Общие интегралы в квантовой теории поля

Общие интегралы в квантовой теории поля — это все вариации и обобщения гауссовских интегралов на комплексную плоскость и на несколько измерений. Другие интегралы можно аппроксимировать версиями интеграла Гаусса. Также рассматриваются интегралы Фурье.

простого

Гауссов интеграл

Первый интеграл, имеющий широкое применение за пределами квантовой теории поля, — это интеграл Гаусса.

$$G\equiv \int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}x^{2}}\,dx$$

В физике распространен коэффициент 1/2 в аргументе экспоненты.

Примечание:

$$G^{2}=\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}x^{2}}\,dx\right)\cdot \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}y^{2}}\,dy\right)=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-{1 \over 2}r^{2}}\,dr=2\pi \int _{0}^{\infty }e^{-w}\,dw=2\pi .$$

Таким образом мы получаем

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}x^{2}}\,dx={\sqrt {2\pi }}.$$

интеграла

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx={\sqrt {2\pi \over a}}$$

где мы масштабировались

$$x\to {x \over {\sqrt {a}}}.$$

Интегралы показателей и даже степени x

$$\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=-2{d \over da}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=-2{d \over da}\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}{1 \over a}$$

и

$$\int _{-\infty }^{\infty }x^{4}e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=\left(-2{d \over da}\right)\left(-2{d \over da}\right)\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=\left(-2{d \over da}\right)\left(-2{d \over da}\right)\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}{3 \over a^{2}}$$

В общем

$$\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-{1 \over 2}ax^{2}}\,dx=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over {2}}{1 \over a^{n}}\left(2n-1\right)\left(2n-3\right)\cdots 5\cdot 3\cdot 1=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over {2}}{1 \over a^{n}}\left(2n-1\right)!!$$

Обратите внимание, что интегралы показателей степени и нечетных степеней x равны 0 из-за нечетной симметрии.

Интегралы с линейным членом в аргументе показателя степени

$$\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {1}{2}}ax^{2}+Jx\right)dx$$

Этот интеграл можно получить, заполнив квадрат:

$$\left(-{1 \over 2}ax^{2}+Jx\right)=-{1 \over 2}a\left(x^{2}-{2Jx \over a}+{J^{2} \over a^{2}}-{J^{2} \over a^{2}}\right)=-{1 \over 2}a\left(x-{J \over a}\right)^{2}+{J^{2} \over 2a}$$

Поэтому:

$${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{1 \over 2}ax^{2}+Jx\right)\,dx&=\exp \left({J^{2} \over 2a}\right)\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over 2}a\left(x-{J \over a}\right)^{2}\right]\,dx\\[8pt]&=\exp \left({J^{2} \over 2a}\right)\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{1 \over 2}aw^{2}\right)\,dw\\[8pt]&=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}\exp \left({J^{2} \over 2a}\right)\end{aligned}}$$

Интегралы с мнимым линейным членом в аргументе показателя степени

Интеграл

$$\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{1 \over 2}ax^{2}+iJx\right)dx=\left({2\pi \over a}\right)^{1 \over 2}\exp \left(-{J^{2} \over 2a}\right)$$

пропорционален преобразованию Фурье гауссовой функции, где — сопряженная переменная x J .

Снова заполнив квадрат, мы видим, что преобразование Фурье гауссианы также является гауссианом, но в сопряженной переменной. Чем больше a гауссиан по x и шире гауссиан по J. , тем уже Это демонстрация принципа неопределенности .

Этот интеграл также известен как преобразование Хаббарда – Стратоновича, используемое в теории поля.

Интегралы с комплексным аргументом показателя степени

Интересующий интеграл (пример приложения см. в разделе « Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики »)

$$\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left({1 \over 2}iax^{2}+iJx\right)dx.$$

Теперь мы предполагаем, что a и J могут быть комплексными.

Завершение площади

$$\left({1 \over 2}iax^{2}+iJx\right)={1 \over 2}ia\left(x^{2}+{2Jx \over a}+\left({J \over a}\right)^{2}-\left({J \over a}\right)^{2}\right)=-{1 \over 2}{a \over i}\left(x+{J \over a}\right)^{2}-{iJ^{2} \over 2a}.$$

По аналогии с предыдущими интегралами

$$\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left({1 \over 2}iax^{2}+iJx\right)dx=\left({2\pi i \over a}\right)^{1 \over 2}\exp \left({-iJ^{2} \over 2a}\right).$$

Этот результат действителен как интегрирование в комплексной плоскости, пока a не равно нулю и имеет полуположительную мнимую часть. См. Интеграл Френеля .

интегралы в

Одномерные интегралы можно обобщить на несколько измерений.

$$\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x\cdot A\cdot x+J\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left({1 \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)$$

Здесь A — вещественная положительно определенная симметричная матрица .

Этот интеграл выполняется путем диагонализации A преобразования с помощью ортогонального

$$D=O^{-1}AO=O^{\text{T}}AO$$

где D — диагональная матрица , а O — ортогональная матрица . Это отделяет переменные и позволяет выполнять интегрирование как n одномерных интегрирований.

Лучше всего это иллюстрируется двумерным примером.

Пример: простое гауссово интегрирование в двух измерениях

Интеграл Гаусса в двух измерениях равен

$$\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}A_{ij}x^{i}x^{j}\right)d^{2}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{2}}{\det A}}}$$

где A — двумерная симметричная матрица с компонентами, заданными как

$$A={\begin{bmatrix}a&c\\c&b\end{bmatrix}}$$

и мы использовали соглашение Эйнштейна о суммировании .

Диагонализация матрицы

Первым шагом является диагонализация матрицы. Обратите внимание, что

$$A_{ij}x^{i}x^{j}\equiv x^{\text{T}}Ax=x^{\text{T}}\left(OO^{\text{T}}\right)A\left(OO^{\text{T}}\right)x=\left(x^{\text{T}}O\right)\left(O^{\text{T}}AO\right)\left(O^{\text{T}}x\right)$$

где, поскольку A — действительная симметричная матрица , мы можем выбрать O ортогональной унитарной и, следовательно, также матрицей . O можно получить из собственных A векторов . Мы выбираем O так, что: D ≡ O ^Т АО диагональный.

Собственные значения A

Чтобы найти собственные векторы A , сначала нужно найти собственные значения λ A , заданные формулой

$${\begin{bmatrix}a&c\\c&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}}.$$

Собственные значения являются решениями характеристического многочлена

$$(a-\lambda )(b-\lambda )-c^{2}=0$$

$$\lambda ^{2}-\lambda (a+b)+ab-c^{2}=0,$$

которые находятся с помощью квадратного уравнения :

$${\begin{aligned}\lambda _{\pm }&={\tfrac {1}{2}}(a+b)\pm {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a+b)^{2}-4(ab-c^{2})}}.\\&={\tfrac {1}{2}}(a+b)\pm {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+2ab+b^{2}-4ab+4c^{2}}}.\\&={\tfrac {1}{2}}(a+b)\pm {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a-b)^{2}+4c^{2}}}.\end{aligned}}$$

Собственные векторы A

Подстановка собственных значений обратно в уравнение собственных векторов дает

$$v=-{\left(a-\lambda _{\pm }\right)u \over c},\qquad v=-{cu \over \left(b-\lambda _{\pm }\right)}.$$

Из характеристического уравнения мы знаем

$${a-\lambda _{\pm } \over c}={c \over b-\lambda _{\pm }}.$$

Также обратите внимание

$${a-\lambda _{\pm } \over c}=-{b-\lambda _{\mp } \over c}.$$

Собственные векторы можно записать как:

$${\begin{bmatrix}{\frac {1}{\eta }}\\[1ex]-{\frac {a-\lambda _{-}}{c\eta }}\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}-{\frac {b-\lambda _{+}}{c\eta }}\\[1ex]{\frac {1}{\eta }}\end{bmatrix}}$$

для двух собственных векторов. Здесь η — нормирующий коэффициент, определяемый формулой:

$$\eta ={\sqrt {1+\left({\frac {a-\lambda _{-}}{c}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {b-\lambda _{+}}{c}}\right)^{2}}}.$$

Легко проверить, что два собственных вектора ортогональны друг другу.

Построение ортогональной матрицы

Ортогональная матрица строится путем назначения нормализованных собственных векторов в качестве столбцов ортогональной матрицы.

$$O={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\eta }}&-{\frac {b-\lambda _{+}}{c\eta }}\\-{\frac {a-\lambda _{-}}{c\eta }}&{\frac {1}{\eta }}\end{bmatrix}}.$$

Обратите внимание, что det( O ) = 1 .

Если мы определим

$$\sin(\theta )=-{\frac {a-\lambda _{-}}{c\eta }}$$

тогда ортогональную матрицу можно записать

$$O={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}$$

что представляет собой просто вращение собственных векторов с обратным:

$$O^{-1}=O^{\text{T}}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\\-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}.$$

Диагональная матрица

Диагональная матрица становится

$$D=O^{\text{T}}AO={\begin{bmatrix}\lambda _{-}&0\\[1ex]0&\lambda _{+}\end{bmatrix}}$$

с собственными векторами

$${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$$

Числовой пример

$$A={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}$$

Собственные значения

$$\lambda _{\pm }={3 \over 2}\pm {{\sqrt {5}} \over 2}.$$

Собственные векторы

$${1 \over \eta }{\begin{bmatrix}1\\[1ex]-{1 \over 2}-{{\sqrt {5}} \over 2}\end{bmatrix}},\qquad {1 \over \eta }{\begin{bmatrix}{1 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}\\[1ex]1\end{bmatrix}}$$

где

$$\eta ={\sqrt {{5 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}}}.$$

Затем

$${\begin{aligned}O&={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\eta }}&{\frac {1}{\eta }}\left({1 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}\right)\\{\frac {1}{\eta }}\left(-{1 \over 2}-{{\sqrt {5}} \over 2}\right)&{1 \over \eta }\end{bmatrix}}\\O^{-1}&={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\eta }}&{\frac {1}{\eta }}\left(-{1 \over 2}-{{\sqrt {5}} \over 2}\right)\\{\frac {1}{\eta }}\left({1 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}\right)&{\frac {1}{\eta }}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$$

Диагональная матрица становится

$$D=O^{\text{T}}AO={\begin{bmatrix}\lambda _{-}&0\\0&\lambda _{+}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{3 \over 2}-{{\sqrt {5}} \over 2}&0\\0&{3 \over 2}+{{\sqrt {5}} \over 2}\end{bmatrix}}$$

с собственными векторами

$${\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\qquad {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$$

Измените масштаб переменных и интегрируйте

При диагонализации интеграл можно записать

$$\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x^{\text{T}}Ax\right)d^{2}x=\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{2}\lambda _{j}y_{j}^{2}\right)\,d^{2}y$$

где

$$y=O^{\text{T}}x.$$

Поскольку преобразование координат представляет собой просто вращение координат, определитель Якобиана преобразования дает

$$d^{2}y=d^{2}x$$

Теперь интеграцию можно выполнить:

$${\begin{aligned}\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax\right)d^{2}x={}&\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{2}\lambda _{j}y_{j}^{2}\right)d^{2}y\\[1ex]={}&\prod _{j=1}^{2}\left({2\pi \over \lambda _{j}}\right)^{1/2}\\={}&\left({(2\pi )^{2} \over \prod _{j=1}^{2}\lambda _{j}}\right)^{1/2}\\[1ex]={}&\left({(2\pi )^{2} \over \det {\left(O^{-1}AO\right)}}\right)^{1/2}\\[1ex]={}&\left({(2\pi )^{2} \over \det {\left(A\right)}}\right)^{1/2}\end{aligned}}$$

что является рекламируемым решением.

со сложными и линейными членами в

На двумерном примере теперь легко увидеть обобщение на комплексную плоскость и на несколько измерений.

Интегралы с линейным членом в аргументе

$$\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x\cdot A\cdot x+J\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left({1 \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)$$

Интегралы с мнимым линейным членом

$$\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}x\cdot A\cdot x+iJ\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left(-{1 \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)$$

Интегралы со сложным квадратичным членом

$$\int \exp \left({\frac {i}{2}}x\cdot A\cdot x+iJ\cdot x\right)d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi i)^{n}}{\det A}}}\exp \left(-{i \over 2}J\cdot A^{-1}\cdot J\right)$$

Интегралы с дифференциальными операторами в аргументе

В качестве примера рассмотрим интеграл

$$\int \exp \left[\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}\varphi {\hat {A}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi$$

где ${\hat {A}}$ является дифференциальным оператором с $\varphi$ и J функции пространства-времени и $D\varphi$ указывает на интеграцию по всем возможным путям. По аналогии с матричным вариантом этого интеграла решение имеет вид

$$\int \exp \left[\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}\varphi {\hat {A}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi \;\propto \;\exp \left({1 \over 2}\int d^{4}x\;d^{4}yJ(x)D(x-y)J(y)\right)$$

где

$${\hat {A}}D(x-y)=\delta ^{4}(x-y)$$

и D ( x − y ) , называемый пропагатором , является обратным ${\hat {A}}$, и $\delta ^{4}(x-y)$ – дельта-функция Дирака .

Подобные аргументы дают

$$\int \exp \left[\int d^{4}x\left(-{\frac {1}{2}}\varphi {\hat {A}}\varphi +iJ\varphi \right)\right]D\varphi \;\propto \;\exp \left(-{1 \over 2}\int d^{4}x\;d^{4}yJ(x)D(x-y)J(y)\right),$$

и

$$\int \exp \left[i\int d^{4}x\left({\frac {1}{2}}\varphi {\hat {A}}\varphi +J\varphi \right)\right]D\varphi \;\propto \;\exp \left(-{i \over 2}\int d^{4}x\;d^{4}yJ(x)D(x-y)J(y)\right).$$

См. формулировку обмена виртуальными частицами с помощью интеграла по пути, чтобы узнать о применении этого интеграла.

Интегралы, приближаемые методом наискорейшего спуска

В квантовой теории поля n-мерные интегралы вида

$$\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{1 \over \hbar }f(q)\right)d^{n}q$$

появляются часто. Здесь $\hbar$ — приведенная постоянная Планка , а f — функция с положительным минимумом при $q=q_{0}$. Эти интегралы можно аппроксимировать методом наискорейшего спуска .

Для малых значений постоянной Планка f можно разложить до минимума.

$$\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over \hbar }\left(f\left(q_{0}\right)+{1 \over 2}\left(q-q_{0}\right)^{2}f^{\prime \prime }\left(q-q_{0}\right)+\cdots \right)\right]d^{n}q.$$

Здесь $f^{\prime \prime }$ - это матрица вторых производных размером n на n, оцениваемая по минимуму функции.

Если пренебречь членами более высокого порядка, этот интеграл можно проинтегрировать явно.

$$\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over \hbar }(f(q))\right]d^{n}q\approx \exp \left[-{1 \over \hbar }\left(f\left(q_{0}\right)\right)\right]{\sqrt {(2\pi \hbar )^{n} \over \det f^{\prime \prime }}}.$$

Интегралы, аппроксимируемые методом стационарной фазы

Общий интеграл — это интеграл по путям вида

$$\int \exp \left({i \over \hbar }S\left(q,{\dot {q}}\right)\right)Dq$$

где $S\left(q,{\dot {q}}\right)$ — это классическое действие , а интеграл рассчитывается по всем возможным путям, которые может пройти частица. В пределе малого $\hbar$ интеграл может быть вычислен в приближении стационарной фазы . В этом приближении интеграл ведется по пути, на котором действие минимально. это приближение восстанавливает классический предел механики . Следовательно ,

Фурье

Дирака

в Дельта-распределение Дирака пространстве -времени можно записать в виде преобразования Фурье.

$$\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\exp(ik(x-y))=\delta ^{4}(x-y).$$

В общем, для любого измерения $N$

$$\int {\frac {d^{N}k}{(2\pi )^{N}}}\exp(ik(x-y))=\delta ^{N}(x-y).$$

форм кулоновского

Лапласиан 1/ r

Хотя это и не интеграл, тождество в трехмерном евклидовом пространстве

$$-{1 \over 4\pi }\nabla ^{2}\left({1 \over r}\right)=\delta \left(\mathbf {r} \right)$$

где

$$r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r}$$

является следствием теоремы Гаусса и может быть использовано для вывода интегральных тождеств. Пример см. в разделе « Продольные и поперечные векторные поля» .

Из этого тождества следует, что интегральное представление Фурье 1/ r имеет вид

$$\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right) \over k^{2}}={1 \over 4\pi r}.$$

: кулоновский потенциал с

Потенциал Юкавы в трех измерениях можно представить в виде интеграла по преобразованию Фурье.

$$\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right) \over k^{2}+m^{2}}={e^{-mr} \over 4\pi r}$$

где

$$r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ,\qquad k^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} .$$

См. Статические силы и обмен виртуальными частицами, чтобы узнать о применении этого интеграла.

В пределе малых m интеграл сводится к 1/4 ​ ​ πr .

Чтобы получить этот результат, обратите внимание:

$${\begin{aligned}\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}{\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}={}&\int _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}dk}{(2\pi )^{2}}}\int _{-1}^{1}du{e^{ikru} \over k^{2}+m^{2}}\\[1ex]={}&{2 \over r}\int _{0}^{\infty }{\frac {kdk}{(2\pi )^{2}}}{\sin(kr) \over k^{2}+m^{2}}\\[1ex]={}&{1 \over ir}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {kdk}{(2\pi )^{2}}}{e^{ikr} \over k^{2}+m^{2}}\\[1ex]={}&{1 \over ir}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {kdk}{(2\pi )^{2}}}{e^{ikr} \over (k+im)(k-im)}\\[1ex]={}&{1 \over ir}{\frac {2\pi i}{(2\pi )^{2}}}{\frac {im}{2im}}e^{-mr}\\[1ex]={}&{\frac {1}{4\pi r}}e^{-mr}\end{aligned}}$$

потенциал с

$$\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {r}} \right)^{2}{\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}={\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left[1+{\frac {2}{mr}}-{\frac {2}{(mr)^{2}}}\left(e^{mr}-1\right)\right]$$

где шляпа обозначает единичный вектор в трехмерном пространстве. Вывод этого результата следующий:

$${\begin{aligned}&\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {r}} \right)^{2}{\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}\\[1ex]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}dk}{(2\pi )^{2}}}\int _{-1}^{1}du\ u^{2}{\frac {e^{ikru}}{k^{2}+m^{2}}}\\[1ex]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}dk}{(2\pi )^{2}}}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}\left[{\frac {1}{kr}}\sin(kr)+{\frac {2}{(kr)^{2}}}\cos(kr)-{\frac {2}{(kr)^{3}}}\sin(kr)\right]\\[1ex]&={\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left[1+{\frac {2}{mr}}-{\frac {2}{(mr)^{2}}}\left(e^{mr}-1\right)\right]\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что в пределе малого m интеграл переходит в результат для кулоновского потенциала, поскольку член в скобках стремится к 1 .

Продольный потенциал с массой

$$\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} {\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}={1 \over 2}{\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left(\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]+\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right)$$

где шляпа обозначает единичный вектор в трехмерном пространстве. Вывод этого результата следующий:

$${\begin{aligned}&\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} {\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}\\[1ex]&=\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\left[\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {r}} \right)^{2}\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} +\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {\theta }} \right)^{2}\mathbf {\hat {\theta }} \mathbf {\hat {\theta }} +\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {\hat {\phi }} \right)^{2}\mathbf {\hat {\phi }} \mathbf {\hat {\phi }} \right]{\frac {\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}{k^{2}+m^{2}}}\\[1ex]&={\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left\{\mathbf {1} -{1 \over 2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right\}+\int _{0}^{\infty }{\frac {k^{2}dk}{(2\pi )^{2}}}\int _{-1}^{1}du{\frac {e^{ikru}}{k^{2}+m^{2}}}{1 \over 2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\\[1ex]&={1 \over 2}{\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]+{e^{-mr} \over 4\pi r}\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left\{{1 \over 2}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right\}\\[1ex]&={1 \over 2}{\frac {e^{-mr}}{4\pi r}}\left(\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]+\left\{1+{\frac {2}{mr}}-{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)\right\}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\right)\end{aligned}}$$

Заметим, что в пределе малых m интеграл сводится к

$${1 \over 2}{1 \over 4\pi r}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right].$$

Поперечный потенциал с массой

$$\int {\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right) \over k^{2}+m^{2}}={1 \over 2}{e^{-mr} \over 4\pi r}\left\{{2 \over (mr)^{2}}\left(e^{mr}-1\right)-{2 \over mr}\right\}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]$$

В пределе малого г-н интеграл принимает вид

$${1 \over 2}{1 \over 4\pi r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right].$$

На больших расстояниях интеграл спадает как обратный куб r

$${\frac {1}{4\pi m^{2}r^{3}}}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right].$$

Для применения этого интеграла см. Дарвиновский лагранжиан и дарвиновское взаимодействие в вакууме .

Угловое интегрирование в цилиндрических координатах

Есть два важных интеграла. Угловое интегрирование экспоненты в цилиндрических координатах можно записать через функции Бесселя первого рода

$$\int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi }\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)=J_{0}(p)$$

и

$$\int _{0}^{2\pi }{d\varphi \over 2\pi }\cos(\varphi )\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)=iJ_{1}(p).$$

Для применения этих интегралов см. Магнитное взаимодействие между токовыми петлями в простой плазме или электронном газе .

Функции Бесселя

Интеграция цилиндрического пропагатора с массой

Первая степень функции Бесселя

$$\int _{0}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{0}\left(kr\right)=K_{0}(mr).$$

См. Абрамовиц и Стегун.

Для $mr\ll 1$, у нас есть

$$K_{0}(mr)\to -\ln \left({mr \over 2}\right)+0.5772.$$

Для применения этого интеграла см. Два линейных заряда, внедренных в плазму или электронный газ .

Квадраты функций Бесселя

Интегрирование пропагатора в цилиндрических координатах имеет вид

$$\int _{0}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr)=I_{1}(mr)K_{1}(mr).$$

Для малых m интеграл принимает вид

$$\int _{o}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr)\to {1 \over 2}\left[1-{1 \over 8}(mr)^{2}\right].$$

Для больших m интеграл становится

$$\int _{o}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{1}^{2}(kr)\to {1 \over 2}\left({1 \over mr}\right).$$

Для применения этого интеграла см. Магнитное взаимодействие между токовыми петлями в простой плазме или электронном газе .

В общем,

$$\int _{0}^{\infty }{k\;dk \over k^{2}+m^{2}}J_{\nu }^{2}(kr)=I_{\nu }(mr)K_{\nu }(mr)\qquad \Re (\nu )>-1.$$

Интегрирование по магнитно-волновой функции

Двумерный интеграл по магнитной волновой функции равен

$${2a^{2n+2} \over n!}\int _{0}^{\infty }{dr}\;r^{2n+1}\exp \left(-a^{2}r^{2}\right)J_{0}(kr)=M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 4a^{2}}\right).$$

Здесь M — вырожденная гипергеометрическая функция . Для применения этого интеграла см. Распространение плотности заряда по волновой функции .

См. также

• Связь между уравнением Шредингера и формулировкой квантовой механики, основанной на интеграле по путям.