Целое число

Для компьютерного представления см. Целое число (информатика) . Для обобщения теории алгебраических чисел см. Алгебраическое целое число .

Целое число — это ноль ( 0 ), положительное натуральное число (1, 2, 3 и т. д.) или отрицательное целое число ( −1 , −2, −3 и т. д.). Отрицательные числа являются аддитивными обратными соответствующими положительными числами. Набор всех целых чисел часто обозначается жирным шрифтом Z или жирным шрифтом на доске. $\mathbb {Z}$.

Набор натуральных чисел $\mathbb {N}$ является подмножеством ​ $\mathbb {Z}$, которое, в свою очередь, является подмножеством множества всех рациональных чисел $\mathbb {Q}$, само по себе является подмножеством действительных чисел $\mathbb {R}$. Как и множество натуральных чисел, множество целых чисел $\mathbb {Z}$ счетно бесконечно . Целое число можно рассматривать как действительное число, которое можно записать без дробной составляющей . Например, 21, 4, 0 и -2048 являются целыми числами, а 9,75 5 + 1/2 нет — , 5/4 и 2 √ .

Целые числа образуют наименьшую группу и наименьшее кольцо, содержащее натуральные числа . В теории алгебраических чисел целые числа иногда квалифицируются как рациональные целые числа, чтобы отличить их от более общих алгебраических целых чисел . Фактически, (рациональные) целые числа — это целые алгебраические числа, которые также являются рациональными числами .

История

Слово целое происходит от латинского целого числа, означающего «целый» или (буквально) «нетронутый», от in («не») плюс tangere («прикасаться»). Слово « Целое » происходит от того же происхождения, от французского слова entier , которое означает как «целое» , так и «целое» . Исторически этот термин использовался для обозначения числа , кратного 1. или целой части смешанного числа . Рассматривались только положительные целые числа, что делало этот термин синонимом натуральных чисел . Определение целого числа со временем расширилось и теперь включает отрицательные числа, поскольку их полезность была признана. Например, Леонард Эйлер в своих «Элементах алгебры» 1765 года определил, что целые числа включают как положительные, так и отрицательные числа.

Использование буквы Z для обозначения набора целых чисел происходит от немецкого слова Zahlen («числа»). и приписывается Дэвиду Гильберту . Самое раннее известное использование обозначений в учебниках встречается в «Алгебре» , написанном коллективом Николя Бурбаки и датируемом 1947 годом. Обозначение было принято не сразу, например, в другом учебнике использовалась буква J. а в статье 1960 года Z использовалось для обозначения неотрицательных целых чисел. Но к 1961 году Z обычно использовалась в современных текстах по алгебре для обозначения положительных и отрицательных целых чисел.

Символ $\mathbb {Z}$ часто аннотируется для обозначения различных наборов, которые разные авторы используют по-разному: $\mathbb {Z} ^{+}$, $\mathbb {Z} _{+}$ или $\mathbb {Z} ^{>}$ для положительных целых чисел, $\mathbb {Z} ^{0+}$ или $\mathbb {Z} ^{\geq }$ для неотрицательных целых чисел и $\mathbb {Z} ^{\neq }$ для ненулевых целых чисел. Некоторые авторы используют $\mathbb {Z} ^{*}$ для ненулевых целых чисел, в то время как другие используют его для неотрицательных целых чисел или для {–1, 1} ( группа единиц $\mathbb {Z}$). Кроме того, $\mathbb {Z} _{p}$ используется для обозначения либо набора целых чисел по модулю p (т. е. набора классов конгруэнтности целых чисел), либо набора p -адических целых чисел .

Целые числа были синонимами целых чисел вплоть до начала 1950-х годов. В конце 1950-х годов в рамках Новая математика» движения « Американские учителя начальной школы начали учить, что целые числа относятся к натуральным числам , исключая отрицательные числа, а целые числа относятся к отрицательным числам. Целые цифры остаются неоднозначными и по сей день.

Алгебраические свойства

Целые числа можно рассматривать как дискретные, равноотстоящие друг от друга точки на бесконечно длинной числовой прямой . В приведенном выше примере неотрицательные целые числа показаны синим цветом, а отрицательные целые числа — красным.

Подобно натуральным числам , $\mathbb {Z}$ замкнуто относительно операций . сложения и умножения , то есть сумма и произведение любых двух целых чисел есть целое число Однако с учетом отрицательных натуральных чисел (и, что важно, 0 ), $\mathbb {Z}$, в отличие от натуральных чисел, также замкнуто относительно вычитания .

Целые числа образуют кольцо с единицей , которое является самым основным в следующем смысле: для любого кольца с единицей существует единственный кольцевой гомоморфизм целых чисел в это кольцо. Это универсальное свойство , а именно быть исходным объектом в категории колец , характеризует кольцо. $\mathbb {Z}$.

$\mathbb {Z}$ не является замкнутым при делении , поскольку частное двух целых чисел (например, 1, разделенное на 2) не обязательно должно быть целым числом. Хотя натуральные числа являются замкнутыми при возведении в степень , целые числа — нет (поскольку результат может быть дробью, если показатель степени отрицателен).

В следующей таблице перечислены некоторые основные свойства сложения и умножения любых целых чисел a , b и c :

Свойства сложения и умножения целых чисел

	Добавление	Умножение
Закрытие :	a + b   — целое число	a × b   — целое число
Ассоциативность :	а + ( б + с ) знак равно ( а + б ) + с	а × ( б × c ) знак равно ( а × б ) × c
Коммутативность :	а + б = б + а	а × б = б × а
Наличие идентификационного элемента :	а + 0 = а	а × 1 = а
Наличие обратных элементов :	а + (- а ) знак равно 0	Единственными обратимыми целыми числами (называемыми единицами ) являются −1 и 1 .
Дистрибутивность :	а × ( б + c ) знак равно ( а × б ) + ( а × c )   и   ( а + б ) × c знак равно ( а × c ) + ( б × c )
Нет делителей нуля :		Если a × b = 0 , то a = 0 или b = 0 (или оба)

Первые пять свойств, перечисленных выше для добавления, говорят, что $\mathbb {Z}$, при этом является абелевой группой . Это также циклическая группа , поскольку каждое ненулевое целое число можно записать в виде конечной суммы 1 + 1 + ... + 1 или (−1) + (−1) + ... + (−1) . Фактически, $\mathbb {Z}$ при сложении является единственной бесконечной циклической группой - в том смысле, что любая бесконечная циклическая изоморфна группа $\mathbb {Z}$.

Первые четыре свойства умножения, перечисленные выше, говорят, что $\mathbb {Z}$ при умножении является коммутативным моноидом . Однако не каждое целое число имеет обратное мультипликативное число (как в случае числа 2), а это означает, что $\mathbb {Z}$ при умножении не является группой.

Все правила из приведенной выше таблицы свойств (кроме последнего), взятые вместе, говорят, что $\mathbb {Z}$ вместе со сложением и умножением представляет собой коммутативное кольцо с единицей . Это прототип всех объектов такой алгебраической структуры . Только те выражений истинны равенства в $\mathbb {Z}$ для всех значений переменных, истинных в любом коммутативном кольце с единицей. Некоторые ненулевые целые числа отображаются в ноль в определенных кольцах.

Отсутствие делителей нуля у целых чисел (последнее свойство в таблице) означает, что коммутативное кольцо $\mathbb {Z}$ является целостной областью .

Отсутствие мультипликативных обратных, что эквивалентно тому, что $\mathbb {Z}$ не замкнут при делении, означает, что $\mathbb {Z}$ это не поле ​ . Наименьшее поле, содержащее целые числа в виде подкольца, — это поле рациональных чисел . Процесс построения рациональных чисел из целых чисел можно имитировать, чтобы сформировать поле дробей любой целой области. И обратно, начиная с поля алгебраических чисел (расширения рациональных чисел), его кольцо целых чисел , которое включает в себя можно извлечь $\mathbb {Z}$ как его подкольцо .

Хотя обычное деление не определено на $\mathbb {Z}$, на них определено деление "с остатком". Оно называется евклидовым делением и обладает следующим важным свойством: для данных двух целых чисел a и b с b ≠ 0 существуют уникальные целые числа q и r такие, что a = q × b + r и 0 ≤ r < | б | , где | б | обозначает значение b . абсолютное Целое число q называется частным , а r — остатком от деления a на b . Алгоритм Евклида для вычисления наибольших общих делителей работает с помощью последовательности евклидовых делений.

Выше сказано, что $\mathbb {Z}$ является евклидовой областью . Это означает, что $\mathbb {Z}$ является областью главного идеала , и любое положительное целое число может быть записано как произведение простых чисел по существу уникальным способом. Это основная теорема арифметики .

Теоретико-порядковые свойства

$\mathbb {Z}$ представляет собой полностью упорядоченное множество без верхней и нижней границы . Порядок $\mathbb {Z}$ дается: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... Целое число является положительным, если оно больше нуля , и отрицательным, если оно меньше нуля. Ноль не определяется как ни отрицательный, ни положительный.

Упорядочение целых чисел совместимо с алгебраическими операциями следующим образом:

1. если a < b и c < d , то a + c < b + d
2. если a < b и 0 < c , то ac < bc .

Отсюда следует, что $\mathbb {Z}$ вместе с указанным выше порядком является упорядоченным кольцом .

Целые числа — единственная нетривиальная полностью упорядоченная абелева группа , положительные элементы которой хорошо упорядочены . Это эквивалентно утверждению, что любое нетерово нормированное кольцо является либо полем , либо кольцом дискретного нормирования .

Строительство

Традиционное развитие

В преподавании в начальной школе целые числа часто интуитивно определяются как объединение (положительных) натуральных чисел, нуля и отрицаний натуральных чисел. Это можно формализовать следующим образом. Сначала постройте набор натуральных чисел в соответствии с аксиомами Пеано , назовите это $P$. Затем создайте набор $P^{-}$ который не пересекается с $P$ и в личной переписке с $P$ через функцию $\psi$. Например, возьмите $P^{-}$ быть упорядоченными парами $(1,n)$ с отображением $\psi =n\mapsto (1,n)$. Наконец, пусть 0 будет каким-то объектом, которого нет в $P$ или $P^{-}$, например упорядоченная пара $(0,0)$. Тогда целые числа определяются как объединение $P\cup P^{-}\cup \{0\}$.

Традиционные арифметические операции затем могут быть определены над целыми числами кусочно , для каждого из положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. Например, отрицание определяется следующим образом:

$$-x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}$$

Традиционный стиль определения приводит к множеству различных случаев (каждая арифметическая операция должна быть определена для каждой комбинации типов целых чисел) и делает утомительным доказательство того, что целые числа подчиняются различным законам арифметики.

Классы эквивалентности упорядоченных пар

Красные точки представляют упорядоченные пары натуральных чисел . Связанные красные точки — это классы эквивалентности, представляющие синие целые числа в конце строки.

В современной теоретико-множественной математике существует более абстрактная конструкция. Вместо этого часто используется разрешение определять арифметические операции без различия регистра. Таким образом, целые числа могут быть формально построены как классы эквивалентности пар упорядоченных натуральных чисел ( a , b ) .

Интуитивно понятно, что ( a , b ) означает результат вычитания b из a . Чтобы подтвердить наше ожидание, что 1–2 и 4–5 обозначают одно и то же число, мы определяем отношение эквивалентности ~ на этих парах по следующему правилу:

$(a,b)\sim (c,d)$

именно тогда, когда

$a+d=b+c.$

Сложение и умножение целых чисел можно определить с помощью эквивалентных операций над натуральными числами; используя [( a , b )] для обозначения класса эквивалентности, имеющего ( a , b ) в качестве члена, можно получить:

$[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].$

$[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].$

Отрицание (или аддитивное обратное) целого числа получается изменением порядка пары:

$-[(a,b)]:=[(b,a)].$

Следовательно, вычитание можно определить как сложение аддитивной обратной:

$[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].$

Стандартный порядок целых чисел определяется следующим образом:

$[(a,b)]<[(c,d)]$ тогда и только тогда, когда $a+d<b+c.$

Легко проверяется, что эти определения не зависят от выбора представителей классов эквивалентности.

Каждый класс эквивалентности имеет уникальный член вида ( n ,0) или (0, n ) (или оба сразу). Натуральное число n отождествляется с классом [( n ,0)] (т. е. натуральные числа встраиваются в целые числа путем отображения n в [( n ,0)] ), а также с классом [(0, n ) ] обозначается - n (это охватывает все оставшиеся классы и дает класс [(0,0)] второй раз, поскольку -0 = 0.

Таким образом, [( a , b )] обозначается через

${\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b.\end{cases}}$

Если натуральные числа отождествляются с соответствующими целыми числами (с использованием упомянутого выше встраивания), это соглашение не создает двусмысленности.

Эта запись восстанавливает знакомое представление целых чисел как {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} .

Некоторые примеры:

${\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}$

Другие подходы

В теоретической информатике другие подходы к построению целых чисел используются автоматическими средствами доказательства теорем и механизмами перезаписи терминов .Целые числа представлены как алгебраические термины, построенные с использованием нескольких основных операций (например, ноль , succ , pred ) и, возможно, с использованием натуральных чисел , которые считаются уже построенными (с использованием, скажем, подхода Пеано ).

Таких конструкций целых чисел со знаком существует не менее десяти. Эти конструкции различаются по нескольким признакам: количеству основных операций, используемых для построения, количеству (обычно от 0 до 2) и типам аргументов, принимаемых этими операциями; наличие или отсутствие натуральных чисел в качестве аргументов некоторых из этих операций, а также тот факт, являются ли эти операции свободными конструкторами или нет, т. е. одно и то же целое число может быть представлено с использованием только одного или нескольких алгебраических терминов.

Техника построения целых чисел, представленная в предыдущем разделе, соответствует частному случаю, когда существует одна пара основных операций. $(x,y)$ который принимает в качестве аргументов два натуральных числа $x$ и $y$и возвращает целое число (равное $x-y$). Эта операция не бесплатна, поскольку целое число 0 может быть записано как пара (0,0), или пара (1,1), или пара (2,2) и т. д. Этот метод построения используется помощником по доказательству Изабель ; однако многие другие инструменты используют альтернативные методы построения, особенно те, которые основаны на свободных конструкторах, которые проще и могут быть более эффективно реализованы на компьютерах.

Информатика

Основная статья: Целое число (информатика)

Целое число часто является примитивным типом данных в компьютерных языках . Однако целочисленные типы данных могут представлять только подмножество всех целых чисел, поскольку практические компьютеры имеют ограниченную мощность. Кроме того, в обычном представлении дополнения до двух внутреннее определение знака различает «отрицательный» и «неотрицательный», а не «отрицательный, положительный и 0». (Однако компьютер, безусловно, может определить, является ли целочисленное значение действительно положительным.) Типы данных аппроксимации целых чисел фиксированной длины (или подмножества) обозначаются int или Integer в нескольких языках программирования (таких как Algol68 , C , Java , Дельфи и др.).

Представления целых чисел переменной длины, такие как bignums , могут хранить любое целое число, которое помещается в памяти компьютера. Другие целочисленные типы данных реализуются с фиксированным размером, обычно количеством битов, равным степени 2 (4, 8, 16 и т. д.) или запоминаемому количеству десятичных цифр (например, 9 или 10).

Мощность

Множество целых чисел счетно бесконечно , что означает, что можно сопоставить каждое целое число с уникальным натуральным числом. Примером такого сочетания является

(0, 1), (1, 2), (−1, 3), (2, 4), (−2, 5), (3, 6), . . . , (1 −  k , 2 k  − 1), ( k , 2 k  ), . . .

Технически мощность , $\mathbb {Z}$ Говорят, что он равен ℵ ₀ ( алеф-ноль ). Сопряжение между элементами $\mathbb {Z}$ и $\mathbb {N}$ называется биекцией .

См. также

• Каноническая факторизация целого положительного числа
• Гиперцелое число
• Целочисленная сложность
• Целочисленная решетка
• Целая часть
• Целочисленная последовательность
• Целочисленная функция
• Математические символы
• Паритет (математика)
• Проконечное целое число

Системы счисления Сложный $:\;\mathbb {C}$ Настоящий $:\;\mathbb {R}$ Рациональный $:\;\mathbb {Q}$ Целое число $:\;\mathbb {Z}$ Естественный $:\;\mathbb {N}$ Ноль : 0 Один : 1 Простые числа Составные числа Отрицательные целые числа Фракция Конечная десятичная дробь Диадический (конечный бинарный) Повторяющаяся десятичная дробь иррациональный Алгебраическая иррациональность трансцендентный Воображаемый

Источники

• Белл, ET (1986). Мужчины математики . Нью-Йорк: Саймон и Шустер. ISBN  0-671-46400-0 . )
• Герштейн, И. Н. (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Уайли. ISBN  0-471-01090-1 .
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1646-2 .
• Общество джентльменов в Шотландии (1771 г.). Британская энциклопедия . Эдинбург.

Внешние ссылки

• «Целое число» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Положительные целые числа — таблицы делителей и инструменты представления чисел.
• Электронная энциклопедия целочисленных ОЭИС последовательностей
• Вайсштейн, Эрик В. «Целое число» . Математический мир .

Эта статья включает в себя материал из Integer на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .