Условия интегрируемости дифференциальных систем.
В математике некоторые системы уравнений в частных производных полезно формулировать с точки зрения лежащей в их основе геометрической и алгебраической структуры в терминах системы дифференциальных форм . Идея состоит в том, чтобы воспользоваться тем, как дифференциальная форма , и ограничивается подмногообразием тем фактом, что это ограничение совместимо с внешней производной . Это один из возможных подходов к некоторым переопределенным системам , например, включая пары Лакса интегрируемых систем . Система Пфаффа определяется только 1-формами , но теория включает и другие типы примеров дифференциальной системы . Более подробно, система Пфаффа — это набор 1-форм на гладком многообразии (которое присваивается равным 0, чтобы найти решения системы).
Учитывая набор дифференциальных 1-форм на -мерное многообразие интегральное многообразие — это погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие, касательное пространство которого в каждой точке уничтожается (откатом) каждого .
Максимальное интегральное многообразие — это погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие.
такое, что ядро отображения ограничения на формы
охватывает в каждой точке из . Если вдобавок линейно независимы, то является ( )-мерный.
Система Пфаффа называется вполне интегрируемой, если допускает слоение на максимальные целочисленные многообразия. (Обратите внимание, что слоение не обязательно должно быть регулярным , т. е. листы слоения не могут быть вложенными подмногообразиями.)
Условие интегрируемости – это условие гарантировать наличие целых подмногообразий достаточно высокой размерности.
Необходимые и достаточные условия
[ редактировать ]Необходимые и достаточные условия полной интегрируемости пфаффовой системы дает теорема Фробениуса . Одна из версий гласит, что если идеал алгебраически порожденный совокупностью αi внутри кольца Ω( M ), является дифференциально замкнутым, другими словами
тогда система допускает слоение на максимальные целочисленные многообразия. (Обратное очевидно из определений.)
Пример неинтегрируемой системы
[ редактировать ]Не каждая система Пфаффа полностью интегрируема в смысле Фробениуса. Например, рассмотрим следующую одноформу на R 3 − (0,0,0) :
Если бы dθ находился в идеале, порожденном θ , мы бы получили из-за асимметрии клинового произведения
Но прямой расчет дает
что является ненулевым кратным стандартной формы объема на R 3 . Следовательно, двумерных слоев нет и система не является полностью интегрируемой.
С другой стороны, для кривой, определяемой формулой
тогда θ, определенное выше, равно 0, и, следовательно, легко проверить, что кривая является решением (т. е. интегральной кривой ) для указанной выше системы Пфаффа для любой ненулевой константы c .
Примеры приложений
[ редактировать ]В римановой геометрии мы можем рассмотреть задачу нахождения ортогонального кофрейма θ я , т. е. совокупность 1-форм, образующих базис кокасательного пространства в каждой точке с которые замкнуты (dθ я = 0, я = 1, 2, ..., n ). По лемме Пуанкаре θ я локально будет иметь вид d x я для некоторых функций x я на многообразии и, таким образом, обеспечить изометрию открытого подмножества M с открытым подмножеством R н . Такое многообразие называется локально плоским.
Эта проблема сводится к вопросу о кофреймов M расслоении . Предположим, у нас был такой закрытый кофрейм
Если бы у нас был еще один кофрейм , то два кофрейма будут связаны ортогональным преобразованием
Если 1-форма связности равна ω , то мы имеем
С другой стороны,
Но — форма Маурера–Картана для ортогональной группы . Следовательно, он подчиняется структурному уравнению и это всего лишь кривизна М: После применения теоремы Фробениуса можно прийти к выводу, что многообразие M локально плоское тогда и только тогда, когда его кривизна равна нулю.
Обобщения
[ редактировать ]Существует множество обобщений условий интегрируемости дифференциальных систем, которые не обязательно порождены одной формой. Наиболее известные из них — теорема Картана–Келера , которая работает только для вещественных аналитических дифференциальных систем, и теорема Картана–Кураниши о продолжении . см . в разделе «Дальнейшее чтение» Подробности . Теорема Ньюландера-Ниренберга дает условия интегрируемости почти сложной структуры.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Брайант, Черн, Гарднер, Гольдшмидт, Гриффитс, Внешние дифференциальные системы , Публикации НИИ математических наук, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97411-3
- Олвер П. Эквивалентность, инварианты и симметрия . Кембридж. ISBN 0-521-47811-1
- Айви Т., Ландсберг Дж. М., Картан для начинающих: дифференциальная геометрия с помощью движущихся систем отсчета и внешних дифференциальных систем , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3375-8
- Дунайски М. Солитоны, инстантоны и твисторы , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-857063-9