Метрика Каснера

**Рис. 1.** Динамика метрик Каснера **(ур.). 2** в сферических координатах в сторону сингулярности. Параметр Лифшица-Халатникова равен u =2 (1/ u =0,5), а *координата r* равна 2 p _α (1/ u )τ, где τ — логарифмическое время: τ = ln t . ^[1] Сжатие по осям линейное и равномерное (без хаотичности).

Метрика Каснера (разработана и названа в честь американского математика Эдварда Каснера в 1921 году) ^[2]является точным решением общей Альберта Эйнштейна теории относительности . Оно описывает анизотропную вселенную без материи (т. е. представляет собой вакуумное решение ). Его можно записать в любом пространства-времени. измерении $D>3$ и имеет прочную связь с изучением гравитационного хаоса .

Метрика и условия [ править ]

Метрика в $D>3$ измерения пространства-времени

{\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}

,

и содержит $D-1$ константы $p_{j}$ , называемые показателями Казнера. Метрика описывает пространство-время, равновременные срезы которого пространственно плоские, однако пространство расширяется или сжимается с разной скоростью в разных направлениях, в зависимости от значений метрики. $p_{j}$ . Пробные частицы в этой метрике, чья сопутствующая координата отличается на $\Delta x^{j}$ разделены физическим расстоянием $t^{p_{j}}\Delta x^{j}$ .

Метрика Казнера является точным решением уравнений Эйнштейна в вакууме, когда показатели Казнера удовлетворяют следующим условиям Каснера:

\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}=1,

\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}=1.

Первое условие определяет плоскость , плоскость Казнера, а второе описывает сферу , сферу Казнера. Решения (варианты $p_{j}$ ), удовлетворяющие двум условиям, следовательно, лежат в сфере их пересечения (иногда ее также ошибочно называют сферой Каснера). В $D$ измерения пространства-времени, поэтому пространство решений лежит на $D-3$ мерная сфера $S^{D-3}$ .

Особенности [ править ]

Есть несколько заметных и необычных особенностей решения Каснера:

Объем пространственных срезов всегда $O(t)$ . Это связано с тем, что их объем пропорционален ${\sqrt {-g}}$ , и

{\sqrt {-g}}=t^{p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{D-1}}=t

где мы использовали первое условие Каснера. Поэтому

t\to 0

может описать либо Большой Взрыв , либо Большое Сжатие , в зависимости от смысла

t

Изотропное расширение или сжатие пространства не допускается. Если бы пространственные срезы расширялись изотропно, то все показатели Казнера должны быть равны, и, следовательно, $p_{j}=1/(D-1)$ удовлетворяющее первому условию Каснера. Но тогда второе условие Казнера не может быть выполнено, так как

\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}={\frac {1}{D-1}}\neq 1.

Метрика Фридмана -Леметра-Робертсона-Уокера, используемая в космологии , напротив, способна изотропно расширяться или сжиматься из-за присутствия материи.

Приложив еще немного усилий, можно показать, что по крайней мере один показатель Каснера всегда отрицателен (если только мы не находимся в одном из решений с единственным $p_{j}=1$ , а остальное исчезает). Предположим, мы возьмем временную координату $t$ увеличиваться с нуля. Тогда это означает, что хотя объем пространства увеличивается как $t$ , по крайней мере одно направление (соответствующее отрицательному показателю Каснера) фактически сжимается.
Метрика Каснера является решением вакуумных уравнений Эйнштейна, поэтому тензор Риччи всегда обращается в нуль при любом выборе показателей, удовлетворяющих условиям Каснера. Полный тензор Римана исчезает только тогда, когда $p_{j}=1$ а остальные исчезают, и в этом случае пространство становится плоским. Метрику Минковского можно восстановить с помощью преобразования координат $t'=t\cosh x_{j}$ и $x_{j}'=t\sinh x_{j}$ .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Выражение для r получается путем логарифмирования коэффициентов мощности в метрике: ln [ t ^{2 п _α (1/ ты )}] знак равно 2 п _α (1/ ты ) пер т .
^ Каснер, Э. «Геометрические теоремы по космологическим уравнениям Эйнштейна». Являюсь. Дж. Математика. 43 , 217–221 (1921).

Ссылки [ править ]

Миснер, Чарльз В.; Кип С. Торн; Джон Арчибальд Уилер (сентябрь 1973 г.). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN 0-7167-0344-0 .

[1] Выражение для r получается путем логарифмирования коэффициентов мощности в метрике: ln [ t ^{2 п _α (1/ ты )}] знак равно 2 п _α (1/ ты ) пер т .

[2] Каснер, Э. «Геометрические теоремы по космологическим уравнениям Эйнштейна». Являюсь. Дж. Математика. 43 , 217–221 (1921).

[1]

[2]