Внешняя производная

На дифференцируемом многообразии внешняя производная расширяет понятие дифференциала функции до дифференциальных форм более высокой степени. Внешняя производная была впервые описана в ее нынешней форме Эли Картаном в 1899 году. Полученное в результате исчисление, известное как внешнее исчисление , позволяет провести естественное, независимое от метрики обобщение теоремы Стокса , теоремы Гаусса и теоремы Грина из векторного исчисления.

Если дифференциальную $k-$ форму рассматривать как измерение потока через бесконечно малый $k$ - параллелоэдр в каждой точке многообразия, то ее внешнюю производную можно рассматривать как измерение чистого потока через границу a $(k + 1)$ - параллелоэдр в каждой точке.

Определение [ править ]

Внешняя производная дифференциальной формы степени $k$ (также дифференциальной $k$ -формы или просто $k$ -формы для краткости) является дифференциальной формой степени $k + 1$ .

Если $f$ — гладкая функция ( $0$ -форма), то внешняя производная $f$ это дифференциал f $—$ . То есть $df$ — единственная $1$ -форма что для любого гладкого векторного поля $X$ df $, (X) = d X f$ , где $d X f$ — направлению производная f $по$ в направлении $X.$ такая

Внешнее произведение дифференциальных форм (обозначаемое тем же символом $\land$ ) определяется как их поточечное внешнее произведение .

Существует множество эквивалентных определений внешней производной общей $k$ -формы.

С точки зрения аксиом [ править ]

Внешняя производная определяется как уникальное $ℝ$ -линейное отображение $k$ -форм в $(k + 1)$ -формы, которое обладает следующими свойствами:

$df$ — дифференциал f $f$ для $0$ формы $.$ -
$d (df) знак равно 0$ для $0$ -формы $f$ .
$d (α \land β) = dα \land β + (-1) п (α \land dβ)$ , где $α$ — $p$ -форма. Другими словами, $d$ является первообразным степени $1$ на внешней алгебре дифференциальных форм (см. правило градуированного произведения ).

Второе определяющее свойство справедливо в более общем плане: $d (dα) = 0$ для любой $k$ -формы $α$ ; короче, $д. 2 = 0$ . Третье определяющее свойство в частном случае подразумевает, что если $f$ — функция, а $α$ — $k$ -форма, то $d (fα) = d (f \land α) = df \land α + f \land dα,$ поскольку функция является $0$ - форма, а скалярное умножение и внешнее произведение эквивалентны, если один из аргументов является скаляром. ^{[ нужна цитата ]}

В терминах местных координат [ править ]

Альтернативно, можно полностью работать в локальной системе координат $(x 1, ..., Икс н)$ . Координатные дифференциалы $dx 1, ..., дх н$ составляют основу пространства одноформ, каждая из которых связана с координатой. Учитывая мультииндекс $I = (i 1, ..., i k)$ с $1 \leq i p \leq n$ для $1 \leq p \leq k$ (и обозначая $dx я 1 \land ... \land dx i я$ с $ДХ я$ ), внешняя производная (простой) $k$ -формы

\varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}

более $ℝ н$ определяется как

d{\varphi }={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}

(с использованием соглашения Эйнштейна о суммировании ). Определение внешней производной линейно расширяется до общей $k$ -формы

\omega =f_{I}\,dx^{I},

где каждый из компонентов мультииндекса $пробегает$ все значения в ${1, ..., n}$ . Обратите внимание, что всякий раз, когда $i$ равно одному из компонентов мультииндекса $I$ , тогда $dx я \land dx я = 0$ (см. Внешний вид изделия ).

Определение внешней производной в локальных координатах следует из предыдущего определения в терминах аксиом . Действительно, с $k$ -формой $φ,$ определенной выше,

{\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\\end{aligned}}

Здесь мы интерпретировали $g$ как $0$ -форму, а затем применили свойства внешней производной.

Этот результат распространяется непосредственно на общую $k$ -форму $ω$ как

d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.

В частности, для $1$ -формы $ω$ компоненты $dω$ в локальных координатах равны

(d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.

Внимание : существуют два соглашения относительно значения $dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}$ . Самые современные авторы ^{[ нужна цитата ]} есть соглашение, что

\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1.

в то время как в более старых текстах, таких как Кобаяши, Номидзу или Хельгасон

\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}.

В терминах инвариантной формулы [ править ]

Альтернативно можно дать явную формулу ^[1] для внешней производной $k$ -формы $ω$ в сочетании с $k + 1$ произвольными гладкими векторными полями $V 0, V 1, ..., V k$ :

d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})

где $[Vi,, V j]$ обозначает скобку Ли а шляпка обозначает отсутствие этого элемента:

\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).

В частности, когда $ω$ является $1$ -формой, мы имеем $dω (X, Y) = d X (ω (Y)) - d Y (ω (X)) - ω ([X, Y])$ .

Примечание. С учетом соглашений, например, Кобаяши-Номидзу и Хельгасона, формула отличается в раз. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 / к + 1$ :

{\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={}&{1 \over k+1}\sum _{i}(-1)^{i}\,V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&{}+{1 \over k+1}\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k}).\end{aligned}}

Примеры [ править ]

Пример 1. Рассмотрим $σ = u dx 1 \land dx 2$ над $базисом 1$ -формы $dx 1, ..., дх н$ для скалярного поля $u$ . Внешняя производная:

{\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}

Последняя формула, в которой суммирование начинается с $i = 3$ , легко следует из свойств внешнего произведения . А именно, $dx я \land dx я = 0$ .

Пример 2. Пусть $σ = u dx + v dy$ — $1$ -форма, определенная над $ℝ 2$ . Применяя приведенную выше формулу к каждому члену (рассмотрим $x 1 = х$ и $х 2 = y$ ) имеем сумму

{\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}

Стокса многообразиях о Теорема

Если $M$ — компактное гладкое ориентируемое $n$ -мерное многообразие с краем, а $ω$ — $(n - 1)$ -форма на $M$ , то обобщенная форма теоремы Стокса утверждает, что

\int _{M}d\omega =\int _{\partial {M}}\omega

если представить $М$ как разделенное на бесконечно малые области и сложить поток через границы всех областей, все внутренние границы уравновесятся, оставив общий поток через границу $М.$ Интуитивно ,

Дальнейшие свойства [ править ]

Закрытые и точные формы [ править ]

ω $k$ -форма $называется$ замкнутой, если dω $= 0$ ; закрытые формы ядром d $.$ являются $ω$ называется точной, если $ω = dα$ для некоторой $(k - 1)$ -формы $α$ ; точные формы образом d $.$ являются Потому что $д 2 = 0$ каждая точная форма замкнута. Лемма Пуанкаре утверждает, что в сжимаемой области верно обратное.

ревматических когомологий [ править ]

Поскольку внешняя производная $d$ обладает тем свойством, что $d 2 = 0$ , его можно использовать как дифференциал (кограницу) для определения когомологий де Рама на многообразии. - я $k$ когомология (группа) де Рама — векторное пространство замкнутых $k$ -форм по модулю точных $k$ -форм; как отмечалось в предыдущем разделе, лемма Пуанкаре утверждает, что эти векторные пространства тривиальны для сжимаемой области при $k > 0$ . Для гладких многообразий интегрирование форм дает естественный гомоморфизм когомологий де Рама в сингулярные когомологии над $ℝ$ . Теорема де Рама показывает, что это отображение на самом деле является изоморфизмом, далеко идущим обобщением леммы Пуанкаре. Как следует из обобщенной теоремы Стокса, внешняя производная является «двойственным» граничному отображению на сингулярных симплексах.

Естественность [ править ]

Внешняя производная естественна в техническом смысле: если $f : M \to N$ — гладкое отображение и $Ω к$ — контравариантный гладкий функтор , который сопоставляет каждому многообразию пространство $k$ -форм на многообразии, то следующая диаграмма коммутирует

так что $d (f * ω) = ж * dω$ , где $f *$ обозначает откат f $$ . Это следует из того, что $f * ω (\cdot)$ определению есть $ω (f * (\cdot))$ , $f *$ является опережением f $.$ по Таким образом, $d$ — естественное преобразование из $Ω к$ к $Ом к +1$ .

в векторном исчислении Внешняя производная

Большинство операторов векторного исчисления являются частными случаями понятия внешнего дифференцирования или тесно связаны с ним.

Градиент [ править ]

Гладкая функция $f : M \to ℝ$ на вещественном дифференцируемом многообразии $M$ является $0$ -формой. Внешней производной этой $0-$ формы является $1$ -форма $df$ .

скалярное произведение $⟨\cdot,\cdot⟩$ Когда определено , градиент $\nabla f$ функции $f$ определяется как уникальный вектор в $V$ такой, что его внутренний продукт с любым элементом $V$ является производной по направлению от $f$ вдоль вектора, то есть такой, что

\langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.

То есть,

\nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },

где $♯$ обозначает музыкальный изоморфизм $♯ : V * \to V$ упоминалось ранее, что вызвано внутренним продуктом.

df $1$ -форма $—$ это сечение кокасательного расслоения , которое дает локальную линейную аппроксимацию $f$ в кокасательном пространстве в каждой точке.

Дивергенция [ править ]

Векторное поле $V знак равно (v 1, v 2, ..., v n)$ на $ℝ н$ имеет соответствующую $(n - 1)$ -форму

{\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}

где ${\widehat {dx^{i}}}$ означает отсутствие этого элемента.

(Например, когда $n = 3$ т.е. в трехмерном пространстве, $2-$ форма $ω V$ является локально скалярным тройным произведением с $V$ .) Интеграл от $ω V$ по гиперповерхности — это поток V $,$ по этой гиперповерхности.

Внешняя производная этой $(n - 1)$ -формы есть $n$ -форма

d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).

Завиток [ править ]

Векторное поле $V$ на $ℝ н$ также имеет соответствующую $1$ -форму

\eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.

Локально $η V$ является скалярным произведением с $V$ . Интеграл от $η V$ по пути — это работа , совершенная против $- V$ по этому пути.

Когда $n = 3$ , в трехмерном пространстве внешней производной $1-$ формы $η V$ является $2-$ форма.

d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.

векторного исчисления Инвариантные формулировки операторов

Стандартные операторы векторного исчисления могут быть обобщены для любого псевдориманова многообразия и записаны в бескоординатных обозначениях следующим образом:

{\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}

где $⋆$ — оператор звезды Ходжа , $♭$ и $♯$ — музыкальные изоморфизмы , $f$ — скалярное поле и $F$ — векторное поле .

Обратите внимание, что выражение для $завитка$ требует $, чтобы ♯$ действовал на $⋆ d (F ♭)$ , что является формой степени $n - 2$ . Естественное обобщение $♯$ на $k$ -формы произвольной степени позволяет этому выражению иметь смысл для любого $n$ .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Спивак (1970), стр. 7-18, Th. 13

Ссылки [ править ]

Картан, Эли (1899). «О некоторых дифференциальных выражениях и проблеме Пфаффа» . Научные анналы Высшей нормальной школы . Серия 3 (на французском языке). 16 . Париж: Готье-Виллар: 239–332. дои : 10.24033/asens.467 . ISSN 0012-9593 . ЖФМ 30.0313.04 . Проверено 2 февраля 2016 г.
Конлон, Лоуренс (2001). Дифференцируемые многообразия . Базель, Швейцария: Биркхойзер. п. 239. ИСБН 0-8176-4134-3 .
Дорогая, RWR (1994). Дифференциальные формы и связи . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. п. 35. ISBN 0-521-46800-0 .
Фландрия, Харли (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications. п. 20. ISBN 0-486-66169-5 .
Лумис, Линн Х.; Штернберг, Шломо (1989). Продвинутое исчисление . Бостон: Джонс и Бартлетт. стр. 304–473 (гл. 7–11). ISBN 0-486-66169-5 .
Раманан, С. (2005). Глобальное исчисление . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 54. ИСБН 0-8218-3702-8 .
Спивак, Михаил (1971). Исчисление на многообразиях . Боулдер, Колорадо: Westview Press. ISBN 9780805390216 .
Спивак, Майкл (1970), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию , том. 1, Бостон, Массачусетс: Publish or Perish, Inc, ISBN 0-914098-00-4
Уорнер, Фрэнк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для аспирантов по математике, том. 94, Спрингер, ISBN 0-387-90894-3

Внешние ссылки [ править ]

Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine : «Производная – это не то, что вы думаете» . Алеф Ноль . 3 ноября 2020 г. — через YouTube .

[1] Спивак (1970), стр. 7-18, Th. 13

[1]

v т Это Исчисление
Precalculus	Binomial theorem Concave function Continuous function Factorial Finite difference Free variables and bound variables Graph of a function Linear function Radian Rolle's theorem Secant Slope Tangent
Limits	Indeterminate form Limit of a function One-sided limit Limit of a sequence Order of approximation (ε, δ)-definition of limit
Differential calculus	Derivative Second derivative Partial derivative Differential Differential operator Mean value theorem Notation Leibniz's notation Newton's notation Rules of differentiation linearity Power Sum Chain L'Hôpital's Product General Leibniz's rule Quotient Other techniques Implicit differentiation Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates Stationary points First derivative test Second derivative test Extreme value theorem Maximum and minimum Further applications Newton's method Taylor's theorem Differential equation Ordinary differential equation Partial differential equation Stochastic differential equation
Integral calculus	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
Vector calculus	Derivatives Curl Directional derivative Divergence Gradient Laplacian Basic theorems Line integrals Green's Stokes' Gauss'
Multivariable calculus	Divergence theorem Geometric Hessian matrix Jacobian matrix and determinant Lagrange multiplier Line integral Matrix Multiple integral Partial derivative Surface integral Volume integral Advanced topics Differential forms Exterior derivative Generalized Stokes' theorem Tensor calculus
Sequences and series	Arithmetico-geometric sequence Types of series Alternating Binomial Fourier Geometric Harmonic Infinite Power Maclaurin Taylor Telescoping Tests of convergence Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison Ratio Root Term
Special functions and numbers	Bernoulli numbers e (mathematical constant) Exponential function Natural logarithm Stirling's approximation
History of calculus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Generality of algebra Gottfried Wilhelm Leibniz Infinitesimal Infinitesimal calculus Isaac Newton Fluxion Law of Continuity Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Lists	Differentiation rules List of integrals of exponential functions List of integrals of hyperbolic functions List of integrals of inverse hyperbolic functions List of integrals of inverse trigonometric functions List of integrals of irrational functions List of integrals of logarithmic functions List of integrals of rational functions List of integrals of trigonometric functions Secant Secant cubed List of limits Lists of integrals
Miscellaneous topics	Complex calculus Contour integral Differential geometry Manifold Curvature of curves of surfaces Tensor Euler–Maclaurin formula Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid