Правило частного

В исчислении правило частного — это метод нахождения производной функции , которая представляет собой отношение двух дифференцируемых функций. ^[1]^[2]^[3] Позволять $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ , где $f$ и $g$ дифференцируемы и $g(x)\neq 0.$ Правило фактора гласит, что производная от $h (x)$ равна

h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}.

Это можно доказать разными способами, используя другие производные правила .

Примеры [ править ]

Пример 1: Базовый пример [ править ]

Данный $h(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}}}$ , позволять $f(x)=e^{x},g(x)=x^{2}$ , затем используя правило фактора:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}-2xe^{x}}{x^{4}}}\\&={\frac {xe^{x}-2e^{x}}{x^{3}}}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.\end{aligned}}

Пример 2: Производная функции тангенса [ править ]

Правило частного можно использовать для нахождения производной $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$ следующее:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)\\&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}

Взаимное правило [ править ]

Правило взаимности — это частный случай правила фактора, в котором числитель $f(x)=1$ . Применение правила частного дает

h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.

Использование правила цепочки дает тот же результат.

Доказательства [ править ]

Доказательство из определения производной и предельных свойств [ править ]

Позволять $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.$ Применение определения производной и свойств пределов дает следующее доказательство с термином $f(x)g(x)$ добавляется и вычитается, чтобы обеспечить разделение и факторинг на последующих шагах, не влияя на значение:

{\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {f(x+k)}{g(x+k)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}\left[{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\cdot g(x)-f(x)\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}

Оценка предела

\lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x+k)g(x)}}={\frac {1}{g(x)^{2}}}

оправдано дифференцируемостью

g(x)

, подразумевая непрерывность, которую можно выразить как

\lim _{k\to 0}g(x+k)=g(x)

.

Доказательство с дифференцирования неявного использованием

Позволять $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},$ так что $f(x)=g(x)h(x).$

Тогда правило произведения дает $f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).$

Решение для $h'(x)$ и заменив обратно на $h(x)$ дает:

{\begin{aligned}h'(x)&={\frac {f'(x)-g'(x)h(x)}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)-g'(x)\cdot {\frac {f(x)}{g(x)}}}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}

Доказательство с использованием правила взаимности или правила цепочки [ править ]

Позволять $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}.$

Тогда правило произведения дает $h'(x)=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right].$

Чтобы оценить производную во втором члене, примените правило взаимности или правило степени вместе с правилом цепочки :

{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]=-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.

Подстановка результата в выражение дает

{\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {g(x)}{g(x)}}\cdot {\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}

дифференцированием логарифмическим Доказательство

Позволять $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.$ Взяв абсолютное значение и натуральный логарифм обеих частей уравнения, получим

\ln |h(x)|=\ln \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|

Применяя свойства абсолютной величины и логарифмов,

\ln |h(x)|=\ln |f(x)|-\ln |g(x)|

Беря логарифмическую производную от обеих частей,

{\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}

Решение для $h'(x)$ и заменив обратно ${\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ для $h(x)$ дает:

{\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f(x)}{g(x)}}\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}

Взятие абсолютного значения функций необходимо для логарифмического дифференцирования функций, которые могут иметь отрицательные значения, поскольку логарифмы имеют действительные значения только для положительных аргументов. Это работает, потому что ${\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}$ , что оправдывает принятие абсолютного значения функций для логарифмического дифференцирования.

Производные высшего порядка [ править ]

Неявное дифференцирование можно использовать для вычисления $n-$ й производной частного (частично через его первые $n - 1$ производные). Например, дифференцируя $f=gh$ дважды (в результате $f''=g''h+2g'h'+gh''$ ), а затем решаем $h''$ урожайность

h''=\left({\frac {f}{g}}\right)''={\frac {f''-g''h-2g'h'}{g}}.

См. также [ править ]

Правило цепочки - для производных составных функций.
Дифференцирование интегралов — Задача по математике
Правила дифференцирования - Правила вычисления производных функций.
Общее правило Лейбница - Обобщение правила произведения в исчислении.
Обратные функции и дифференциация — страницы идентификации исчисления,
Линейность дифференцирования - свойство исчисления
Правило продукта – формула производной продукта
Взаимное правило – правило дифференциации.
Таблица производных — правила вычисления производных функций.
Тождества векторного исчисления - Математические тождества

Ссылки [ править ]

^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8 .
^ Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-547-16702-2 .
^ Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: ранние трансценденталии (12-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-58876-0 .

[1] Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8 .

[2] Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-547-16702-2 .

[3] Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл (2010). Исчисление Томаса: ранние трансценденталии (12-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-58876-0 .

[1]

[2]

[3]

v т и Исчисление
Precalculus	Binomial theorem Concave function Continuous function Factorial Finite difference Free variables and bound variables Graph of a function Linear function Radian Rolle's theorem Secant Slope Tangent
Limits	Indeterminate form Limit of a function One-sided limit Limit of a sequence Order of approximation (ε, δ)-definition of limit
Differential calculus	Derivative Second derivative Partial derivative Differential Differential operator Mean value theorem Notation Leibniz's notation Newton's notation Rules of differentiation linearity Power Sum Chain L'Hôpital's Product General Leibniz's rule Quotient Other techniques Implicit differentiation Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates Stationary points First derivative test Second derivative test Extreme value theorem Maximum and minimum Further applications Newton's method Taylor's theorem Differential equation Ordinary differential equation Partial differential equation Stochastic differential equation
Integral calculus	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
Vector calculus	Derivatives Curl Directional derivative Divergence Gradient Laplacian Basic theorems Line integrals Green's Stokes' Gauss'
Multivariable calculus	Divergence theorem Geometric Hessian matrix Jacobian matrix and determinant Lagrange multiplier Line integral Matrix Multiple integral Partial derivative Surface integral Volume integral Advanced topics Differential forms Exterior derivative Generalized Stokes' theorem Tensor calculus
Sequences and series	Arithmetico-geometric sequence Types of series Alternating Binomial Fourier Geometric Harmonic Infinite Power Maclaurin Taylor Telescoping Tests of convergence Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison Ratio Root Term
Special functions and numbers	Bernoulli numbers e (mathematical constant) Exponential function Natural logarithm Stirling's approximation
History of calculus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Generality of algebra Gottfried Wilhelm Leibniz Infinitesimal Infinitesimal calculus Isaac Newton Fluxion Law of Continuity Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Lists	Differentiation rules List of integrals of exponential functions List of integrals of hyperbolic functions List of integrals of inverse hyperbolic functions List of integrals of inverse trigonometric functions List of integrals of irrational functions List of integrals of logarithmic functions List of integrals of rational functions List of integrals of trigonometric functions Secant Secant cubed List of limits Lists of integrals
Miscellaneous topics	Complex calculus Contour integral Differential geometry Manifold Curvature of curves of surfaces Tensor Euler–Maclaurin formula Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid