Оператор импульса

В квантовой механике оператор импульса — это оператор, связанный с линейным импульсом . Оператор импульса в позиционном представлении является примером дифференциального оператора . Для случая одной частицы в одном пространственном измерении определение следующее:

$${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$$

где ħ — приведенная константа Планка , i — , мнимая единица измерения x — пространственная координата и частная производная (обозначается $\partial /\partial x$) используется вместо полной производной ( d / dx ), поскольку волновая функция также является функцией времени. «Шляпа» указывает на оператора. «Применение» оператора дифференцируемой волновой функции заключается в следующем:

$${\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}$$

В базисе гильбертова пространства, состоящем из собственных состояний импульса , выраженных в представлении импульса, действие оператора представляет собой простое умножение на p , т. е. это оператор умножения , точно так же, как оператор положения является оператором умножения в представлении положения. Обратите внимание, что приведенное выше определение представляет собой канонический импульс , который не является калибровочным инвариантом и не является измеримой физической величиной для заряженных частиц в электромагнитном поле . В этом случае канонический импульс не равен кинетическому импульсу .

Во время разработки квантовой механики в 1920-х годах оператор импульса был открыт многими физиками-теоретиками, в том числе Нильсом Бором , Арнольдом Зоммерфельдом , Эрвином Шрёдингером и Юджином Вигнером . Его существование и форму иногда принимают за один из основополагающих постулатов квантовой механики.

де

Операторы импульса и энергии можно построить следующим образом.

Одно измерение

Начиная с одного измерения, используя в виде плоских волн решение уравнения Шредингера для одной свободной частицы :

$$\psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},$$

где p интерпретируется как импульс в направлении x , а E — энергия частицы. Частная производная первого порядка по пространству равна

$${\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .$$

Отсюда следует операторная эквивалентность

$${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$$

таким образом, импульс частицы и значение, которое измеряется, когда частица находится в состоянии плоской волны, являются собственным значением вышеуказанного оператора.

Поскольку частная производная является линейным оператором , оператор импульса также является линейным, и поскольку любая волновая функция может быть выражена как суперпозиция других состояний, когда этот оператор импульса действует на всю наложенную волну, он дает собственные значения импульса для каждой плоскости. волновая составляющая. Эти новые компоненты затем накладываются друг на друга, образуя новое состояние, обычно не кратное старой волновой функции.

Три измерения

Вывод в трех измерениях тот же, за исключением того, оператор градиента del что вместо одной частной производной используется . В трех измерениях решение уравнения Шредингера в виде плоской волны имеет вид:

$$\psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}$$

и градиент

$${\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{aligned}}$$

где e _x , e _y и e _z — единичные векторы для трех пространственных измерений, следовательно,

$$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$$

Этот оператор импульса находится в пространстве позиций, поскольку частные производные были взяты по пространственным переменным.

Определение (позиционное пространство)

См. Также: Пространство положения и импульса.

Для одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор импульса может быть записан в базисе позиций как:

$$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$$

где ∇ — оператор градиента , ħ — приведенная постоянная Планка , а i — мнимая единица .

В одном пространственном измерении это становится

$${\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.$$

Это выражение для канонического импульса . Для заряженной частицы q в электромагнитном поле во время калибровочного преобразования позиционного пространства волновая функция претерпевает локальное U(1) : групповое преобразование и ${\textstyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$ изменит свое значение. Следовательно, канонический импульс не является калибровочным инвариантом и, следовательно, не является измеримой физической величиной.

Кинетический импульс , калибровочно-инвариантная физическая величина, может быть выражен через канонический импульс, скалярный потенциал   φ и векторный потенциал   A :

$$\mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$$

Выражение выше называется минимальной связью . Для электрически нейтральных частиц канонический импульс равен кинетическому импульсу.

Свойства

Эрмитаж

Оператор импульса всегда является эрмитовым оператором (более технически, в математической терминологии, «самосопряженным оператором»), когда он действует на физические (в частности, нормализуемые ) квантовые состояния.

(В некоторых искусственных ситуациях, таких как квантовые состояния на полубесконечном интервале [0, ∞) , невозможно сделать оператор импульса эрмитовым. Это тесно связано с тем фактом, что полубесконечный интервал не может обладать трансляционной симметрией, точнее, у него нет унитарных операторов сдвига . См . ниже .)

Каноническое

Дополнительная информация: Каноническое коммутационное соотношение.

Применяя коммутатор к произвольному состоянию в базисе положения или импульса, можно легко показать, что:

$$\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .$$

Принцип Гейзенберга неопределенности определяет пределы того, насколько точно могут быть известны одновременно импульс и положение одной наблюдаемой системы. В квантовой механике положение и импульс являются сопряженными переменными .

Преобразование Фурье

В следующем обсуждении используется обозначение Брекета . Можно написать

$$\psi (x)=\langle x|\psi \rangle =\int \!\!dp~\langle x|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \!\!dp~{e^{ixp/\hbar }{\tilde {\psi }}(p) \over {\sqrt {2\pi \hbar }}},$$

таким образом, тильда представляет преобразование Фурье при преобразовании из координатного пространства в импульсное. Тогда утверждается, что

$${\hat {p}}=\int \!\!dp~|p\rangle p\langle p|=-i\hbar \int \!\!dx~|x\rangle {\frac {d}{dx}}\langle x|~,$$

то есть импульс, действующий в координатном пространстве, соответствует пространственной частоте,

$$\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x).$$

Аналогичный результат применим для оператора положения в базисе импульса:

$$\langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p),$$

ведущие к дальнейшим полезным отношениям,

$$\langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (p-p'),$$

$$\langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (x-x'),$$

где δ обозначает дельта-функцию Дирака .

Вывод из бесконечно малых переводов

Смотрите также: теорема Нётер и теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах.

Оператор перевода обозначается T ( ε ) , где ε представляет длину перевода. Он удовлетворяет следующему тождеству:

$$T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle$$

это становится

$$\int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )$$

что функция ψ аналитична Предполагая , (т.е. дифференцируема в некоторой области комплексной плоскости ), ее можно разложить в ряд Тейлора относительно x :

$$\psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}$$

поэтому для бесконечно малых значений ε :

$$T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)$$

Как известно из классической механики , импульс является генератором перемещения , поэтому связь между операторами перемещения и импульса равна :

$$T(\varepsilon )=1-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {p}}$$

таким образом

$${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}.$$

4-моментный оператор

Вставка приведенного выше оператора 3d-импульса и оператора энергии в 4-импульс (как 1-форма с (+ - - -) метрической сигнатурой ):

$$P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)$$

получает оператор 4-импульса :

$${\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }$$

где ∂ _µ — 4-градиент , а − iħ   становится + iħ,   предшествующим оператору 3-импульса. Этот оператор встречается в релятивистской квантовой теории поля , такой как уравнение Дирака и другие релятивистские волновые уравнения , поскольку энергия и импульс объединяются в приведенный выше вектор 4-импульса, операторы импульса и энергии соответствуют производным по пространству и времени, и они должны быть сначала порядка частные производные для лоренц-ковариации .

Оператор Дирака и косая черта Дирака 4-импульса задаются путем сжатия гамма-матриц :

$$\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i\hbar \partial \!\!\!/$$

Если бы подпись была (− + + +) , оператор был бы

$${\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }$$

вместо.

См. также

• Математические описания электромагнитного поля
• Оператор перевода (квантовая механика)
• Релятивистские волновые уравнения
• Псевдовектор Паули – Любанского