Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)

В математике дает теорема Фробениуса необходимые и достаточные условия для нахождения максимального множества независимых решений переопределенной системы однородных линейных уравнений в частных производных первого порядка . В современных геометрических терминах для данного семейства векторных полей теорема дает необходимые и достаточные условия интегрируемости для существования слоения на максимальные целочисленные многообразия , касательные расслоения которых натянуты на данные векторные поля. Теорема обобщает теорему существования обыкновенных дифференциальных уравнений, гарантирующую, что одно векторное поле всегда порождает интегральные кривые ; Фробениус дает условия совместности, при которых интегральные кривые r векторных полей сцепляются с координатными сетками на r -мерных целочисленных многообразиях. Теорема является основой дифференциальной топологии и исчисления на многообразиях .

Контактная геометрия изучает 1-формы, максимально нарушающие условия теоремы Фробениуса. Пример показан справа.

Введение [ править ]

Единая версия [ править ]

Предположим, нам нужно найти траекторию частицы в подмножестве трехмерного пространства, но мы не знаем ее формулы траектории. Вместо этого мы знаем только, что его траектория удовлетворяет $adx+bdy+cdz=0$ , где $a,b,c$ являются гладкими функциями $(x,y,z)$ . Таким образом, наша единственная уверенность состоит в том, что если в какой-то момент времени частица находится в месте $(x_{0},y_{0},z_{0})$ , то его скорость в этот момент ограничена внутри плоскости уравнением

a(x_{0},y_{0},z_{0})[x-x_{0}]+b(x_{0},y_{0},z_{0})[y-y_{0}]+c(x_{0},y_{0},z_{0})[z-z_{0}]=0

Другими словами, мы можем нарисовать «локальную плоскость» в каждой точке трехмерного пространства и знаем, что траектория частицы всегда должна касаться локальной плоскости.

Если у нас есть два уравнения

{\begin{cases}adx+bdy+cdz=0\\a'dx+b'dy+c'dz=0\end{cases}}

тогда мы можем нарисовать две локальные плоскости в каждой точке, и их пересечение обычно представляет собой линию, что позволяет нам однозначно найти кривую, начинающуюся в любой точке. Другими словами, с помощью двух 1-форм мы можем расслоить область на кривые.

Если у нас есть только одно уравнение $adx+bdy+cdz=0$ , тогда мы сможем расслоить $\mathbb {R} ^{3}$ на поверхности, и в этом случае мы можем быть уверены, что кривая, начинающаяся на определенной поверхности, должна иметь ограничения на блуждание внутри этой поверхности. В противном случае кривая, начинающаяся в любой точке, может оказаться в любой другой точке. $\mathbb {R} ^{3}$ .

Можно представить, что мы начинаем с облака маленьких плоскостей и сшиваем их вместе, образуя полноценную поверхность. Основная опасность состоит в том, что если мы будем стегать маленькие плоскости по две за раз, мы можем пойти по циклу и вернуться к тому, с чего начали, но с небольшим сдвигом. Если это произойдет, то мы получим не двухмерную поверхность, а трехмерную каплю. Пример показан на схеме справа.

Если одноформа интегрируема, то петли точно замыкаются сами на себя, и каждая поверхность будет двумерной. Теорема Фробениуса утверждает, что это происходит именно тогда, когда $\omega \wedge d\omega =0$ по всему домену, где $\omega :=adx+bdy+cdz$ . Обозначение определено в статье об одноформах .

Разработав аксиоматическую термодинамику, Каратеодори доказал, что если $\omega$ является интегрируемой одной формой на открытом подмножестве $\mathbb {R} ^{n}$ , затем $\omega =fdg$ для некоторых скалярных функций $f,g$ на подмножестве. В аксиоматической термодинамике это обычно называют теоремой Каратеодори. ^[1]^[2] Это можно доказать интуитивно, построив сначала маленькие плоскости согласно $\omega$ , сшиваем их вместе в слоение, а затем присваиваем каждой поверхности в слоении скалярную метку. Теперь по каждому пункту $p$ , определять $g(p)$ быть скалярной меткой поверхности, содержащей точку $p$ .

Сейчас, $dg$ представляет собой одноформу, имеющую точно такие же плоскости, как $\omega$ . Однако он везде имеет «равную толщину», а $\omega$ может иметь «неравномерную толщину». Это можно исправить скалярным масштабированием: $f$ , давая $\omega =fdg$ . Это показано справа.

Несколько единых форм [ править ]

В наиболее элементарной форме теорема обращается к задаче нахождения максимального набора независимых решений регулярной системы линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка . Позволять

\left\{f_{k}^{i}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} \ :\ 1\leq i\leq n,1\leq k\leq r\right\}

быть набором $C 1$ функции, с $r < n$ и такие, что матрица $(f я k)$ имеет ранг r при вычислении в любой точке $R н$ . Рассмотрим следующую систему уравнений в частных производных для $C 2$ функция $u : R н \to Р$ :

(1)\quad {\begin{cases}L_{1}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{1}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{1}\cdot \nabla u=0\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{2}\cdot \nabla u=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{r}\cdot \nabla u=0\end{cases}}

Ищем условия существования набора решений $u 1, ..., u n - r$ таких, что градиенты $\nabla u 1, ..., \nabla u n - r$ независимы линейно .

Теорема Фробениуса утверждает, что эта задача допускает решение локально. ^[3]тогда и только тогда, когда операторы $L k$ удовлетворяют определенному условию интегрируемости, известному как инволютивность . В частности, они должны удовлетворять соотношениям вида

L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{i}u(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}(x)L_{k}u(x)

для $1 \leq i, j \leq r$ и всех $C 2$ функции u , а для некоторых коэффициентов c ^к_ij ( x ), которым разрешено зависеть от x . Другими словами, [ $L i, L j] должны$ лежать в линейной оболочке L $коммутаторы k$ в каждой точке. Условие инволютивности является обобщением коммутативности частных производных. Фактически стратегия доказательства теоремы Фробениуса состоит в том, чтобы сформировать линейные комбинации между операторами $L i$ так, чтобы результирующие операторы коммутировали, а затем показать, что существует система координат $y i$ , для которой это в точности частные производные с относительно $y 1, ..., y r$ .

От анализа к геометрии [ править ]

Несмотря на то, что система переопределена, обычно существует бесконечно много решений. Например, система дифференциальных уравнений

{\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial f}{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}=0\end{cases}}

явно допускает несколько решений. Тем не менее, эти решения все еще имеют достаточную структуру, чтобы их можно было полностью описать. Первое наблюдение заключается в том, что даже если 1 _и f 2 _— два разных решения, поверхности уровня f 1 _f и f ₂ должны перекрываться. Фактически все поверхности уровня этой системы являются плоскостями в $R. 3$ вида $x - y + z = C$ , где $C$ — константа. Второе наблюдение состоит в том, что, как только известны поверхности уровня, все решения могут быть заданы через произвольную функцию. Поскольку значение решения f на поверхности уровня постоянно по определению, определите функцию C ( t ) по формуле:

f(x,y,z)=C(t){\text{ whenever }}x-y+z=t.

функция $C (t)$ И наоборот, если задана , то каждая функция f , заданная этим выражением, является решением исходного уравнения. Таким образом, из-за существования семейства поверхностей уровня решения исходного уравнения находятся во взаимно однозначном соответствии с произвольными функциями одной переменной.

Теорема Фробениуса позволяет установить аналогичное такое соответствие и для более общего случая решений задачи (1). Предположим, что $u 1, ..., un -r$ — решения задачи (1), удовлетворяющие условию независимости на градиентах. Рассмотрим наборы уровней ^[4] как функции $(u 1, ..., un -r)$ со значениями в $R н-р$ . Если $v 1, ..., v n-r$ — еще один такой набор решений, можно показать (используя некоторую линейную алгебру и теорему о среднем значении ), что он имеет то же самое семейство множеств уровня, но, возможно, с другим выбором констант за каждый комплект. Таким образом, хотя независимые решения уравнения (1) не единственны, уравнение (1) тем не менее определяет единственное семейство множеств уровня. Как и в случае с примером, общие решения u уравнения (1) находятся во взаимно однозначном соответствии с (непрерывно дифференцируемыми) функциями на семействе множеств уровня. ^[5]

Множества уровня, соответствующие максимальным независимым множествам решений уравнения (1), называются интегральными многообразиями , поскольку функции на совокупности всех интегральных многообразий в некотором смысле соответствуют константам интегрирования . Если известна одна из этих констант интегрирования, то известно и соответствующее решение.

Теорема Фробениуса в современном языке [ править ]

Теорему Фробениуса можно более экономно переформулировать на современном языке. Первоначальная версия теоремы Фробениуса была сформулирована в терминах систем Пфаффа , которые сегодня можно перевести на язык дифференциальных форм . Альтернативная формулировка, несколько более интуитивная, использует векторные поля .

Формулировка с использованием векторных полей [ править ]

В формулировке векторного поля теорема утверждает, что подрасслоение касательного расслоения многообразия регулярного интегрируемо (или инволютивно) тогда и только тогда, когда оно возникает из слоения . В этом контексте теорема Фробениуса связывает интегрируемость со слоением; Для формулировки теоремы оба понятия должны быть четко определены.

Начнем с того, что отметим, что произвольное гладкое векторное поле $X$ на коллекторе $M$ определяет семейство кривых , его целочисленные кривые $u:I\to M$ (для интервалов $I$ ). Это решения ${\dot {u}}(t)=X_{u(t)}$ , представляющая собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка , разрешимость которой гарантируется теоремой Пикара–Линделефа . Если векторное поле $X$ нигде не равен нулю, то оно определяет одномерное подрасслоение касательного расслоения $M$ , а интегральные кривые образуют регулярное слоение $M$ . Таким образом, одномерные подрасслоения всегда интегрируемы.

Если размерность подрасслоения больше единицы, необходимо наложить условие. Говорят, что подрасслоение $E\subset TM$ касательного расслоения $TM$ интегрируема ( или инволютивна ), если для любых двух векторных полей $X$ и $Y$ принимая значения в $E$ , скобка Лия $[X,Y]$ принимает значения в $E$ также. Это понятие интегрируемости необходимо определять только локально; то есть существование векторных полей $X$ и $Y$ и их интегрируемость необходимо определять только на подмножествах $M$ .

несколько определений слоения Существует . Здесь мы используем следующее:

Определение. p -мерный , класс C ^р Слоением n -мерного многообразия M называется разложение M в объединение непересекающихся связных подмногообразий { L _α } _{αε A} , называемых слоями слоения, со следующим свойством: каждая точка в M имеет окрестность U и система локального, класс С ^р координаты х =( х ¹, ⋅⋅⋅, х ^н) : U → R ^н такие, что для каждого листа L _α компоненты U ∩ L _α описываются уравнениями x ^{р +1}= константа, ⋅⋅⋅, х ^н= константа. Слоение обозначается ${\mathcal {F}}$ знак равно { L _α } _{αε А} . ^[6]

Тривиально, слоение любое $M$ определяет интегрируемое подрасслоение, поскольку если $p\in M$ и $N\subset M$ является листом слоения, проходящим через $p$ затем $E_{p}=T_{p}N$ является интегрируемым. Теорема Фробениуса утверждает, что верно и обратное:

Учитывая приведенные выше определения, теорема Фробениуса утверждает, что подрасслоение $E$ интегрируемо тогда и только тогда, когда подрасслоение $E$ возникает в результате регулярного слоения $M$ .

дифференциальных Формулировка форм

Пусть U — открытое множество в многообразии $M$ , $Ω 1 (U)$ — пространство гладких дифференцируемых 1-форм на U , F — подмодуль Ω $а 1 (U)$ ранга , причем r ранг постоянен по значению над U . Теорема Фробениуса утверждает, что тогда и F интегрируема только тогда, когда для каждого $из$ U $слой$ F p p _{порождается} r точными дифференциальными формами .

Геометрически теорема утверждает, что интегрируемый модуль $1$ -форм ранга r коразмерности r — это то же самое, что слоение . Соответствие определению в терминах векторных полей, данному во введении, следует из тесной связи дифференциальных форм с производными Ли . Теорема Фробениуса — один из основных инструментов изучения векторных полей и слоений.

Таким образом, существуют две формы теоремы: одна, которая оперирует распределениями , то есть гладкими подрасслоениями D касательного расслоения TM ; который оперирует подрасслоениями градуированного кольца $Ω(M)$ всех форм на M. и другой , Эти две формы связаны двойственностью. Если D — гладкое касательное распределение на $M$ , то аннулятор D , I ( D ) состоит из всех форм $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ (для любого $k\in \{1,\dots ,\operatorname {dim} M\}$ ) такой, что

\alpha (v_{1},\dots ,v_{k})=0

для всех $v_{1},\dots ,v_{k}\in D$ . Множество I ( D ) образует подкольцо и, по сути, идеал в $Ω(M)$ . Кроме того, используя определение внешней производной , можно показать, что I ( D ) замкнуто относительно внешнего дифференцирования (это дифференциальный идеал ) тогда и только тогда, когда D инволютивен. Следовательно, теорема Фробениуса принимает эквивалентную форму, согласно которой $I (D)$ замкнута относительно внешнего дифференцирования тогда и только тогда, когда D интегрируемо.

Обобщения [ править ]

Теорему можно обобщить различными способами.

Бесконечные измерения [ править ]

Одно бесконечномерное обобщение состоит в следующем. ^[7]Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства , а $A \subset X, B \subset Y —$ пара открытых множеств . Позволять

F:A\times B\to L(X,Y)

— непрерывно дифференцируемая функция декартова произведения (наследующего дифференцируемую структуру его включения в X × Y в пространство $L (X, Y)$ непрерывных линейных преобразований X $)$ в Y. от Дифференцируемое отображение u : A → B является решением дифференциального уравнения

(1)\quad y'=F(x,y)

если

\forall x\in A:\quad u'(x)=F(x,u(x)).

Уравнение (1) вполне интегрируемо , если для каждого $(x_{0},y_{0})\in A\times B$ , существует окрестность U точки x ₀ такая, что (1) имеет единственное решение $u (x)$ , определенное на U такое, что u ( x ₀ ) = y ₀ .

Условия теоремы Фробениуса зависят от того, ли основное поле является $R$ или $C$ . Если это R , то предположим, что F непрерывно дифференцируемо. Если это $C$ , то предположим, что F дважды непрерывно дифференцируема. Тогда (1) вполне интегрируемо в каждой точке $A \times B$ тогда и только тогда, когда

D_{1}F(x,y)\cdot (s_{1},s_{2})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{1},s_{2})=D_{1}F(x,y)\cdot (s_{2},s_{1})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{2},s_{1})

для $s1 , s2 \in X.$ всех Здесь $D 1$ (соответственно $D 2$ ) обозначает частную производную по первой (соответственно второй) переменной; скалярное произведение обозначает действие линейного оператора $F (x, y) \in L (X, Y)$ , а также действия операторов $D 1 F (x, y) \in L (X, L (X, Y)))$ и $D 2 F (Икс, y) \in L (Y, L (Икс, Y) )$ .

Банаховы многообразия [ править ]

Бесконечномерная версия теоремы Фробениуса справедлива и на банаховых многообразиях . ^[8] Утверждение по существу такое же, как и конечномерная версия.

Пусть $M$ — банахово многообразие класса не ниже C ². Пусть $E$ — подрасслоение касательного расслоения к $M$ . Расслоение $E$ является инволютивным , если для каждой точки $p \in M$ и пары сечений $X$ и Y множества $E$ , определенных в окрестности точки p , скобка Ли $X$ и Y , вычисленная в точке p , лежит в $E p$ :

[X,Y]_{p}\in E_{p}

С другой стороны, $E$ интегрируемо дифференциал , если для каждого $p \in M$ существует погруженное подмногообразие $φ : N \to M$ образ которого содержит p , такое, что φ является $,$ изоморфизмом TN с $φ -1 И$ .

Теорема Фробениуса утверждает, что подрасслоение $E$ интегрируемо тогда и только тогда, когда оно инволютивно.

Голоморфные формы [ править ]

Утверждение теоремы остается верным для голоморфных 1-форм на комплексных многообразиях — многообразиях над $C$ с биголоморфными функциями перехода . ^[9]

В частности, если $\omega ^{1},\dots ,\omega ^{r}$ являются r линейно независимыми голоморфными 1-формами на открытом множестве в $C н$ такой, что

d\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}\psi _{i}^{j}\wedge \omega ^{i}

для некоторой системы голоморфных 1-форм $ψ дж i, 1 \leq i, j \leq r$ , то существуют голоморфные функции f _i^дж и $г я$ такой, что в возможно меньшей области

\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}f_{i}^{j}dg^{i}.

Этот результат локально справедлив в том же смысле, что и другие версии теоремы Фробениуса. В частности, тот факт, что это было сказано для областей в $C н$ не является ограничительным.

Формы высших степеней [ править ]

Это утверждение не обобщает формы более высокой степени, хотя существует ряд частных результатов, таких как теорема Дарбу и теорема Картана-Келера .

История [ править ]

Несмотря на то, что теорема названа в честь Фердинанда Георга Фробениуса , ее впервые доказали Альфред Клебш и Федор Деана . Дина был первым, кто установил достаточные условия теоремы, а Клебш разработал необходимые условия. Фробениус отвечает за применение теоремы к системам Пфаффа , тем самым открывая путь для ее использования в дифференциальной топологии.

Приложения [ править ]

В классической механике интегрируемость уравнений связи системы определяет, является ли система голономной или неголономной .
В микроэкономической теории теорема Фробениуса может быть использована для доказательства существования решения проблемы интегрируемости функций спроса .

Каратеодори Аксиоматическая термодинамика

В классической термодинамике теорема Фробениуса может использоваться для построения энтропии и температуры в формализме Каратеодори. ^[1]^[10]

В частности, Каратеодори рассматривал термодинамическую систему (конкретно можно представить себе газовый поршень), которая может взаимодействовать с внешним миром либо посредством теплопроводности (например, поджигание поршня), либо посредством механической работы (толкание на поршень). Затем он определил «адиабатический процесс» как любой процесс, которому система может подвергаться без теплопроводности, и определил отношение « адиабатической доступности » следующим образом: если система может перейти из состояния А в состояние Б после адиабатического процесса, то $B$ адиабатически доступен из $A$ . Напишите это как $A\succeq B$ .

Теперь предположим, что

Для любой пары состояний $A,B$ , хотя бы один из $A\succeq B$ и $B\succeq A$ держит.
Для любого государства $A$ , и любая окрестность $A$ , существует государство $B$ по соседству, такой, что $B$ адиабатически недоступен из $A$ .

Затем мы можем разделить пространство состояний на подмножества состояний, которые взаимно адиабатически доступны. При мягких предположениях о гладкости $\succeq$ , каждое подмножество представляет собой многообразие коразмерности 1. Назовем эти многообразия «адиабатическими поверхностями».

По первому закону термодинамики существует скалярная функция $U$ («внутренняя энергия») в пространстве состояний, такая, что

dU=\delta W+\delta Q=\sum _{i}X_{i}dx_{i}+\delta Q

где

X_{1}dx_{1},...,X_{n}dx_{n}

возможные способы выполнения механической работы в системе. Например, если система представляет собой баллон с идеальным газом, то

\delta W=-pdV

.

Теперь определите одну форму в пространстве состояний.

\omega :=dU-\sum _{i}X_{i}dx_{i}

Теперь, поскольку адиабатические поверхности касаются

\omega

в каждой точке пространства состояний,

\omega

интегрируема, поэтому по теореме Каратеодори существуют две скалярные функции

T,S

в пространстве состояний, такой, что

\omega =TdS

. Это функции температуры и энтропии с точностью до мультипликативной константы.

Подключив законы идеального газа и отметив, что джоулево расширение является (необратимым) адиабатическим процессом, мы можем исправить знак $dS$ , и найди это $A\succeq B$ означает $S(A)\leq S(B)$ . То есть энтропия сохраняется при обратимых адиабатических процессах и возрастает при необратимых адиабатических процессах.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Бухдал, штат Калифорния (апрель 1949 г.). «О неограниченной теореме Каратеодори и ее применении при трактовке второго закона термодинамики» . Американский журнал физики . 17 (4): 212–218. Бибкод : 1949AmJPh..17..212B . дои : 10.1119/1.1989552 . ISSN 0002-9505 .
^ Каратеодори, К. (1909). «Исследования по основам термодинамики» . Математические летописи . 67 (3): 355–386. дои : 10.1007/BF01450409 . ISSN 0025-5831 .
^ Здесь локально означает внутри достаточно маленьких открытых подмножеств $R н$ . В дальнейшем, когда мы говорим о решении, мы имеем в виду локальное решение.
^ Набор уровней является подмножеством $R н$ соответствующий локусу:
$(ты 1, ..., ты п - р) знак равно (c 1, ..., c п - р)$ ,
для некоторых констант $c i$ .
^ Понятие непрерывно дифференцируемой функции на семействе множеств уровня можно сделать строгим с помощью теоремы о неявной функции .
^ Лоусон, Х. Блейн (1974), «Слоения», Бюллетень Американского математического общества , 80 (3): 369–418, ISSN 0040-9383 , Zbl 0293.57014
^ Дьедонне, Ж (1969). «Гл. 10.9». Основы современного анализа . Академическая пресса. ISBN 9780122155307 .
^ Ланг, С. (1995). «Глава VI: Теорема Фробениуса». Дифференциальные и римановы многообразия . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-94338-1 .
^ Кобаяши, С. ; Номидзу, К. (2009) [1969]. «Приложение 8». Основы дифференциальной геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Том. 2. Уайли. ISBN 978-0-471-15732-8 . Збл 0175.48504 .
^ Бухдал, ХА (1 марта 1960 г.). «Представления классической термодинамики» . Американский журнал физики . 28 (3): 196–201. Бибкод : 1960AmJPh..28..196B . дои : 10.1119/1.1935102 . ISSN 0002-9505 .

Ссылки [ править ]

Лоусон, HB (1977). Качественная теория слоений . Серия CBMS Американского математического общества. Том. 27. АМС.
Авраам, Ральф. ; Марсден, Джеррольд Э. (2008). «2.2.26 Теорема Фробениуса» . Основы механики (2-е изд.). Американское математическое общество. п. 93. ИСБН 9780821844380 .
Клебш, А. (1866). «О совместном интегрировании линейных уравнений в частных производных» . Дж. Рейн. Энджью. Математика (Крелле) . 1866 (65): 257–268. дои : 10.1515/crll.1866.65.257 . S2CID 122439486 .
Дина, Ф. (1840). «Об условиях интегрируемости...» Ж. Рейн Ангью. Математика . 20 :340-350. дои : 10.1515/crll.1840.20.340 . S2CID 120057555 .
Фробениус, Г. (1877). «О проблеме Пфаффа». Дж. Рейн Анжью. Математика . 1877 (82): 230–315. дои : 10.1515/crll.1877.82.230 . S2CID 119848431 .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Бухдал, штат Калифорния (апрель 1949 г.). «О неограниченной теореме Каратеодори и ее применении при трактовке второго закона термодинамики» . Американский журнал физики . 17 (4): 212–218. Бибкод : 1949AmJPh..17..212B . дои : 10.1119/1.1989552 . ISSN 0002-9505 .

[2] Каратеодори, К. (1909). «Исследования по основам термодинамики» . Математические летописи . 67 (3): 355–386. дои : 10.1007/BF01450409 . ISSN 0025-5831 .

[3] Здесь локально означает внутри достаточно маленьких открытых подмножеств $R н$ . В дальнейшем, когда мы говорим о решении, мы имеем в виду локальное решение.

[4] Набор уровней является подмножеством $R н$ соответствующий локусу:
$(ты 1, ..., ты п - р) знак равно (c 1, ..., c п - р)$ ,
для некоторых констант $c i$ .

[5] Понятие непрерывно дифференцируемой функции на семействе множеств уровня можно сделать строгим с помощью теоремы о неявной функции .

[Lawson-6] Лоусон, Х. Блейн (1974), «Слоения», Бюллетень Американского математического общества , 80 (3): 369–418, ISSN 0040-9383 , Zbl 0293.57014

[7] Дьедонне, Ж (1969). «Гл. 10.9». Основы современного анализа . Академическая пресса. ISBN 9780122155307 .

[8] Ланг, С. (1995). «Глава VI: Теорема Фробениуса». Дифференциальные и римановы многообразия . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-94338-1 .

[9] Кобаяши, С. ; Номидзу, К. (2009) [1969]. «Приложение 8». Основы дифференциальной геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Том. 2. Уайли. ISBN 978-0-471-15732-8 . Збл 0175.48504 .

[10] Бухдал, ХА (1 марта 1960 г.). «Представления классической термодинамики» . Американский журнал физики . 28 (3): 196–201. Бибкод : 1960AmJPh..28..196B . дои : 10.1119/1.1935102 . ISSN 0002-9505 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]