Интеграл Хинчина

В математике интеграл Хинчина (иногда называемый интегралом Хинчина как интеграл Данжуа-Хинчина , обобщенный интеграл Данжуа или широкий интеграл Данжуа , является одним из ряда определений интеграла функции ), также известный . Это обобщение интегралов Римана и Лебега . Он назван в честь Александра Хинчина и Арно Данжуа , но его не следует путать с (узким) интегралом Данжуа .

Мотивация

Если g : I → R — функция, интегрируемая по Лебегу на некотором интервале I = [ a , b ], и если

$f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,dt$

— его неопределенный интеграл Лебега, то справедливы следующие утверждения:

1. f абсолютно непрерывен (см. ниже)
2. f дифференцируема почти всюду
3. Его производная почти всюду совпадает с g ( x ). (Фактически все абсолютно непрерывные функции. таким образом получаются )

Интеграл Лебега можно определить следующим образом: g интегрируем по Лебегу на I тогда и только тогда, когда функция f существует абсолютно непрерывная , производная которой совпадает с g почти всюду.

Однако даже если f : I → R дифференцируемо всюду , а g является его производной, из этого не следует, что f является ( с точностью до константы) неопределенным интегралом Лебега от g просто потому, что g может не быть интегрируемым по Лебегу, т. е. f может не быть абсолютно непрерывным. Пример этому приведен производной g (дифференцируемой, но не абсолютно непрерывной) функции f ( x ) = x ² ·грех(1/ х ² ) (функция g неинтегрируема по Лебегу около 0).

Интеграл Данжуа исправляет этот недостаток, гарантируя, что производная любой функции f , которая всюду дифференцируема (или даже дифференцируема всюду, за исключением не более чем счетного числа точек), интегрируема, а ее интеграл восстанавливает f до константы; Интеграл Хинчина является еще более общим, поскольку он может интегрировать приближенную производную приблизительно дифференцируемой функции (определения см. ниже). Для этого сначала находят условие, более слабое, чем абсолютная непрерывность, но удовлетворяющее любой приближенно дифференцируемой функции. Это концепция обобщенной абсолютной непрерывности; обобщенными абсолютно непрерывными функциями будут именно те функции, которые являются неопределенными интегралами Хинчина.

Определение

Обобщенная абсолютно непрерывная функция

Пусть I = [ a , b ] — интервал, а : I → R — вещественная функция на I. f

Напомним, что f на абсолютно непрерывна подмножестве E из I тогда и только тогда, когда для каждого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что всякий раз, когда конечный набор $[x_{k},y_{k}]$ попарно непересекающихся подинтервалов I с концами в E удовлетворяет

$\sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta$

это также удовлетворяет

$\sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .$

Определять функция f является обобщенно абсолютно непрерывной на подмножестве E из I, непрерывно ( на ) E если ограничение f на E и каждом E можно записать как счетное объединение подмножеств E _i таких, что f абсолютно непрерывна на E _i . Это эквивалентно к утверждению, что каждое непустое совершенное подмножество E содержит часть на котором f абсолютно непрерывна.

Приблизительная производная

Пусть E — измеримое по Лебегу множество действительных чисел. Напомним, что действительное число x (не обязательно из E ) называется точкой плотности E , когда

$\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (E\cap [x-\varepsilon ,x+\varepsilon ])}{2\varepsilon }}=1$

(где µ обозначает меру Лебега). измеримая по Лебегу функция g : E → R Говорят, что имеет приближенный предел y в точке x (точка плотности E ), если для каждого положительного числа ε точка x является точкой плотности $g^{-1}([y-\varepsilon ,y+\varepsilon ])$. (Если, кроме того, g ( x ) = y , мы можем сказать, что g приблизительно непрерывна в точке x . ) Эквивалентно, g имеет приблизительный предел y в точке x тогда и только тогда, когда существует измеримое подмножество F в E такое, что x является точкой плотности F и (обычный) предел в x ограничения f на F равен y . Как и обычный предел, приближенный предел уникален, если он существует.

Наконец, говорят, что измеримая по Лебегу функция f : E → R имеет приближенную производную y в точке x тогда и только тогда, когда

${\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}$

имеет приблизительный предел y в точке x ; это означает, что f приблизительно непрерывен в точке x .

Теорема

Напомним, что из теоремы Лузина следует , что функция, измеримая по Лебегу, приближенно непрерывна почти всюду (и наоборот ). Ключевая теорема при построении интеграла Хинчина такова: функция f , обобщенная абсолютно непрерывная (или даже имеющая «обобщенную ограниченную вариацию», более слабое понятие), почти всюду имеет приближенную производную. Более того, если f обобщенно абсолютно непрерывна и ее приближенная производная почти всюду неотрицательна, f неубывает то , и, следовательно, если эта приближенная производная почти всюду равна нулю, то f постоянна.

Интеграл Хинчина

Пусть I = [ a , b ] — интервал, а : I → R — вещественная функция на I. g Функция g называется интегрируемой по Хинчину на I тогда и только тогда, когда существует обобщенно абсолютно непрерывная функция f , приближенная производная которой совпадает с g ; почти всюду в этом случае функция f определяется g с точностью до константы, а интеграл Хинчина от g от a до b определяется как $f(b)-f(a)$.

Частный случай

Если f : I → R непрерывно и имеет приближенную производную всюду на I , за исключением не более чем счетного числа точек, то f фактически является обобщенно абсолютно непрерывным, поэтому является (неопределенным) интегралом Хинчина своей приближенной производной.

Этот результат не верен, если набор точек, где f не имеет приближенной производной, имеет просто нулевую меру Лебега , как показывает функция Кантора .

Ссылки

• Математическая энциклопедия Springer: статья «Интеграл Данжуа»
• Математическая энциклопедия Springer: статья «Приблизительная производная»
• Брукнер, Эндрю (1994). Дифференцирование действительных функций . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-6990-1 .
• Гордон, Рассел А. (1994). Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-3805-1 .
• Филиппов, В.В. (1998). Основные топологические структуры обыкновенных дифференциальных уравнений . ISBN  978-0-7923-4951-8 .