I -адическая топология

В коммутативной алгебре , математическом изучении коммутативных колец , адические топологии представляют собой семейство топологий на базовом множестве модуля , обобщающее p -адические топологии на целые числа .

Определение

Пусть R — коммутативное кольцо и M — -модуль R . Тогда каждый идеал 𝔞 кольца R определяет топологию на M, называемую 𝔞 -адической топологией, характеризуемую псевдометрикой $$d(x,y)=2^{-\sup {\{n\mid x-y\in {\mathfrak {a}}^{n}M\}}}.$$ Семья $$\{x+{\mathfrak {a}}^{n}M:x\in M,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}$$ является основой этой топологии.

Характеристики

Что касается топологии, модульные операции сложения и скалярного умножения непрерывны , так что M становится топологическим модулем . Однако М не обязательно должен быть Хаусдорфом ; это Хаусдорф тогда и только тогда, когда $$\bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}M}=0{\text{,}}$$так что d становится настоящей метрикой . В соответствии с обычной терминологией в топологии, где хаусдорфово пространство также называется разделенным, в этом случае 𝔞 -адическая топология называется разделенной .

По теореме Крулла о пересечении , если R — нётерово кольцо , которое является областью целостности или локальным кольцом , то верно, что $\bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}}=0$ для любого собственного идеала 𝔞 кольца R . Таким образом, при этих условиях для любого собственного идеала 𝔞 кольца R и любого R -модуля M 𝔞 -адическая топология на M отделяется.

Для подмодуля N модуля M канонический -адической топологией гомоморфизм в M / N индуцирует фактортопологию , совпадающую с 𝔞 . Аналогичный результат не обязательно верен для самого подмодуля N : топология подпространства не обязательно должна быть 𝔞 -адической топологией. Однако две топологии совпадают, когда , а R нётерово M конечно порождено . Это следует из леммы Артина-Риса .

Завершение

Основная статья: Завершение (алгебра)

Когда M хаусдорфово, M можно пополнить как метрическое пространство; полученное пространство обозначается ${\widehat {M}}$ и имеет модульную структуру, полученную путем расширения операций модуля по непрерывности. Это также то же самое (или канонически изоморфно ): $${\widehat {M}}=\varprojlim M/{\mathfrak {a}}^{n}M$$ где правая часть представляет собой предел фактормодулей обратный при естественном проектировании.

Например, пусть $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ — кольцо полиномов над полем k и 𝔞 = ( x ₁ , ..., x _n ) (единственный) однородный максимальный идеал . Затем ${\hat {R}}=k[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$, кольцо формальных степенных рядов над k от n переменных.

Закрытые подмодули

Как следствие вышесказанного, 𝔞 -адическое замыкание подмодуля $N\subseteq M$ является ${\textstyle {\overline {N}}=\bigcap _{n>0}{(N+{\mathfrak {a}}^{n}M)}{\text{.}}}$ Это замыкание совпадает с N , если R 𝔞 -адически полно, а M конечно порождено.

R называется Зариским относительно 𝔞 , если каждый идеал в R 𝔞 -адически замкнут. Есть характеристика:

R является Зарисским относительно 𝔞 тогда и только тогда, когда содержится в радикале Джекобсона R 𝔞 .

В частности, нётерово локальное кольцо является Зариским относительно максимального идеала.

Ссылки

Источники

• Сингх, Балвант (2011). Основная коммутативная алгебра . Сингапур/Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific. ISBN  978-981-4313-61-2 .
• Атья, МФ ; Макдональд, IG (1969). Введение в коммутативную алгебру . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли.