Базисная теорема Гильберта

В математике базисная теорема Гильберта утверждает, что каждый идеал над кольца полиномов полем имеет конечный порождающий набор (конечный базис в терминологии Гильберта).

В современной алгебре , кольца идеалы которых обладают этим свойством, называются нётеровыми кольцами . Каждое поле и кольцо целых чисел являются нётеровыми кольцами. Итак, теорему можно обобщить и переформулировать следующим образом: каждое кольцо многочленов над нётеровым кольцом также нётерово .

Теорема была сформулирована и доказана Дэвидом Гильбертом в 1890 году в его основополагающей статье по теории инвариантов. , где решил несколько задач об инвариантах. В этой статье он также доказал две другие фундаментальные теоремы о полиномах: Nullstellensatz (теорема о нулевом локусе) и теорема о сизигиях (теорема об отношениях). Эти три теоремы послужили отправной точкой интерпретации алгебраической геометрии в терминах коммутативной алгебры . В частности, из базовой теоремы следует, что каждое алгебраическое множество является пересечением конечного числа гиперповерхностей .

Другой аспект этой статьи оказал большое влияние на математику ХХ века; это систематическое использование неконструктивных методов . Например, базисная теорема утверждает, что каждый идеал имеет конечный набор генераторов, но исходное доказательство не дает никакого способа вычислить его для конкретного идеала. Этот подход настолько поразил математиков того времени, что первый вариант статьи был отвергнут Полем Горданом , крупнейшим специалистом по инвариантам того времени, с комментарием «Это не математика. Это теология». Позже он признал: «Я убедил себя, что даже теология имеет свои достоинства».

Заявление

Если $R$ это кольцо , пусть $R[X]$ обозначим кольцо многочленов неопределенной $X$ над $R$. Гильберт доказал, что если $R$ «не слишком велик» в том смысле, что если $R$ является нётеровским, то же самое должно быть верно и для $R[X]$. Формально,

Основная теорема Гильберта. Если $R$ является нётеровым кольцом, то $R[X]$ является нётеровым кольцом.

Следствие. Если $R$ является нётеровым кольцом, то $R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]$ является нётеровым кольцом.

Это можно перевести в алгебраическую геометрию следующим образом: каждое алгебраическое множество над полем можно описать как множество общих корней конечного числа полиномиальных уравнений. Гильберт доказал теорему (для частного случая колец полиномов над полем) в ходе доказательства конечной порожденности колец инвариантов .

Гильберт представил новаторское доказательство от противного, используя математическую индукцию ; его метод не дает алгоритма для получения конечного числа базисных полиномов для данного идеала : он только показывает, что они должны существовать. Определить базисные полиномы можно с помощью метода базисов Грёбнера .

Доказательство

Теорема. Если $R$ — левое (соответственно правое) нётерово кольцо , то кольцо многочленов $R[X]$ также является нётеровым левым (соответственно правым) кольцом.

Замечание. Мы приведем два доказательства, в обоих рассматривается только «левый» случай; доказательство для правого случая аналогично.

Первое доказательство

Предполагать ${\mathfrak {a}}\subseteq R[X]$ является неконечно порожденным левым идеалом. Тогда рекурсией (с использованием аксиомы зависимого выбора ) существует последовательность многочленов $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ такое, что если ${\mathfrak {b}}_{n}$ левый идеал, порожденный $f_{0},\ldots ,f_{n-1}$ затем $f_{n}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{n}$ имеет минимальную степень . По конструкции, $\{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\ldots \}$ — неубывающая последовательность натуральных чисел . Позволять $a_{n}$ быть ведущим коэффициентом $f_{n}$ и пусть ${\mathfrak {b}}$ быть левым идеалом в $R$ созданный $a_{0},a_{1},\ldots$. С $R$ нётерова цепь идеалов

$(a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots$

должен прекратиться. Таким образом ${\mathfrak {b}}=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})$ для некоторого целого числа $N$. Так, в частности,

$a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i},\qquad u_{i}\in R.$

Теперь рассмотрим

$g=\sum _{i<N}u_{i}X^{\deg(f_{N})-\deg(f_{i})}f_{i},$

главный член которого равен таковому $f_{N}$; более того, $g\in {\mathfrak {b}}_{N}$. Однако, $f_{N}\notin {\mathfrak {b}}_{N}$, а это значит, что $f_{N}-g\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{N}$ имеет степень меньше $f_{N}$, что противоречит минимальности.

Второе доказательство

Позволять ${\mathfrak {a}}\subseteq R[X]$ быть левым идеалом. Позволять ${\mathfrak {b}}$ быть набором старших коэффициентов членов ${\mathfrak {a}}$. Это, очевидно, левый идеал над $R$, и поэтому конечно порождается старшими коэффициентами конечного числа членов ${\mathfrak {a}}$; сказать $f_{0},\ldots ,f_{N-1}$. Позволять $d$ быть максимальным из множества $\{\deg(f_{0}),\ldots ,\deg(f_{N-1})\}$, и пусть ${\mathfrak {b}}_{k}$ быть набором старших коэффициентов членов ${\mathfrak {a}}$, степень которого $\leq k$. Как и прежде, ${\mathfrak {b}}_{k}$ остались идеалы $R$, и поэтому конечно порождены старшими коэффициентами конечного числа членов ${\mathfrak {a}}$, сказать

$f_{0}^{(k)},\ldots ,f_{N^{(k)}-1}^{(k)}$

с степенями $\leq k$. Теперь позвольте ${\mathfrak {a}}^{*}\subseteq R[X]$ быть левым идеалом, порожденным:

$\left\{f_{i},f_{j}^{(k)}\,:\ i<N,\,j<N^{(k)},\,k<d\right\}\!\!\;.$

У нас есть ${\mathfrak {a}}^{*}\subseteq {\mathfrak {a}}$ и претендовать также ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{*}$. Предположим, ради противоречия, что это не так. Тогда пусть $h\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}$ иметь минимальную степень и обозначить его старший коэффициент через $a$.

Случай 1: $\deg(h)\geq d$. Независимо от этого условия, мы имеем $a\in {\mathfrak {b}}$, так $a$ является левой линейной комбинацией

$a=\sum _{j}u_{j}a_{j}$

коэффициентов $f_{j}$. Учитывать

$h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j})}f_{j},$

который имеет тот же главный член, что и $h$; более того $h_{0}\in {\mathfrak {a}}^{*}$ пока $h\notin {\mathfrak {a}}^{*}$. Поэтому $h-h_{0}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}$ и $\deg(h-h_{0})<\deg(h)$, что противоречит минимальности.

Случай 2: $\deg(h)=k<d$. Затем $a\in {\mathfrak {b}}_{k}$ так $a$ является левой линейной комбинацией

$a=\sum _{j}u_{j}a_{j}^{(k)}$

старших коэффициентов $f_{j}^{(k)}$. Учитывая

$h_{0}=\sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j}^{(k)})}f_{j}^{(k)},$

мы приходим к тому же противоречию, что и в случае 1.

Таким образом, наше утверждение справедливо, и ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}^{*}$ который конечно порожден.

Обратите внимание, что единственная причина, по которой нам пришлось разделить дела на два, заключалась в том, чтобы гарантировать, что полномочия $X$ коэффициенты умножения были неотрицательными в конструкциях.

Приложения

Позволять $R$ — нётерово коммутативное кольцо . Базисная теорема Гильберта имеет некоторые непосредственные следствия .

1. По индукции мы видим, что $R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ тоже будет нетеровским.
2. Поскольку любое аффинное многообразие над $R^{n}$ (т.е. набор локусов набора полиномов) можно записать как локус идеального ${\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]$ и, кроме того, как место расположения его образующих, отсюда следует, что каждое аффинное многообразие является местом конечного числа многочленов, т. е. пересечением конечного числа гиперповерхностей .
3. Если $A$ является конечно порожденным $R$-алгебра , то мы знаем, что $A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}$, где ${\mathfrak {a}}$ является идеалом. Из базовой теоремы следует, что ${\mathfrak {a}}$ должно быть конечно сгенерировано, скажем ${\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})$, то есть $A$ конечно представлено .

Формальные доказательства

Формальные доказательства базовой теоремы Гильберта были проверены в рамках проекта Mizar (см. файл HILBASIS ) и Lean (см. Ring_theory.polynomial ).

Дальнейшее чтение

• Кокс, Литтл и О'Ши, Идеалы, разновидности и алгоритмы , Springer-Verlag, 1997.
• Рид, Констанс. (1996). Гильберт . Нью-Йорк: Спрингер . ISBN  0-387-94674-8 . Полная англоязычная биография Гильберта.
• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, ISBN  978-0-387-72828-5