс к этому и остальным уравнениям, пока не будут определены значения всех переменных. ^[39]Метод исключения создает новое уравнение путем добавления одного уравнения к другому уравнению. Таким образом, можно исключить одну переменную, которая присутствует в обоих уравнениях. Для системы, содержащей уравнения $-x+7y=3$ и $2x-7y=10$ , можно устранить $y$ добавив первое ко второму уравнению, тем самым обнаружив, что $x$ равно 13. В некоторых случаях уравнение необходимо умножить на константу, прежде чем добавлять ее в другое уравнение. ^[40] Многие передовые методы реализуют алгоритмы, основанные на матричных вычислениях, такие как правило Крамера , исключение Гаусса-Жордана и LU-разложение . ^[41]

На геометрическом уровне системы уравнений можно интерпретировать как геометрические фигуры. Для систем с двумя переменными каждое уравнение представляет собой линию в двумерном пространстве . Точка пересечения двух линий и есть решение. В несовместимых системах две линии идут параллельно, а это означает, что решения нет, поскольку они никогда не пересекаются. Если два уравнения не являются независимыми, то они описывают одну и ту же линию, а это означает, что каждое решение одного уравнения является также решением другого уравнения. Эти соотношения позволяют графически искать решения, строя уравнения и определяя места их пересечения. ^[42]Те же принципы применимы и к системам уравнений с большим количеством переменных, с той разницей, что уравнения описывают не линии, а фигуры более высокой размерности. Например, уравнения с тремя переменными соответствуют плоскостям в трехмерном пространстве , а точки пересечения всех плоскостей решают систему уравнений. ^[43]

Абстрактная алгебра

Абстрактная алгебра, также называемая современной алгеброй, ^[44]изучает различные типы алгебраических структур . Алгебраическая структура — это основа для понимания операций над математическими объектами , таких как сложение чисел. В то время как элементарная алгебра и линейная алгебра работают в рамках конкретных алгебраических структур, абстрактная алгебра использует более общий подход, который сравнивает, чем алгебраические структуры отличаются друг от друга и какие типы алгебраических структур существуют, такие как группы , кольца и поля . ^[45]

На формальном уровне алгебраическая структура — это множество ^[час] математических объектов, называемых базовым набором, вместе с одной или несколькими операциями. ^[я] Абстрактная алгебра обычно ограничивается бинарными операциями. ^[Дж] которые принимают любые два объекта из базового набора в качестве входных данных и сопоставляют их с другим объектом из этого набора в качестве выходных данных. ^[49] Например, алгебраическая структура $\langle \mathbb {N} ,+\rangle$ имеет натуральные числа в качестве основного набора и сложение в качестве двоичной операции. ^[47] Базовый набор может содержать математические объекты, отличные от чисел, и операции не ограничиваются обычными арифметическими операциями. ^[50]Например, базовый набор группы симметрии геометрического объекта состоит из геометрических преобразований , таких как повороты , при которых объект остается неизменным . Его бинарная операция — это функция-композиция , которая принимает на вход два преобразования, а на выходе получает преобразование, полученное в результате применения первого преобразования, за которым следует второе. ^[51]

Абстрактная алгебра классифицирует алгебраические структуры на основе законов или аксиом , которым подчиняются ее операции, и количества используемых операций. Одним из самых основных типов является группа, которая имеет одну операцию и требует, чтобы эта операция была ассоциативной и имела единичный элемент и обратные элементы . Операция ^[к] ассоциативен, если порядок нескольких приложений не имеет значения, т. е. если $(a\circ b)\circ c$ такой же как $a\circ (b\circ c)$ для всех элементов. Операция имеет единичный элемент или нейтральный элемент, если существует один элемент e , который не меняет значения любого другого элемента, т. е. если $a\circ e=e\circ a=a$ . Операция допускает обратные элементы, если для любого элемента $a$ существует обратный элемент $a^{-1}$ это обращает вспять его последствия. Если элемент связан с обратным ему, то результатом является нейтральный элемент e , формально выраженный как $a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$ . Любая алгебраическая структура, удовлетворяющая этим требованиям, является группой. ^[52] Например, $\langle \mathbb {Z} ,+\rangle$ представляет собой группу, образованную набором целых чисел вместе с операцией сложения. Нейтральным элементом является 0, а обратным элементом является любое число. $a$ является $-a$ . ^[53] Натуральные числа, напротив, не образуют группы, поскольку содержат только положительные числа и, следовательно, не имеют обратных элементов. ^[54] Теория групп — это раздел абстрактной алгебры, изучающий группы. ^[55]

Кольцо — это алгебраическая структура с двумя операциями ( $\circ$ и $\star$ ), которые работают аналогично сложению и умножению. Все требования групп распространяются и на первую операцию: она ассоциативна, имеет единичный элемент и обратные элементы. Кроме того, он коммутативен , что означает, что $a\circ b=b\circ a$ справедливо для всех элементов. Аксиома дистрибутивности определяет, как две операции взаимодействуют друг с другом. В нем говорится, что $a\star (b\circ c)=(a\star b)\circ (a\star c)$ и $(b\circ c)\star a=(b\star a)\circ (c\star a)$ . ^[л]^[57] Кольцо целых чисел — это кольцо, обозначаемое $\langle \mathbb {Z} ,+,\times \rangle$ . ^[58] Кольцо становится полем, если обе операции следуют аксиомам ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности и если обе операции имеют единичный элемент и обратные элементы. ^[м]^[60]Кольцо целых чисел не образует поля, поскольку у него нет мультипликативных обратных значений. Например, мультипликативное обратное уравнение $7$ является ${\tfrac {1}{7}}$ , который не является частью целых чисел. Рациональные числа , действительные числа и комплексные числа образуют поле с операциями сложения и умножения. ^[61]

Помимо групп, колец и полей, существует множество других алгебраических структур, изучаемых абстрактной алгеброй. К ним относятся магмы , полугруппы , моноиды , абелевы группы , коммутативные кольца , модули , решетки , векторные пространства и алгебры над полем . Они отличаются друг от друга типами описываемых объектов и требованиями, которым соответствуют их операции. Многие из них связаны друг с другом тем, что базовую структуру можно превратить в более совершенную, добавив дополнительные требования. ^[62] Например, магма становится полугруппой, если ее действие ассоциативно. ^[63]

Универсальная алгебра

Универсальная алгебра — это изучение алгебраических структур в целом. Это обобщение абстрактной алгебры, которое не ограничивается бинарными операциями и допускает операции с большим количеством входных данных, например троичные операции . Универсальная алгебра не интересуется конкретными элементами, составляющими базовые множества, а вместо этого исследует, какие структурные особенности имеют общие алгебраические структуры. ^[64]Одна из этих структурных особенностей касается тождеств , которые верны в различных алгебраических структурах. В этом контексте тождество — это универсальное уравнение или уравнение, верное для всех элементов базового набора. Например, коммутативность — это универсальное уравнение, которое утверждает, что $a\circ b$ идентичен $b\circ a$ для всех элементов. ^[65] Говорят, что две алгебраические структуры, имеющие все свои тождества, принадлежат к одному и тому же многообразию . ^[66]Например, кольцо целых чисел и кольцо многочленов являются частью одного и того же многообразия, поскольку они имеют одинаковые тождества, такие как коммутативность и ассоциативность. Поле рациональных чисел, напротив, не принадлежит к этому многообразию, поскольку оно имеет дополнительные тождества, такие как существование мультипликативных обратных чисел. ^[67]

Помимо тождеств, универсальную алгебру интересуют также структурные особенности, связанные с квазитождествами . Квазиидентичность — это идентичность, которая должна присутствовать только при определенных условиях. ^[н]Это обобщение тождества в том смысле, что всякое тождество является квазитождеством, но не всякое квазитождество является тождеством. Алгебраические структуры, которые разделяют все свои квазитождества, имеют определенные общие структурные характеристики, которые выражаются в утверждении, что они принадлежат к одному и тому же квазимногообразию . ^[68]

Гомоморфизмы — это инструмент универсальной алгебры для изучения структурных особенностей путем сравнения двух алгебраических структур. ^[69]Гомоморфизм — это функция от основного набора одной алгебраической структуры к основному набору другой алгебраической структуры, которая сохраняет определенные структурные характеристики. Если две алгебраические структуры используют бинарные операции и имеют вид $\langle A,\circ \rangle$ и $\langle B,\star \rangle$ тогда функция $h:A\to B$ является гомоморфизмом, если он удовлетворяет следующему требованию: $h(x\circ y)=h(x)\star h(y)$ . Существование гомоморфизма показывает, что операция $\star$ во второй алгебраической структуре играет ту же роль, что и операция $\circ$ делает в первой алгебраической структуре. ^[70] Изоморфизмы — это особый тип гомоморфизма, указывающий на высокую степень сходства между двумя алгебраическими структурами. Изоморфизм — это биективный гомоморфизм, что означает, что он устанавливает взаимно однозначное отношение между элементами двух алгебраических структур. Это означает, что каждый элемент первой алгебраической структуры отображается в один уникальный элемент второй структуры без каких-либо неотображенных элементов во второй структуре. ^[71]

Другим инструментом сравнения является связь между алгебраической структурой и ее подалгеброй . ^[72] Если $\langle A,\circ \rangle$ является подалгеброй $\langle B,\circ \rangle$ тогда набор $A$ является подмножеством $B$ . ^[О] Подалгебра должна использовать те же операции, что и алгебраическая структура. ^[п]и они должны следовать одним и тем же аксиомам. Сюда входит требование, чтобы все операции в подалгебре были замкнуты в $A$ , что означает, что они производят только элементы, принадлежащие $A$ . ^[72]Например, набор четных целых чисел вместе со сложением является подалгеброй полного набора целых чисел вместе со сложением. Это так, потому что сумма двух четных чисел снова является четным числом. Но набор нечетных целых чисел вместе со сложением не является подалгеброй, поскольку при сложении двух нечетных чисел получается четное число, которое не является частью выбранного подмножества. ^[73]

История

Происхождение алгебры лежит в попытках решить математические задачи, связанные с арифметическими вычислениями и неизвестными величинами. Эти события происходили в древний период в различных регионах, таких как Вавилония , Египет , Греция , Китай и Индия . Одним из самых ранних документов является Папирус Ринда из Древнего Египта, написанный около 1650 г. до н.э. ^[д]и обсуждает, как решать линейные уравнения , что выражается в таких задачах, как «Количество; к нему добавляется четверть. Оно становится пятнадцатью. Каково количество?» Вавилонские глиняные таблички примерно того же времени объясняют методы решения линейных и квадратных полиномиальных уравнений , такие как метод завершения квадрата . ^[74]

Многие из этих идей дошли до древних греков. Начиная с VI века до нашей эры, их основным интересом была геометрия, а не алгебра, но для решения геометрических задач они использовали алгебраические методы. Например, они изучали геометрические фигуры, принимая их длины и площади как неизвестные величины, подлежащие определению, как это показано в Пифагора формулировке метода разности двух квадратов , а затем в Евклида «Началах» . ^[75]В III веке нашей эры Диофант подробно описал, как решать алгебраические уравнения, в серии книг под названием «Арифметика» . Он был первым, кто экспериментировал с символьной записью для выражения многочленов. ^[76] В древнем Китае в книге « Девять глав математического искусства» исследовались различные методы решения алгебраических уравнений, включая использование матричных конструкций. ^[77]

Спорно, в какой степени эти ранние разработки следует считать частью собственно алгебры, а не предшественниками. Они предлагали решения алгебраических задач, но не рассматривали их в абстрактном и общем виде, а вместо этого сосредотачивались на конкретных случаях и приложениях. ^[78] Ситуация изменилась с появлением персидского математика аль-Хорезми . ^[р]который опубликовал свою «Сводную книгу по расчетам путем завершения и балансировки» в 825 году нашей эры. В нем представлено первое подробное рассмотрение общих методов, которые можно использовать для управления линейными и квадратными уравнениями путем «сокращения» и «балансировки» обеих сторон. ^[80] Другой влиятельный вклад в алгебру внесли арабский математик Табит ибн Курра в 9 веке и персидский математик Омар Хайям в 11 и 12 веках. ^[81]

В Индии Брахмагупта исследовал, как решать квадратные уравнения и системы уравнений с несколькими переменными в 7 веке нашей эры. Среди других его нововведений было использование нуля и отрицательных чисел в алгебраических уравнениях. ^[82] Индийские математики Махавира в 9 веке и Бхаскара II в 12 веке еще больше усовершенствовали методы и концепции Брахмагупты. ^[83] В 1247 году китайский математик Цинь Цзюшао написал « Математический трактат в девяти разделах» , включающий алгоритм численного вычисления многочленов , в том числе многочленов более высоких степеней. ^[84]

Франсуа Вьет и Рене Декарт изобрели символическую систему обозначений для абстрактного и краткого выражения уравнений.

Итальянский математик Фибоначчи принес идеи и методы аль-Хорезми в Европу в таких книгах, как его Liber Abaci . ^[85] В 1545 году итальянский эрудит Джероламо Кардано опубликовал свою книгу Ars Magna , в которой были освещены многие темы алгебры и первым были представлены общие методы решения кубической и уравнений четвертой степени . ^[86]В XVI и XVII веках французские математики Франсуа Виет и Рене Декарт ввели буквы и символы для обозначения переменных и операций, что позволило выражать уравнения абстрактно и кратко. Их предшественники полагались на словесное описание проблем и решений. ^[87] Некоторые историки рассматривают это развитие как ключевой поворотный момент в истории алгебры и считают то, что было до него, предысторией алгебры, поскольку ей не хватало абстрактной природы, основанной на символических манипуляциях. ^[88]

Множество попыток в 17 и 18 веках найти общие решения. ^[с] полиномам пятой степени и выше не удалось. ^[91] В конце XVIII века немецкий математик Карл Фридрих Гаусс доказал фундаментальную теорему алгебры , описывающую существование нулей многочленов любой степени, не давая общего решения. ^[18] В начале XIX века итальянский математик Паоло Руффини и норвежский математик Нильс Хенрик Абель смогли показать , что не существует общего решения для многочленов пятой степени и выше. ^[91] В ответ на их открытия и вскоре после них французский математик Эварист Галуа разработал то, что позже стало известно как теория Галуа , которая предложила более глубокий анализ решений многочленов, а также заложила основу теории групп . ^[19] Математики вскоре осознали значимость теории групп для других областей и применили ее к таким дисциплинам, как геометрия и теория чисел. ^[92]

Начиная с середины 19 века, интерес к алгебре сместился от изучения многочленов, связанных с элементарной алгеброй, к более общему исследованию алгебраических структур, что ознаменовало появление абстрактной алгебры . Этот подход исследовал аксиоматическую основу произвольных алгебраических операций. ^[93] Это развитие сопровождало изобретение новых алгебраических систем, основанных на различных операциях и элементах, таких как булева алгебра , векторная алгебра и матричная алгебра . ^[94]Влиятельные ранние разработки в абстрактной алгебре были сделаны немецкими математиками Давидом Гильбертом , Эрнстом Стейницем , Эмми Нётер и Эмилем Артином . Они исследовали различные формы алгебраических структур и разделили их на основе лежащих в их основе аксиом на типы, такие как группы, кольца и поля. ^[95]Идея еще более общего подхода, связанного с универсальной алгеброй, была высказана английским математиком Альфредом Нортом Уайтхедом в его книге 1898 года «Трактат об универсальной алгебре» . Начиная с 1930-х годов американский математик Гаррет Биркгоф расширил эти идеи и разработал многие основополагающие концепции в этой области. ^[96] Тесно связанными разработками были формулировки теории моделей , теории категорий , топологической алгебры , гомологической алгебры , алгебр Ли , свободных алгебр и групп гомологии . ^[97]

Приложения

Влияние алгебры широко распространено и охватывает многие отрасли математики, а также эмпирические науки. Алгебраические обозначения и алгебраические принципы играют ключевую роль в физике и смежных дисциплинах для выражения научных законов и решения уравнений. ^[98] Они также используются в таких областях, как инженерия , экономика , информатика и география, для выражения отношений, решения проблем и моделирования систем. ^[99]

Другие разделы математики

Алгебраизация математики — процесс применения алгебраических методов и принципов к другим разделам математики . Это предполагает использование символов в форме переменных для выражения математических идей на более общем уровне и использование алгебры для разработки математических моделей, описывающих, как объекты взаимодействуют и связаны друг с другом. ^[100] Это возможно, поскольку абстрактные закономерности, изучаемые алгеброй, имеют множество конкретных приложений в таких областях, как геометрия , топология , теория чисел и исчисление . ^[101]

Геометрию интересуют геометрические фигуры, которые можно описать с помощью алгебраических утверждений. Например, уравнение $y=3x-7$ описывает линию в двумерном пространстве, а уравнение $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ соответствует сфере в трехмерном пространстве. Особый интерес для алгебраической геометрии представляют алгебраические многообразия . ^[т] которые являются решениями систем полиномиальных уравнений , которые можно использовать для описания более сложных геометрических фигур. ^[102]Алгебраические рассуждения также можно использовать для решения геометрических задач. Например, можно определить, находится ли линия, описываемая $y=x+1$ пересекается с окружностью, описанной $x^{2}+y^{2}=25$ решив систему уравнений, состоящую из этих двух уравнений. ^[103]Топология изучает свойства геометрических фигур или топологических пространств , сохраняющиеся при операциях непрерывной деформации . Алгебраическая топология опирается на алгебраические теории, такие как теория групп, для классификации топологических пространств. Например, гомотопические группы классифицируют топологические пространства на основе существования в них петель или дыр . ^[104]Теория чисел занимается свойствами и отношениями между целыми числами. Алгебраическая теория чисел применяет алгебраические методы к этой области исследований, например, используя алгебраические выражения для описания законов, таких как Великая теорема Ферма , и анализируя, как числа образуют алгебраические структуры, такие как кольцо целых чисел . ^[105]Понимание алгебры также применимо к исчислению, которое использует математические выражения для изучения скорости изменения и накопления . Он опирается на алгебру, чтобы понять, как можно преобразовать эти выражения и какую роль в них играют переменные. ^[106]

Логика

Логика – это изучение правильных рассуждений. ^[107] Алгебраическая логика использует алгебраические методы для описания и анализа структур и закономерностей, лежащих в основе логических рассуждений . ^[108]Одна его часть заинтересована в понимании самих математических структур без учета конкретных последствий, которые они оказывают на процесс вывода умозаключений . Другая часть исследует, как проблемы логики могут быть выражены на языке алгебры и как открытия, полученные с помощью алгебраического анализа, влияют на логику. ^[109]

Булева алгебра — влиятельный инструмент в алгебраической логике для описания логики высказываний . ^[110] Предложения – это утверждения, которые могут быть истинными или ложными. ^[111]Логика высказываний использует логические связки для объединения двух предложений в сложное предложение. Например, связка «если … то» может использоваться для объединения предложений «идет дождь» и «на улицах мокро» в сложное предложение «если идет дождь, то на улицах мокро». Пропозициональная логика интересуется тем, как истинностное значение сложного предложения зависит от истинностных значений его составляющих. ^[112]С помощью булевой алгебры эту проблему можно решить, интерпретируя истинностные значения как числа: 0 соответствует ложному, а 1 соответствует истинному. Логические связки понимаются как бинарные операции, которые принимают на вход два числа и возвращают результат, соответствующий истинностному значению сложного предложения. ^[113] Алгебраическая логика также интересуется тем, как более сложные логические системы могут быть описаны с помощью алгебраических структур и каким многообразиям и квазимногообразиям принадлежат эти алгебраические структуры. ^[114]

Образование

Обучение алгебре в основном сосредоточено на элементарной алгебре, что является одной из причин, почему ее называют школьной алгеброй. Обычно его не вводят до среднего образования, поскольку он требует овладения основами арифметики, одновременно создавая новые когнитивные задачи, связанные с абстрактным рассуждением и обобщением. ^[116]Его цель — познакомить учащихся с абстрактной стороной математики, помогая им понять математическую символику, например, как переменные можно использовать для представления неизвестных величин. Дополнительная трудность для учащихся заключается в том, что, в отличие от арифметических вычислений, алгебраические выражения зачастую не могут быть решены непосредственно. Вместо этого учащимся необходимо научиться преобразовывать их по определенным законам, часто с целью определения неизвестной величины. ^[117]

Использование весов для представления уравнений — это наглядный подход, позволяющий познакомить учащихся с основными проблемами алгебры. Масса некоторых объектов на шкале неизвестна и представляет собой переменную величину. Решение уравнения соответствует добавлению и удалению объектов с обеих сторон таким образом, чтобы стороны оставались в равновесии до тех пор, пока единственный объект, остающийся на одной стороне, не станет объектом неизвестной массы. ^[115]Использование словесных задач — еще один инструмент, показывающий, как алгебра применяется в реальных жизненных ситуациях. Например, студентам можно предложить ситуацию, в которой у брата Наоми в два раза больше яблок, чем у Наоми. Учитывая, что у обоих вместе есть двенадцать яблок, учащихся затем просят найти алгебраическое уравнение, описывающее эту ситуацию ( $2x+x=12$ ) и определить, сколько яблок у Наоми ( $x=4$ ). ^[118]

Смотрите также

Внешние ссылки

[2] В самом широком смысле алгебраическая операция представляет собой функцию преобразования декартовой степени набора в этот набор , формально выражаемую как $\omega :A^{n}\to A$ . Сложение действительных чисел является примером алгебраической операции: на входе принимаются два числа, а на выходе получается одно число. Он имеет форму $+:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ . ^[1]

[9] Алгебра охватывается делением 512 десятичной классификации Дьюи. ^[5] и подкласс QA 150-272.5 в Классификации Библиотеки Конгресса . ^[6] Он охватывает несколько областей предметной классификации математики . ^[7]

[22] Эти изменения были частично вызваны открытиями, которые решили многие старые проблемы алгебры. Например, доказательство основной теоремы алгебры продемонстрировало существование комплексных решений полиномов. ^[18] и введение теории Галуа охарактеризовало многочлены, имеющие общие решения . ^[19]

[26] Константы представляют собой фиксированные величины, которые, в отличие от переменных, не могут измениться.

[33] Полином — это выражение, состоящее из одного или нескольких членов, которые складываются или вычитаются друг из друга. Каждый термин является либо константой, либо переменной, либо произведением константы и переменных. Каждую переменную можно возвести в степень положительного целого числа. Примеры: $3x^{2}-7$ и $5x^{3}y+4yz$ . ^[28]

[40] Матрица — это таблица чисел, например ${\begin{bmatrix}3&-7&19\\0.3&7&-4\end{bmatrix}}$

[41] Вектор — это массив чисел или матрица только с одним столбцом, например ${\begin{bmatrix}2.1\\0\\-1\end{bmatrix}}$

[54] Набор — это неупорядоченная коллекция отдельных элементов, таких как числа, векторы или другие наборы. Теория множеств описывает законы и свойства множеств. ^[46]

[56] Согласно некоторым определениям, алгебраические структуры включают выделенный элемент в качестве дополнительного компонента, например, единичный элемент в случае умножения. ^[47]

[58] Некоторые из алгебраических структур, изучаемых абстрактной алгеброй, включают унарные операции помимо бинарных операций . Например, нормированные векторные пространства имеют норму — унарную операцию, часто используемую для сопоставления вектора с его длиной. ^[48]

[62] Такие символы, как $\circ$ и $\star$ часто используются в абстрактной алгебре для обозначения любой операции, которая может напоминать или не напоминать арифметические операции.

[68] Некоторые определения дополнительно требуют, чтобы вторая операция была ассоциативной. ^[56]

[72] Для второй операции обычно есть один элемент, соответствующий 0, который не требует обратного элемента. ^[59]

[81] Условия принимают форму оговорки Хорна .

[87] Это означает, что все элементы $A$ также являются элементами $B$ но $B$ может содержать элементы, которых нет в $A$ .

[89] Согласно некоторым определениям, в подалгебре также может быть меньше операций. ^[73]

[90] Точная дата оспаривается.

[97] Некоторые историки считают его «отцом алгебры», другие сохраняют этот титул за Диофантом. ^[79]

[109] Общее решение или решение в радикалах представляет собой алгебраическое уравнение замкнутой формы , изолирующее переменную с одной стороны. Например, общее решение квадратных уравнений вида $ax^{2}+bx+c=0$ является $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$ . Отсутствие общих решений не означает отсутствия численных решений. ^[89]^[90]

[121] Алгебраические многообразия, изучаемые в геометрии, отличаются от более общих многообразий, изучаемых в универсальной алгебре.

[1] Баранович 2023 , Ведущий раздел

[3] 
Мерзляков и Ширшов 2020 , Ведущий секции
Гилберт и Николсон 2004 , с. 4

[23] Мерзляков и Ширшов 2020 , Ведущий секции

[24] Гилберт и Николсон 2004 , с. 4

[4] 
Фиш и Эбютерн, 2013 , стр. 326 .
Мерзляков и Ширшов 2020 , § Предмет алгебры, ее основные разделы и связь с другими разделами математики.
Гилберт и Николсон 2004 , с. 4

[26] Фиш и Эбютерн, 2013 , стр. 326 .

[27] Мерзляков и Ширшов 2020 , § Предмет алгебры, ее основные разделы и связь с другими разделами математики.

[28] Гилберт и Николсон 2004 , с. 4

[5] 
Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 1. Элементарная алгебра, § 2. Абстрактная алгебра, § 3. Универсальная алгебра
Мерзляков и Ширшов 2020 , § Предмет алгебры, ее основные разделы и связь с другими разделами математики.

[30] Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 1. Элементарная алгебра, § 2. Абстрактная алгебра, § 3. Универсальная алгебра

[31] Мерзляков и Ширшов 2020 , § Предмет алгебры, ее основные разделы и связь с другими разделами математики.

[FOOTNOTEHigham2019[httpsbooksgooglecombooksidferEDwAAQBAJpgPA296_296]-6] Хайэм 2019 , с. 296 .

[FOOTNOTELibrary_of_Congress3-7] Библиотека Конгресса , с. 3.

[FOOTNOTEzbMATH_Open2024-8] zbMATH Open 2024 .

[10] 
Мэддокс 2008 , с. 129
Бургин 2022 , стр. 45.

[36] Мэддокс 2008 , с. 129

[37] Бургин 2022 , стр. 45.

[auto1-11] Перейти обратно: ^а ^б
Романовский 2008 , стр. 302–303
Персонал ХК 2022
Персонал МВ 2023
Бухштаб и Печаев 2020

[39] Романовский 2008 , стр. 302–303

[40] Персонал ХК 2022

[41] Персонал МВ 2023

[42] Бухштаб и Печаев 2020

[12] 
Мэддокс 2008 , стр. 129–130
Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 1. Элементарная алгебра
Вагнер и Киран 2018 , с. 225

[44] Мэддокс 2008 , стр. 129–130

[45] Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 1. Элементарная алгебра

[46] Вагнер и Киран 2018 , с. 225

[13] 
Мэддокс 2008 , стр. 131–132
Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра
Вагнер и Киран 2018 , с. 225

[48] Мэддокс 2008 , стр. 131–132

[49] Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра

[50] Вагнер и Киран 2018 , с. 225

[14] 
Пратт 2022 , § 3. Универсальная алгебра
Гриле 2007 , стр. 559.

[52] Пратт 2022 , § 3. Универсальная алгебра

[53] Гриле 2007 , стр. 559.

[15] 
Крессвелл 2010 , с. 11
Сотрудники ОУП
Menini & Oystaeyen 2017 , p. 722

[55] Крессвелл 2010 , с. 11

[56] Сотрудники ОУП

[57] Menini & Oystaeyen 2017 , p. 722

[16] 
Вайсштейн 2003 , с. 46
Ренце и Вайсштайн
Вальс 2016 , Алгебра

[59] Вайсштейн 2003 , с. 46

[60] Ренце и Вайсштайн

[61] Вальс 2016 , Алгебра

[17] 
Вайсштейн 2003 , с. 46
Ренце и Вайсштайн
Голаны 1995 , стр. 101-1. 219–227

[63] Вайсштейн 2003 , с. 46

[64] Ренце и Вайсштайн

[65] Голаны 1995 , стр. 101-1. 219–227

[18] Сотрудники МНВ 2017 г.

[19] 
Крессвелл 2010 , с. 11
Сотрудники ОУП
Menini & Oystaeyen 2017 , p. 722
Хоад 1993 , с. 10

[68] Крессвелл 2010 , с. 11

[69] Сотрудники ОУП

[70] Menini & Oystaeyen 2017 , p. 722

[71] Хоад 1993 , с. 10

[auto7-20] Перейти обратно: ^а ^б
Тантон 2005 , с. 10
Квас 2006 , с. 308
Корри 2024 , § Основная теорема алгебры

[73] Тантон 2005 , с. 10

[74] Квас 2006 , с. 308

[75] Корри 2024 , § Основная теорема алгебры

[auto2-21] Перейти обратно: ^а ^б
Квас 2006 , стр. 314–345
Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор
Корри 2024 , § Теория Галуа, § Приложения теории групп

[77] Квас 2006 , стр. 314–345

[78] Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор

[79] Корри 2024 , § Теория Галуа, § Приложения теории групп

[23] 
Тантон 2005 , с. 10
Корри 2024 , § Структурная алгебра
Хазевинкель 1994 , стр. 73–74

[81] Тантон 2005 , с. 10

[82] Корри 2024 , § Структурная алгебра

[83] Хазевинкель 1994 , стр. 73–74

[24] 
Ренце и Вайсштайн
Бенсон 2003 , стр. 111–112 .

[85] Ренце и Вайсштайн

[86] Бенсон 2003 , стр. 111–112 .

[auto4-25] Перейти обратно: ^а ^б
Мэддокс 2008 , с. 129
Берггрен 2015 , ведущий отдел
Пратт 2022 , § 1. Элементарная алгебра
Мерзляков и Ширшов 2020 , § 1. Исторический обзор

[88] Мэддокс 2008 , с. 129

[89] Берггрен 2015 , ведущий отдел

[90] Пратт 2022 , § 1. Элементарная алгебра

[91] Мерзляков и Ширшов 2020 , § 1. Исторический обзор

[27] 
Мэддокс 2008 , стр. 129–130
Молодой 2010 , с. 999
Маевский 2004 , стр. 347.
Бутусием и Тот 2020 , стр. 24–28 .
Пратт 2022 , § 1. Элементарная алгебра
Стерлинг 2016 , с. 13
Сорелл 2000 , с. 19

[93] Мэддокс 2008 , стр. 129–130

[94] Молодой 2010 , с. 999

[95] Маевский 2004 , стр. 347.

[96] Бутусием и Тот 2020 , стр. 24–28 .

[97] Пратт 2022 , § 1. Элементарная алгебра

[98] Стерлинг 2016 , с. 13

[99] Сорелл 2000 , с. 19

[28] 
Мэддокс 2008 , стр. 129–130
Бутусием и Тот 2020 , стр. 24–28 .

[101] Мэддокс 2008 , стр. 129–130

[102] Бутусием и Тот 2020 , стр. 24–28 .

[29] 
Массер, Петерсон и Бургер 2013 , с. 16
Гудман 2001 , с. 5
Уильямс 2022

[104] Массер, Петерсон и Бургер 2013 , с. 16

[105] Гудман 2001 , с. 5

[106] Уильямс 2022

[30] 
Мэддокс 2008 , с. 130
Бутусием и Тот 2020 , стр. 25–28 .
Пратт 2022 , § 1. Элементарная алгебра
Мерзляков и Ширшов 2020 , § 1. Исторический обзор

[108] Мэддокс 2008 , с. 130

[109] Бутусием и Тот 2020 , стр. 25–28 .

[110] Пратт 2022 , § 1. Элементарная алгебра

[111] Мерзляков и Ширшов 2020 , § 1. Исторический обзор

[31] 
Тан, Стиб и Харди, 2012 г. , с. 306
Ламанья 2019 , с. 150

[113] Тан, Стиб и Харди, 2012 г. , с. 306

[114] Ламанья 2019 , с. 150

[FOOTNOTEMarkushevich2015-32] Маркушевич 2015 .

[34] 
Бутусием и Тот 2020 , стр. 24–28 .
Берггрен 2015 , § Алгебраические выражения, § Решение алгебраических уравнений

[117] Бутусием и Тот 2020 , стр. 24–28 .

[118] Берггрен 2015 , § Алгебраические выражения, § Решение алгебраических уравнений

[35] 
Зилл и Дьюар 2011 , с. 529
Берггрен 2015 , § Решение систем алгебраических уравнений
МакКег 2014 , с. 386

[120] Зилл и Дьюар 2011 , с. 529

[121] Берггрен 2015 , § Решение систем алгебраических уравнений

[122] МакКег 2014 , с. 386

[36] 
Мэддокс 2008 , стр. 130–131
Вальс 2016 , Алгебра

[124] Мэддокс 2008 , стр. 130–131

[125] Вальс 2016 , Алгебра

[37] 
Мэддокс 2008 , стр. 130–131
Роде и др. 2012 , с. 89
Вальс 2016 , Алгебра

[127] Мэддокс 2008 , стр. 130–131

[128] Роде и др. 2012 , с. 89

[129] Вальс 2016 , Алгебра

[38] 
Мэддокс 2008 , с. 131
Баррера-Мора 2023 , стр. ix, 1–2 ,

[131] Мэддокс 2008 , с. 131

[132] Баррера-Мора 2023 , стр. ix, 1–2 ,

[39] 
Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 2–3
Мэддокс 2008 , с. 131
Войцеховский 2011г.

[134] Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 2–3

[135] Мэддокс 2008 , с. 131

[136] Войцеховский 2011г.

[42] 
Баррера-Мора 2023 , стр. ix, 1, 12–13
Янг 2010 , стр. 726–727 .
Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 32–34

[138] Баррера-Мора 2023 , стр. ix, 1, 12–13

[139] Янг 2010 , стр. 726–727 .

[140] Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 32–34

[43] 
Мэддокс 2008 , с. 131
Андрилли и Хекер 2022 , стр. 57–58

[142] Мэддокс 2008 , с. 131

[143] Андрилли и Хекер 2022 , стр. 57–58

[44] 
Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 3–7
Мортенсен 2013 , стр. 73–74 .
Уильямс 2007 , стр. 4–5.
Молодой 2023 , стр. 714–715 .

[145] Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 3–7

[146] Мортенсен 2013 , стр. 73–74 .

[147] Уильямс 2007 , стр. 4–5.

[148] Молодой 2023 , стр. 714–715 .

[45] 
Мэддокс 2008 , с. 131
Харрисон и Уолдрон 2011 , с. 464
Антон 2013 , с. 255

[150] Мэддокс 2008 , с. 131

[151] Харрисон и Уолдрон 2011 , с. 464

[152] Антон 2013 , с. 255

[46] 
Янг 2010 , стр. 697–698 .
Мэддокс 2008 , с. 131
Салливан 2010 , стр. 53–54

[154] Янг 2010 , стр. 697–698 .

[155] Мэддокс 2008 , с. 131

[156] Салливан 2010 , стр. 53–54

[47] 
Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 7–8
Салливан 2010 , стр. 55–56
Атанасиу и Микусински 2019 , стр. 75.

[158] Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 7–8

[159] Салливан 2010 , стр. 55–56

[160] Атанасиу и Микусински 2019 , стр. 75.

[48] 
Мэддокс 2008 , с. 131
Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 7–8, 11,

[162] Мэддокс 2008 , с. 131

[163] Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 7–8, 11,

[49] 
Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 3–5
Янг 2010 , стр. 696–697 .
Уильямс 2007 , стр. 4–5.

[165] Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 3–5

[166] Янг 2010 , стр. 696–697 .

[167] Уильямс 2007 , стр. 4–5.

[50] 
Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 3–5
Молодой 2010 , с. 713
Уильямс 2007 , стр. 4–5.

[169] Антон и Роррес 2013 , стр. 101-1. 3–5

[170] Молодой 2010 , с. 713

[171] Уильямс 2007 , стр. 4–5.

[51] 
Гилберт и Николсон 2004 , с. 1
Доминич 2008 , с. 19

[173] Гилберт и Николсон 2004 , с. 1

[174] Доминич 2008 , с. 19

[52] 
Мэддокс 2008 , стр. 131–132
Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра
Гилберт и Николсон, 2004 г. , стр. 1–3 .
Доминич 2008 , с. 19

[176] Мэддокс 2008 , стр. 131–132

[177] Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра

[178] Гилберт и Николсон, 2004 г. , стр. 1–3 .

[179] Доминич 2008 , с. 19

[53] Тантон 2005 , с. 460

[auto5-55] Перейти обратно: ^а ^б Ovchinnikov 2015 , p. 27

[57] Гриле 2007 , стр. 247.

[59] 
Ovchinnikov 2015 , p. 27
Фиш и Эбютерн, 2013 , стр. 326 .
Гилберт и Николсон 2004 , с. 4
Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра

[184] Ovchinnikov 2015 , p. 27

[185] Фиш и Эбютерн, 2013 , стр. 326 .

[186] Гилберт и Николсон 2004 , с. 4

[187] Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра

[60] 
Мэддокс 2008 , стр. 131–132
Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра

[189] Мэддокс 2008 , стр. 131–132

[190] Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра

[61] 
Олвер 1999 , стр. 55–56.
Абас и Салман 1994 , стр. 101-1. 58–59
Хеберле 2009 , с. 640

[192] Олвер 1999 , стр. 55–56.

[193] Абас и Салман 1994 , стр. 101-1. 58–59

[194] Хеберле 2009 , с. 640

[63] 
Роуленд и Вайсштейн
Kargapolov & Merzlyakov 2016 , § Definition
Хаттар и Агравал 2023 , стр. 4–6
Мэддокс 2008 , стр. 131–132
Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра

[196] Роуленд и Вайсштейн

[197] Kargapolov & Merzlyakov 2016 , § Definition

[198] Хаттар и Агравал 2023 , стр. 4–6

[199] Мэддокс 2008 , стр. 131–132

[200] Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра

[64] 
Хаттар и Агравал 2023 , стр. 6–7
Мэддокс 2008 , стр. 131–132

[202] Хаттар и Агравал 2023 , стр. 6–7

[203] Мэддокс 2008 , стр. 131–132

[65] 
МакВини 2002 , с. 6
Крамер и Пиппич 2017 , с. 49

[205] МакВини 2002 , с. 6

[206] Крамер и Пиппич 2017 , с. 49

[66] Тантон 2005 , с. 242

[67] Вайсштейн 2024c

[69] 
Вайсштайн 2024c
Иванова 2016
Максвелл 2009 , стр. 73–74 .
Пратт 2022 , § 2.3 Кольца

[210] Вайсштайн 2024c

[211] Иванова 2016

[212] Максвелл 2009 , стр. 73–74 .

[213] Пратт 2022 , § 2.3 Кольца

[70] Терр и Вайсштейн

[71] Вайсштейн 2024b

[73] 
Вайсштайн 2024а
Вайсштайн 2024b
Пратт 2022 , § 2.4 Поля

[217] Вайсштайн 2024а

[218] Вайсштайн 2024b

[219] Пратт 2022 , § 2.4 Поля

[74] 
Вайсштайн 2024а
Ирвинг 2004 , с. 236
Черный 2022 , с. 365

[221] Вайсштайн 2024а

[222] Ирвинг 2004 , с. 236

[223] Черный 2022 , с. 365

[75] 
Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра
Мерзляков и Ширшов 2020 , Предмет алгебры, ее основные разделы и связь с другими разделами математики.

[225] Пратт 2022 , Ведущий раздел, § 2. Абстрактная алгебра

[226] Мерзляков и Ширшов 2020 , Предмет алгебры, ее основные разделы и связь с другими разделами математики.

[76] Купер 2011 , с. 60

[77] 
Пратт 2022 , § 3. Универсальная алгебра
Инсалл и Сахаров

[229] Пратт 2022 , § 3. Универсальная алгебра

[230] Инсалл и Сахаров

[78] 
Пратт 2022 , § 3.2 Эквациональная логика
Мальцев 1973 , с. 210–211
Инсалл и Сахаров

[232] Пратт 2022 , § 3.2 Эквациональная логика

[233] Мальцев 1973 , с. 210–211

[234] Инсалл и Сахаров

[79] 
Пратт 2022 , § 3. Универсальная алгебра
Мальцев 1973 , с. 210–211

[236] Пратт 2022 , § 3. Универсальная алгебра

[237] Мальцев 1973 , с. 210–211

[80] 
Кокс, Литтл и О'Ши, 2015 , с. 268
Инсалл и Сахаров
Черный 2022 , с. 365
Вайсштайн 2024а

[239] Кокс, Литтл и О'Ши, 2015 , с. 268

[240] Инсалл и Сахаров

[241] Черный 2022 , с. 365

[242] Вайсштайн 2024а

[82] 
Мальцев 1973 , с. 210–211
Пратт 2022 , § 3. Универсальная алгебра
Artamonov 2003 , p. 873

[244] Мальцев 1973 , с. 210–211

[245] Пратт 2022 , § 3. Универсальная алгебра

[246] Artamonov 2003 , p. 873

[83] 
Инсалл и Сахаров
Пратт 2022 , § 3.3 Теорема Биркгофа
Гретцер 2008 , с. 34

[248] Инсалл и Сахаров

[249] Пратт 2022 , § 3.3 Теорема Биркгофа

[250] Гретцер 2008 , с. 34

[84] 
Пратт 2022 , § 3.3 Теорема Биркгофа
Инсалл и Сахаров
Сильвия и Робинсон 1979 , с. 82

[252] Пратт 2022 , § 3.3 Теорема Биркгофа

[253] Инсалл и Сахаров

[254] Сильвия и Робинсон 1979 , с. 82

[85] 
Нери 2019 , стр. 278–279
Иванова и Смирнов 2012

[256] Нери 2019 , стр. 278–279

[257] Иванова и Смирнов 2012

[auto8-86] Перейти обратно: ^а ^б
Индурхья 2013 , стр. 217–218
Пратт 2022 , § 3.3 Теорема Биркгофа
Гретцер 2008 , с. 34

[259] Индурхья 2013 , стр. 217–218

[260] Пратт 2022 , § 3.3 Теорема Биркгофа

[261] Гретцер 2008 , с. 34

[auto6-88] Перейти обратно: ^а ^б Индурхья 2013 , стр. 217–218

[91] 
Тантон 2005 , с. 9
Квас 2006 , с. 290
Корри 2024 , § Решение проблем в Египте и Вавилоне

[264] Тантон 2005 , с. 9

[265] Квас 2006 , с. 290

[266] Корри 2024 , § Решение проблем в Египте и Вавилоне

[92] 
Тантон 2005 , с. 9
Квас 2006 , с. 290
Корри 2024 , § Пифагорейцы и Евклид

[268] Тантон 2005 , с. 9

[269] Квас 2006 , с. 290

[270] Корри 2024 , § Пифагорейцы и Евклид

[93] 
Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор
Сиаларос 2018 , с. 55
Муселяк 2020 , стр. 36.
Корри 2024 , § Диофант

[272] Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор

[273] Сиаларос 2018 , с. 55

[274] Муселяк 2020 , стр. 36.

[275] Корри 2024 , § Диофант

[94] Хиггинс 2015 , с. 89

[95] 
Квас 2006 , стр. 290–291
Сиаларос 2018 , с. 55
Бойер и Мерцбах 2011 , с. 161
Дербишир 2006 , с. 31

[278] Квас 2006 , стр. 290–291

[279] Сиаларос 2018 , с. 55

[280] Бойер и Мерцбах 2011 , с. 161

[281] Дербишир 2006 , с. 31

[96] 
Бойер и Мерцбах 2011 , с. 161
Дербишир 2006 , с. 31

[283] Бойер и Мерцбах 2011 , с. 161

[284] Дербишир 2006 , с. 31

[98] 
Тантон 2005 , с. 10
Квас 2006 , стр. 291–293
Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор

[286] Тантон 2005 , с. 10

[287] Квас 2006 , стр. 291–293

[288] Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор

[99] 
Варден 2013 , стр. 3, 15–16, 24–25
Дженкинс 2010 , с. 82
Пиковер 2009 , с. 90

[290] Варден 2013 , стр. 3, 15–16, 24–25

[291] Дженкинс 2010 , с. 82

[292] Пиковер 2009 , с. 90

[100] 
Тантон 2005 , стр. 101-1. 9–10
Корри 2024 , § Уравнение в Индии и Китае

[294] Тантон 2005 , стр. 101-1. 9–10

[295] Корри 2024 , § Уравнение в Индии и Китае

[101] 
Сешадри 2010 , с. 156
Эмч, Шридхаран и Шринивас 2005 , с. 20

[297] Сешадри 2010 , с. 156

[298] Эмч, Шридхаран и Шринивас 2005 , с. 20

[102] 
Сморинский 2007 , с. 137
Цвиллингер 2002 , с. 812

[300] Сморинский 2007 , с. 137

[301] Цвиллингер 2002 , с. 812

[103] 
Варден 2013 , стр. 32–35
Тантон 2005 , с. 10
Квас 2006 , с. 293

[303] Варден 2013 , стр. 32–35

[304] Тантон 2005 , с. 10

[305] Квас 2006 , с. 293

[104] 
Тантон 2005 , с. 10
Квас 2006 , с. 293
Корри 2024 , § Кардано и решение кубических и четвертых уравнений

[307] Тантон 2005 , с. 10

[308] Квас 2006 , с. 293

[309] Корри 2024 , § Кардано и решение кубических и четвертых уравнений

[105] 
Тантон 2005 , с. 10
Квас 2006 , стр. 291–292, 297–298, 302
Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор
Корри 2024 , § Виет и формальное уравнение, § Аналитическая геометрия

[311] Тантон 2005 , с. 10

[312] Квас 2006 , стр. 291–292, 297–298, 302

[313] Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор

[314] Корри 2024 , § Виет и формальное уравнение, § Аналитическая геометрия

[106] 
Хазевинкель 1994 , с. 73
Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор

[316] Хазевинкель 1994 , с. 73

[317] Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор

[FOOTNOTEIgarashiAltmanFunadaKamiyama2014[httpsbooksgooglecombooksid58ySAwAAQBAJpgPA103_103]-107] Игараси и др. 2014 , с. 103 .

[FOOTNOTESunZhang2020[httpsbooksgooglecombooksidSZ3hDwAAQBAJpgPA94_94]-108] Сунь и Чжан 2020 , с. 94 .

[auto3-110] Перейти обратно: ^а ^б
Тантон 2005 , с. 10
Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор
Корри 2024 , § Тупик с радикальными методами

[321] Тантон 2005 , с. 10

[322] Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор

[323] Корри 2024 , § Тупик с радикальными методами

[111] Корри 2024 , § Приложения теории групп

[112] 
Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор
Тантон 2005 , с. 10
Корри 2024 , § Структурная алгебра
Хазевинкель 1994 , стр. 73–74

[326] Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор

[327] Тантон 2005 , с. 10

[328] Корри 2024 , § Структурная алгебра

[329] Хазевинкель 1994 , стр. 73–74

[113] 
Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор
Тантон 2005 , с. 10
Корри 2024 , § Матрицы, § Кватернионы и векторы

[331] Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор

[332] Тантон 2005 , с. 10

[333] Корри 2024 , § Матрицы, § Кватернионы и векторы

[114] 
Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор
Корри 2024 , § Гильберт и Стейниц, § Нётер и Артин
Хазевинкель 1994 , стр. 73–74

[335] Мерзляков и Ширшов 2020 , § Исторический обзор

[336] Корри 2024 , § Гильберт и Стейниц, § Нётер и Артин

[337] Хазевинкель 1994 , стр. 73–74

[115] 
Гретцер 2008 , с. VII
Чанг и Кейслер 1990 , с. 603
Кнобель 2011 , с. 5
Хазевинкель 1994 , стр. 74–75

[339] Гретцер 2008 , с. VII

[340] Чанг и Кейслер 1990 , с. 603

[341] Кнобель 2011 , с. 5

[342] Хазевинкель 1994 , стр. 74–75

[116] 
Хазевинкель 1994 , стр. 74–75
Гретцер 2008 , с. 338
Пратт 2022 , § 6. Свободные алгебры

[344] Хазевинкель 1994 , стр. 74–75

[345] Гретцер 2008 , с. 338

[346] Пратт 2022 , § 6. Свободные алгебры

[117] 
Хьюстон 2004 , с. 319
Коррочано и Собчик 2011 , стр. xvii .
Нери 2019 , с. 12

[348] Хьюстон 2004 , с. 319

[349] Коррочано и Собчик 2011 , стр. xvii .

[350] Нери 2019 , с. 12

[118] 
Коррочано и Собчик 2011 , стр. xvii .
Нери 2019 , с. 12
Алескеров, Эрсель и Пионтковский 2011 , стр. 1–9
Страффин 1980 , с. 269

[352] Коррочано и Собчик 2011 , стр. xvii .

[353] Нери 2019 , с. 12

[354] Алескеров, Эрсель и Пионтковский 2011 , стр. 1–9

[355] Страффин 1980 , с. 269

[119] 
Манкосо 1999 , стр. 84–85
Кляйнер 2007 , с. 100
Пратт 2022 , § 5. Алгебраизация математики

[357] Манкосо 1999 , стр. 84–85

[358] Кляйнер 2007 , с. 100

[359] Пратт 2022 , § 5. Алгебраизация математики

[120] 
Кляйнер 2007 , с. 100
Пратт 2022 , § 5. Алгебраизация математики
Мэддокс 2008 , с. 130

[361] Кляйнер 2007 , с. 100

[362] Пратт 2022 , § 5. Алгебраизация математики

[363] Мэддокс 2008 , с. 130

[122] 
Пратт 2022 , § 5.1 Алгебраическая геометрия
Danilov 2006 , pp. 172, 174

[365] Пратт 2022 , § 5.1 Алгебраическая геометрия

[366] Danilov 2006 , pp. 172, 174

[123] Стерлинг 2021 , с. 645

[124] 
Пратт 2022 , § 5.3 Алгебраическая топология
Рабадан и Блумберг, 2019 , стр. 49–50 .
Накахара 2018 , с. 121
Вайсштейн 2003 , стр. 52–53.

[369] Пратт 2022 , § 5.3 Алгебраическая топология

[370] Рабадан и Блумберг, 2019 , стр. 49–50 .

[371] Накахара 2018 , с. 121

[372] Вайсштейн 2003 , стр. 52–53.

[125] 
Пратт 2022 , § 5.2 Алгебраическая теория чисел
Джарвис 2014 , с. 1
Витербо и Хонг 2011 , с. 127

[374] Пратт 2022 , § 5.2 Алгебраическая теория чисел

[375] Джарвис 2014 , с. 1

[376] Витербо и Хонг 2011 , с. 127

[126] 
Килти и Макаллистер, 2018 , стр. x, 347, 589.
Эдвардс, 2012 г. , стр. ix–x.

[378] Килти и Макаллистер, 2018 , стр. x, 347, 589.

[379] Эдвардс, 2012 г. , стр. ix–x.

[127] Hintikka 2019 , Ведущий раздел, § Природа и разновидности логики

[128] 
Халмош 1956 , с. 363
Burris & Legris 2021 , § 1. Введение

[382] Халмош 1956 , с. 363

[383] Burris & Legris 2021 , § 1. Введение

[129] Андрека, Немети и Сайн 2001 , стр. 133–134

[130] 
Андрека, Мадарас и Немети 2020 , § Конкретная алгебраическая логика
Пратт 2022 , § 5.4 Алгебраическая логика
Плоткин 2012 , стр. 155–156 .
Джансана 2022 , ведущий отдел

[386] Андрека, Мадарас и Немети 2020 , § Конкретная алгебраическая логика

[387] Пратт 2022 , § 5.4 Алгебраическая логика

[388] Плоткин 2012 , стр. 155–156 .

[389] Джансана 2022 , ведущий отдел

[131] МакГрат и Фрэнк, 2023 , ведущий раздел

[132] 
Боскини, Хансен и Вольф, 2022 , с. 21
Броды 2006 , стр. 535–536.
Фрэнкс 2023 , ведущий отдел

[392] Боскини, Хансен и Вольф, 2022 , с. 21

[393] Броды 2006 , стр. 535–536.

[394] Фрэнкс 2023 , ведущий отдел

[133] 
Андрека, Мадарас и Немети 2020 , § Конкретная алгебраическая логика
Плоткин 2012 , стр. 155–156 .
Качру и Озбай 2018 , стр. 176–177

[396] Андрека, Мадарас и Немети 2020 , § Конкретная алгебраическая логика

[397] Плоткин 2012 , стр. 155–156 .

[398] Качру и Озбай 2018 , стр. 176–177

[134] 
Андрека, Мадарас и Немети 2020 , § Абстрактная алгебраическая логика
Янсана 2022 , § 4. Алгебры

[400] Андрека, Мадарас и Немети 2020 , § Абстрактная алгебраическая логика

[401] Янсана 2022 , § 4. Алгебры

[auto-135] Перейти обратно: ^а ^б Гарделла и ДеЛюсия 2020 , стр. 19–22

[136] 
Аркави, Дрейверс и Стейси, 2016 , с. xiii
Деккер и Долк 2011 , стр. 69.

[404] Аркави, Дрейверс и Стейси, 2016 , с. xiii

[405] Деккер и Долк 2011 , стр. 69.

[137] 
Аркави, Дрейверс и Стейси, 2016 , стр. 2–5
Дрейверс, Годдейн и Киндт, 2011 , стр. 8–10, 16–18

[407] Аркави, Дрейверс и Стейси, 2016 , стр. 2–5

[408] Дрейверс, Годдейн и Киндт, 2011 , стр. 8–10, 16–18

[138] 
Аркави, Дрейверс и Стейси, 2016 , стр. 58–59
Дрейверс, Годдейн и Киндт, 2011 , с. 13

[410] Аркави, Дрейверс и Стейси, 2016 , стр. 58–59

[411] Дрейверс, Годдейн и Киндт, 2011 , с. 13

[а]

[2]

[3]

[4]

[б]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[с]

[20]

[21]

[22]

[д]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[Это]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[ф]

[г]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[час]

[я]

[Дж]

[49]

[47]

[50]

[51]

[к]

[52]

[53]

[54]

[55]

[л]

[57]

[58]

[м]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[н]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[О]

[п]

[73]

[д]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[р]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[с]

[91]

[18]

[19]

[92]

[93]

v т Это Алгебра
Контур История
Области	Абстрактная алгебра Алгебраическая геометрия Алгебраическая теория чисел Теория категорий Коммутативная алгебра Элементарная алгебра Гомологическая алгебра К-теория Линейная алгебра Полилинейная алгебра Некоммутативная алгебра Теория порядка Теория представлений Универсальная алгебра
Базовые концепты	Алгебраическое выражение Уравнение ( Линейное уравнение , Квадратное уравнение ) Функция ( Полиномиальная функция ) Неравенство ( Линейное неравенство ) Операция ( сложение , умножение ) Отношение ( Отношение эквивалентности ) Переменная
Алгебраические структуры	Поле ( теория ) Группа ( теория ) Модуль ( теория ) Кольцо ( теория ) Векторное пространство ( Вектор )
Линейный и полилинейная алгебра	Основа Определитель Собственные значения и собственные векторы Внутреннее пространство продукта ( скалярное произведение ) Гильбертово пространство Линейная карта ( Матрица ) Линейное подпространство ( Аффинное пространство ) Норма ( евклидова норма ) Ортогональность ( Ортогональное дополнение ) Классифицировать След
Алгебраические конструкции	Композиционная алгебра Внешняя алгебра Свободный объект ( Свободная группа , ...) Геометрическая алгебра ( мультивекторная ) Полиномиальное кольцо ( Polynomial ) Факторный объект ( Факторная группа , ...) Симметричная алгебра Тензорная алгебра
Списки тем	Алгебраические структуры
Глоссарии	Теория поля Линейная алгебра Теория порядка Теория колец
Категория

v т Это Полиномы и полиномиальные функции
By degree	Zero polynomial (degree undefined or −1 or −∞) Constant function (0) Linear function (1) Linear equation Quadratic function (2) Quadratic equation Cubic function (3) Cubic equation Quartic function (4) Quartic equation Quintic function (5) Sextic equation (6) Septic equation (7)
By properties	Univariate Bivariate Multivariate Monomial Binomial Trinomial Irreducible Square-free Homogeneous Quasi-homogeneous
Tools and algorithms	Factorization Greatest common divisor Division Horner's method of evaluation Polynomial identity testing Resultant Discriminant Gröbner basis

v т Это Основные математики области
History Timeline Future Lists Glossary
Foundations	Category theory Information theory Mathematical logic Philosophy of mathematics Set theory Type theory
Algebra	Abstract Commutative Elementary Group theory Linear Multilinear Universal Homological
Analysis	Calculus Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis Differential equations Functional analysis Harmonic analysis Measure theory
Discrete	Combinatorics Graph theory Order theory
Geometry	Algebraic Analytic Arithmetic Differential Discrete Euclidean Finite
Number theory	Arithmetic Algebraic number theory Analytic number theory Diophantine geometry
Topology	General Algebraic Differential Geometric Homotopy theory
Applied	Engineering mathematics Mathematical biology Mathematical chemistry Mathematical economics Mathematical finance Mathematical physics Mathematical psychology Mathematical sociology Mathematical statistics Probability Statistics Systems science Control theory Game theory Operations research
Computational	Computer science Theory of computation Computational complexity theory Numerical analysis Optimization Computer algebra
Related topics	Mathematicians lists Informal mathematics Films about mathematicians Recreational mathematics Mathematics and art Mathematics education
Mathematics portal Category Commons WikiProject

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST
National	Spain France BnF data Germany Israel United States Japan Czech Republic
Other	Encyclopedia of Modern Ukraine