Интеграл от обратных функций

В математике первообразные интегралы от обратных функций можно вычислить с помощью формулы, выражающей обратных функций. $f^{-1}$ непрерывной функции и обратимой $f$, с точки зрения $f^{-1}$ и первообразная от $f$. Эту формулу опубликовал в 1905 году Шарль-Анж Лесан .

Формулировка теоремы

Позволять $I_{1}$ и $I_{2}$ быть интервалами двумя $\mathbb {R}$. Предположим, что $f:I_{1}\to I_{2}$ является непрерывной и обратимой функцией. следует Из теоремы о промежуточном значении , что $f$ является строго монотонным . Следовательно, $f$ отображает интервалы в интервалы, поэтому является открытым отображением и, следовательно, гомеоморфизмом. С $f$ и обратная функция $f^{-1}:I_{2}\to I_{1}$ непрерывны, имеют первообразные по основной теореме исчисления .

Лайзан доказал, что если $F$ является первообразной от $f$, то первообразные $f^{-1}$ являются:

$\int f^{-1}(y)\,dy=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C,$

где $C$ — произвольное действительное число. Обратите внимание, что не предполагается, что $f^{-1}$является дифференцируемым.

Иллюстрация теоремы

В своей статье 1905 года Лейсан привел три доказательства.

Первое доказательство

Во-первых, при дополнительной гипотезе, что $f^{-1}$ дифференцируемо , можно дифференцировать приведенную выше формулу, что немедленно завершает доказательство.

Второе доказательство

Его второе доказательство было геометрическим. Если $f(a)=c$ и $f(b)=d$, теорему можно записать:

$\int _{c}^{d}f^{-1}(y)\,dy+\int _{a}^{b}f(x)\,dx=bd-ac.$

Рисунок справа представляет собой доказательство без слов этой формулы. Лесан не обсуждает гипотезы, необходимые для строгости этого доказательства, но это можно доказать, если $f$ просто предполагается, что оно строго монотонно (но не обязательно непрерывно, не говоря уже о дифференцируемости). В этом случае оба $f$ и $f^{-1}$ интегрируемы по Риману, и это тождество следует из биекции между нижними/верхними Дарбу суммами $f$ и верхние/нижние суммы Дарбу $f^{-1}$. Тогда первообразная версия теоремы следует из основной теоремы исчисления в случае, когда $f$ также предполагается непрерывным.

Третье доказательство

Третье доказательство Лесана использует дополнительную гипотезу о том, что $f$ является дифференцируемым. Начиная с $f^{-1}(f(x))=x$, умножается на $f'(x)$ и объединяет обе стороны. Правая часть рассчитывается путем интегрирования по частям. ${\textstyle xf(x)-\int f(x)\,dx}$, и формула следует.

Подробности

Можно также думать следующим образом, когда $f$ является дифференцируемым. Как $f$ является непрерывным в любом $x$, $F:=\int _{0}^{x}f$ дифференцируема вообще $x$ по основной теореме исчисления. С $f$ обратима, то ее производная обратилась бы в нуль не более чем в счетном числе точек. Отсортируйте эти точки по $...<t_{-1}<t_{0}<t_{1}<...$. С $g(y):=yf^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C$ представляет собой композицию дифференцируемых функций на каждом интервале $(t_{i},t_{i+1})$, можно применить цепное правило $g'(y)=f^{-1}(y)+y/f'(y)-f\circ f^{-1}(y).1/f'(y)+0=f^{-1}(y)$ чтобы увидеть $\left.g\right|_{(t_{i},t_{i+1})}$ является первообразной для $\left.f\right|_{(t_{i},t_{i+1})}$. Мы утверждаем $g$ также дифференцируема на каждом из $t_{i}$ и не становится неограниченным, если $I_{2}$ компактен. В таком случае $f^{-1}$ является непрерывным и ограниченным. По непрерывности и основной теореме исчисления, $G(y):=C+\int _{0}^{y}f^{-1}$ где $C$ является константой, является дифференцируемым расширением $g$. Но $g$ является непрерывным, поскольку представляет собой композицию непрерывных функций. Как и $G$ по дифференцируемости. Поэтому, $G=g$. Теперь можно использовать фундаментальную теорему исчисления для вычисления $\int _{I_{2}}f^{-1}$.

Тем не менее можно показать, что эта теорема справедлива, даже если $f$ или $f^{-1}$ не является дифференцируемым: достаточно, например, использовать в предыдущем рассуждении интеграл Стилтьеса. С другой стороны, хотя общие монотонные функции дифференцируемы почти всюду, доказательство общей формулы не следует, если только $f^{-1}$ непрерывен абсолютно .

Также можно проверить это для каждого $y$ в $I_{2}$, производная функции $y\mapsto yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))$ равно $f^{-1}(y)$. Другими словами:

$\forall x\in I_{1}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)f(x+h)-xf(x)-\left(F(x+h)-F(x)\right)}{f(x+h)-f(x)}}=x.$

Для этого достаточно применить теорему о среднем значении к $F$ между $x$ и $x+h$, принимая во внимание, что $f$ является монотонным.

Примеры

1. Предположим, что $f(x)=\exp(x)$, следовательно $f^{-1}(y)=\ln(y)$. Формула выше сразу дает
   $$\int \ln(y)\,dy=y\ln(y)-\exp(\ln(y))+C=y\ln(y)-y+C.$$
2. Аналогично с $f(x)=\cos(x)$ и $f^{-1}(y)=\arccos(y)$,
   $$\int \arccos(y)\,dy=y\arccos(y)-\sin(\arccos(y))+C.$$
3. С $f(x)=\tan(x)$ и $f^{-1}(y)=\arctan(y)$,
   $$\int \arctan(y)\,dy=y\arctan(y)+\ln \left|\cos(\arctan(y))\right|+C.$$

История

По-видимому, эту теорему интегрирования впервые открыл в 1905 году Шарль-Анж Лесан , которые «с трудом могли поверить, что эта теорема нова», и надеялись, что отныне ее использование распространится среди студентов и преподавателей. Этот результат был независимо опубликован в 1912 году итальянским инженером Альберто Каприлли в труде под названием «Новая форма интеграции». Он был заново открыт в 1955 году Паркером. и ряд математиков, последовавших за ним. Тем не менее, все они предполагают, что f или f ⁻¹ является дифференцируемым . Общая версия теоремы , свободная от этого дополнительного предположения, была предложена Майклом Спиваком в 1965 году в качестве упражнения по исчислению . и довольно полное доказательство в том же духе было опубликовано Эриком Ки в 1994 году. Это доказательство опирается на само определение интеграла Дарбу и состоит в том, чтобы показать, что верхние суммы Дарбу функции f находятся в 1-1 соответствии с нижними суммами Дарбу функции f. ⁻¹ . В 2013 году Майкл Бенсимхун, посчитав, что общая теорема все еще недостаточно известна, дал еще два доказательства: Второе доказательство, основанное на интеграле Стилтьеса и его формулах интегрирования по частям и гомеоморфной замены переменных , является наиболее подходящим для установления более сложных формул.

Обобщение на голоморфные функции

Приведенная выше теорема очевидным образом обобщается на голоморфные функции:Позволять $U$ и $V$ быть двумя открытыми и односвязными множествами $\mathbb {C}$ , что и предположим $f:U\to V$ является биголоморфизмом . Затем $f$ и $f^{-1}$ имеют первообразные, и если $F$ является первообразной от $f$, общая первообразная $f^{-1}$ является

$G(z)=zf^{-1}(z)-F\circ f^{-1}(z)+C.$

Поскольку все голоморфные функции дифференцируемы, доказательство осуществляется непосредственно путем комплексного дифференцирования.

См. также

• Интеграция по частям
• Преобразование Лежандра
• Неравенство Юнга для продуктов

Ссылки

• Стаиб, Дж. Х. (сентябрь 1966 г.). «Интегрирование обратных функций». Журнал «Математика» . 39 (4): 223–224. дои : 10.2307/2688087 . JSTOR   2688087 .