Быстрота

Быстрота — это значение artanh( v / c ) для скорости v и скорости света c.

Быстрота является мерой релятивистской скорости . Для одномерного движения быстроты аддитивны. Эйнштейна Однако скорости должны быть объединены по формуле сложения скоростей . Для низких скоростей быстрота и скорость почти точно пропорциональны, но для более высоких скоростей быстрота принимает большее значение, при этом скорость света бесконечна.

Математически скорость можно определить как гиперболический угол , который различает две системы отсчета в относительном движении, причем каждая система координат связана с координатами расстояния и времени .

Используя обратную гиперболическую функцию artanh , скорость w, соответствующая скорости v , равна w = artanh( v / c ) , где c — скорость света. Для низких скоростей w примерно равно v / c . Поскольку в теории относительности любая скорость v ограничена интервалом − c < v < c, отношение v / c удовлетворяет условию −1 < v / c < 1 . Обратный гиперболический тангенс имеет единичный интервал (−1, 1) для своей области определения и всю действительную линию для своего образа ; то есть интервал − c < v < c отображается на −∞ < w < ∞ .

История

В 1908 году Герман Минковский объяснил, что преобразование Лоренца можно рассматривать как просто гиперболический поворот координат пространства-времени , то есть поворот на воображаемый угол. Таким образом, этот угол представляет собой (в одном пространственном измерении) простую аддитивную меру скорости между кадрами. Параметр быстроты, заменяющий скорость, был введен в 1910 году Владимиром Варичаком. и Э. Т. Уиттакер . Параметр был назван быстротой Альфредом Роббом (1911). и этот термин был принят многими последующими авторами, такими как Людвик Зильберштейн (1914), Фрэнк Морли (1936) и Вольфганг Риндлер (2001).

Площадь гиперболического сектора

Квадратура де гиперболы xy = 1 Грегуара Сен-Венсана установила натуральный логарифм как площадь гиперболического сектора или эквивалентную площадь относительно асимптоты. В теории пространства-времени связь событий посредством света делит Вселенную на Прошлое, Будущее или Где-то еще на основе Здесь и Сейчас. . На любой линии в пространстве луч света может быть направлен влево или вправо. Возьмите ось X как события, передаваемые правым лучом, а ось Y как события левого луча. Тогда покоящаяся система координат имеет время вдоль диагонали x = y . Прямоугольную гиперболу xy = 1 можно использовать для измерения скоростей (в первом квадранте). Нулевая скорость соответствует (1,1). Любая точка гиперболы имеет координаты светового конуса. $(e^{w},\ e^{-w})$где w — быстрота и равна площади гиперболического сектора от (1,1) до этих координат. Вместо этого многие авторы ссылаются на единичную гиперболу. $x^{2}-y^{2},$используя быстроту в качестве параметра, как в стандартной диаграмме пространства-времени . Там оси измеряются часами и метрами, более привычными критериями и основой теории пространства-времени. Таким образом, определение быстроты как гиперболического параметра лучевого пространства является эталоном. к происхождению в семнадцатом веке наших драгоценных трансцендентальных функций и дополнению к построению диаграмм пространства-времени.

Повышение Лоренца

Быстрота w возникает в линейном представлении повышения Лоренца как векторно-матричного произведения

$${\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}.$$

Матрица Λ ( w ) имеет тип ${\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}$ где p и q удовлетворяют p ² – д ² = 1 , так что ( p , q ) лежит на единичной гиперболе . Такие матрицы образуют неопределенную ортогональную группу O (1,1) с одномерной алгеброй Ли, натянутой на антидиагональную единичную матрицу, что показывает, что быстрота является координатой в этой алгебре Ли. Это действие можно изобразить в виде пространственно-временной диаграммы . В матричной экспоненциальной записи Λ ( w ) можно выразить как $\mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}$, где Z — отрицательная антидиагональная единичная матрица

$$\mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.$$

Нетрудно доказать, что

$$\mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2}).$$

Это устанавливает полезное аддитивное свойство быстроты: если A , B и C — системы отсчета , то

$$w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}$$

где w _PQ обозначает быстроту системы отсчета Q отсчета P. относительно системы Простота этой формулы контрастирует со сложностью соответствующей формулы сложения скоростей .

Как мы видим из приведенного выше преобразования Лоренца, фактор Лоренца отождествляется с cosh w

$$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w,$$

поэтому быстрота w неявно используется как гиперболический угол в выражениях преобразования Лоренца с использованием γ и β . Мы связываем быстроты с формулой сложения скоростей

$$u={\frac {u_{1}+u_{2}}{1+{\frac {u_{1}u_{2}}{c^{2}}}}}$$

признав

$$\beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}$$

и так

$$\tanh w={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}=\tanh(w_{1}+w_{2})$$

Правильное ускорение (ускорение, «ощущаемое» ускоряемым объектом) — это скорость изменения скорости по отношению к собственному времени (времени, измеренному самим объектом, подвергающимся ускорению). Следовательно, скорость объекта в данной системе отсчета можно рассматривать просто как скорость этого объекта, которая была бы рассчитана нерелятивистски с помощью инерциальной системы наведения на борту самого объекта, если бы он ускорился от состояния покоя в этой системе отсчета до заданной скорости. .

Произведение β и γ появляется часто, и это следует из приведенных выше аргументов.

$$\beta \gamma =\tanh w\cosh w=\sinh w$$

Экспоненциальные и логарифмические отношения

Из приведенных выше выражений имеем

$$e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}},$$

и поэтому

$$e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}.$$

или явно

$$w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,.$$

Фактор доплеровского сдвига , связанный с быстротой w , равен $k=e^{w}$.

В экспериментальной физике элементарных частиц

Энергия E и скалярный импульс | р | частицы ненулевой массы (покоя) m определяются по формуле:

$${\begin{aligned}E&=\gamma mc^{2}\\\left|\mathbf {p} \right|&=\gamma mv.\end{aligned}}$$

По определению w

$$w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}},$$

и таким образом с

$$\cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma$$

$$\sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma ,$$

энергию и скалярный импульс можно записать как:

$${\begin{aligned}E&=mc^{2}\cosh w\\\left|\mathbf {p} \right|&=mc\,\sinh w.\end{aligned}}$$

Таким образом, скорость можно рассчитать по измеренным энергии и импульсу по формуле

$$w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}=\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{mc^{2}}}~.$$

Однако физики-экспериментаторы часто используют модифицированное определение быстроты относительно оси пучка.

$$y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}},$$

где p _z — составляющая импульса вдоль оси пучка. Это скорость ускорения вдоль оси луча, которая переводит наблюдателя из лабораторной системы координат в систему, в которой частица движется только перпендикулярно лучу. С этим связана концепция псевдобыстроты .

Быстроту относительно оси луча также можно выразить как

$$y=\ln {\frac {E+p_{z}c}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}~.$$

См. также

• Бонди k-исчисление
• Преобразование Лоренца
• Псевдобыстрота
• Правильная скорость
• Теория относительности

Примечания и ссылки

• Владимир Варичак (1910, 1912, 1924), см. Владимир Варичак # Публикации.
• Уиттакер, Эдмунд Тейлор (1910). « История теорий эфира и электричества »: 441. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
• Робб, Альфред (1911). Оптическая геометрия движения, новый взгляд на теорию относительности . Кембридж: Хеффнер и сыновья.
• Эмиль Борель (1913), Теория относительности и кинематика (на французском языке), Отчеты Академии наук , Париж: том 156, страницы 215–218; том 157, страницы 703-705
• Зильберштейн, Людвик (1914). Теория относительности . Лондон: Macmillan & Co.
• Владимир Карапетов (1936), «Ограниченная теория относительности в терминах гиперболических функций быстроты», American Mathematical Monthly , том 43, страница 70.
• Фрэнк Морли (1936), «Когда и где», «Критерий» под редакцией Томаса Стернса Элиота , том 15, страницы 200–209.
• Вольфганг Риндлер (2001) Относительность: специальная, общая и космологическая , стр. 53, Oxford University Press .
• Шоу, Рональд (1982) Линейная алгебра и представления групп , том 1, страница 229, Academic Press ISBN   0-12-639201-3 .
• Уолтер, Скотт (1999). «Неевклидов стиль относительности Минковского» (PDF) . В Джереми Джоне Грее (ред.). Символическая Вселенная: геометрия и физика . Издательство Оксфордского университета. стр. 91–127. Архивировано из оригинала (PDF) 16 октября 2013 г. Проверено 8 января 2009 г. (см. стр. 17 электронной ссылки)
• Роудс, Джон А.; Семон, Марк Д. (2004). «Релятивистское пространство скоростей, вращение Вигнера и прецессия Томаса». Американский журнал физики . 72 (7): 90–93. arXiv : gr-qc/0501070 . Бибкод : 2004AmJPh..72..943R . дои : 10.1119/1.1652040 . S2CID   14764378 .
• Джексон, Джон Дэвид (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN  0-471-30932-Х .