тест Дирихле

В математике — тест Дирихле метод проверки сходимости ряда это . Он назван в честь своего автора Питера Густава Лежена Дирихле и был опубликован посмертно в Journal de Mathématiques Pures et Appliquées в 1862 году.

Заявление

Тест утверждает, что если $(a_{n})$ представляет собой последовательность действительных чисел и $(b_{n})$ последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая

• $(a_{n})$ является монотонным
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$
• $\left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M$ для каждого натурального числа N

где M — некоторая константа, то ряд

$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$$

сходится.

Доказательство

Позволять ${\textstyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$ и ${\textstyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$.

Суммируя по частям , имеем, что ${\textstyle S_{n}=a_{n+1}B_{n}+\sum _{k=1}^{n}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$. С $B_{n}$ ограничен ​ M ​ и $a_{n}\to 0$, первое из этих слагаемых стремится к нулю, $a_{n+1}B_{n}\to 0$ как $n\to \infty$.

Имеем для k каждого $|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M|a_{k}-a_{k+1}|$.

С $(a_{n})$ монотонна, она либо убывает, либо возрастает:

• Если $(a_{n})$ уменьшается, $$\sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),$$ которая представляет собой телескопическую сумму , равную $M(a_{1}-a_{n+1})$ и поэтому приближается $Ma_{1}$ как $n\to \infty$. Таким образом, ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$ сходится.
• Если $(a_{n})$ увеличивается, $$\sum _{k=1}^{n}M|a_{k}-a_{k+1}|=-\sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=-M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1}),$$ что снова является телескопической суммой, равной $-M(a_{1}-a_{n+1})$ и поэтому приближается $-Ma_{1}$ как $n\to \infty$. Таким образом, снова ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}$ сходится.

Итак, сериал ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}$ сходится по критерию абсолютной сходимости . Следовательно $S_{n}$ сходится.

Приложения

Частным случаем теста Дирихле является более часто используемый тест чередующихся серий для случая $$b_{n}=(-1)^{n}\Longrightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1.$$

Другое следствие состоит в том, что ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}$ сходится всякий раз, когда $(a_{n})$ представляет собой убывающую последовательность, стремящуюся к нулю. Чтобы увидеть это $\sum _{n=1}^{N}\sin n$ ограничено, мы можем использовать формулу суммирования $$\sum _{n=1}^{N}\sin n=\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{in}-e^{-in}}{2i}}={\frac {\sum _{n=1}^{N}(e^{i})^{n}-\sum _{n=1}^{N}(e^{-i})^{n}}{2i}}={\frac {\sin 1+\sin N-\sin(N+1)}{2-2\cos 1}}.$$

Несобственные интегралы

Аналогичное утверждение о сходимости несобственных интегралов доказывается с помощью интегрирования по частям . Если интеграл от функции f равномерно ограничен на всех интервалах , а g — неотрицательная монотонно убывающая функция , то интеграл от fg — сходящийся несобственный интеграл.

Ссылки

• Харди, Г.Х., Курс чистой математики , девятое издание, Cambridge University Press, 1946. (стр. 379–380).
• Воксман, Уильям Л., Расширенное исчисление: введение в современный анализ , Marcel Dekker, Inc., Нью-Йорк, 1981. (§8.B.13–15). ISBN   0-8247-6949-X .

Внешние ссылки

• PlanetMath.org