Натуральное число

Эта статья о «положительных целых числах» и «неотрицательных целых числах». Для всех чисел ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... см. Целое число .

Для счета можно использовать натуральные числа: одно яблоко; два яблока — это одно яблоко, добавленное к другому яблоку, три яблока — это одно яблоко, добавленное к двум яблокам,...

В математике натуральными числами являются числа 0, 1, 2, 3 и т. д., возможно, исключая 0. Некоторые определяют натуральные числа как неотрицательные целые числа 0, 1, 2, 3, ... , а другие определяют их как положительные целые числа 1, 2, 3, ... . Некоторые авторы признают оба определения, когда это удобно. определяются В некоторых текстах целые числа как натуральные числа вместе с нулем, исключая ноль из натуральных чисел, в то время как в других текстах целые числа относятся ко всем целым числам (включая отрицательные целые числа). Счетные числа относятся к натуральным числам в обычном языке, особенно в начальном школьном образовании, и столь же неоднозначны, хотя обычно исключают ноль.

Натуральные числа можно использовать для подсчета (например, « шесть на столе монет»), и в этом случае они служат количественными числами . Их также можно использовать для упорядочивания (например, «это третий по величине город в стране»), и в этом случае они служат порядковыми числами . Натуральные числа иногда используются в качестве меток, также известных как номинальные числа (например, номера на футболках в спорте), которые не обладают свойствами чисел в математическом смысле.

Натуральные числа образуют набор , обычно обозначаемый жирным шрифтом N или жирным шрифтом на доске. $\mathbb {N}$. Многие другие наборы чисел создаются путем последовательного расширения набора натуральных чисел: целые числа за счет включения аддитивного тождества 0 (если оно еще не введено) и аддитивного обратного значения − n для каждого ненулевого натурального числа n ; рациональные числа , включая мультипликативное обратное $1/n$для каждого ненулевого целого числа n (а также произведения этих обратных чисел на целые числа); действительные числа , включая пределы последовательностей Коши рациональных; комплексные числа путем присоединения к действительным числам квадратного корня из −1 (а также их сумм и произведений); и так далее. Эта цепочка расширений канонически встраивает натуральные числа в другие системы счисления.

Свойства натуральных чисел, такие как делимость и распределение простых чисел , изучаются в теории чисел . Проблемы, связанные со счетом и упорядочиванием, такие как разбиение и перечисления , изучаются в комбинаторике .

История

Древние корни

Дополнительная информация: Доисторический подсчет.

Кость Ишанго (на выставке в Королевском бельгийском институте естественных наук ) Считается, что он использовался 20 000 лет назад для арифметики натуральных чисел.

Самый примитивный метод представления натурального числа — использование пальцев, например, при счете пальцев . проставление метки Еще одним примитивным методом является для каждого объекта. Позже набор объектов можно было проверить на равенство, избыток или недостаток — вычеркнув отметку и удалив объект из набора.

Первым крупным достижением в области абстракции стало использование цифр для обозначения чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древние египтяне разработали мощную систему цифр с отдельными иероглифами для 1, 10 и всех степеней от 10 до более чем 1 миллиона. Резьба по камню из Карнака , датируемая примерно 1500 годом до нашей эры и ныне находящаяся в Лувре в Париже, изображает 276 как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622. была У вавилонян система разрядов, основанная в основном на цифрах 1 и 10 с основанием шестьдесят, так что символ шестидесяти был таким же, как и символ единицы, — его значение определялось из контекста.

Гораздо более поздним достижением стало развитие идеи о том, что 0 можно рассматривать как число со своей собственной цифрой. Использование цифры 0 в позиционной записи (внутри других чисел) восходит к 700 г. до н. э. вавилонянами, которые опускали такую ​​цифру, когда она должна была быть последним символом в числе. и Цивилизации ольмеков майя использовали 0 как отдельное число еще в I веке до нашей эры , но это использование не распространилось за пределы Мезоамерики . Использование цифры 0 в наше время возникло благодаря индийскому математику Брахмагупте в 628 году нашей эры. Однако 0 использовался как число в средневековых вычислениях (вычислении даты Пасхи), начиная с Дионисия Эксигууса в 525 году нашей эры, без обозначения цифры. Стандартные римские цифры не имеют символа 0; вместо этого для обозначения значения 0 использовалось nulla (или форма родительного падежа nullae ) от nullus , латинского слова, означающего «нет».

Первое систематическое исследование чисел как абстракций обычно приписывают греческим философам Пифагору и Архимеду . Некоторые греческие математики трактовали число 1 иначе, чем большие числа, а иногда даже вообще не как число. Евклид , например, определил сначала единицу, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению, единица не является числом и не существует уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределенного числа единиц равны 2) . Однако в определении совершенного числа , которое появляется вскоре после этого, Евклид рассматривает 1 как число, такое же, как и любое другое.

Независимые исследования численности также проводились примерно в то же время в Индии , Китае и Мезоамерике .

Возникновение как термин

Николя Шюке использовал термин Progression Naturelle (естественное развитие) в 1484 году. Самое раннее известное использование слова «натуральное число» как полной английской фразы относится к 1763 году. Британская энциклопедия 1771 года определяет натуральные числа в статье о логарифме.

Начало с 0 или 1 уже давно является вопросом определения. В 1727 году Бернар Ле Бовье де Фонтенель писал, что его представления о расстоянии и элементе привели к определению натуральных чисел как включающих или исключающих 0. В 1889 году Джузеппе Пеано использовал N для обозначения положительных целых чисел и начал с 1, но позже он перешел на использование N ₀ и N ₁ . Исторически сложилось так, что большинство определений исключали 0, но многие математики, такие как Джордж А. Вентворт , Бертран Рассел , Николя Бурбаки , Пол Халмос , Стивен Коул Клини и Джон Хортон Конвей , предпочитали включать 0.

Математики отметили тенденции использования определений, например, в текстах по алгебре, включающих 0, тексты по теории чисел и анализу, исключая 0, тексты по логике и теории множеств, включая 0, словари, исключая 0, школьные учебники (до уровня средней школы), исключая 0, и книги для старших классов колледжа, включая 0. Из каждой из этих тенденций есть исключения, и по состоянию на 2023 год официального исследования не проводилось. Приведенные аргументы включают деление на ноль. и размер пустого множества . Компьютерные языки часто начинают с нуля при перечислении таких элементов, как счетчики циклов и элементы строк или массивов . В том числе популярность 0 начала расти в 1960-х годах. Стандарт ISO 31-11 включил 0 в натуральные числа в своем первом издании в 1978 году, и это продолжается в нынешнем издании под названием ISO 80000-2 .

Формальная конструкция

В Европе XIX века велись математические и философские дискуссии о точной природе натуральных чисел. Анри Пуанкаре заявил, что аксиомы можно продемонстрировать только в их конечном применении, и пришел к выводу, что именно «сила разума» позволяет представить себе бесконечное повторение одного и того же действия. Леопольд Кронекер резюмировал свое убеждение так: «Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человека».

Конструктивисты видели необходимость улучшить логическую строгость оснований математики . В 1860-х годах Герман Грассманн предложил рекурсивное определение натуральных чисел, заявив тем самым, что они на самом деле не естественны, а являются следствием определений. Позднее были построены два класса таких формальных определений; еще позже было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.

Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге . Первоначально он определил натуральное число как класс всех множеств, находящихся во взаимно однозначном соответствии с определенным набором. Однако это определение привело к парадоксам, в том числе к парадоксу Рассела . Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как определенный набор, и говорят, что любой набор, который можно привести во взаимно однозначное соответствие с этим набором, имеет такое количество элементов.

В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс представил первую аксиоматизацию арифметики натуральных чисел в рамках второго класса определений. В 1888 году Ричард Дедекинд предложил еще одну аксиоматизацию арифметики натуральных чисел: а в 1889 году Пеано опубликовал упрощенную версию аксиом Дедекинда в своей книге « Принципы арифметики, представленные новым методом» ( лат . Arithmetices principia, nova Methodo exposita ). Этот подход теперь называется арифметикой Пеано . Он основан на аксиоматизации свойств порядковых чисел : каждое натуральное число имеет преемника, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равносовместима с несколькими слабыми системами теории множеств . Одной из таких систем является ZFC , в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием. Теоремы, которые можно доказать в ZFC, но нельзя доказать с помощью аксиом Пеано, включают теорему Гудштейна .

Обозначения

Множество всех натуральных чисел стандартно обозначается N или $\mathbb {N} .$ иногда использовалась В более старых текстах буква J в качестве символа этого набора.

Поскольку натуральные числа могут содержать 0 или нет, может быть важно знать, о какой версии идет речь. Это часто определяется контекстом, но также может быть сделано с использованием нижнего или верхнего индекса в обозначениях, например:

• Натуральные без нуля: $\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}=\mathbb {N} _{1}$
• Натуральные с нулем: $\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

Альтернативно, поскольку натуральные числа естественным образом образуют подмножество целых чисел (часто обозначаемых $\mathbb {Z}$), их можно называть положительными или неотрицательными целыми числами соответственно. Чтобы однозначно определить, включен ли 0 или нет, иногда используется надстрочный индекс " $*$В первом случае добавляется " или "+", а во втором случае добавляется нижний индекс (или верхний индекс) "0":

$\{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}=\mathbb {Z} _{>0}$

$\{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}=\mathbb {Z} _{\geq 0}$

Свойства

В этом разделе используется соглашение $\mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$.

Дополнение

Учитывая набор $\mathbb {N}$ натуральных чисел и функция-преемник $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$отправляя каждое натуральное число к следующему, можно определить сложение натуральных чисел рекурсивно, установив a + 0 = a и a + S ( b ) = S ( a + b ) для всех a , b . Таким образом, а + 1 = а + S(0) = S( а +0) = S( а ) , а + 2 = а + S(1) = S( а +1) = S(S( а )) , и так далее. Алгебраическая структура $(\mathbb {N} ,+)$— коммутативный моноид с единицей 0. Это свободный моноид от одной образующей. Этот коммутативный моноид удовлетворяет свойству отмены , поэтому его можно вложить в группу . Наименьшая группа, содержащая натуральные числа, — это целые числа .

Если 1 определяется как S (0) , то b + 1 = b + S (0) = S ( b + 0) = S ( b ) . То есть b + 1 является просто преемником b .

Умножение

Аналогично, учитывая, что сложение определено, умножения оператор $\times$может быть определено через a × 0 = 0 и a × S( b ) = ( a × b ) + a . Это превращает $(\mathbb {N} ^{*},\times )$в свободный коммутативный моноид с единицей 1; генераторным набором этого моноида является набор простых чисел .

Связь между сложением и умножением

Сложение и умножение совместимы, что выражается в законе распределения : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) . Эти свойства сложения и умножения делают натуральные числа экземпляром коммутативного полукольца . Полукольца — это алгебраическое обобщение натуральных чисел, в котором умножение не обязательно коммутативно. Отсутствие аддитивных обратных, что эквивалентно тому, что $\mathbb {N}$ не замкнуто относительно вычитания (т. е. вычитание одного натурального числа из другого не всегда приводит к получению другого натурального числа), означает, что $\mathbb {N}$это не кольцо ​ ; вместо этого это полукольцо (также известное как буровая установка ).

Если натуральные числа взяты как «исключая 0» и «начиная с 1», определения + и × такие же, как выше, за исключением того, что они начинаются с a + 1 = S ( a ) и a × 1 = a . Более того, $(\mathbb {N^{*}} ,+)$ не имеет элемента идентификации.

Заказать

В этом разделе сопоставленные переменные, такие как ab , обозначают произведение a × b , стандартный порядок операций и предполагается .

Полный порядок натуральных чисел определяется условием a ≤ b тогда и только тогда, когда существует другое натуральное число c , где a + c = b . Этот порядок совместим с арифметическими операциями в следующем смысле: если a , b и c — натуральные числа и a ≤ b , то a + c ≤ b + c и ac ≤ bc .

Важным свойством натуральных чисел является то, что они хорошо упорядочены : каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент. Ранг среди хорошо упорядоченных множеств выражается порядковым числом ; для натуральных чисел это обозначается как ω (омега).

Дивизия

В этом разделе сопоставленные переменные, такие как ab , обозначают произведение a × b стандартный порядок операций , и предполагается .

Хотя, как правило, невозможно разделить одно натуральное число на другое и получить в результате натуральное число, процедура деления с остатком или евклидово деление в качестве замены доступна : для любых двух натуральных чисел a и b с b ≠ 0 существует — натуральные числа q и r такие, что

$a=bq+r{\text{ and }}r<b.$

Число q называется частным , а r — остатком от деления a на b . Числа q и r однозначно определяются значениями a и b . Это евклидово деление является ключом к нескольким другим свойствам ( делимости ), алгоритмам (таким как алгоритм Евклида ) и идеям теории чисел.

удовлетворяют натуральные

Операции сложения (+) и умножения (×) натуральных чисел, определенные выше, имеют несколько алгебраических свойств:

• Замыкание при сложении и умножении: для всех натуральных чисел a и b оба a + b и a × b являются натуральными числами.
• Ассоциативность : для всех натуральных чисел a , b и c ) a + ( b + c = ( a + b ) + c и a × ( b × c ) = ( a × b ) × c .
• Коммутативность : для всех натуральных a и b чисел a + b = b + a и a × b = b × a .
• Существование единичных элементов : для каждого натурального числа a , a + 0 = a и a × 1 = a .
  • Если натуральные числа взять «исключая 0» и «начиная с 1», то для каждого натурального числа a a × 1 = a . Однако свойство «наличие аддитивного единичного элемента» не выполняется.
• Распределенность умножения на сложение для всех натуральных чисел a , b и c , a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) .
• Никаких ненулевых делителей нуля : если a и b — натуральные числа такие, что a × b = 0 , то a = 0 или b = 0 (или оба).

Обобщения

Два важных обобщения натуральных чисел возникают из двух применений счета и упорядочивания: кардинальные числа и порядковые числа .

• Натуральное число можно использовать для выражения размера конечного множества; точнее, кардинальное число — это мера размера множества, которая подходит даже для бесконечных множеств. Нумерация кардиналов обычно начинается с нуля, чтобы вместить пустой набор . $\emptyset$. Эта концепция «размера» основана на сопоставлениях между множествами, так что два множества имеют одинаковый размер , точно в том случае, если между ними существует взаимно однозначное соответствие . Сам набор натуральных чисел и любой его биективный образ считаются счетно бесконечными и имеют мощность алеф-нуль ( ℵ ₀ ).
• Натуральные числа также используются в качестве лингвистических порядковых числительных : «первый», «второй», «третий» и так далее. Нумерация порядковых номеров обычно начинается с нуля, чтобы соответствовать типу порядка пустого набора. $\emptyset$. Таким образом, их можно сопоставить элементам вполне упорядоченного конечного множества, а также элементам любого вполне упорядоченного счетно-бесконечного множества без предельных точек . Это присвоение можно обобщить на общие упорядочения с несчетной мощностью, чтобы получить порядковые числа. Порядковое число также может использоваться для описания понятия «размера» хорошо упорядоченного набора в смысле, отличном от мощности: если существует порядковый изоморфизм между двумя хорошо упорядоченными множествами (более чем биекция), они имеют тот же порядковый номер. Первое порядковое число, не являющееся натуральным числом, выражается как ω ; это также порядковый номер самого набора натуральных чисел.

Наименьший порядковый номер мощности ℵ ₀ (то есть начальный ординал ℵ ℵ ₀ ) равен ω, многие упорядоченные множества с кардинальным числом но ₀ имеют порядковый номер больше ω .

Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует взаимно однозначное соответствие между порядковыми и кардинальными числами; следовательно, они оба могут быть выражены одним и тем же натуральным числом — количеством элементов множества. Это число также можно использовать для описания положения элемента в более крупной конечной или бесконечной последовательности .

Счетная нестандартная модель арифметики, удовлетворяющая арифметике Пеано (то есть аксиомам Пеано первого порядка), была разработана Сколемом в 1933 году. Сверхнатуральные числа представляют собой несчетную модель, которая может быть построена из обычных натуральных чисел с помощью сверхстепенной конструкции. . Другие обобщения обсуждаются в разделе «Расширения концепции» .

Жорж Риб провокационно заявлял, что «наивные целые числа не заполняют $\mathbb {N}$".

Формальные определения

Существует два стандартных метода формального определения натуральных чисел. Первая, названная в честь Джузеппе Пеано , состоит из автономной аксиоматической теории , называемой арифметикой Пеано , основанной на нескольких аксиомах, называемых аксиомами Пеано .

Второе определение основано на теории множеств . Он определяет натуральные числа как определенные множества . Точнее, каждое натуральное число n определяется как явно определенное множество, элементы которого позволяют подсчитывать элементы других множеств, в том смысле, что предложение «множество S имеет n элементов» означает, что существует однозначное соответствие между два n и S. набора

Множества, используемые для определения натуральных чисел, удовлетворяют аксиомам Пеано. Отсюда следует, что каждая теорема , которую можно сформулировать и доказать в арифметике Пеано, можно также доказать и в теории множеств. Однако эти два определения не эквивалентны, поскольку существуют теоремы, которые можно сформулировать в терминах арифметики Пеано и доказать в теории множеств, но которые невозможно доказать внутри арифметики Пеано. Вероятный пример — Великая теорема Ферма .

Определение целых чисел как множеств, удовлетворяющих аксиомам Пеано, обеспечивает модель арифметики Пеано внутри теории множеств. Важным следствием является то, что если теория множеств непротиворечива (как это обычно предполагается), то и арифметика Пеано непротиворечива. Другими словами, если бы в арифметике Пеано можно было доказать противоречие, то теория множеств была бы противоречивой, и каждая теорема теории множеств была бы одновременно истинной и неверной.

Пеано

Основная статья: Аксиомы Пеано

Пять аксиом Пеано заключаются в следующем:

1. 0 – натуральное число.
2. У каждого натурального числа есть последующий элемент, который также является натуральным числом.
3. 0 не является преемником какого-либо натурального числа.
4. Если преемник $x$ равен преемнику $y$, затем $x$ равно $y$.
5. Аксиома индукции : если утверждение истинно для 0 и если истинность этого утверждения для числа подразумевает его истинность для последователя этого числа, то это утверждение верно для любого натурального числа.

Это не оригинальные аксиомы, опубликованные Пеано, но названные в его честь. В некоторых формах аксиом Пеано вместо 0 стоит 1. В обычной арифметике преемник аксиомы $x$ является $x+1$.

Теоретико-множественное определение

Основная статья: Теоретико-множественное определение натуральных чисел

Интуитивно понятно, что натуральное число n является общим свойством всех множеств , состоящих из n элементов. Итак, кажется естественным определить n как класс эквивалентности по отношению «может быть выполнено во взаимно однозначном соответствии ». Это не работает в теории множеств , поскольку такой класс эквивалентности не будет множеством (из-за парадокса Рассела ). Стандартное решение — определить конкретный набор из n элементов, который будет называться натуральным числом n .

Следующее определение было впервые опубликовано Джоном фон Нейманом . хотя Леви приписывает эту идею неопубликованной работе Цермело 1916 года. Поскольку это определение распространяется на бесконечное множество как определение порядкового числа , множества, рассматриваемые ниже, иногда называют ординалами фон Неймана .

Определение происходит следующим образом:

• Вызовите 0 = {} , пустой набор .
• Определите преемника S ( a ) любого набора a формулой S ( a ) = a ∪ { a } .
• По аксиоме бесконечности существуют множества, содержащие 0 и замкнутые относительно функции-последователя. Такие множества называются индуктивными . Пересечение всех индуктивных множеств по-прежнему остается индуктивным множеством.
• Это пересечение представляет собой множество натуральных чисел .

Отсюда следует, что натуральные числа определяются итеративно следующим образом:

• 0 = { } ,
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }} ,
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}} ,
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} ,
• n = n −1 ∪ { n −1} = {0, 1, ..., n −1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, .. .}} ,
• и т. д.

Можно проверить, что натуральные числа удовлетворяют аксиомам Пеано .

С помощью этого определения, учитывая натуральное число n , предложение «множество S имеет n элементов» может быть формально определено как «существует биекция от n до S» . Это формализует операцию подсчета элементов S. Кроме того, n ≤ m тогда и только тогда, когда . Другими словами , n является подмножеством m включение множества определяет обычный общий порядок натуральных чисел .

Из определения следует, что каждое натуральное число равно множеству всех натуральных чисел, меньших его. Это определение можно расширить до определения ординалов фон Неймана для определения всех порядковых чисел , включая бесконечные: «каждый ординал представляет собой хорошо упорядоченный набор всех меньших ординалов».

Если не принять аксиому бесконечности , натуральные числа не могут образовывать множество. Тем не менее, натуральные числа по-прежнему могут быть определены индивидуально, как указано выше, и они по-прежнему удовлетворяют аксиомам Пеано.

Существуют и другие теоретические конструкции. В частности, Эрнст Цермело представил конструкцию, которая в настоящее время представляет лишь исторический интерес и которую иногда называют Порядковые номера Цермело . Он заключается в определении 0 как пустого множества и S ( a ) = { a } .

Согласно этому определению каждое натуральное число представляет собой одноэлементное множество . Итак, свойство натуральных чисел представлять мощности напрямую недоступно; только порядковое свойство (являющееся n- м элементом последовательности) является непосредственным. В отличие от конструкции фон Неймана, ординалы Цермело не распространяются на бесконечные ординалы.

См. также

• Каноническое представление целого положительного числа . Представление числа в виде произведения простых чисел.
• Счетное множество - математическое множество, которое можно перечислить.
• Последовательность – функция натуральных чисел из другого набора.
• Порядковое число - обобщение «n-го» на бесконечное число случаев.
• Кардинальное число - размер возможно бесконечного множества.
• Теоретико-множественное определение натуральных чисел - аксиомы теории множеств

Системы счисления Сложный $:\;\mathbb {C}$ Настоящий $:\;\mathbb {R}$ Рациональный $:\;\mathbb {Q}$ Целое число $:\;\mathbb {Z}$ Естественный $:\;\mathbb {N}$ Ноль : 0 Один : 1 простые числа Составные числа Отрицательные целые числа Доля Конечная десятичная дробь Диадический (конечный бинарный) Повторяющаяся десятичная дробь иррациональный Алгебраическая иррациональность трансцендентный Воображаемый

Библиография

• Блюман, Аллан (2010). Предварительная алгебра DeMYSTiFieD (второе изд.). МакГроу-Хилл Профессионал. ISBN  978-0-07-174251-1 – через Google Книги.
• Каротерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-49756-5 – через Google Книги.
• Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014). Краткий Оксфордский математический словарь (Пятое изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-967959-1 – через Google Книги.
• Дедекинд, Ричард (1963) [1901]. Очерки по теории чисел . Перевод Бемана, Вустера Вудраффа (переиздание). Дуврские книги. ISBN  978-0-486-21010-0 – через Archive.org.
  • Дедекинд, Ричард (1901). Очерки по теории чисел . Перевод Бемана, Вустера Вудраффа. Чикаго, Иллинойс: Издательская компания Open Court . Проверено 13 августа 2020 г. - через Project Gutenberg.
  • Дедекинд, Ричард (2007). Очерки по теории чисел . Кессинджер Паблишинг, ООО. ISBN  978-0-548-08985-9 .
• Ивс, Ховард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Томсон. ISBN  978-0-03-029558-4 – через Google Книги.
• Халмос, Пол (1960). Наивная теория множеств . Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90092-6 – через Google Книги.
• Гамильтон, АГ (1988). Логика для математиков (переработанная ред.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-36865-0 – через Google Книги.
• Джеймс, Роберт С .; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (Пятое изд.). Чепмен и Холл. ISBN  978-0-412-99041-0 – через Google Книги.
• Ландау, Эдмунд (1966). Основы анализа (Третье изд.). Издательство Челси. ISBN  978-0-8218-2693-5 – через Google Книги.
• Леви, Азриэль (1979). Базовая теория множеств . Шпрингер-Верлаг Берлин Гейдельберг. ISBN  978-3-662-02310-5 .
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1646-2 – через Google Книги.
• Мендельсон, Эллиотт (2008) [1973]. Системы счисления и основы анализа . Дуврские публикации. ISBN  978-0-486-45792-5 – через Google Книги.
• Мораш, Рональд П. (1991). Мост к абстрактной математике: математические доказательства и структуры (второе изд.). Колледж Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-043043-3 – через Google Книги.
• Массер, Гэри Л.; Петерсон, Блейк Э.; Бургер, Уильям Ф. (2013). Математика для учителей начальных классов: современный подход (10-е изд.). Глобальное образование Wiley . ISBN  978-1-118-45744-3 – через Google Книги.
• Щепански, Эми Ф.; Косицкий, Эндрю П. (2008). Полное руководство идиота по предалгебре . Группа Пингвин. ISBN  978-1-59257-772-9 – через Google Книги.
• Томсон, Брайан С.; Брукнер, Джудит Б.; Брукнер, Эндрю М. (2008). Элементарный реальный анализ (второе изд.). КлассическийRealAnaанализ.com. ISBN  978-1-4348-4367-8 – через Google Книги.
• фон Нейман, Джон (1923). «Zur Einführung der transfiniten Zahlen» [О введении трансфинитных чисел]. Научный журнал AC Венгерского университета имени Франциска-Жозефины, секция математических наук . 1 : 199–208. Архивировано из оригинала 18 декабря 2014 года . Проверено 15 сентября 2013 г.
• фон Нейман, Джон (январь 2002 г.) [1923]. «О введении трансфинитных чисел» . Ван Хейеноорт, Жан (ред.). От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 (3-е изд.). Издательство Гарвардского университета. стр. 346–354. ISBN  978-0-674-32449-7 . – Английский перевод фон Неймана 1923 г.

Внешние ссылки

• «Натуральное число» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Аксиомы и построение натуральных чисел» . apronus.com .