Jump to content

Сопряженные переменные

Сопряженные переменные — это пары переменных, математически определенные таким образом, что они становятся преобразованиями Фурье двойственными . [1] [2] или, в более общем смысле, связаны через двойственность Понтрягина . Отношения двойственности естественным образом приводят к соотношению неопределенности — в физике называемому принципом неопределенности Гейзенберга — между ними. В математических терминах сопряженные переменные являются частью симплектического базиса , а отношение неопределенности соответствует симплектической форме . Кроме того, сопряженные переменные связаны теоремой Нётер , которая утверждает, что если законы физики инвариантны относительно изменения одной из сопряженных переменных, то другая сопряженная переменная не будет меняться со временем (т.е. будет сохраняться).

Существует много типов сопряженных переменных, в зависимости от типа работы, которую выполняет (или которой подвергается) определенная система. Примеры канонически сопряженных переменных включают следующее:

  • Время и частота : чем дольше сохраняется музыкальная нота, тем точнее мы знаем ее частоту, но она охватывает большую продолжительность и, таким образом, является более распределенным событием или «мгновением» во времени. И наоборот, очень короткая музыкальная нота становится просто щелчком и поэтому более локализована во времени, но невозможно очень точно определить ее частоту. [3]
  • Допплер и дальность : чем больше мы знаем о том, как далеко находится радиолокационная цель, тем меньше мы можем знать о точной скорости приближения или отступления, и наоборот. В этом случае двумерная функция доплера и дальности известна как функция радиолокационной неоднозначности или диаграмма радиолокационной неоднозначности .
  • Поверхностная энергия: γ d A ( γ = поверхностное натяжение ; A = площадь поверхности).
  • Упругое растяжение: F d L ( F = сила упругости; L длина в растянутом состоянии).
  • Энергия и время: единицы измерения будучи кг

Производные действия

[ редактировать ]

В классической физике производные действия — это переменные, сопряженные с величиной, по которой производится дифференцирование. В квантовой механике эти же пары переменных связаны принципом неопределенности Гейзенберга .

Квантовая теория

[ редактировать ]

В квантовой механике сопряженные переменные реализуются как пары наблюдаемых, операторы которых не коммутируют. В общепринятой терминологии их называют несовместимыми наблюдаемыми . Рассмотрим в качестве примера измеримые величины, заданные позицией и импульс . В квантовомеханическом формализме две наблюдаемые и соответствуют операторам и , которые обязательно удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению :

Для каждого ненулевого коммутатора двух операторов существует «принцип неопределенности», который в нашем рассматриваемом примере может быть выражен в виде:

В этом нечетком обозначении и обозначают «неопределенность» в одновременной спецификации и . Более точное и статистически полное утверждение, касающееся стандартного отклонения. читает:

В более общем смысле, для любых двух наблюдаемых и соответствующие операторам и , обобщенный принцип неопределенности определяется следующим образом:

Теперь предположим, что нам нужно было явно определить два конкретных оператора, присвоив каждому определенную математическую форму, так чтобы пара удовлетворяла вышеупомянутому коммутационному соотношению. Важно помнить, что наш конкретный «выбор» операторов будет просто отражать одно из многих эквивалентных или изоморфных представлений общей алгебраической структуры, которая фундаментально характеризует квантовую механику. Обобщение формально обеспечивается алгеброй Ли Гейзенберга , с соответствующей группой, называемой группой Гейзенберга .

Гидравлическая механика

[ редактировать ]

В гамильтоновой механике жидкости и квантовой гидродинамике ( само действие или потенциал скорости ) является сопряженной переменной плотности ( или плотности вероятности ).

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ «Гейзенберг - Квантовая механика, 1925–1927: соотношения неопределенностей» . Архивировано из оригинала 22 декабря 2015 г. Проверено 7 августа 2010 г.
  2. ^ Ялмарс, С. (1962). «Некоторые замечания о времени и энергии как сопряженных переменных» . Иль Нуово Чименто . 25 (2): 355–364. Бибкод : 1962NCim...25..355H . дои : 10.1007/BF02731451 . S2CID   120008951 .
  3. ^ Манн, С.; Хайкин, С. (ноябрь 1995 г.). «Преобразование чирплета: физические соображения» (PDF) . Транзакции IEEE по обработке сигналов . 43 (11): 2745–2761. Бибкод : 1995ITSP...43.2745M . дои : 10.1109/78.482123 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3d1623fa9edab19f06a3cbb9f91d4638__1718783220
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/3d/38/3d1623fa9edab19f06a3cbb9f91d4638.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Conjugate variables - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)