Jump to content

Условия интегрируемости дифференциальных систем.

(Перенаправлено из системы Пфаффа )

В математике некоторые системы уравнений в частных производных полезно формулировать с точки зрения лежащей в их основе геометрической и алгебраической структуры в терминах системы дифференциальных форм . Идея состоит в том, чтобы воспользоваться тем, как дифференциальная форма , и ограничивается подмногообразием тем фактом, что это ограничение совместимо с внешней производной . Это один из возможных подходов к некоторым переопределенным системам , например, включая пары Лакса интегрируемых систем . Система Пфаффа определяется только 1-формами , но теория включает и другие типы примеров дифференциальной системы . Более подробно, система Пфаффа — это набор 1-форм на гладком многообразии (которое присваивается равным 0, чтобы найти решения системы).

Учитывая набор дифференциальных 1-форм на -мерное многообразие интегральное многообразие — это погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие, касательное пространство которого в каждой точке уничтожается (откатом) каждого .

Максимальное интегральное многообразие — это погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие.

такое, что ядро ​​отображения ограничения на формы

охватывает в каждой точке из . Если вдобавок линейно независимы, то является ( )-мерный.

Система Пфаффа называется вполне интегрируемой, если допускает слоение на максимальные целочисленные многообразия. (Обратите внимание, что слоение не обязательно должно быть регулярным , т. е. листы слоения не могут быть вложенными подмногообразиями.)

Условие интегрируемости – это условие гарантировать наличие целых подмногообразий достаточно высокой размерности.

Необходимые и достаточные условия

[ редактировать ]

Необходимые и достаточные условия полной интегрируемости пфаффовой системы дает теорема Фробениуса . Одна из версий гласит, что если идеал алгебраически порожденный совокупностью αi внутри кольца Ω( M ), является дифференциально замкнутым, другими словами

тогда система допускает слоение на максимальные целочисленные многообразия. (Обратное очевидно из определений.)

Пример неинтегрируемой системы

[ редактировать ]

Не каждая система Пфаффа полностью интегрируема в смысле Фробениуса. Например, рассмотрим следующую одноформу на R 3 − (0,0,0) :

Если бы находился в идеале, порожденном θ , мы бы получили из-за асимметрии клинового произведения

Но прямой расчет дает

что является ненулевым кратным стандартной формы объема на R 3 . Следовательно, двумерных слоев нет и система не является полностью интегрируемой.

С другой стороны, для кривой, определяемой формулой

тогда θ, определенное выше, равно 0, и, следовательно, легко проверить, что кривая является решением (т. е. интегральной кривой ) для указанной выше системы Пфаффа для любой ненулевой константы c .

Примеры приложений

[ редактировать ]

В римановой геометрии мы можем рассмотреть задачу нахождения ортогонального кофрейма θ я , т. е. совокупность 1-форм, образующих базис кокасательного пространства в каждой точке с которые замкнуты (dθ я = 0, я = 1, 2, ..., n ). По лемме Пуанкаре θ я локально будет иметь вид d x я для некоторых функций x я на многообразии и, таким образом, обеспечить изометрию открытого подмножества M с открытым подмножеством R н . Такое многообразие называется локально плоским.

Эта проблема сводится к вопросу о кофреймов M расслоении . Предположим, у нас был такой закрытый кофрейм

Если бы у нас был еще один кофрейм , то два кофрейма будут связаны ортогональным преобразованием

Если 1-форма связности равна ω , то мы имеем

С другой стороны,

Но форма Маурера–Картана для ортогональной группы . Следовательно, он подчиняется структурному уравнению и это всего лишь кривизна М: После применения теоремы Фробениуса можно прийти к выводу, что многообразие M локально плоское тогда и только тогда, когда его кривизна равна нулю.

Обобщения

[ редактировать ]

Существует множество обобщений условий интегрируемости дифференциальных систем, которые не обязательно порождены одной формой. Наиболее известные из них — теорема Картана–Келера , которая работает только для вещественных аналитических дифференциальных систем, и теорема Картана–Кураниши о продолжении . см . в разделе «Дальнейшее чтение» Подробности . Теорема Ньюландера-Ниренберга дает условия интегрируемости почти сложной структуры.

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
  • Брайант, Черн, Гарднер, Гольдшмидт, Гриффитс, Внешние дифференциальные системы , Публикации НИИ математических наук, Springer-Verlag, ISBN   0-387-97411-3
  • Олвер П. Эквивалентность, инварианты и симметрия . Кембридж. ISBN   0-521-47811-1
  • Айви Т., Ландсберг Дж. М., Картан для начинающих: дифференциальная геометрия с помощью движущихся систем отсчета и внешних дифференциальных систем , Американское математическое общество, ISBN   0-8218-3375-8
  • Дунайски М. Солитоны, инстантоны и твисторы , Oxford University Press, ISBN   978-0-19-857063-9
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: d756bc45706ac667cb7a096b33f09865__1610442360
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/d7/65/d756bc45706ac667cb7a096b33f09865.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Integrability conditions for differential systems - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)