Лемма Артина–Риса

В математике лемма Артина -Риса является основным результатом о модулях над нетеровым кольцом , наряду с такими результатами, как базисная теорема Гильберта . Это было доказано в 1950-х годах в независимых работах математиков Эмиля Артина и Дэвида Риса ; ^[1]^[2] Особый случай был известен Оскару Зариски еще до их работы.

Интуитивная характеристика леммы предполагает представление о том, что подмодуль N модуля M над некоторым кольцом A с заданным идеалом I содержит априори две топологии: одну, индуцированную топологией на M, а другую, если рассматривать ее с I-адической топологией. над A. Тогда Артин-Рис утверждает, что эти топологии на самом деле совпадают, по крайней мере, когда A нётерово, а M конечно порождено.

Одним из следствий леммы является теорема Крулля о пересечении . Результат также используется для доказательства свойства точности пополнения . ^[3] Лемма также играет ключевую роль при изучении ℓ-адических пучков .

Заявление

Пусть I — идеал в нётеровом кольце R ; пусть M — конечно порожденный R -модуль и N — подмодуль M . Тогда существует целое число k ≥ 1 такое, что n ≥ k для

I^{n}M\cap N=I^{n-k}(I^{k}M\cap N).

Доказательство

Лемма непосредственно следует из того факта, что R нётерово, если установлены необходимые понятия и обозначения. ^[4]

Для любого кольца R и идеала I в R положим ${\textstyle B_{I}R=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}}$ ( B — разрушение.) Будем говорить об убывающей последовательности подмодулей $M=M_{0}\supset M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots$ является I -фильтрацией, если $IM_{n}\subset M_{n+1}$ ; более того, оно устойчиво, если $IM_{n}=M_{n+1}$ для достаточно большого n . Если M задана I -фильтрация, мы полагаем ${\textstyle B_{I}M=\bigoplus _{n=0}^{\infty }M_{n}}$ ; это модуль оцениваемый $B_{I}R$ .

Пусть теперь M — R -модуль с I -фильтрацией $M_{i}$ конечно порожденными R -модулями. Мы делаем наблюдение

B_{I}M

является конечно порожденным модулем над

B_{I}R

тогда и только тогда, когда фильтрация I -стабильна.

Действительно, если фильтрация I -устойчива, то $B_{I}M$ генерируется первым $k+1$ условия $M_{0},\dots ,M_{k}$ и эти термины конечно порождены; таким образом, $B_{I}M$ конечно порождено. И наоборот, если оно конечно порождено, скажем, некоторыми однородными элементами из ${\textstyle \bigoplus _{j=0}^{k}M_{j}}$ , тогда для $n\geq k$ , каждая f в $M_{n}$ можно записать как $f=\sum a_{j}g_{j},\quad a_{j}\in I^{n-j}$ с генераторами $g_{j}$ в $M_{j},j\leq k$ . То есть, $f\in I^{n-k}M_{k}$ .

Теперь мы можем доказать лемму, предполагая, что R нётерово. Позволять $M_{n}=I^{n}M$ . Затем $M_{n}$ являются I -стабильной фильтрацией. Таким образом, по наблюдению, $B_{I}M$ конечно порождается $B_{I}R$ . Но $B_{I}R\simeq R[It]$ является нетеровым кольцом, поскольку R таковым является. (Кольцо $R[It]$ называется алгеброй Риса .) Таким образом, $B_{I}M$ является нетеровым модулем, и любой подмодуль конечно порожден над $B_{I}R$ ; в частности, $B_{I}N$ конечно порожден, когда N задана индуцированная фильтрация; то есть, $N_{n}=M_{n}\cap N$ . Тогда индуцированная фильтрация снова становится I -стабильной по наблюдениям.

Теорема Крулла о пересечении

Помимо использования при дополнении кольца, типичным применением леммы является доказательство теоремы Крулла о пересечении, которая гласит: ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }I^{n}=0}$ для собственного идеала I в коммутативном нётеровом кольце, которое является либо локальным кольцом , либо областью целостности . По лемме, примененной к пересечению $N$ , находим k такое, что для $n\geq k$ , $I^{n}\cap N=I^{n-k}(I^{k}\cap N).$ принимая $n=k+1$ , это означает $I^{k+1}\cap N=I(I^{k}\cap N)$ или $N=IN$ . Таким образом, если A локально, $N=0$ по лемме Накаямы . Если A — область целостности, то используется прием с определителем ^[5] (это вариант теоремы Кэли-Гамильтона , приводящий к лемме Накаямы ):

Теорема . Пусть u — эндоморфизм порожденный A элементами -модуля N, n идеал , а I — A такой , что $u(N)\subset IN$ . Тогда существует соотношение: $u^{n}+a_{1}u^{n-1}+\cdots +a_{n-1}u+a_{n}=0,\,a_{i}\in I^{i}.$

В данной настройке возьмите u в качестве тождественного оператора N ; это даст ненулевой элемент x в A такой, что $xN=0$ , что подразумевает $N=0$ , как $x$ является ненулевым делителем.

И для локального кольца, и для целой области «нётерово» нельзя исключить из предположения: для случая локального кольца см. локальное кольцо#Коммутативный случай . Для случая целой области возьмем $A$ быть кольцом целых алгебраических чисел (т. е. целым замыканием $\mathbb {Z}$ в $\mathbb {C}$ ). Если ${\mathfrak {p}}$ является простым идеалом A , то имеем: ${\mathfrak {p}}^{n}={\mathfrak {p}}$ для каждого целого числа $n>0$ . Действительно, если $y\in {\mathfrak {p}}$ , затем $y=\alpha ^{n}$ для некоторого комплексного числа $\alpha$ . Сейчас, $\alpha$ является целым по $\mathbb {Z}$ ; таким образом в $A$ а затем в ${\mathfrak {p}}$ , доказывая утверждение.

Ссылки

^ Дэвид Рис (1956). «Две классические теоремы идеальной теории». Учеб. Кэмб. Фил. Соц . 52 (1): 155–157. Бибкод : 1956PCPS...52..155R . дои : 10.1017/s0305004100031091 . S2CID 121827047 . Здесь: Лемма 1
^ Шарп, Р.Ю. (2015). «Дэвид Рис. 29 мая 1918 г. — 16 августа 2013 г.» . Биографические мемуары членов Королевского общества . 61 : 379–401. дои : 10.1098/rsbm.2015.0010 . S2CID 123809696 . Здесь: разд.7, лемма 7.2, стр.10.
^ Атья и Макдональд 1969 , стр. 107–109
^ Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Том. 150. Шпрингер-Верлаг. Лемма 5.1. дои : 10.1007/978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8 .
^ Атья и Макдональд 1969 , Предложение 2.4.

Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Вествью Пресс. стр. 107–109. ISBN 978-0-201-40751-8 .

Дальнейшее чтение

Конрад, Брайан ; де Йонг, Айс Йохан (2002). «Аппроксимация версальных деформаций» (PDF) . Журнал алгебры . 255 (2): 489–515. дои : 10.1016/S0021-8693(02)00144-8 . МР 1935511 . дает несколько более точную версию леммы Артина–Риса.

Внешние ссылки

«Теорема Артина-Риса» . ПланетаМатематика .

[1] Дэвид Рис (1956). «Две классические теоремы идеальной теории». Учеб. Кэмб. Фил. Соц . 52 (1): 155–157. Бибкод : 1956PCPS...52..155R . дои : 10.1017/s0305004100031091 . S2CID 121827047 . Здесь: Лемма 1

[2] Шарп, Р.Ю. (2015). «Дэвид Рис. 29 мая 1918 г. — 16 августа 2013 г.» . Биографические мемуары членов Королевского общества . 61 : 379–401. дои : 10.1098/rsbm.2015.0010 . S2CID 123809696 . Здесь: разд.7, лемма 7.2, стр.10.

[3] Атья и Макдональд 1969 , стр. 107–109

[4] Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Том. 150. Шпрингер-Верлаг. Лемма 5.1. дои : 10.1007/978-1-4612-5350-1 . ISBN 0-387-94268-8 .

[5] Атья и Макдональд 1969 , Предложение 2.4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]