Внутренняя метрика Шварцшильда

В относительности Эйнштейна теории общей внутренняя метрика Шварцшильда (также внутреннее решение Шварцшильда или раствор жидкости Шварцшильда ) является точным решением для гравитационного поля внутри невращающегося сферического тела, состоящего из несжимаемой жидкости (подразумевается, что плотность постоянна по всему телу) и имеет нулевое давление на поверхности. Это статическое решение, то есть оно не меняется со временем. Ее открыл Карл Шварцшильд в 1916 году, который ранее нашел внешнюю метрику Шварцшильда .

Математика

Сферические координаты

Внутренняя метрика Шварцшильда представлена ​​в сферической системе координат с центром тела, расположенным в начале координат, плюс координата времени. Его линейный элемент

$c^{2}{d\tau }^{2}=-{\frac {1}{4}}\left(3{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r_{g}}}}}-{\sqrt {1-{\frac {r^{2}r_{s}}{r_{g}^{3}}}}}\right)^{2}c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}r_{s}}{r_{g}^{3}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),$

где

• $\tau$ — собственное время (время, измеряемое часами, движущимися вдоль одной мировой линии с пробной частицей ).
• $c$ это скорость света .
• $t$ – координата времени (измеряется стационарными часами, находящимися на бесконечном расстоянии от сферического тела).
• $r$— радиальная координата Шварцшильда. Каждая поверхность постоянной $t$ и $r$ имеет геометрию сферы с измеримой (собственной) окружностью $2\pi r$ и площадь $4\pi r^{2}$ (как по обычным формулам), но искривление пространства означает, что правильное расстояние от каждой оболочки до центра тела больше, чем $r$.
• $\theta$ — широта (угол с севера, в радианах ) .
• $\varphi$ — долгота (также в радианах).
• $r_{s}$ - радиус Шварцшильда тела, связанный с его массой $M$ к $r_{s}=2GM/c^{2}$, где $G$является гравитационной постоянной . (Для обычных звезд и планет это намного меньше их собственного радиуса.)
• $r_{g}$ это ценность $r$-координация на поверхности тела. (Это меньше ее собственного (измеримого внутреннего) радиуса, хотя для Земли разница составляет всего около 1,4 миллиметра.)

Это решение справедливо для $r\leq r_{g}$. Для полной метрики гравитационного поля сферы внутренняя метрика Шварцшильда должна быть согласована с внешней:

$-c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),$

на поверхности. Легко видеть, что они имеют одно и то же значение на поверхности, т.е. $r=r_{g}$.

Другие составы

Определение параметра ${\mathcal {R}}^{2}=r_{g}^{3}/r_{s}$, мы получаем

$-c^{2}{d\tau }^{2}=-{\frac {1}{4}}\left(3{\sqrt {1-{\frac {r_{g}^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}-{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}\right)^{2}c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right).$

Мы также можем определить альтернативную радиальную координату $\eta =\arcsin {\frac {r}{\mathcal {R}}}$ и соответствующий параметр $\eta _{g}=\arcsin {\frac {r_{g}}{\mathcal {R}}}=\arcsin {\sqrt {\frac {r_{s}}{r_{g}}}}$, уступая

$c^{2}{d\tau }^{2}=\left({\frac {3\cos \eta _{g}-\cos \eta }{2}}\right)^{2}c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\cos ^{2}\eta }}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right).$

Свойства

Объем

С $g_{rr}=(1-r_{s}r^{2}/r_{g}^{3})^{-1}$ и площадь $A=4\pi r^{2}$

интеграл для собственного объема равен

$V=\int _{0}^{r_{g}}A{\sqrt {g_{rr}}}\,{\rm {d}}r=2\pi \left({\frac {r_{g}^{9/2}\arcsin {\sqrt {\frac {r_{s}}{r_{g}}}}}{r_{s}^{3/2}}}-{\frac {r_{g}^{4}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r_{g}}}}}}{r_{s}}}\right)$

что больше объема евклидовой эталонной оболочки.

Плотность

Жидкость имеет постоянную плотность по определению. Это дано

$\rho ={\frac {M}{{\frac {4\pi }{3}}r_{g}^{3}}}={\frac {3}{\kappa {\mathcal {R}}^{2}}},$

где $\kappa =8\pi G/c^{2}$ Эйнштейна гравитационная постоянная . Может показаться нелогичным, что плотность — это масса, разделенная на объем сферы с радиусом $r_{g}$, который, похоже, не учитывает, что это меньше правильного радиуса и что пространство внутри тела искривлено, так что формула объема для «плоской» сферы вообще не должна выполняться. Однако, $M$— это масса, измеренная снаружи, например, путем наблюдения за пробной частицей, вращающейся вокруг гравитирующего тела (« масса Кеплера »), которая в общей теории относительности не обязательно равна собственной массе. Эта разница масс в точности компенсирует разницу объемов.

и

Давление несжимаемой жидкости можно найти, вычислив тензор Эйнштейна $G_{\mu \nu }$из метрики. Тензор Эйнштейна является диагональным (т. е. все недиагональные элементы равны нулю), что означает отсутствие касательных напряжений , и имеет равные значения для трех пространственных диагональных компонентов, что означает, что давление изотропно . Его значение

$p=\rho c^{2}{\frac {\cos \eta -\cos \eta _{g}}{3\cos \eta _{g}-\cos \eta }}.$

Как и ожидалось, давление равно нулю на поверхности сферы и увеличивается к центру. Оно становится бесконечным в центре, если $\cos \eta _{g}=1/3$, что соответствует $r_{s}={\frac {8}{9}}r_{g}$ или $\eta _{g}\approx 70.5^{\circ }$, что справедливо для очень плотного или большого тела. Такое тело подвергается гравитационному коллапсу и превращается в черную дыру . Поскольку этот процесс зависит от времени, решение Шварцшильда больше не выполняется.

Красное смещение

Гравитационное красное смещение излучения поверхности сферы (например, света звезды) равно

$z={\frac {1}{\cos \eta _{g}}}-1.$

Из условия устойчивости $\cos \eta _{g}>1/3$ следует $z<2$.

Визуализация

Вложение среза метрики Шварцшильда в трехмерное евклидово пространство. Внутреннее решение — более темная крышка внизу.
Это вложение не следует путать с несвязанной с ним концепцией гравитационного колодца .

Пространственную кривизну внутренней метрики Шварцшильда можно визуализировать, взяв срез (1) с постоянным временем и (2) через экватор сферы, т.е. $t=const.,\theta =\pi /2$. Этот двумерный срез можно встроить в трехмерное евклидово пространство, а затем принять форму сферической шапки с радиусом ${\mathcal {R}}$ и половина угла открытия $\eta _{g}$. Его гауссова кривизна $K$ пропорционален плотности жидкости и равен ${\mathcal {R}}^{-2}=r_{s}/r_{g}^{3}=\rho \kappa /3$. Поскольку внешняя метрика может быть встроена таким же образом (получая параболоид Фламма ), часть полного решения можно нарисовать следующим образом:

На этом рисунке синяя дуга представляет внутреннюю метрику, а черные параболические дуги соответствуют уравнению $w=2{\sqrt {r_{s}(r-r_{s})}}$представляют внешнюю метрику или параболоид Фламма. $\eta$-координата — это угол, измеренный от центра шляпки, то есть «сверху» среза. Собственный радиус сферы – интуитивно понятная длина измерительного стержня, проходящего от ее центра до точки на ее поверхности – равен половине длины дуги окружности, или $\eta _{g}{\mathcal {R}}$.

Это чисто геометрическая визуализация, не подразумевающая физическое «четвертое пространственное измерение», в которое искривляется пространство. (Внутренняя кривизна не подразумевает внешнюю кривизну .)

Примеры

Вот соответствующие параметры для некоторых астрономических объектов, не учитывающие вращение и неоднородности, такие как отклонение от сферической формы и изменение плотности.

Объект	$r_{g}$	$r_{s}$	${\mathcal {R}}$	$\eta _{g}$	$z$ ( красное смещение )
Земля	6370 км	8,87 мм	170 000 000 км 9,5 световых минут	7.7 ″	7×10 −10
Солнце	696 000 км	2,95 км	338 000 000 км 19 световых минут	7.0′	2×10 −6
Белый карлик с массой 1 солнечную.	5000 км	2,95 км	200 000 км	1.4°	3×10 −4
Нейтронная звезда с двумя солнечными массами	20 км	6 км	37 км	30°	0.15

История

Внутреннее решение Шварцшильда было первым статическим сферически-симметричным решением идеальной жидкости найденным . Он был опубликован 24 февраля 1916 года, всего через три месяца после уравнений поля Эйнштейна и через месяц после внешнего решения Шварцшильда.