Постоянная Планка

Чтобы узнать о законе излучения черного тела, см. закон Планка .

Постоянная Планка
Общие символы	$h$
И объединились	джоуль на герц (джоуль секунды)
Другие подразделения	электронвольт на герц (электронвольт-секунды)
В базовых единицах СИ	кг м 2 с −1
Измерение	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}$
Ценить	6.626 070 15 × 10 −34  J⋅Hz −1 4.135 667 696 ... × 10 −15  eV⋅Hz −1

Приведенная постоянная Планка
Общие символы	$\hbar$
И объединились	джоуль-секунды
Другие подразделения	электронвольт-секунды
В базовых единицах СИ	кг м 2 с −1
Выводы из другие количества	$\hbar {=}h/(2\pi )$
Измерение	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}$
Ценить	1.054 571 817 ... × 10 −34  J⋅s 6.582 119 569 ... × 10 −16  eV⋅s

, Постоянная Планка или постоянная Планка , обозначаемая ${\textstyle h}$, фундаментальная физическая константа имеет основополагающее значение в квантовой механике : энергия фотона равна его частоте , умноженной на постоянную Планка, а длина равна волны материи постоянной Планка, разделенной на импульс соответствующей частицы.

Константа была постулирована Максом Планком в 1900 году как константа пропорциональности, необходимая для объяснения экспериментального черного тела . излучения Позже Планк назвал эту константу «квантом действия ». В 1905 году Альберт Эйнштейн связал «квант» или минимальный элемент энергии с самой электромагнитной волной. Макс Планк получил Нобелевскую премию по физике 1918 года «в знак признания заслуг, которые он оказал развитию физики открытием квантов энергии».

В метрологии постоянная Планка используется вместе с другими константами для определения килограмма , СИ . единицы массы Единицы СИ определены таким образом, что, когда постоянная Планка выражается в единицах СИ, она имеет точное значение $h$ = 6.626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ⁻¹ .

История

Происхождение константы

Основная статья: закон Планка

Мемориальная доска в Берлинском университете имени Гумбольдта : «Макс Планк, открывший элементарный квант действия h , преподавал здесь с 1889 по 1928 год».

Интенсивность света, излучаемого черным телом . Каждая кривая представляет поведение при различных температурах тела. Константа Планка h используется для объяснения формы этих кривых.

Постоянная Планка была сформулирована как часть успешной попытки Макса Планка создать математическое выражение, которое точно предсказывало бы наблюдаемое спектральное распределение теплового излучения закрытой печи ( излучение черного тела ). Это математическое выражение теперь известно как закон Планка.

В последние годы XIX века Макс Планк исследовал проблему излучения черного тела, впервые поставленную Кирхгофом примерно 40 лет назад. Каждое физическое тело самопроизвольно и непрерывно излучает электромагнитное излучение . Не было никакого выражения или объяснения общей формы наблюдаемого спектра излучения. В то время закон Вина соответствовал данным для коротких волн и высоких температур, но не подходил для длинных волн. Примерно в это же время, но без ведома Планка, лорд Рэлей теоретически вывел формулу, теперь известную как закон Рэлея-Джинса , которая могла разумно предсказывать длинные волны, но потерпела полную неудачу на коротких длинах волн.

Подходя к этой проблеме, Планк предположил, что уравнения движения света описывают набор гармонических осцилляторов , по одному на каждую возможную частоту. Он исследовал, как энтропия осцилляторов меняется в зависимости от температуры тела, пытаясь соответствовать закону Вина, и смог вывести приблизительную математическую функцию для спектра черного тела: что дало простую эмпирическую формулу для длинных волн.

Планк пытался найти математическое выражение, которое могло бы воспроизвести закон Вина (для коротких длин волн) и эмпирическую формулу (для длинных волн). Это выражение включало константу, $h$, который, как предполагается, относится к Hilfsgrösse (вспомогательная переменная), и впоследствии стала известна как постоянная Планка. Выражение, сформулированное Планком, показало, что спектральная яркость тела для частоты ν при абсолютной температуре T определяется выражением

$B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}$,

где $k_{\text{B}}$ — постоянная Больцмана , $h$ – постоянная Планка, а $c$ это скорость света в среде, будь то материал или вакуум.

Спектральное сияние тела, $B_{\nu }$, описывает количество энергии, которую он излучает на разных частотах излучения. Это мощность, излучаемая на единицу площади тела, на единицу телесного угла излучения, на единицу частоты. Спектральную яркость также можно выразить на единицу длины волны. $\lambda$вместо на единицу частоты. В данном случае оно определяется

$B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}$,

показывая, как излучаемая энергия, излучаемая на более коротких волнах, увеличивается с температурой быстрее, чем энергия, излучаемая на более длинных волнах.

Закон Планка также можно выразить в других терминах, например, в количестве фотонов, испускаемых на определенной длине волны, или в плотности энергии в объеме излучения. СИ Единицы ​ $B_{\nu }$ W ​ · ср ⁻¹ · м ⁻² · Гц ⁻¹ , в то время как те из $B_{\lambda }$ являются W·sr ⁻¹ ·м ⁻³ .

Планк вскоре понял, что его решение не уникально. Было несколько разных решений, каждое из которых давало разное значение энтропии осцилляторов. Чтобы спасти свою теорию, Планк прибегнул к использованию спорной в то время теории статистической механики . который он назвал «актом отчаяния». Одним из его новых граничных условий было

интерпретировать U _N [ колебательную энергию N осцилляторов ] не как непрерывную, бесконечно делимую величину, а как дискретную величину, состоящую из целого числа конечных равных частей. Назовем каждую такую ​​часть элементом энергии ε;

- Планк, О законе распределения энергии в нормальном спектре.

При этом новом условии Планк наложил квантование энергии осцилляторов, «чисто формальное предположение… на самом деле я особо об этом не задумывался…» по его собственным словам: но тот, который произвел бы революцию в физике. Применение этого нового подхода к закону смещения Вина показало, что «элемент энергии» должен быть пропорционален частоте осциллятора, что является первой версией того, что сейчас иногда называют « соотношением Планка-Эйнштейна »:

$E=hf.$

Планк смог вычислить величину $h$ из экспериментальных данных по излучению черного тела: его результат 6,55 × 10 ⁻³⁴ Дж⋅с находится в пределах 1,2% от текущего определенного значения. Он также впервые определил постоянную Больцмана. $k_{\text{B}}$ на основе тех же данных и теории.

Наблюдаемые кривые Планка при разных температурах и расхождение теоретической кривой Рэлея – Джинса (черная) от наблюдаемой кривой Планка при 5000 К.

Разработка и применение

К проблеме черного тела вновь обратились в 1905 году, когда лорд Рэлей и Джеймс Джинс (с одной стороны) и Альберт Эйнштейн (с другой стороны) независимо друг от друга доказали, что классический электромагнетизм никогда не сможет объяснить наблюдаемый спектр. Эти доказательства широко известны как « ультрафиолетовая катастрофа » — название, придуманное Паулем Эренфестом в 1911 году. Они внесли большой вклад (наряду с работой Эйнштейна по фотоэлектрическому эффекту ) в убеждение физиков в том, что постулат Планка о квантованных уровнях энергии был чем-то большим, чем просто математическим утверждением. формализм. Первая Сольвеевская конференция 1911 г. была посвящена «теории излучения и квантов».

Фотоэлектрический эффект

Основная статья: Фотоэлектрический эффект

Фотоэлектрический эффект — это эмиссия электронов (так называемых «фотоэлектронов») с поверхности при освещении ее светом. Впервые его наблюдал Александр Эдмон Беккерель в 1839 году, хотя обычно заслуга принадлежит Генриху Герцу . который опубликовал первое тщательное расследование в 1887 году. Другое особенно тщательное исследование было опубликовано Филиппом Ленардом (Ленар Фюлёп) в 1902 году. Статья Эйнштейна 1905 года обсуждение этого эффекта с точки зрения квантов света принесло бы ему Нобелевскую премию в 1921 году. после того, как его предсказания были подтверждены экспериментальной работой Роберта Эндрюса Милликена . Нобелевский комитет присудил премию за работу по фотоэлектрическому эффекту, а не за теорию относительности, как из-за предвзятого отношения к чисто теоретической физике, не основанной на открытиях или экспериментах, так и из-за разногласий среди его членов относительно фактического доказательства реальности теории относительности. .

До появления статьи Эйнштейна считалось, что электромагнитное излучение, такое как видимый свет, ведет себя как волна: отсюда и использование терминов «частота» и «длина волны» для характеристики различных типов излучения. Энергия, передаваемая волной за данное время, называется ее интенсивностью . Свет театрального прожектора более яркий , чем свет домашней лампочки; иными словами, прожектор выделяет больше энергии в единицу времени и на единицу пространства (и, следовательно, потребляет больше электроэнергии), чем обычная лампочка, даже если цвет света может быть очень похожим. Другие волны, такие как звуковые волны или волны, разбивающиеся о береговую линию, также имеют свою интенсивность. Однако энергетический учет фотоэлектрического эффекта, похоже, не согласовывался с волновым описанием света.

«Фотоэлектроны», испускаемые в результате фотоэффекта, обладают определенной кинетической энергией , которую можно измерить. Эта кинетическая энергия (для каждого фотоэлектрона) не зависит от интенсивности света. но зависит линейно от частоты; и если частота слишком низкая (соответствует энергии фотонов, которая меньше работы выхода материала), фотоэлектроны вообще не испускаются, за исключением множества фотонов, энергетическая сумма которых больше, чем энергия фотоэлектронов, действует практически одновременно (многофотонный эффект). Предполагая, что частота достаточно высока, чтобы вызвать фотоэлектрический эффект, увеличение интенсивности источника света приводит к испусканию большего количества фотоэлектронов с той же кинетической энергией, а не к испусканию того же количества фотоэлектронов с более высокой кинетической энергией.

Объяснение Эйнштейном этих наблюдений заключалось в том, что свет сам по себе квантуется; что энергия света не передается непрерывно, как в классической волне, а только небольшими «пакетами» или квантами. Размер этих «пакетов» энергии, которые позже будут названы фотонами , должен был быть таким же, как «энергетический элемент» Планка, что дает современную версию соотношения Планка-Эйнштейна:

$E=hf.$

Позднее экспериментально был доказан постулат Эйнштейна: константа пропорциональности между частотой падающего света $f$ и кинетическая энергия фотоэлектронов $E$ было показано, что он равен постоянной Планка $h$.

Атомная структура

Основная статья: модель Бора

Схематизация модели атома водорода Бора. Показанный переход с уровня n = 3 на уровень n = 2 приводит к появлению видимого света с длиной волны 656 нм (красный), как и предсказывает модель.

В 1912 году Джон Уильям Николсон разработал атомную модель и обнаружил, что угловые моменты электронов в модели связаны соотношением h /2 π . Ядерная квантовая атомная модель Николсона повлияла на развитие Нильса Бора . атомной модели и Бор процитировал его в своей статье 1913 года о модели атома Бора. Модель Бора вышла за рамки абстрактной концепции гармонического осциллятора Планка: электрон в атоме Бора мог иметь только определенные определенные энергии. $E_{n}$

$E_{n}=-{\frac {hcR_{\infty }}{n^{2}}},$

где $c$ скорость света в вакууме, $R_{\infty }$ — экспериментально определенная константа ( константа Ридберга ) и $n\in \{1,2,3,...\}$. Этот подход также позволил Бору объяснить формулу Ридберга , эмпирическое описание атомного спектра водорода, и объяснить значение константы Ридберга. $R_{\infty }$в терминах других фундаментальных констант. При обсуждении углового момента электронов в своей модели Бор ввел величину ${\frac {h}{2\pi }}$, теперь известная как приведенная постоянная Планка как квант углового момента .

Принцип неопределенности

Основная статья: Принцип неопределенности

Постоянная Планка также встречается в формулировках Вернера Гейзенберга принципа неопределенности . Учитывая многочисленные частицы, приготовленные в одном и том же состоянии, неопределенность в их положении $\Delta x$и неопределенность в их импульсе, $\Delta p_{x}$, подчиняться

$\Delta x\,\Delta p_{x}\geq {\frac {\hbar }{2}},$

где неопределенность выражается как стандартное отклонение измеренного значения от его ожидаемого значения . Есть еще несколько таких пар физически измеримых сопряженных переменных , которые подчиняются аналогичному правилу. Одним из примеров является время и энергия. Обратная зависимость между неопределенностью двух сопряженных переменных приводит к компромиссу в квантовых экспериментах, поскольку более точное измерение одной величины приводит к тому, что другая становится неточной.

В дополнение к некоторым предположениям, лежащим в основе интерпретации определенных значений в квантово-механической формулировке, один из фундаментальных краеугольных камней всей теории лежит в коммутаторном соотношении между оператором положения ${\hat {x}}$ и оператор импульса ${\hat {p}}$:

$[{\hat {p}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=-i\hbar \delta _{ij},$

где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

Энергия фотонов

связывает Соотношение Планка конкретную энергию фотона E с соответствующей волновой частотой f :

$E=hf.$

Эта энергия чрезвычайно мала по сравнению с обычно воспринимаемыми повседневными объектами.

Поскольку частота f , длина волны λ и скорость света c связаны соотношением $f={\frac {c}{\lambda }}$, отношение также можно выразить как

$E={\frac {hc}{\lambda }}.$

Бройля

В 1923 году Луи де Бройль обобщил соотношение Планка-Эйнштейна, постулировав, что постоянная Планка представляет собой пропорциональность между импульсом и квантовой длиной волны не только фотона, но и квантовой длины волны любой частицы. Вскоре это было подтверждено экспериментами. Это справедливо для всей квантовой теории, включая электродинамику . Длина волны де Бройля λ частицы определяется выражением

$\lambda ={\frac {h}{p}},$

где p обозначает линейный импульс частицы, например фотона или любой другой элементарной частицы .

Энергия фотона с угловой частотой ω = 2 πf определяется выражением

$E=\hbar \omega ,$

в то время как его линейный импульс относится к

$p=\hbar k,$

где k — угловое волновое число .

Эти два отношения являются временной и пространственной частями специального релятивистского выражения с использованием 4-векторов .

$P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right).$

Статистическая механика

Классическая статистическая механика требует существования h (но не определяет его значение). В конце концов, после открытия Планка, было высказано предположение, что физическое действие не может принимать произвольное значение, а вместо этого ограничивается целыми числами, кратными очень малой величине, «[элементарному] кванту действия», который теперь называется постоянной Планка . Это была значительная концептуальная часть так называемой « старой квантовой теории », разработанной физиками, включая Бора , Зоммерфельда и Ишивары , в которой траектории частиц существуют, но скрыты , но квантовые законы ограничивают их на основе их действия. На смену этой точке зрения пришла вполне современная квантовая теория, в которой даже не существует определенных траекторий движения; скорее, частица представлена ​​волновой функцией, распространенной в пространстве и во времени. С этим связана концепция квантования энергии, которая существовала в старой квантовой теории, а также существует в измененной форме в современной квантовой физике. Классическая физика не может объяснить квантование энергии.

Размер и значение

Постоянная Планка имеет те же размерности, что и действие и угловой момент . В единицах СИ постоянная Планка выражается в единицах джоулей на герц (Дж⋅Гц ⁻¹ ) или джоуль-секунда (Дж⋅с).

$h$ = 6.626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ⁻¹

$\hbar ={h \over 2\pi }$ = 1.054 571 817 ... × 10 ⁻³⁴  J⋅s = 6.582 119 569 ... × 10 ⁻¹⁶  eV⋅s .

Вышеуказанные значения были приняты как фиксированные в переопределении базовых единиц СИ в 2019 году .

С 2019 года числовое значение постоянной Планка фиксировано и имеет конечное десятичное представление. Это фиксированное значение используется для определения единицы массы СИ, килограмма : «килограмм [...] определяется путем принятия фиксированного числового значения h равного 6,626 070 15 × 10. ⁻³⁴ если выразить в единице Дж⋅с, что равно кг⋅м ² ⋅s ⁻¹ , где метр и секунда определяются через скорость света c и длительность сверхтонкого перехода основного состояния невозмущенного цезия-133 атома Δ ν _Cs ». Технологии массовой метрологии , такие как мера баланса Киббла, уточняют значение килограмма, применяя фиксированное значение постоянной Планка.

Значение значения

Константа Планка — одна из наименьших констант, используемых в физике. Это отражает тот факт, что в масштабе, адаптированном для людей, где энергия типична порядка килоджоулей, а время типично порядка секунд или минут, постоянная Планка очень мала. Когда произведение энергии и времени физического события приближается к постоянной Планка, доминируют квантовые эффекты.

Аналогичным образом, порядок постоянной Планка отражает тот факт, что повседневные объекты и системы состоят из большого количества микроскопических частиц. Например, в зеленом свете (с длиной волны 555 нанометров или частотой 540 ТГц ) каждый фотон имеет энергию E = hf = 3,58 × 10 ⁻¹⁹ Дж . Это очень небольшое количество энергии с точки зрения повседневного опыта, но повседневный опыт касается отдельных фотонов не больше, чем отдельных атомов или молекул. Количество света, более типичное для повседневного опыта (хотя и намного большее, чем наименьшее количество, воспринимаемое человеческим глазом), равно энергии одного моля фотонов; его энергию можно вычислить, умножив энергию фотона на постоянную Авогадро , N _A = 6,022 140 76 × 10 ²³ моль ⁻¹ , с результатом 216 кДж , о пищевой энергии в трёх яблоках.

Приведенная постоянная Планка ℏ

Во многих приложениях постоянная Планка ${\textstyle h}$ естественно появляется в сочетании с ${\textstyle 2\pi }$ как ${\textstyle h/(2\pi )}$, что можно объяснить тем, что в этих приложениях естественно использовать угловую частоту (в радианах в секунду), а не простую частоту (в циклах в секунду или герцах ). По этой причине часто бывает полезно включить этот коэффициент 2 π в постоянную Планка, введя приведенную постоянную Планка. (или уменьшенная постоянная Планка ), равная постоянной Планка, разделенной на ${\textstyle 2\pi }$ и обозначается ${\textstyle \hbar }$ (произносится как х-бар ).

Многие из наиболее важных уравнений, соотношений, определений и результатов квантовой механики обычно записываются с использованием приведенной постоянной Планка. ${\textstyle \hbar }$ а не постоянная Планка ${\textstyle h}$, включая уравнение Шредингера , оператор импульса , каноническое коммутационное соотношение , принцип неопределенности Гейзенберга и единицы Планка .

Фундаментальные уравнения выглядят проще, если записать их с помощью ${\textstyle \hbar }$ в отличие от ${\textstyle h}$, и это обычно ${\textstyle \hbar }$ скорее, чем ${\textstyle h}$это дает наиболее надежные результаты при использовании оценок порядка величины . Например, используя анализ размерностей для оценки энергии ионизации атома водорода, соответствующие параметры, определяющие энергию ионизации, ${\textstyle E_{\text{i}}}$ масса электрона ${\textstyle m_{\text{e}}}$, заряд электрона ${\textstyle e}$, и либо постоянная Планка ${\textstyle h}$ или приведенная постоянная Планка ${\textstyle \hbar }$:

$$E_{\text{i}}\propto m_{\text{e}}e^{4}/h^{2}\ {\text{or}}\ \propto m_{\text{e}}e^{4}/\hbar ^{2}$$

Поскольку обе константы имеют одинаковые размерности, они войдут в анализ размерностей одинаково, но с ${\textstyle \hbar }$ оценка находится в пределах двух раз, тогда как при ${\textstyle h}$ ошибка ближе к ${\textstyle (2\pi )^{2}\approx 40}$.

Имена

Приведенная константа Планка известна под многими другими названиями: рационализированная константа Планка. (или рационализировать постоянную Планка , Дирака постоянная (или постоянная Дирака ), Дирак ${\textstyle h}$ (или Дирака ${\textstyle h}$ ), Дирак ${\textstyle \hbar }$ (или Дирака ${\textstyle \hbar }$ ) и h-бар . Об этом также часто упоминают ${\textstyle \hbar }$ как «постоянная Планка» сохраняя при этом отношения ${\textstyle \hbar =h/(2\pi )}$.

Символы

На сегодняшний день наиболее распространенным обозначением приведенной постоянной Планка является ${\textstyle \hbar }$. Однако в некоторых источниках это обозначается как ${\textstyle h}$ вместо этого, и в этом случае они обычно называют его «Диракским ${\textstyle h}$" (или «Дирака ${\textstyle h}$" ).

История

Комбинация ${\textstyle h/(2\pi )}$ появилось в Нильса Бора 1913 года. статье где это обозначалось ${\textstyle M_{0}}$. В течение следующих 15 лет эта комбинация продолжала появляться в литературе, но обычно без отдельного символа. Затем, в 1926 году, в своих основополагающих статьях Шредингер и Дирак снова ввели для него специальные символы: ${\textstyle K}$ в случае со Шрёдингером, и ${\textstyle h}$ в случае Дирака. Дирак продолжал использовать ${\textstyle h}$ таким образом до 1930 г. когда он ввел символ ${\textstyle \hbar }$ в своей книге «Принципы квантовой механики» .

См. также

• Комитет по данным Международного научного совета
• Международная система единиц
• Введение в квантовую механику
• Список ученых, имена которых используются в физических константах
• Планковские единицы
• Корпускулярно-волновой дуализм

Ссылки

Источники

• Барроу, Джон Д. (2002), Константы природы; От альфы до омеги - числа, которые кодируют глубочайшие тайны Вселенной , Pantheon Books, ISBN  978-0-375-42221-8

Внешние ссылки

• «Роль постоянной Планка в физике» - презентация на 26-м заседании CGPM в Версале, Франция, в ноябре 2018 г., когда состоялось голосование.
• «Константа Планка и ее единицы» – презентация на 35-м симпозиуме по химической физике в Университете Ватерлоо, Ватерлоо, Онтарио, Канада, 3 ноября 2019 г.