Топологическое кольцо

В математике — топологическое кольцо это кольцо $R$ это также топологическое пространство , в котором и сложение, и умножение непрерывны как отображения:

$$R\times R\to R$$

где $R\times R$содержит топологию продукта . Это значит $R$ — аддитивная топологическая группа и мультипликативная топологическая полугруппа .

Топологические кольца фундаментально связаны с топологическими полями и возникают естественным образом при их изучении, поскольку, например, пополнением топологического поля может быть топологическое кольцо, не являющееся полем .

Общие комментарии

Группа юнитов $R^{\times }$ топологического кольца $R$ является топологической группой , если она наделена топологией, возникающей в вложения результате $R^{\times }$ в продукт $R\times R$ как $\left(x,x^{-1}\right).$ Однако, если группа единиц наделена топологией подпространства как подпространство $R,$ это может быть не топологическая группа, поскольку инверсия на $R^{\times }$не обязательно должно быть непрерывным относительно топологии подпространства. Примером такой ситуации является кольцо аделей глобального поля ; его единичная группа, называемая группой иделей , не является топологической группой в топологии подпространства. Если инверсия включена $R^{\times }$ непрерывен в топологии подпространства $R$ то эти две топологии $R^{\times }$ одинаковы.

Если не требуется, чтобы кольцо имело единицу, то нужно добавить требование непрерывности аддитивного обратного или, что то же самое, определить топологическое кольцо как кольцо, которое является топологической группой (для $+$), в котором умножение тоже непрерывно.

Примеры

Топологические кольца встречаются в математическом анализе , например, как кольца непрерывных вещественнозначных функций в некотором топологическом пространстве (где топология задается поточечной сходимостью) или как кольца непрерывных линейных операторов в некотором нормированном векторном пространстве ; все банаховы алгебры являются топологическими кольцами. Рациональное ​ , реальное , сложное и $p$-адические числа также являются топологическими кольцами (даже топологическими полями, см. ниже) со своими стандартными топологиями. На плоскости расщепленные комплексные числа и двойственные числа образуют альтернативные топологические кольца. см . в гиперкомплексных числах Другие примеры малой размерности .

В коммутативной алгебре распространена следующая конструкция: задан идеал $I$ в коммутативном кольце $R,$ I -адическая топология на $R$ определяется следующим образом: подмножество $U$ из $R$ открыт тогда и только тогда, когда для каждого $x\in U$ существует натуральное число $n$ такой, что $x+I^{n}\subseteq U.$ Это превращает $R$в топологическое кольцо. $I$-адическая топология хаусдорфова тогда и только тогда, когда пересечение всех степеней $I$ нулевой идеал $(0).$

The $p$-адическая топология целых чисел является примером $I$-адическая топология (с $I=p\mathbb {Z}$).

Завершение

Основная статья: Завершение (алгебра)

Каждое топологическое кольцо является топологической группой (относительно сложения) и, следовательно, является равномерным пространством естественным образом . Таким образом, можно задаться вопросом, является ли данное топологическое кольцо $R$завершено ​ . Если это не так, то его можно дополнить : можно найти существенно единственное полное топологическое кольцо. $S$ который содержит $R$ как плотное подкольцо такое, что заданная топология на $R$ равна топологии подпространства , возникающей из $S.$ Если стартовое кольцо $R$ метрическое, кольцо $S$ может быть построена как набор классов эквивалентности последовательностей Коши в $R,$ это отношение эквивалентности делает кольцо $S$ Хаусдорфа и с помощью постоянных последовательностей (которые являются Коши) реализуется (равномерно) непрерывный морфизм (далее CM) $c:R\to S$ такой, что для всех CM $f:R\to T$ где $T$ хаусдорфова и полна, существует единственная СМ $g:S\to T$ такой, что $f=g\circ c.$ Если $R$ не является метрикой (как, например, кольцо всех рациональнозначных функций вещественной переменной, т. е. всех функций $f:\mathbb {R} \to \mathbb {Q}$ наделенная топологией поточечной сходимости) стандартная конструкция использует минимальные фильтры Коши и удовлетворяет тому же универсальному свойству, что и выше (см. Бурбаки , Общая топология, III.6.5).

Кольца формальных степенных рядов и $p$-адические целые числа наиболее естественно определяются как пополнения некоторых топологических колец, несущих $I$-адические топологии .

Топологические поля

Одними из наиболее важных примеров являются топологические поля . Топологическое поле — это топологическое кольцо, которое также является полем и такое, что инверсия ненулевых элементов является непрерывной функцией. Наиболее распространенными примерами являются комплексные числа и все их подполя , а также поля со значениями , которые включают в себя $p$-адические поля .

См. также

• Компактная группа - Топологическая группа с компактной топологией.
• Полное поле — алгебраическая структура, полная относительно метрики. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Локально компактное поле
• Локально компактная квантовая группа – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группам. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Локально компактная группа - топологическая группа G, для которой базовая топология является локально компактной и хаусдорфовой, так что можно определить меру Хаара. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Сильно непрерывная полугруппа – обобщение экспоненциальной функции. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Топологическая абелева группа - понятие в математике. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическое поле — алгебраическая структура со сложением, умножением и делением. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Топологическая группа - Группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
• Топологический модуль
• Топологическая полугруппа - полугруппа с непрерывной работой. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Ссылки

• Л. В. Кузьмин (2001) [1994], «Топологическое кольцо» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Д.Б. Шахматов (2001) [1994], «Топологическое поле» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Уорнер, Сет (1989). Топологические поля . Эльзевир . ISBN  9780080872681 .
• Уорнер, Сет (1993). Топологические кольца . Эльзевир . ISBN  9780080872896 .
• Владимир И. Арнаутов, Сергей Т. Главацкий и Александр В. Михалев: Введение в теорию топологических колец и модулей . Marcel Dekker Inc., февраль 1996 г., ISBN   0-8247-9323-4 .
• Н. Бурбаки , Элементы математики. Общая топология. Герман, Париж, 1971 г., гл. III §6