Топологическая алгебра
В математике алгебра топологическая является алгеброй и в то же время топологическим пространством , где алгебраическая и топологическая структуры когерентны в определенном смысле.
Определение [ править ]
алгебра Топологическая над топологическим полем представляет собой топологическое векторное пространство вместе с билинейным умножением
- ,
это превращается в алгебру над и непрерывен в некотором определенном смысле. Обычно непрерывность умножения выражается одним из следующих (неэквивалентных) требований:
- совместная непрерывность : [1] для каждой окрестности нуля есть окрестности нуля и такой, что (другими словами, это условие означает, что умножение непрерывно как отображение между топологическими пространствами ), или
- преемственность стереотипов : [2] для каждого вполне ограниченного множества и для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такой, что и , или
- отдельная непрерывность : [3] для каждого элемента и для каждой окрестности нуля существует окрестность нуля такой, что и .
(Разумеется, совместная непрерывность подразумевает стереотипную непрерывность, а стереотипная непрерывность предполагает раздельную непрерывность.) В первом случае называется « топологической алгеброй с совместно непрерывным умножением », а в последней — « с раздельно непрерывным умножением ».
топологическая алгебра с единицей Ассоциативная (иногда) называется топологическим кольцом .
История [ править ]
Этот термин был придуман Дэвидом ван Данцигом ; оно фигурирует в названии его докторской диссертации (1931 г.).
Примеры [ править ]
- 1. Алгебры Фреше являются примерами ассоциативных топологических алгебр с совместно непрерывным умножением.
- 2. Банаховы алгебры являются частными случаями алгебр Фреше .
- 3. Стереотипные алгебры являются примерами ассоциативных топологических алгебр со стереотипным непрерывным умножением.
Примечания [ править ]
Внешние ссылки [ править ]
Ссылки [ править ]
- Бекенштейн, Э.; Наричи, Л.; Саффел, К. (1977). Топологические алгебры . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 9780080871356 .
- Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре» . Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. дои : 10.1023/А:1020929201133 . S2CID 115297067 .
- Маллиос, А. (1986). Топологические алгебры . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 9780080872353 .
- Балачандран, В.К. (2000). Топологические алгебры . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 9780080543086 .
- Фрагулопулу, М. (2005). Топологические алгебры с инволюцией . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 9780444520258 .