Диффеоморфизм

«Диффео» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о компании, см. Diffeo (компания) .

В математике диффеоморфизм — это изоморфизм дифференцируемых многообразий . Это обратимая функция , которая отображает одно дифференцируемое многообразие в другое так, что как функция, так и обратная к ней непрерывно дифференцируемы .

Изображение . прямоугольной сетки на квадрате при диффеоморфизме квадрата на себя

Определение

Даны два дифференцируемых многообразия $M$ и $N$, дифференцируемое отображение $f\colon M\rightarrow N$ является диффеоморфизмом, если он является биекцией и ее обратной $f^{-1}\colon N\rightarrow M$также дифференцируема. Если эти функции $r$ времена непрерывно дифференцируемы, $f$ называется $C^{r}$-диффеоморфизм.

Два коллектора $M$ и $N$ диффеоморфны обозначаются (обычно $M\simeq N$), если существует диффеоморфизм $f$ от $M$ к $N$. Два $C^{r}$-дифференцируемые многообразия $C^{r}$-диффеоморфен, если существует $r$ непрерывно дифференцируемое биективное отображение между ними, обратное также $r$ раз непрерывно дифференцируемы.

Диффеоморфизмы подмножеств многообразий

Учитывая подмножество $X$ многообразия $M$ и подмножество $Y$ многообразия $N$, функция $f:X\to Y$ называется гладким, если для всех $p$ в $X$ есть район $U\subset M$ из $p$ и плавная функция $g:U\to N$ так, что ограничения согласуются: $g_{|U\cap X}=f_{|U\cap X}$ (Обратите внимание, что $g$ является продолжением $f$). Функция $f$ называется диффеоморфизмом, если он биективен, гладок и его обратный гладок.

Местное описание

Проверка того, является ли дифференцируемое отображение диффеоморфизмом, может быть произведена локально при некоторых мягких ограничениях. Это теорема Адамара-Каччиопполи:

Если $U$, $V$ связаны ​ открытые подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что $V$ односвязно , дифференцируемое отображение $f:U\to V$ является диффеоморфизмом, если он собственный и если дифференциал $Df_{x}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ является биективным (и, следовательно, линейным изоморфизмом ) в каждой точке $x$ в $U$.

Некоторые замечания:

Это важно для $V$ быть просто подключенным для функции $f$быть глобально обратимым (при единственном условии, что его производная является биективным отображением в каждой точке). Например, рассмотрим «реализацию» функции комплексного квадрата.

${\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}$

Затем $f$ является сюръективным и удовлетворяет

$\det Df_{x}=4(x^{2}+y^{2})\neq 0.$

Таким образом, хотя $Df_{x}$ является биективным в каждой точке, $f$ не обратима, поскольку не может быть инъективным (например, $f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)$).

Поскольку дифференциал в точке (для дифференцируемой функции)

$Df_{x}:T_{x}U\to T_{f(x)}V$

является линейным отображением , оно имеет корректно определенное обратное тогда и только тогда, когда $Df_{x}$является биекцией. Матричное ​ представление $Df_{x}$ это $n\times n$ матрица частных производных первого порядка , запись которой в $i$-й ряд и $j$-й столбец $\partial f_{i}/\partial x_{j}$. Эта так называемая матрица Якоби часто используется для явных вычислений.

Диффеоморфизмы обязательно возникают между многообразиями одной и той же размерности . Представлять себе $f$ выходя из измерения $n$ измерить $k$. Если $n<k$ затем $Df_{x}$ никогда не может быть сюръективным, и если $n>k$ затем $Df_{x}$никогда не может быть инъективным. В обоих случаях, следовательно, $Df_{x}$ не может быть биекцией.

Если $Df_{x}$ является биекцией в $x$ затем $f$ называется локальным диффеоморфизмом (поскольку по непрерывности $Df_{y}$ также будет биективным для всех $y$ достаточно близко к $x$).

Учитывая гладкую карту из измерения $n$ измерить $k$, если $Df$ (или, локально, $Df_{x}$) сюръективен, $f$называется погружением ( или, локально, «локальным погружением»); и если $Df$ (или, локально, $Df_{x}$) инъективен, $f$ называется погружением ( или, локально, «локальным погружением»).

Дифференцируемая биекция не обязательно является диффеоморфизмом. $f(x)=x^{3}$, например, не является диффеоморфизмом из $\mathbb {R}$самому себе, потому что его производная обращается в нуль в точке 0 (и, следовательно, ее инверсия не дифференцируема в точке 0). Это пример гомеоморфизма , который не является диффеоморфизмом.

Когда $f$ — отображение дифференцируемых многообразий, диффеоморфное $f$ является более сильным условием, чем гомеоморфное $f$. Для диффеоморфизма $f$и его инверсия должна быть дифференцируемой ; для гомеоморфизма, $f$и его инверсия должна быть только непрерывной . Каждый диффеоморфизм является гомеоморфизмом, но не всякий гомеоморфизм является диффеоморфизмом.

$f:M\to N$является диффеоморфизмом, если в координатных картах он удовлетворяет приведенному выше определению. Точнее: выберите любой кавер $M$ с помощью совместимых координатных карт и сделайте то же самое для $N$. Позволять $\phi$ и $\psi$ быть графиками, соответственно, $M$ и $N$, с $U$ и $V$ как и, соответственно, изображения $\phi$ и $\psi$. Карта $\psi f\phi ^{-1}:U\to V$ тогда является диффеоморфизмом, как в приведенном выше определении, всякий раз, когда $f(\phi ^{-1}(U))\subseteq \psi ^{-1}(V)$.

Примеры

Поскольку любое многообразие может быть локально параметризовано, мы можем рассмотреть некоторые явные отображения из $\mathbb {R} ^{2}$ в $\mathbb {R} ^{2}$.

• Позволять

$f(x,y)=\left(x^{2}+y^{3},x^{2}-y^{3}\right).$

Мы можем вычислить матрицу Якобиана:

$J_{f}={\begin{pmatrix}2x&3y^{2}\\2x&-3y^{2}\end{pmatrix}}.$

Матрица Якобиана имеет нулевой определитель тогда и только тогда, когда $xy=0$. Мы видим, что $f$ мог быть только диффеоморфизмом вдали от $x$-ось и $y$-ось. Однако, $f$ не является биективным, поскольку $f(x,y)=f(-x,y)$, и, следовательно, он не может быть диффеоморфизмом.

• Позволять

$g(x,y)=\left(a_{0}+a_{1,0}x+a_{0,1}y+\cdots ,\ b_{0}+b_{1,0}x+b_{0,1}y+\cdots \right)$

где $a_{i,j}$ и $b_{i,j}$являются произвольными действительными числами , а опущенные члены имеют степень не ниже двух по x и y . Мы можем вычислить матрицу Якобиана в 0 :

$J_{g}(0,0)={\begin{pmatrix}a_{1,0}&a_{0,1}\\b_{1,0}&b_{0,1}\end{pmatrix}}.$

Мы видим, что g является локальным диффеоморфизмом в точке 0 тогда и только тогда, когда

$a_{1,0}b_{0,1}-a_{0,1}b_{1,0}\neq 0,$

т.е. линейные члены в компонентах g независимы линейно как полиномы .

• Позволять

$h(x,y)=\left(\sin(x^{2}+y^{2}),\cos(x^{2}+y^{2})\right).$

Мы можем вычислить матрицу Якобиана:

$J_{h}={\begin{pmatrix}2x\cos(x^{2}+y^{2})&2y\cos(x^{2}+y^{2})\\-2x\sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.$

Матрица Якобиана везде имеет нулевой определитель! Фактически мы видим, что образ h — это единичный круг .

Деформации поверхности

В механике преобразование, вызванное напряжением, называется деформацией и может быть описано диффеоморфизмом. Диффеоморфизм $f:U\to V$ между двумя поверхностями $U$ и $V$ имеет матрицу Якобиана $Df$это обратимая матрица . Фактически требуется, чтобы для $p$ в $U$ есть окрестности , $p$ в котором якобиан $Df$остается несингулярным . Предположим, что на карте поверхности $f(x,y)=(u,v).$

Полный дифференциал u ​ равен

$du={\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy$, и аналогично для v .

Затем изображение $(du,dv)=(dx,dy)Df$представляет собой линейное преобразование , фиксирующее начало координат и выражаемое как действие комплексного числа определенного типа. Когда ( dx , dy ) также интерпретируется как комплексное число этого типа, действие представляет собой комплексное умножение в соответствующей плоскости комплексных чисел. Таким образом, существует тип угла ( евклидов , гиперболический или наклонный ), который сохраняется при таком умножении. Поскольку Df обратим, тип комплексного числа однороден по всей поверхности. Следовательно, поверхностная деформация или диффеоморфизм поверхностей обладает конформным свойством сохранения (соответствующего типа) углов.

Группа диффеоморфизмов

Позволять $M$— дифференцируемое многообразие, счетное по секундам и хаусдорфово . диффеоморфизмов Группа ​ $M$ это группа всех $C^{r}$ диффеоморфизмы $M$ самому себе, обозначаемый ${\text{Diff}}^{r}(M)$ или, когда $r$ понятно, ${\text{Diff}}(M)$. Это «большая» группа в том смысле, что — при условии, что $M$ не является нульмерным — оно не локально компактно .

Топология

Группа диффеоморфизмов имеет две естественные топологии : слабую и сильную ( Hirsch 1997 ). Когда многообразие компактно , эти две топологии согласуются. Слабая топология всегда метризуема . Когда многообразие некомпактно, сильная топология отражает поведение функций «на бесконечности» и не метризуема. Однако это все еще Бэр .

Фиксация римановой метрики на $M$слабая топология – это топология, индуцированная семейством метрик

$d_{K}(f,g)=\sup \nolimits _{x\in K}d(f(x),g(x))+\sum \nolimits _{1\leq p\leq r}\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|$

как $K$ варьируется в пределах компактных подмножеств $M$. Действительно, поскольку $M$ является $\sigma$-компактный, существует последовательность компактных подмножеств $K_{n}$ чей союз ​ $M$. Затем:

$d(f,g)=\sum \nolimits _{n}2^{-n}{\frac {d_{K_{n}}(f,g)}{1+d_{K_{n}}(f,g)}}.$

Группа диффеоморфизмов, оснащенная своей слабой топологией, локально гомеоморфна пространству $C^{r}$векторные поля ( Лесли 1967 ). Над компактным подмножеством $M$, это следует путем фиксации римановой метрики на $M$и использование экспоненциальной карты для этой метрики. Если $r$конечно и многообразие компактно, пространство векторных полей является банаховым пространством . Более того, отображения перехода от одной карты этого атласа к другой являются гладкими, что превращает группу диффеоморфизмов в банахово многообразие с гладкими правыми сдвигами; левые сдвиги и инверсии являются только непрерывными. Если $r=\infty$пространство векторных полей является пространством Фреше . Более того, отображения перехода гладкие, что превращает группу диффеоморфизмов в многообразие Фреше и даже в регулярную группу Ли Фреше . Если многообразие $\sigma$-компактная и некомпактная полная группа диффеоморфизмов не является локально стягиваемой ни для одной из двух топологий. Чтобы получить группу диффеоморфизмов, которая является многообразием, необходимо ограничить группу, контролируя отклонение от идентичности вблизи бесконечности; см. ( Мичор и Мамфорд, 2013 ).

Алгебра лжи

Алгебра Ли группы диффеоморфизмов $M$ состоит из всех векторных полей на $M$снабжен скобкой Ли векторных полей . Несколько формально это можно увидеть, внося небольшое изменение в координату $x$ в каждой точке пространства:

$x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\varepsilon h^{\mu }(x)$

поэтому бесконечно малые генераторы - это векторные поля

$L_{h}=h^{\mu }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.$

Примеры

• Когда $M=G$ является группой Ли , существует естественное включение $G$в своей собственной группе диффеоморфизмов посредством левого перевода. Позволять ${\text{Diff}}(G)$ обозначим группу диффеоморфизмов $G$, то происходит расщепление ${\text{Diff}}(G)\simeq G\times {\text{Diff}}(G,e)$, где ${\text{Diff}}(G,e)$ является подгруппой ​ ${\text{Diff}}(G)$ который фиксирует элемент идентичности группы.
• Группа диффеоморфизмов евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$состоит из двух компонент, состоящих из диффеоморфизмов, сохраняющих и обращающих ориентацию. Фактически, общая линейная группа является деформационным ретрактом подгруппы ${\text{Diff}}(\mathbb {R} ^{n},0)$ диффеоморфизмов, фиксирующих начало координат при отображении $f(x)\to f(tx)/t,t\in (0,1]$. В частности, общая линейная группа также является деформационным ретрактом полной группы диффеоморфизмов.
• Для конечного набора точек группа диффеоморфизмов — это просто симметрическая группа . Аналогично, если $M$ В любом многообразии существует групповое расширение $0\to {\text{Diff}}_{0}(M)\to {\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))$. Здесь ${\text{Diff}}_{0}(M)$ является подгруппой ${\text{Diff}}(M)$ сохраняющий все компоненты $M$, и $\Sigma (\pi _{0}(M))$ - группа перестановок множества $\pi _{0}(M)$ (компоненты $M$). Кроме того, изображение карты ${\text{Diff}}(M)\to \Sigma (\pi _{0}(M))$ это биекции $\pi _{0}(M)$ сохраняющие классы диффеоморфизмов.

Транзитивность

Для связного коллектора $M$группа диффеоморфизмов действует транзитивно на $M$. В более общем смысле группа диффеоморфизмов действует транзитивно в конфигурационном пространстве. $C_{k}M$. Если $M$ по крайней мере двумерна, группа диффеоморфизмов действует транзитивно на конфигурационном пространстве $F_{k}M$ и действие по $M$ является кратно транзитивным ( Баньяга 1997 , с. 29).

диффеоморфизмов

В 1926 году Тибор Радо спросил, дает ли гармоническое расширение любого гомеоморфизма или диффеоморфизма единичной окружности до единичного круга диффеоморфизм на открытом диске. Элегантное доказательство было вскоре предоставлено Хельмутом Кнезером . В 1945 году Гюстав Шоке , видимо, не зная об этом результате, привел совершенно другое доказательство.

Группа диффеоморфизмов окружности (сохраняющая ориентацию) линейно связна. В этом можно убедиться, заметив, что любой такой диффеоморфизм можно поднять до диффеоморфизма $f$ из реалий, удовлетворяющих $[f(x+1)=f(x)+1]$; это пространство выпукло и, следовательно, линейно связно. Гладкий, в конечном итоге постоянный путь к тождеству дает второй, более элементарный способ расширения диффеоморфизма от круга до открытого единичного круга (частный случай трюка Александера ). Более того, группа диффеоморфизмов окружности имеет гомотопический тип ортогональной группы $O(2)$.

Соответствующая задача расширения диффеоморфизмов многомерных сфер $S^{n-1}$много изучалась в 1950-х и 1960-х годах, при этом заметный вклад внесли Рене Том , Джон Милнор и Стивен Смейл . Препятствием таким расширениям является конечная абелева группа $\Gamma _{n}$, « группа скрученных сфер », определяемая как фактор абелевой компонентной группы группы диффеоморфизмов по подгруппе классов, расширяющихся до диффеоморфизмов шара. $B^{n}$.

Связность

Для многообразий группа диффеоморфизмов обычно не связна. Его группа компонентов называется группой классов отображения . В размерности 2 (т. е. поверхности ) группа классов отображений представляет собой конечно определенную группу, порожденную поворотами Дена ; это доказали Макс Ден , WBR Ликориш и Аллен Хэтчер ). Макс Ден и Якоб Нильсен показали, что его можно отождествить с внешней группой автоморфизмов фундаментальной группы поверхности.

Уильям Терстон уточнил этот анализ, разделив элементы группы классов отображения на три типа: эквивалентные периодическому диффеоморфизму; те, которые эквивалентны диффеоморфизму, оставляющему инвариантной простую замкнутую кривую; и эквивалентные псевдоаносовским диффеоморфизмам . В случае тора $S^{1}\times S^{1}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$группа классов отображения — это просто модульная группа ${\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )$и классификация становится классической в ​​терминах эллиптических , параболических и гиперболических матриц. Терстон завершил свою классификацию, заметив, что группа классов отображений естественным образом действует на компактификацию пространства Тейхмюллера ; поскольку это расширенное пространство было гомеоморфно замкнутому шару, стала применимой теорема Брауэра о неподвижной точке . Смейл предположил , что если $M$— ориентированное гладкое замкнутое многообразие, единичная компонента группы диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, проста . Впервые это было доказано Мишелем Херманом для продукта кружков ; в полной общности это было доказано Тёрстоном.

Гомотопические типы

• Группа диффеоморфизмов $S^{2}$ имеет гомотопический тип подгруппы $O(3)$. Это доказал Стив Смейл.
• Группа диффеоморфизмов тора имеет гомотопический тип своих линейных автоморфизмов : $S^{1}\times S^{1}\times {\text{GL}}(2,\mathbb {Z} )$.
• Группы диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей рода $g>1$ имеют гомотопический тип своих групп классов отображений (т. е. компоненты стягиваемы).
• Гомотопический тип групп диффеоморфизмов 3-многообразий довольно хорошо понятен благодаря работам Иванова, Хэтчера, Габая и Рубинштейна, хотя есть несколько выдающихся открытых случаев (в первую очередь 3-многообразия с конечными фундаментальными группами ).
• Гомотопический тип групп диффеоморфизмов $n$-коллекторы для $n>3$плохо поняты. Например, остается открытым вопрос, является ли ${\text{Diff}}(S^{4})$имеет более двух компонентов. Однако известно, что через Милнора, Кана и Антонелли $n>6$, ${\text{Diff}}(S^{n})$ не имеет гомотопического типа конечного CW-комплекса .

Гомеоморфизм и диффеоморфизм

Поскольку всякий диффеоморфизм является гомеоморфизмом, то для пары многообразий, диффеоморфных друг другу, они, в частности, гомеоморфны друг другу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

Хотя найти гомеоморфизмы, не являющиеся диффеоморфизмами, легко, труднее найти пару гомеоморфных многообразий, которые не являются диффеоморфными. В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гомеоморфных гладких многообразий диффеоморфна. В размерности 4 и выше существуют примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных пар. Первый такой пример был построен Джоном Милнором в размерности 7. Он построил гладкое 7-мерное многообразие (называемое теперь сферой Милнора ), которое гомеоморфно стандартной 7-сфере, но не диффеоморфно ей. Фактически существует 28 классов ориентированных диффеоморфизмов многообразий, гомеоморфных 7-сфере (каждый из них представляет собой полное пространство расслоения над 4-сферой с 3-сферой в качестве слоя).

Более необычные явления происходят для 4-многообразий . В начале 1980-х годов сочетание результатов Саймона Дональдсона и Майкла Фридмана привело к открытию экзотических $\mathbb {R} ^{4}$: существует несчетное множество попарно недиффеоморфных открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{4}$ каждый из которых гомеоморфен $\mathbb {R} ^{4}$, а также существует несчетное множество попарно недиффеоморфных дифференцируемых многообразий, гомеоморфных $\mathbb {R} ^{4}$ которые не встраиваются плавно в $\mathbb {R} ^{4}$.

См. также

• Диффеоморфизм Аносова , такой как карта кошки Арнольда
• Аномалия Диффео, также известная как гравитационная аномалия , тип аномалии в квантовой механике.
• Диффеология , гладкая параметризация на множестве, образующая диффеологическое пространство.
• Диффеоморфометрия , метрическое исследование формы и формы в вычислительной анатомии.
• Показать морфизм
• Большой диффеоморфизм
• Локальный диффеоморфизм
• Супердиффеоморфизм

Ссылки

• Кранц, Стивен Г.; Паркс, Гарольд Р. (2013). Теорема о неявной функции: история, теория и приложения . Современная классика Биркхойзера. Бостон. ISBN  978-1-4614-5980-4 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Чаудхури, Шьямоли; Каваи, Хикару; Тай, С.-Х. Генри (15 августа 1987 г.). «Формулировка замкнутых струн, интегральная по траекториям» (PDF) . Физический обзор D . 36 (4): 1148–1168. Бибкод : 1987PhRvD..36.1148C . дои : 10.1103/physrevd.36.1148 . ISSN   0556-2821 . ПМИД   9958280 . S2CID   41709882 . Архивировано (PDF) из оригинала 21 июля 2018 г.
• Баньяга, Огюстен (1997), Структура классических групп диффеоморфизмов , Математика и ее приложения, том. 400, Клювер Академик, ISBN  0-7923-4475-8
• Дюрен, Питер Л. (2004), Гармонические отображения на плоскости , Cambridge Mathematical Tracts, vol. 156, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-64121-7
• «Диффеоморфизм» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хирш, Моррис (1997), Дифференциальная топология , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90148-0
• Кригль, Андреас; Михор, Питер (1997), Удобная настройка глобального анализа , Математические обзоры и монографии, том. 53, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-0780-3
• Лесли, Дж. А. (1967), «О дифференциальной структуре группы диффеоморфизмов», Топология , 6 (2): 263–271, doi : 10.1016/0040-9383(67)90038-9 , ISSN   0040-9383 , MR   0210147
• Михор, Питер В.; Мамфорд, Дэвид (2013), «Зоопарк групп диффеоморфизмов на R ^н .", Annals of Global Analysis and Geometry , 44 (4): 529–540, arXiv : 1211.5704 , doi : 10.1007/s10455-013-9380-2 , S2CID   118624866
• Милнор, Джон В. (2007), Собрание сочинений, том. III, Дифференциальная топология , Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4230-0
• Омори, Хидеки (1997), Бесконечномерные группы Ли , Переводы математических монографий, том. 158, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-4575-6
• Кнезер, Хельмут (1926), «Решение проблемы 41», Годовой отчет Немецкой математической ассоциации (на немецком языке), 35 (2): 123