БКЛ сингулярность

Сферическое тело, испытывающее хаотическую динамику BKL (Mixmaster), близкую к сингулярности, согласно правилам уравнения. 35 . Моделирование было выполнено в системе Mathematica с исходным кодом. $u={\sqrt {13}}$.

Сингулярность Белинского -Халатникова-Лифшица (БКЛ) — это модель динамической эволюции Вселенной вблизи начальной гравитационной сингулярности , описываемая анизотропным хаотическим решением уравнения гравитации поля Эйнштейна . Согласно этой модели, Вселенная хаотически колеблется вокруг гравитационной сингулярности, в которой время и пространство становятся равными нулю или, что то же самое, кривизна пространства-времени становится бесконечно большой. Эта особенность физически реальна в том смысле, что она является необходимым свойством решения и появится также при точном решении этих уравнений. Сингулярность не создается искусственно предположениями и упрощениями, сделанными другими специальными решениями, такими как решения Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера , квазиизотропные решения и Каснера решения .

Модель названа в честь ее авторов Владимира Белинского , Исаака Халатникова и Евгения Лифшица , работавших тогда в Институте теоретической физики Ландау .

Картина, разработанная BKL, имеет несколько важных элементов. Это:

• Вблизи сингулярности эволюция геометрии в разных точках пространства разделяется, так что решения уравнений в частных производных могут быть аппроксимированы решениями обыкновенных дифференциальных уравнений по времени для соответствующим образом определенных пространственных масштабных коэффициентов. Это называется БКЛ гипотезой .
• Для большинства типов материи влияние полей материи на динамику геометрии вблизи сингулярности становится незначительным. Или, по словам Джона Уиллера , «материя не имеет значения» вблизи сингулярности. Первоначальная работа БКЛ оказала незначительный эффект на всю материю, но позже они предположили, что «жесткая материя» (уравнение состояния p = ε), эквивалентная безмассовому скалярному полю, может оказывать модифицирующее влияние на динамику вблизи сингулярности.
• Обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие асимптотику, происходят из класса пространственно однородных решений, которые составляют динамику Mixmaster : сложную колебательную и хаотическую модель, которая демонстрирует свойства, аналогичные тем, которые обсуждал БКЛ.

Исследование динамики Вселенной в окрестностях космологической сингулярности стало быстро развивающейся областью современной теоретической и математической физики. Обобщение модели БКЛ на космологическую сингулярность в многомерных ( типа Калуцы–Клейна ) космологических моделях носит хаотический характер в пространствах-временах, размерность которых не превышает десяти, тогда как в пространствах-временах более высоких размерностей Вселенная после прохождения конечного числа колебаний переходит в монотонный сжимающий режим типа Казнера.

Развитие космологических исследований, основанных на моделях суперструн, выявило некоторые новые аспекты динамики вблизи сингулярности. В этих моделях механизмы смены эпох Каснера провоцируются не гравитационными взаимодействиями, а влиянием других присутствующих полей. Было доказано, что космологические модели, основанные на шести основных моделях суперструн и модели одиннадцатимерной супергравитации, демонстрируют хаотическую динамику БКЛ в направлении сингулярности. Была обнаружена связь между осциллирующими BKL-подобными космологическими моделями и специальным подклассом бесконечномерных алгебр Ли — так называемыми гиперболическими алгебрами Каца–Муди .

Введение

Основой современной космологии являются специальные решения уравнений поля Эйнштейна, найденные Александром Фридманом в 1922–1924 годах. Вселенная предполагается однородной (пространство имеет одинаковые метрические свойства (меры) во всех точках) и изотропной (пространство имеет одинаковые меры во всех направлениях). Решения Фридмана допускают две возможные геометрии пространства: закрытую модель с шарообразным, искривленным наружу пространством ( положительная кривизна ) и открытую модель с седловидным, искривленным внутрь пространством ( отрицательная кривизна ). В обеих моделях Вселенная не стоит на месте, она постоянно либо расширяется (становится больше), либо сжимается (сжимается, становится меньше). Это подтвердил Эдвин Хаббл , установивший хаббловское красное смещение удаляющихся галактик. В настоящее время существует консенсус в том, что изотропная модель в целом дает адекватное описание современного состояния Вселенной; однако изотропность современной Вселенной сама по себе не является основанием ожидать, что она достаточна для описания ранних стадий Эволюция Вселенной . В то же время очевидно, что в реальном мире однородность является в лучшем случае лишь приближением. Даже если можно говорить об однородном распределении плотности материи на больших по сравнению с межгалактическим пространством расстояниях, то на меньших масштабах эта однородность исчезает. С другой стороны, предположение об однородности заходит очень далеко в математическом аспекте: оно делает решение высокосимметричным, что может придавать специфические свойства, которые исчезают при рассмотрении более общего случая.

Еще одним важным свойством изотропной модели является неизбежное существование сингулярности времени : поток времени не является непрерывным, а останавливается или поворачивается вспять после того, как время достигает какого-то очень большого или очень малого значения. Между сингулярностями время течет в одном направлении: от сингулярности ( стрела времени ). В открытой модели существует одна временная сингулярность, поэтому время ограничено с одного конца, но неограничено с другого, тогда как в закрытой модели есть две сингулярности, которые ограничивают время с обоих концов (Большой взрыв и Большое сжатие ).

Единственные физически интересные свойства пространства-времени (такие как сингулярности) — это те, которые стабильны , т. е. те свойства, которые все еще проявляются, когда исходные данные слегка возмущены. Сингулярность может быть стабильной и при этом не представлять физического интереса: стабильность — необходимое, но недостаточное условие физической значимости. Например, сингулярность может быть стабильной только в окрестности начальных наборов данных, соответствующих сильно анизотропным вселенным. Поскольку реальная Вселенная теперь, по-видимому, почти изотропна, такая сингулярность не могла возникнуть в нашей Вселенной. Достаточным условием того, чтобы стабильная особенность представляла физический интерес, является требование того, чтобы особенность была типичной (или общей). Грубо говоря, стабильная сингулярность является общей, если она возникает вблизи любого набора начальных условий и негравитационные поля каким-то определенным образом ограничены «физически реалистичными» полями, так что уравнения Эйнштейна, различные уравнения состояния и т. д. предполагается, что оно удерживает эволюционировавшее пространство-время. Может случиться так, что сингулярность устойчива при небольших изменениях истинной гравитационной силы. степеней свободы , и все же оно не является общим, поскольку сингулярность каким-то образом зависит от системы координат или, скорее, от выбора начальной гиперповерхности , из которой развивается пространство-время.

Для системы нелинейных дифференциальных уравнений , таких как уравнения Эйнштейна , общее решение не определено однозначно. может быть несколько В принципе, общих интегралов , и каждый из них может содержать только конечное подмножество всех возможных начальных условий . Каждый из этих интегралов может содержать все необходимые независимые функции , которые, однако, могут подчиняться некоторым условиям (например, некоторым неравенствам ). Поэтому существование общего решения с особенностью не исключает существования других дополнительных общих решений, не содержащих особенности. Например, нет оснований сомневаться в существовании общего решения без особенности, описывающего изолированное тело сравнительно малой массы.

Невозможно найти общий интеграл для всего пространства и на все времена. Однако для решения задачи это не обязательно: достаточно изучить решение вблизи особенности. Это также решило бы другой аспект проблемы: характеристики эволюции метрики пространства-времени в общем решении, когда оно достигает физической сингулярности, понимаемой как точка, в которой плотность материи и инварианты тензора кривизны Римана становятся бесконечными.

Существование сингулярности физического времени

Дополнительная информация: Синхронный кадр.

Одна из основных проблем, изучавшихся группой Ландау (к которой принадлежит БКЛ), заключалась в том, обязательно ли релятивистские космологические модели содержат сингулярность времени или же сингулярность времени является артефактом предположений, использованных для упрощения этих моделей. Независимость особенности от предположений симметрии означала бы, что временные особенности существуют не только в частных, но и в общих решениях уравнений Эйнштейна. Разумно предположить, что если в общем решении присутствует особенность, то должны быть какие-то признаки, основанные лишь на самых общих свойствах уравнений Эйнштейна, хотя самих по себе этих указаний может быть недостаточно для характеристики особенности.

Критерием общности решений является количество входящих в них независимых пространственных координатных функций. К ним относятся только «физически независимые» функции, число которых не может быть уменьшено никаким выбором системы отсчета . В общем решении количество таких функций должно быть достаточным, чтобы полностью определить начальные условия (распределение и движение материи, распределение гравитационного поля ) в некоторый момент времени, выбранный в качестве начального. Это число равно четырем для пустого (вакуумного) пространства и восьми для пространства, заполненного материей и/или излучением.

Предыдущая работа группы Ландау; рассмотрено в ) привели к выводу, что общее решение не содержит физической особенности. Этот поиск более широкого класса решений с особенностью осуществлялся, по существу, методом проб и ошибок, поскольку системный подход к изучению уравнений Эйнштейна отсутствовал. Отрицательный результат, полученный таким способом, сам по себе неубедителен; решение с необходимой степенью общности сделало бы его недействительным и в то же время подтвердило бы любые положительные результаты, относящиеся к конкретному решению.

В то время единственное известное указание на существование физической сингулярности в общем решении было связано с формой уравнений Эйнштейна, записанных в синхронной системе отсчета , то есть в системе, в которой собственное время x ⁰ = t синхронизировано по всему пространству; в этой системе координат элемент пространственного расстояния dl отделен от временного интервала dt . Уравнение Эйнштейна

$R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\tfrac {1}{2}}T$ ( уравнение 1 )

записанная в синхронной системе отсчета, дает результат, в котором метрический определитель g неизбежно обращается в ноль за конечное время независимо от каких-либо предположений о распределении материи.

Однако попытки найти общую физическую сингулярность были прерваны после того, как стало ясно, что упомянутая выше сингулярность связана с особым геометрическим свойством синхронной системы отсчета: пересечением координат временной линии. Это пересечение происходит на некоторых огибающих гиперповерхностях , которые являются четырехмерными аналогами каустических поверхностей в геометрической оптике ; g становится нулевым именно в этом месте. Поэтому, хотя эта особенность и общая, но она фиктивная, а не физическая; он исчезает при изменении системы отсчета. Это, по-видимому, отговорило исследователей от дальнейших исследований в этом направлении.

Прошло несколько лет, прежде чем интерес к этой проблеме вновь возрос, когда Пенроуз ( 1965 ) опубликовал свои теоремы, связавшие существование особенности неизвестного характера с некоторыми весьма общими предположениями, не имеющими ничего общего с выбором системы отсчета. Другие подобные теоремы были найдены позже Хокингом. и запах (см. теоремы Пенроуза – Хокинга о сингулярности ). Это возродило интерес к поиску сингулярных решений.

Обобщенное однородное решение

В пространстве одновременно однородном и изотропном метрика определяется полностью, оставляя свободным только знак кривизны. Предполагая только однородность пространства без дополнительной симметрии, такой как изотропия, оставляет значительно больше свободы в выборе метрики. Следующее относится к пространственной части метрики в данный момент времени t, предполагая синхронный кадр, так что t является одним и тем же синхронизированным временем для всего пространства.

БКЛ

В своей работе 1970 г. БКЛ заявил, что по мере приближения к сингулярности члены, содержащие производные по времени в уравнениях Эйнштейна, доминируют над теми, которые содержат производные по пространству . С тех пор это стало известно как гипотеза БКЛ Эйнштейна и подразумевает, что уравнения в частных производных (УЧП) хорошо аппроксимируются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ), вследствие чего динамика общей теории относительности фактически становится локальной и колебательной. Временная эволюция полей в каждой точке пространства хорошо аппроксимируется однородными космологиями классификации Бьянки.

Разделив производные по времени и по пространству в уравнениях Эйнштейна, например, так, как это принято при классификации однородных пространств , а затем приравняв к нулю слагаемые, содержащие производные по пространству, можно определить так называемую усеченную теорию системы (усеченные уравнения). Тогда гипотезу БКЛ можно уточнить:

Слабая гипотеза : по мере приближения к сингулярности члены, содержащие производные по пространству в уравнениях Эйнштейна, пренебрежимо малы по сравнению с членами, содержащими производные по времени. Таким образом, по мере приближения к сингулярности уравнения Эйнштейна приближаются к уравнениям, полученным путем приравнивания производных членов к нулю. Таким образом, слабая гипотеза гласит, что уравнения Эйнштейна могут быть хорошо аппроксимированы укороченными уравнениями в окрестности сингулярности. Обратите внимание, что это не означает, что решения полных уравнений движения будут приближаться к решениям усеченных уравнений по мере приближения к сингулярности. Это дополнительное условие фиксируется в сильной версии следующим образом.

Сильная гипотеза : по мере приближения к сингулярности уравнения Эйнштейна приближаются к уравнениям усеченной теории, и, кроме того, решения полных уравнений хорошо аппроксимируются решениями усеченных уравнений.

Вначале гипотеза БКЛ казалась координатно-зависимой и довольно неправдоподобной. Бэрроу и Типлер, например, в число десяти критических замечаний в адрес исследований BKL входит неправильный (по их мнению) выбор синхронного кадра как средства разделения производных времени и пространства. Гипотезу БКЛ иногда перефразировали в литературе как утверждение, что вблизи сингулярности важны только производные по времени. Такое утверждение, если принять его за чистую монету, неверно или, в лучшем случае, вводит в заблуждение, поскольку, как показано в самом анализе БКЛ, пространственными градиентами метрического тензора нельзя пренебрегать для общих решений чистой гравитации Эйнштейна в четырех измерениях пространства-времени, и в Этот факт играет решающую роль в возникновении колебательного режима. Однако существуют переформулировки теории Эйнштейна в терминах новых переменных, включающих соответствующие градиенты, например, в переменных типа Аштекар, для которых справедливо утверждение о доминирующей роли производных по времени. Действительно, в каждой точке пространства получается эффективное описание особенности в терминах конечномерной динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями относительно времени, но пространственные градиенты входят в эти уравнения нетривиально.

Последующий анализ, проведенный большим количеством авторов, показал, что гипотезу БКЛ можно уточнить, и к настоящему времени существует впечатляющий объем числовых и аналитических доказательств в ее поддержку. Справедливости ради стоит сказать, что мы еще весьма далеки от доказательства сильной гипотезы. Но в более простых моделях был достигнут выдающийся прогресс. В частности, Бергер, Гарфинкл, Монкриф, Изенберг, Уивер и другие показали, что в классе моделей по мере приближения к сингулярности решения полных уравнений поля Эйнштейна приближаются к «доминируемому члену скорости» (усеченным), полученным по формуле пренебрегая пространственными производными. Андерссон и Рендалл показал, что для гравитации, связанной с безмассовым скалярным полем или жесткой жидкостью, для каждого решения усеченных уравнений существует решение уравнений полного поля, которое сходится к усеченному решению по мере приближения к сингулярности, даже при отсутствии симметрий. Эти результаты были обобщены и включены также в калибровочные поля p-формы . В этих усеченных моделях динамика проще, что позволяет точно сформулировать гипотезу, которую можно доказать. В общем случае, самые убедительные доказательства на сегодняшний день получены в результате численной эволюции. Бергер и Монкриф начал программу анализа общих космологических особенностей. Хотя первоначальная работа была сосредоточена на случаях пониженной симметрии, совсем недавно Гарфинкл выполнил численную эволюцию пространства-времени без симметрии, в которой, опять же, поведение миксмастера очевидно. Наконец, дополнительное подтверждение этой гипотезы получено в результате численного исследования поведения пробных полей вблизи сингулярности черной дыры Шварцшильда.

Решение Каснера

Динамика метрик Каснера (ур.). 2 в сферических координатах в сторону сингулярности. Параметр Лифшица-Халатникова равен u =2 (1/ u =0,5), а координата r равна 2 p _α (1/ u )τ, где τ — логарифмическое время: τ = ln t . Сжатие по осям линейное и анизотропное (нет хаотичности).

Подход БКЛ к анизотропным (в отличие от изотропных) однородным пространствам начинается с обобщения точного частного решения, полученного Каснером. для поля в вакууме, в котором пространство однородно и имеет евклидову метрику , зависящую от времени по метрике Казнера

$dl^{2}=t^{2p_{1}}dx^{2}+t^{2p_{2}}dy^{2}+t^{2p_{3}}dz^{2}$ ( уравнение 2 )

( dl — элемент линии ; dx , dy , dz — бесконечно малые перемещения в трех пространственных измерениях , а t — период времени, прошедший с некоторого начального момента t ₀ = 0). Здесь p1 _, , p2 _, p3 — _{любые три числа} удовлетворяющие следующим условиям Каснера

$p_{1}+p_{2}+p_{3}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=1.$ ( уравнение 3 )

Из-за этих соотношений только одно из трёх чисел является независимым (два уравнения с тремя неизвестными ). Все три числа никогда не бывают одинаковыми; два числа одинаковы только в наборах значений ${\textstyle (-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}})}$ и (0, 0, 1). Во всех остальных случаях числа разные, одно число отрицательное, а два других положительные. Частично это доказывается возведением в квадрат обеих частей первого условия (уравнения). 3 и развиваем квадрат:

$\left(p_{1}+p_{2}+p_{3}\right)^{2}=\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\left(2p_{1}p_{2}+2p_{2}p_{3}+2p_{1}p_{3}\right)=1$

Термин $\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)$равен 1 в силу второго условия (упр.). 3 , и поэтому член со смешанными продуктами должен быть равен нулю. Это возможно, если хотя бы один из р ₁ , р ₂ , р ₃ отрицательный.

Если числа расположены в порядке возрастания, p ₁ < p ₂ < p ₃ , они изменяются в интервалах (рис. 4)

${\begin{matrix}-{\tfrac {1}{3}}\leq p_{1}\leq 0,\\\ 0\leq p_{2}\leq {\tfrac {2}{3}},\\{\frac {2}{3}}\leq p_{3}\leq 1.\end{matrix}}$ ( уравнение 4 )

График p1 ₁ , p2 _, / p3 _u аргументом с . Числа p ₁ ( u ) и p ₃ ( u ) монотонно возрастают, а p ₂ ( u ) является монотонно убывающей функцией u .

Метричное уравнение Каснера . 2 соответствует плоскому однородному, но анизотропному пространству, в котором все объемы со временем увеличиваются таким образом, что линейные расстояния по двум осям y и z увеличиваются, а расстояние по оси x уменьшается. Момент t = 0 вызывает сингулярность решения; сингулярность метрики при t = 0 невозможно избежать никаким преобразованием системы отсчета. В сингулярности инварианты четырехмерного тензора кривизны стремятся к бесконечности. Исключением является случай р ₁ = р ₂ = 0, р ₃ = 1; эти значения соответствуют плоскому пространству-времени: преобразование t sh z = ζ, t ch z = τ превращает метрику Каснера ( уравнение 2 ) в галилееву .

БКЛ параметризуют числа p ₁ , p ₂ , p ₃ через единственный независимый (действительный) параметр u (параметр Лифшица-Халатникова ) следующее

$p_{1}(u)={\frac {-u}{1+u+u^{2}}},\ p_{2}(u)={\frac {1+u}{1+u+u^{2}}},\ p_{3}(u)={\frac {u(1+u)}{1+u+u^{2}}}$ ( уравнение 5 )

Параметризация индекса Каснера кажется загадочной, пока не задумаешься о двух ограничениях на индексы (ур.). 3 . Оба ограничения фиксируют общий масштаб индексов, так что изменяться могут только их соотношения . Естественно выбрать одно из этих соотношений в качестве нового параметра, что можно сделать шестью различными способами. Например, выбрав u = u ₃₂ = p ₃ / p ₂ , через него легко выразить все шесть возможных отношений. Исключив сначала p ₃ = up ₂ , а затем используя линейное ограничение для исключения p ₁ = 1 − p ₂ − up ₂ = 1 − (1 + u ) p ₂ , квадратичное ограничение сводится к квадратному уравнению относительно p ₂

$\left[1-\left(1+u\right)p_{2}\right]^{2}+p_{2}^{2}+\left(up_{2}\right)^{2}=1$ ( уравнение 5а )

с корнями p2 ₊ очевидно) и p2 _{= 0 (} = (1 + u )/(1 u + u ² ), из которых p ₁ и p ₃ получаются затем путем обратной замены . Можно определить шесть таких параметров u _ab = p _a / p _b , для которых p _c ≤ p _b ≤ p _a, когда ( c , b , a ) является циклической перестановкой (1, 2, 3).

Все различные значения p ₁ , p ₂ , p ₃ , упорядоченные, как указано выше, получаются при u , находящемся в диапазоне u ≥ 1. Значения u < 1 переводятся в этот диапазон в соответствии с

$p_{1}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{1}(u),\ p_{2}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{3}(u),\ p_{3}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{2}(u)$ ( уравнение 6 )

В обобщенном решении форма, соответствующая уравн. 2 применимо только к асимптотической метрике (метрике, близкой к особенности t = 0) и соответственно к главным членам ее разложения в ряд по степеням t . В синхронной системе отсчета оно записывается в виде уравн. 1 с элементом пространственного расстояния

$dl^{2}=\left(a^{2}l_{\alpha }l_{\beta }+b^{2}m_{\alpha }m_{\beta }+c^{2}n_{\alpha }n_{\beta }\right)dx^{\alpha }dx^{\beta }$ ( уравнение 7 )

где

$a=t^{p_{l}},\ b=t^{p_{m}},\ c=t^{p_{n}}$ ( уравнение 8 )

Трехмерные степенным векторы l , m , n определяют направления, в которых пространственное расстояние изменяется со временем по законам (уравнению). 8 . Эти векторы, а также числа p _l , pm _, p которые, как и _n раньше, связаны уравнением. 3 , являются функциями пространственных координат. Степени p _l , pm _, p расположены не в порядке возрастания, а _n символы p ₁ , p ₂ , p ₃ зарезервированы для чисел в уравнении. 5 , которые остаются расположенными в порядке возрастания. Определитель . метрики уравнения 7 это

$-g=a^{2}b^{2}c^{2}v^{2}=t^{2}v^{2}$ ( уравнение 9 )

где v = l [ mn ]. Удобно ввести следующие величины

$\lambda ={\frac {\mathbf {l} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {l} }{v}},\ \mu ={\frac {\mathbf {m} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {m} }{v}},\ \nu ={\frac {\mathbf {n} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {n} }{v}}.$ ( уравнение 10 )

Пространственная метрика в уравнении 7 является анизотропным, поскольку степени t в уравнении. 8 не может иметь одинаковые значения. При приближении к сингулярности при t = 0 линейные расстояния в каждом элементе пространства уменьшаются в двух направлениях и увеличиваются в третьем направлении. Объем элемента уменьшается пропорционально t .

Метрика Каснера вводится в уравнения Эйнштейна путем подстановки соответствующего метрического тензора γ _αβ из уравнения. 7 без априорного определения зависимости a , b , c от t :

$\varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {2{\dot {a}}}{a}}l_{\alpha }l^{\beta }+{\frac {2{\dot {b}}}{b}}m_{\alpha }m^{\beta }+{\frac {2{\dot {c}}}{c}}n_{\alpha }n^{\beta }$

где точка над символом обозначает дифференциацию по времени. Уравнение Эйнштейна . 11 принимает форму

$-R_{0}^{0}={\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {\ddot {b}}{b}}+{\frac {\ddot {c}}{c}}=0.$ ( уравнение 14 )

Все его члены имеют второй порядок для большой (при t → 0) величины 1/ t . В уравнениях Эйнштейна ( ур. 12 , члены такого порядка появляются только из термов, дифференцированных во времени. Если в состав компонентов P _αβ не входят члены порядка выше двух, то

$-R_{l}^{l}={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{m}^{m}={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{n}^{n}={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}=0$ ( уравнение 15 )

где индексы l , m , n обозначают компоненты тензора по направлениям l , m , n . Эти уравнения вместе с уравнением 14 дают выражения уравн. 8 со степенями, удовлетворяющими уравнению. 3 .

Однако наличие одной отрицательной степени среди трёх степеней p _l , pm _, n p _чем приводит к появлению слагаемых из P _αβ порядка большего, t ⁻² . Если отрицательная степень равна p _l ( p _l = p ₁ < 0), то P _αβ содержит координатную функцию λ и уравнение. 12 стать

${\begin{aligned}-R_{l}^{l}&={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}+{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{m}^{m}&={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{n}^{n}&={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0.\\\end{aligned}}$ ( уравнение 16 )

Здесь вторые члены имеют порядок t ^{-2( п _м + п _п - п _л )} знак равно п _м + п _п - п _л 1 + 2 | п _л | > 1. Чтобы удалить эти члены и восстановить метрическое уравнение. 7 , необходимо наложить на координатные функции условие λ = 0.

Остальные три уравнения Эйнштейна ( ур. 13 содержат только производные по времени первого порядка от метрического тензора. Они дают три независимых от времени соотношения, которые должны быть наложены как необходимые условия на координатные функции в уравнении. 7 . Это вместе с условием λ = 0 образует четыре условия. три компонента каждого из векторов l , m , n и одну функцию в степенях t (любую из функций p _l , pm _, n p _{Эти условия связывают десять различных координатных функций: по} , которые связаны условиями уравнение 3 ). При расчете количества физически произвольных функций необходимо учитывать, что используемая здесь синхронная система допускает независящие от времени произвольные преобразования трех пространственных координат. Таким образом, окончательное решение содержит всего 10 − 4 − 3 = 3 физически произвольных функции, что на одну меньше, чем необходимо для общего решения в вакууме.

Степень общности, достигнутая на этом этапе, не уменьшается при введении материи; материя записана в метрическом уравнении. 7 и вносит четыре новые координатные функции, необходимые для описания начального распределения его плотности и трех компонентов его скорости. Это позволяет определить эволюцию материи лишь из законов ее движения в априорно заданном гравитационном поле, которыми являются гидродинамические уравнения

${\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\sqrt {-g}}\sigma u^{i}\right)=0,$ ( уравнение 17 )

$(p+\varepsilon )u^{k}\left\{{\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {1}{2}}u^{l}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{i}}}\right\rbrace =-{\frac {\partial p}{\partial x^{i}}}-u_{i}u^{k}{\frac {\partial p}{\partial x^{k}}},$ ( уравнение 18 )

где ты ^я — четырехмерная скорость, ε и σ — плотности энергии и энтропии материи (ср. и; также; подробности см. ). Для ультрарелятивистского уравнения состояния p = ε/3 энтропия σ ~ ε ^1/4 . Основные члены в уравнении. 17 и уравнение. 18 – это те, которые содержат производные по времени . Из уравнения. 17 и пространственные компоненты уравнения. 18 у одного есть

${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}u_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}\right)=0,\ 4\varepsilon \cdot {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial t}}+u_{\alpha }\cdot {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=0,$

в результате чего

$abcu_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}=\mathrm {const} ,\ u_{\alpha }\varepsilon ^{\frac {1}{4}}=\mathrm {const} ,$ ( уравнение 19 )

где «const» — величины, не зависящие от времени. Кроме того, из тождества u _i u ^я = 1 (поскольку все ковариантные компоненты u _α имеют один и тот же порядок)

$u_{0}^{2}\approx u_{n}u^{n}={\frac {u_{n}^{2}}{c^{2}}},$

где un _— составляющая скорости вдоль направления n , связанная с наибольшей (положительной) степенью t (предполагая, что p _n = p ₃ ). Из приведенных выше соотношений следует, что

$\varepsilon \sim {\frac {1}{a^{2}b^{2}}},\ u_{\alpha }\sim {\sqrt {ab}}$ ( уравнение 20 )

или

$\varepsilon \sim t^{-2(p_{1}+p_{2})}=t^{-2(1-p_{3})},\ u_{\alpha }\sim t^{\frac {(1-p_{3})}{2}}.$ ( уравнение 21 )

Приведенные выше уравнения можно использовать для подтверждения того, что компоненты тензора напряжения-энергии-импульса вещества , стоящие в правой части уравнений

$R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T,\ R_{\alpha }^{\beta }=T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T,$

действительно имеют более низкий порядок на 1/ t , чем старшие члены в их левых частях. В уравнениях $R_{\alpha }^{0}=T_{\alpha }^{0}$ наличие материи приводит лишь к изменению отношений, налагаемых на составляющие их координатные функции.

Тот факт, что ε становится бесконечным по закону (1). 21 подтверждает, что в решении уравн. 7 речь идет о физической сингулярности при любых значениях степеней p ₁ , p ₂ , p ₃ кроме (0, 0, 1). Для этих последних значений сингулярность нефизична и может быть устранена путем смены системы отсчета.

Вымышленная сингулярность, соответствующая степеням (0, 0, 1), возникает в результате пересечения координат временной линии над некоторой двумерной « фокальной поверхностью ». Как указано в, синхронную систему отсчета всегда можно выбрать таким образом, чтобы это неизбежное пересечение линии времени происходило именно на такой поверхности (а не на трехмерной каустической поверхности). Следовательно, решение с такой одновременной для всего пространства фиктивной особенностью должно существовать с полным набором произвольных функций, необходимых для общего решения. Вблизи точки t = 0 допускается регулярное разложение по целым степеням t . Анализ этого дела см.

Осциллирующий режим в сторону сингулярности

Общее решение по определению полностью устойчиво; в противном случае Вселенная не существовала бы. Любое возмущение эквивалентно изменению начальных условий в некоторый момент времени; поскольку общее решение допускает произвольные начальные условия, возмущение не способно изменить свой характер. Если посмотреть под таким углом, то можно увидеть четыре условия, налагаемые на координатные функции в решении уравнения. 7 бывают разных типов: три условия, возникающие из уравнений $R_{\alpha }^{0}$= 0 являются «естественными»; они являются следствием структуры уравнений Эйнштейна. Однако дополнительное условие λ = 0, вызывающее потерю одной производной функции, имеет совершенно другой тип: неустойчивость, вызванная возмущениями, может нарушить это условие. Действие такого возмущения должно перевести модель в другой, более общий режим. Возмущение нельзя считать малым: переход в новый режим выходит за рамки очень малых возмущений.

Анализ поведения модели при возмущающем воздействии, выполненный БКЛ, выявил сложный колебательный режим при приближении к сингулярности. Они не смогли дать все детали этого режима в общих рамках общего случая. Однако БКЛ объяснил наиболее важные свойства и характер решения на конкретных моделях, которые позволяют проводить далеко идущие аналитические исследования.

Эти модели основаны на однородной пространственной метрике определенного типа. Предположение об однородности пространства без какой-либо дополнительной симметрии оставляет большую свободу в выборе метрики. Все возможные однородные (но анизотропные) пространства классифицируются, по Бьянки , на несколько типов Бьянки (типы от I до IX) . (см. также Обобщенное однородное решение ) БКЛ исследует только пространства типов Бьянки VIII и IX.

Если метрика имеет форму уравнения. 7 , для каждого типа однородных пространств существует некоторая функциональная связь между опорными векторами l , m , n и координатами пространства. Конкретная форма этого отношения не имеет значения. Важным фактом является то, что для пространств типа VIII и IX величины λ, µ, ν экв. 10 а все «смешанные» продукты l rot m , l rot n , m rot l и т.д. являются константами , являются нулями. Для пространств типа IX величины λ, µ, ν имеют один и тот же знак и можно записать λ = µ = ν = 1 (одновременная смена знака трех констант ничего не меняет). Для пространств типа VIII две константы имеют знак, противоположный знаку третьей константы; можно написать, например, λ = − 1, µ = ν = 1.

Таким образом, изучение влияния возмущения на «моду Каснера» ограничивается изучением влияния λ-содержащих членов в уравнениях Эйнштейна. Пространства типа VIII и IX являются наиболее подходящими моделями для такого исследования. Поскольку все три величины λ, µ, ν в этих типах Бьянки отличны от нуля, условие λ = 0 не выполняется независимо от того, какое направление l , m , n имеет отрицательную степенную зависимость от времени.

Уравнения Эйнштейна для космических моделей типа VIII и типа IX имеют вид

${\begin{aligned}-R_{l}^{l}&={\frac {\left({\dot {a}}bc\right){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\lambda ^{2}a^{4}-\left(\mu b^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}\right]=0,\\-R_{m}^{m}&={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\mu ^{2}b^{4}-\left(\lambda a^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}\right]=0,\\-R_{n}^{n}&={\frac {\left(ab{\dot {c}}\right){\dot {}}}{abc}}+{\frac {1}{2}}\left(a^{2}b^{2}c^{2}\right)\left[\nu ^{2}c^{4}-\left(\lambda a^{2}-\mu b^{2}\right)^{2}\right]=0,\\\end{aligned}}$ ( уравнение 22 )

$-R_{0}^{0}={\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {\ddot {b}}{b}}+{\frac {\ddot {c}}{c}}=0$ ( уравнение 23 )

(остальные компоненты $R_{l}^{0}$, $R_{m}^{0}$, $R_{n}^{0}$, $R_{l}^{m}$, $R_{l}^{n}$, $R_{m}^{n}$тождественные нули). Эти уравнения содержат только функции времени; это условие, которое должно выполняться во всех однородных пространствах. Здесь уравнение. 22 и уравнение. 23 являются точными, и их справедливость не зависит от того, насколько близко они находятся к сингулярности при t = 0.

Производные по времени в уравнении 22 и уравнение. 23 принимают более простой вид, если а , b , с заменить их логарифмами α, β, γ:

$a=e^{\alpha },\ b=e^{\beta },\ c=e^{\gamma },$ ( уравнение 24 )

заменяя переменную t вместо τ согласно:

$dt=abc\ d\tau .$ ( уравнение 25 )

Тогда (индексы обозначают дифференцирование по τ):

${\begin{aligned}2\alpha _{\tau \tau }&=\left(\mu b^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}-\lambda ^{2}a^{4}=0,\\2\beta _{\tau \tau }&=\left(\lambda a^{2}-\nu c^{2}\right)^{2}-\mu ^{2}b^{4}=0,\\2\gamma _{\tau \tau }&=\left(\lambda a^{2}-\mu b^{2}\right)^{2}-\nu ^{2}c^{4}=0,\\\end{aligned}}$ ( уравнение 26 )

${\frac {1}{2}}\left(\alpha +\beta +\gamma \right)_{\tau \tau }=\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+\alpha _{\tau }\gamma _{\tau }+\beta _{\tau }\gamma _{\tau }.$ ( уравнение 27 )

Сложив уравнения (ур. 26 и подставив в левую часть сумму (α + β + γ) _{τ τ} согласно уравн. 27 , получается уравнение, содержащее только первые производные, которое является первым интегралом системы уравн. 26 :

$\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+\alpha _{\tau }\gamma _{\tau }+\beta _{\tau }\gamma _{\tau }={\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}a^{4}+\mu ^{2}b^{4}+\nu ^{2}c^{4}-2\lambda \mu a^{2}b^{2}-2\lambda \nu a^{2}c^{2}-2\mu \nu b^{2}c^{2}\right).$ ( уравнение 28 )

Это уравнение играет роль связующего условия, налагаемого на начальное состояние уравнения. 26 . Уравнение режима Каснера . 8 представляет собой решение уравнения. 26 , если игнорировать все члены в правых частях. Но такая ситуация не может продолжаться (при t → 0) бесконечно, потому что среди этих членов всегда есть такие, которые растут. Таким образом, если отрицательная степень находится в функции a ( t )( p _l = p ₁ ), то возмущение моды Каснера возникнет за счет членов λ ² а ⁴ ; остальные члены будут уменьшаться с уменьшением t . Если в правых частях уравнения оставить только растущие члены. 26 , получаем систему:

$\alpha _{\tau \tau }=-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}e^{4\alpha },\ \beta _{\tau \tau }=\gamma _{\tau \tau }={\frac {1}{2}}\lambda ^{2}e^{4\alpha }$ ( уравнение 29 )

( ср. уравнение 16 ; ниже оно заменено λ ² = 1). Решение этих уравнений должно описывать эволюцию метрики из начального состояния, в котором она описывается уравнением. 8 с заданным набором степеней (при p _l < 0); пусть p _l = р ₁ , p _m = р ₂ , p _n = р ₃ так, что

$a\sim t^{p_{1}},\ b\sim t^{p_{2}},\ c\sim t^{p_{3}}.$ ( уравнение 30 )

Затем

$abc=\Lambda t,\ \tau =\Lambda ^{-1}\ln t+\mathrm {const}$ ( уравнение 31 )

где Λ постоянно. Начальные условия для уравнения. 29 переопределены как

$\alpha _{\tau }=\Lambda p_{1},\ \beta _{\tau }=\Lambda p_{2},\ \gamma _{\tau }=\Lambda p_{3}\ \mathrm {at} \ \tau \to \infty$ ( уравнение 32 )

Уравнения ​ 29 легко интегрируются; решение, удовлетворяющее условию уравн. 32 это

${\begin{cases}a^{2}={\frac {2|p_{1}|\Lambda }{\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau )}},\\b^{2}=b_{0}^{2}e^{2\Lambda (p_{2}-|p_{1}|)\tau }\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau ),\\c^{2}=c_{0}^{2}e^{2\Lambda (p_{2}-|p_{1}|)\tau }\operatorname {ch} (2|p_{1}|\Lambda \tau ),\end{cases}}$ ( уравнение 33 )

где b ₀ и c ₀ — еще две константы.

Легко видеть, что асимптотика функций (ур. 33 при t → 0 — уравнение. 30 . Асимптотические выражения этих функций и функции t (τ) при τ → −∞ имеют вид

$a\sim e^{-\Lambda p_{1}\tau },\ b\sim e^{\Lambda (p_{2}+2p_{1})\tau },\ c\sim e^{\Lambda (p_{3}+2p_{1})\tau },\ t\sim e^{\Lambda (1+2p_{1})\tau }.$

Выражая a , b , c как функции t , имеем

$a\sim t^{p'_{l}},b\sim t^{p'_{m}},c\sim t^{p'_{n}}$ ( уравнение 34 )

где

$p'_{l}={\frac {|p_{1}|}{1-2|p_{1}|}},p'_{m}=-{\frac {2|p_{1}|-p_{2}}{1-2|p_{1}|}},p'_{n}={\frac {p_{3}-2|p_{1}|}{1-2|p_{1}|}}.$ ( уравнение 35 )

Затем

$abc=\Lambda 't,\ \Lambda '=(1-2|p_{1}|)\Lambda .$ ( уравнение 36 )

Вышеупомянутое показывает, что возмущение действует таким образом, что оно меняет одну моду Каснера на другую моду Каснера, и в этом процессе отрицательная степень t переключается с направления l на направление m : если раньше было p _l < 0, то теперь это p' _m < 0. При этом изменении функция a ( t ) проходит через максимум, а b ( t ) проходит через минимум; b , которое раньше уменьшалось, теперь увеличивается: a из возрастающего становится уменьшающимся; и убывающая c ( t ) уменьшается дальше. Само возмущение (λ ² а ^4а в экв. 29 ), которая раньше возрастала, теперь начинает уменьшаться и затухать. Дальнейшая эволюция аналогичным образом приводит к увеличению возмущения от членов с µ ² (вместо λ ² ) в уравнении 26 , следующее изменение режима Каснера и так далее.

Удобно записать правило замены степеней (уравнение). 35 с помощью уравнения параметризации . 5 :

${\begin{matrix}\mathrm {if} &p_{l}=p_{1}(u)&p_{m}=p_{2}(u)&p_{n}=p_{3}(u)\\\mathrm {then} &p'_{l}=p_{2}(u-1)&p'_{m}=p_{1}(u-1)&p'_{n}=p_{3}(u-1)\end{matrix}}$ ( уравнение 37 )

Большая из двух положительных сил остается положительной.

БКЛ называет этот переворот негативной силы между направлениями Каснера эпохой . Ключом к пониманию характера эволюции метрики при приближении к сингулярности является именно этот процесс чередования эпох Каснера с переворачиванием степеней p _l , pm _, n p _{(1 )} по правилу . 37 .

Последовательные чередования ур. 37 с переключением отрицательной степени p ₁ между направлениями l и m (эпохи Каснера) продолжается за счет истощения всей части исходного u до момента, когда u < 1. Значение u < 1 переходит в u > 1 согласно экв. 6 ; в этот момент отрицательная степень равна или _pl pm , _а p n _{становится} меньшим из двух положительных чисел ( p _n = p ₂ ). Затем следующая серия эпох Каснера меняет отрицательную степень между направлениями n и l или между n и m . При произвольном ( иррациональном ) начальном значении и этот процесс альтернирования продолжается неограниченно.

При точном решении уравнений Эйнштейна степени p _l , pm _, n p _теряют свой первоначальный точный смысл. Это обстоятельство вносит некоторую «нечеткость» в определение этих чисел (а вместе с ними и в параметр и ), которая, хотя и мала, делает бессмысленным анализ каких-либо определенных (например, рациональных ) значений и . Следовательно, только те законы, которые касаются произвольных иррациональных значений u , имеют какой-либо конкретный смысл.

Более крупные периоды, в течение которых масштабы пространственных расстояний по двум осям колеблются, а расстояния по третьей оси монотонно уменьшаются, называются эрами ; объемы уменьшаются по закону, близкому к ~ t . уменьшения расстояний При переходе от одной эпохи к другой направление монотонного меняется с одной оси на другую. Порядок этих переходов приобретает асимптотический характер случайного процесса . Такой же случайный порядок характерен и для чередования длин последовательных эр (под длиной эры БКЛ понимает номер эпохи Каснера, которую содержит эра, а не временной интервал).

Каждой эпохе ( s -й эпохе) соответствует ряд значений параметра u, начиная с наибольшего, $u_{\max }^{(s)}$, и через значения $u_{\max }^{(s)}$ − 1, $u_{\max }^{(s)}$ − 2, ..., дойдя до наименьшего, $u_{\min }^{(s)}$ < 1. Тогда

$u_{\min }^{(s)}=x^{(s)},\ u_{\max }^{(s)}=k^{(s)}+x^{(s)},$ ( уравнение 41 )

то есть, к ^{( с )} = [ $u_{\max }^{(s)}$] где скобки означают всю часть значения. Число к ^{( с )} — длина эры, измеряемая количеством эпох Каснера, которые содержит эра. Для следующей эпохи

$u_{\max }^{(s+1)}={\frac {1}{x^{(s)}}},\ k^{(s+1)}=\left[{\frac {1}{x^{(s)}}}\right].$ ( уравнение 42 )

В безграничном ряду чисел u , составленном по этим правилам, существуют бесконечно малые (но никогда не нулевые) значения x ^{( с )} и соответственно бесконечно большие длины k ^{( с )} .

Ряд эпох становится более плотным при приближении к t = 0. Однако естественной переменной для описания временного хода этой эволюции является не мировое время t , а его логарифм, ln t , с помощью которого весь процесс достижения сингулярности расширяется до −∞.

Согласно уравн. 33 , одна из функций a , b , c , проходящая через максимум при переходе между эпохами Каснера, на вершине своего максимума равна

$a_{\max }={\sqrt {2\Lambda |p_{1}(u)|}}$ ( уравнение 38 )

где предполагается, что a _max больше по сравнению с b ₀ и c ₀ ; в экв. 38 u — значение параметра в эпоху Каснера до перехода. Отсюда видно, что пики последовательных максимумов в течение каждой эпохи постепенно понижаются. Действительно, в следующую эпоху Каснера этот параметр имеет значение u' = u − 1, и Λ подставляется согласно (1). 36 с Λ' = Λ(1 - 2| п ₁ ( ты )|). Следовательно, отношение двух последовательных максимумов равно

${\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}=\left[{\frac {p_{1}(u-1)}{p_{1}(u)}}\left(1-2|p_{1}(u)|\right)\right]^{\frac {1}{2}};$

и наконец

${\frac {a'_{\max }}{a_{\max }}}={\sqrt {\frac {u-1}{u}}}\equiv {\sqrt {\frac {u'}{u}}}.$ ( уравнение 39 )

Вышеупомянутое является решением уравнений Эйнштейна в вакууме. Что касается чистой моды Каснера, то материя не меняет качественных свойств этого раствора и может быть записана в него без учета ее реакции на поле. Однако если сделать это для обсуждаемой модели, понимаемой как точное решение уравнений Эйнштейна, то полученная картина эволюции материи не будет носить общий характер и будет специфична для высокой симметрии, присущей данной модели. Математически эта специфика связана с тем, что для обсуждаемой здесь геометрии однородного пространства компоненты тензора Риччи $R_{\alpha }^{0}$ тождественно равны нулю, и поэтому уравнения Эйнштейна не допускают движения материи (что дает ненулевые компоненты тензора энергии-импульса напряжения $T_{\alpha }^{0}$). Другими словами, синхронная система отсчета также должна быть содвижной относительно материи. Если заменить в уравнении 19 ты _α = 0, ты ⁰ = 1, становится ε ~ ( abc ) ^−4/3 ~ т ^−4/3 .

Этой трудности можно избежать, если включить в модель только главные члены предельной (при t → 0) метрики и записать в нее вещество с произвольным начальным распределением плотностей и скоростей. Тогда ход эволюции материи определяется ее общими законами движения ур. 17 и уравнение. 18 , что приводит к уравнению. 21 . В каждую эпоху Каснера плотность увеличивается по закону

$\varepsilon =t^{-2(1-p_{3})},$ ( уравнение 40 )

где p3 _это наибольшее из чисел p1 _, как указано выше , p2 _- , p3 _, . Плотность материи монотонно увеличивается на протяжении всей эволюции к сингулярности.

Эволюция показателей

Очень большие значения u соответствуют степеням Каснера.

$p_{1}\approx -{\frac {1}{u}},\ p_{2}\approx {\frac {1}{u}},\ p_{3}\approx 1-{\frac {1}{u^{2}}},$ ( ур. 43 )

которые близки к значениям (0, 0, 1). Две величины, близкие к нулю, также близки друг другу, поэтому изменения двух из трех типов «возмущений» (членов с λ, µ и ν в правых частях уравнения 26 ) равны тоже очень похож. Если в начале такой длительной эпохи эти члены в момент перехода между двумя эпохами Каснера очень близки по абсолютным значениям (или созданы таковыми искусственно путем задания начальных условий), то они будут оставаться близкими на протяжении большей части длины целой эпохи. эпоха. В этом случае (БКЛ называет это случаем малых колебаний ) анализ, основанный на действии одного типа возмущений, становится некорректным; необходимо учитывать одновременное влияние двух типов возмущений.

Два возмущения

Рассмотрим длительную эпоху, в течение которой две функции a , b , c (пусть это будут a и b ) испытывают небольшие колебания, в то время как третья функция ( c ) монотонно убывает. Последняя функция быстро становится малой; рассмотрим решение только в той области, где можно игнорировать c по сравнению с a и b . Расчеты сначала проводятся для модели пространства IX типа путем подстановки соответственно λ = µ = ν = 1.

После игнорирования функции c первые два уравнения (ур. 26 дать

$\alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }=0,\,$ ( уравнение 44 )

$\alpha _{\tau \tau }-\beta _{\tau \tau }=e^{4\beta }-e^{4\alpha },\,$ ( ур. 45 )

и экв. 28 можно использовать в качестве третьего уравнения, которое принимает вид

$\gamma _{\tau \tau }\left(\alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }\right)=-\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+{\frac {1}{4}}\left(e^{2\alpha }-e^{2\beta }\right)^{2}.$ ( уравнение 46 )

Решение уравнения. 44 записывается в виде

$\alpha +\beta ={\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)+2\ln a_{0},$

где α ₀ , ξ ₀ — положительные константы, а τ ₀ — верхний предел эпохи для переменной τ. Удобно ввести дополнительно новую переменную (вместо τ)

$\xi =\xi _{0}\exp \left[{\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)\right].$ ( ур. 47 )

Затем

$\alpha +\beta =\ln {\frac {\xi }{\xi _{0}}}+2\ln a_{0}.$ ( уравнение 48 )

Уравнения ​ 45 и экв. 46 преобразуются введением переменной χ = α − β:

$\chi _{\xi \xi }={\frac {\chi _{\xi }}{\xi }}+{\frac {1}{2}}\operatorname {sh} 2\chi =0,$ ( ур. 49 )

$\gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\operatorname {ch} 2\chi -1\right).$ ( уравнение 50 )

Уменьшение τ от τ ₀ до −∞ соответствует уменьшению ξ от ξ ₀ до 0. Рассматриваемая здесь длинная эра с близкими a и b (т. е. с малыми χ) получается, если ξ ₀ — очень большая количество. Действительно, при больших ξ решение уравн. 49 в первом приближении на 1/ξ составляет

$\chi =\alpha -\beta ={\frac {2A}{\sqrt {\xi }}}\sin \left(\xi -\xi _{0}\right),$ ( уравнение 51 )

где А — константа; множитель ${\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}$делает χ небольшой величиной, поэтому ее можно подставить в уравнение. 49 по sh 2χ ≈ 2χ.

Из уравнения. 50 получается

$\gamma _{\xi }={\frac {1}{4}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\chi ^{2}\right)=A^{2},\ \gamma =A^{2}\left(\xi -\xi _{0}\right)+\mathrm {const} .$

После определения α и β из уравнения. 48 и уравнение. 51 и расширение e ^а и е ^б последовательно в соответствии с приведенным выше приближением, окончательно получаем:

${\begin{cases}a\\b\end{cases}}=a_{0}{\sqrt {\frac {\xi }{\xi _{0}}}}\left[1\pm {\frac {A}{\sqrt {\xi }}}\sin \left(\xi -\xi _{0}\right)\right],$ ( уравнение 52 )

$c=c_{0}e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.$ ( уравнение 53 )

Связь между переменной ξ и временем t получается путем интегрирования определения dt = abc d τ, что дает

${\frac {t}{t_{0}}}=e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.$ ( уравнение 54 )

Константа c ₀ (значение с при ξ = ξ ₀ ) должна теперь быть c ₀ $\ll$ а ₀ ·

Пространство Бьянки типа VIII (открытое), испытывающее хаотическую динамику BKL (Mixmaster), близкую к сингулярности, в соответствии с правилами уравнения. 35 с начальным $u={\sqrt {13}}$. Особенность находится в центральном пинче поверхности гиперболоида.

Рассмотрим теперь область ξ $\ll$1. Здесь основные члены решения уравнения. 49 из них:

$\chi =\alpha -\beta =k\ln \xi +\mathrm {const} ,\,$

где k — константа в диапазоне − 1 < k < 1; это условие гарантирует, что последний член в уравнении. 49 мало (sh 2χ содержит ξ ^{22 тыс.} и ξ ^{−2 к} ). Тогда, после определения α, β и t , получаем

$a\sim \xi ^{\frac {1+k}{2}},\ b\sim \xi ^{\frac {1-k}{2}},\ c\sim \xi ^{-{\frac {1-k^{2}}{4}}},\ t\sim \xi ^{\frac {3+k^{2}}{4}}.$ ( уравнение 55 )

Это снова режим Каснера с отрицательной степенью t , присутствующей в функции c ( t ).

Эти результаты описывают эволюцию, качественно аналогичную описанной выше. В течение длительного периода времени, соответствующего большому уменьшению значения ξ, две функции a и b колеблются, оставаясь близкими по величине. ${\tfrac {a-b}{a}}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}$; в то же время обе функции a и b медленно ( $\sim {\sqrt {\xi }}$) снижаться. Период колебаний постоянен по переменной ξ: Δξ = 2π (или, что то же самое, с постоянным периодом по логарифмическому времени: Δln t = 2π Α ² ). Третья функция c монотонно убывает по закону, близкому к c = c ₀ t / t ₀ .

Эта эволюция продолжается до тех пор, пока ξ ≈1 и формулы (1). 52 и экв. 53 больше не применимы. Его продолжительность соответствует изменению t от t ₀ до значения t ₁ , связанного с ξ ₀ согласно

$A^{2}\xi _{0}=\ln {\frac {t_{0}}{t_{1}}}.$ ( уравнение 56 )

Зависимость между ξ и t за это время можно представить в виде

${\frac {\xi }{\xi _{0}}}={\frac {\ln {\tfrac {t}{t_{1}}}}{\ln {\tfrac {t_{0}}{t_{1}}}}}.$ ( уравнение 57 )

После этого, как видно из уравнения. 55 , убывающая функция c начинает увеличиваться, в то время как функции a и b начинают уменьшаться. Эта эпоха Каснера продолжается до тех пор, пока условия c ² / а ² б ² в экв. 22 стать ~ т ² и начинается следующая серия колебаний.

Закон изменения плотности в течение рассматриваемой длительной эпохи получается заменой уравнения. 52 в экв. 20 :

$\varepsilon \sim \left({\frac {\xi _{0}}{\xi }}\right)^{2}.$ ( уравнение 58 )

При изменении ξ от ξ ₀ до ξ ≈1 плотность увеличивается $\xi _{0}^{2}$ раз.

Следует подчеркнуть, что хотя функция c ( t ) изменяется по закону, близкому к c ~ t , метрика уравн. 52 не соответствует метрике Каснера со степенями (0, 0, 1). Последнее соответствует точному решению, найденному Таубом. что разрешено уравнениями. 26 – 27 и в котором

$a^{2}=b^{2}={\frac {p}{2}}{\frac {\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}{\mathrm {ch} ^{2}(p\tau +\delta _{2})}},\;c^{2}={\frac {2p}{\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}},$ ( уравнение 59 )

где p , δ1 _, δ2 _{постоянны} . Отсюда в асимптотической области τ → −∞ можно получить a = b = const, c = const. t после замены е ^прт = т . В этой метрике особенность при t = 0 нефизична.

Опишем теперь аналогичное исследование модели VIII типа, подставив в уравнения уравнения 26 ' –' 28 λ = −1, µ = ν = 1.

Если в течение долгой эпохи монотонно убывающая функция равна a , в приведенном выше анализе ничего не меняется: игнорирование a ² в правой части уравнений 26 и 28 , возвращается к тем же уравнениям 49 и 50 (с измененными обозначениями). Однако некоторые изменения происходят, если монотонно убывающая функция равна b или c ; пусть это будет ц .

Как и раньше, уравнение 49 имеет те же символы, и, следовательно, прежние выражения eq. 52 для функций a (ξ) и b (ξ), но уравнение 50 заменяется на

$\gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\mathrm {ch} 2\chi +1\right).$ ( уравнение 60 )

Главный член в целом ξ теперь становится

$\gamma _{\xi }\approx {\frac {1}{8}}\xi \cdot 2,\quad \gamma \approx {\frac {1}{8}}\left(\xi ^{2}-\xi _{0}^{2}\right),$

так что

${\frac {c}{c_{0}}}={\frac {t}{t_{0}}}=e^{-{\frac {1}{8}}\left(\xi _{0}^{2}-\xi ^{2}\right)}.$ ( уравнение 61 )

Значение c как функция времени t снова равно c = c ₀ t / t _0, но зависимость ξ от времени меняется. Длина длинной эры зависит от ξ ₀ согласно

$\xi _{0}={\sqrt {8\ln {\frac {t}{t_{0}}}}}.$ ( уравнение 62 )

С другой стороны, величина ξ ₀ определяет количество колебаний функций a и b за эпоху (равное ξ ₀ /2π). При длине эры в логарифмическом времени (т. е. при заданном отношении t ₀ / t ₁ ) число колебаний для типа VIII будет, вообще говоря, меньше, чем для типа IX. Для периода колебаний теперь получаем Δln t = πξ/2; в отличие от типа IX, период не постоянен на протяжении всей долгой эры и медленно убывает вместе с ξ.

Мелкий домен

Длинные эпохи нарушают «правильный» ход эволюции, что затрудняет изучение эволюции временных интервалов, охватывающих несколько эр. Однако можно показать, что такие «аномальные» случаи возникают при спонтанной эволюции модели к особой точке за асимптотически малые времена t на достаточно больших расстояниях от начальной точки с произвольными начальными условиями. Даже в длительные эпохи обе колебательные функции при переходах между эпохами Каснера остаются настолько разными, что переход происходит под влиянием только одного возмущения. Все результаты этого раздела в равной степени относятся к моделям типов VIII и IX.

В каждую эпоху Каснера abc = Λ t , т. е. α + β + γ = ln Λ + ln t . При переходе от одной эпохи (с заданным значением параметра u ) к следующей константа Λ умножается на 1 + 2 p ₁ = (1 – u + u ² )/(1 + и + и ² ) < 1. Таким образом, имеет место систематическое уменьшение Λ. Но существенно, что среднее (по длинам k эр) значение всего изменения ln Λ за эпоху конечно. На самом деле расхождение среднего значения могло быть обусловлено лишь слишком быстрым увеличением этого изменения с ростом k . Для большого значения параметра u ln(1 + 2 p ₁ ) ≈ −2/ u . При большом k максимальное значение u ^(Макс) = к + х ≈ к. Следовательно, все изменение ln Λ в течение эпохи определяется суммой вида

$\sum \ln \left(1+2p_{1}\right)=\dots +{\frac {1}{k-2}}+{\frac {1}{k-1}}+{\frac {1}{k}}$

только те члены, которые соответствуют большим значениям u записывая . Когда k увеличивается, эта сумма увеличивается как ln k . Но вероятность появления эры большой длины k уменьшается как 1/ k ₂ согласно (1). 76 ; следовательно, среднее значение приведенной выше суммы конечно. Следовательно, систематическое изменение величины ln Λ на протяжении большого числа эпох будет пропорционально этому числу. Но это видно из уравнения. 85 видно, что при t → 0 число s увеличивается просто по закону ln |ln t |. Таким образом, в асимптотическом пределе сколь угодно малых t членом ln Λ действительно можно пренебречь по сравнению с ln t . В этом приближении

$\alpha +\beta +\gamma =-\Omega ,\,$ ( уравнение 63 )

где Ω обозначает «логарифмическое время»

$\Omega =-\ln t.\,$ ( уравнение 64 )

а процесс смены эпох можно рассматривать как серию кратких вспышек времени. Систематическому изменению подвержены и величины максимумов осциллирующих масштабных функций. Из уравнения. 39 при u ≫ 1 следует, что $a_{\max }^{\prime }-a_{\max }\approx -1/2u$. Отсюда, так же, как это было сделано выше для величины ln Λ, можно сделать вывод, что среднее уменьшение высоты максимумов за эпоху конечно, а общее уменьшение за большое число эпох увеличивается с t → 0 всего лишь как ln Ом. При этом понижение минимумов, а тем самым и увеличение амплитуды колебаний , происходят ( уравнение 77 ) пропорционально Ω. В соответствии с принятым приближением понижением максимумов пренебрегают по сравнению с увеличением амплитуд, так что α _max = 0, β _max = 0, γ _max = 0 для максимальных значений всех осциллирующих функций и величин α, β , γ проходят только через отрицательные значения, которые связаны друг с другом в каждый момент времени соотношением 63 .

Изменение α, β и γ в зависимости от логарифмического времени Ω в течение одной эпохи. Вертикальные штриховые линии обозначают изменения эпох Каснера, соответствующие линейным участкам кривых. Сверху указаны значения параметра u , определяющего показатели Казнера. Последняя эпоха имеет большую продолжительность, если x мало. В первую эпоху следующей эры γ начинает возрастать и α становится монотонно убывающей функцией.

Учитывая такую ​​мгновенную смену эпох, переходные периоды игнорируются как малые по сравнению с длиной эпохи; это условие фактически выполняется. Замена максимумов α, β и γ нулями требует, чтобы величины ln (| p ₁ |Λ) были малы по сравнению с амплитудами колебаний соответствующих функций. Как уже говорилось выше , при переходах между эпохами | р ₁ | значения могут стать очень малыми, а их величина и вероятность возникновения не связаны с амплитудами колебаний в соответствующий момент. Поэтому в принципе можно достичь столь малого | р ₁ | значения, при которых вышеуказанное условие (нулевые максимумы) нарушается. Такое резкое падение α _max может привести к различным особым ситуациям, в которых переход между эпохами Каснера по правилу (1). 37 становится неправильным (включая ситуации, описанные выше ). Эти «опасные» ситуации могут нарушить законы, используемые для статистического анализа ниже. Однако, как уже упоминалось, вероятность таких отклонений асимптотически стремится к нулю; этот вопрос будет обсуждаться ниже.

Рассмотрим эпоху, содержащую k эпох Каснера с параметром u, проходящим через значения

$u_{n}=k+x-1-n,\quad n=0,1,\cdots ,k-1,$ ( уравнение 65 )

и пусть α и β — осциллирующие функции в эту эпоху (рис. 4).

Начальные моменты эпох Каснера с параметрами равны _un Ω _n . В каждый начальный момент одно из значений α или β равно нулю, а другое имеет минимум. Значения α или β в последовательных минимумах, т. е. в моменты Ω _n , равны

$\alpha _{n}=-\delta _{n}\Omega _{n}\,$ ( уравнение 66 )

(не различая минимумы α и β). Значения δ _n , которые измеряют эти минимумы в соответствующих единицах Ω _n , могут принимать значения от 0 до 1. Функция γ монотонно убывает в течение этой эпохи; согласно ур. 63 его значение в момент Ω _n равно

$\gamma _{n}=-\Omega _{n}(1-\delta _{n}).\,$ ( уравнение 67 )

В течение эпохи, начинающейся в момент Ω _n и заканчивающейся в момент Ω _{n +1,} одна из функций α или β возрастает от −δ _n Ω _n до нуля, а другая убывает от 0 до −δ _{n +1} Ω _{n +1} по линейному закону. законы соответственно:

$\mathrm {const} +|p_{1}(u_{n})|\Omega \,$ и $\mathrm {const} -p_{2}(u_{n})\Omega \,$

что приводит к рекуррентному соотношению

$\delta _{n+1}\Omega _{n+1}={\frac {1+u_{n}}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {1+u_{0}}{u_{n}}}\delta _{0}\Omega _{0}$ ( уравнение 68 )

и для логарифмической длины эпохи

$\Delta _{n+1}\equiv \Omega _{n+1}-\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})(1+u_{n-1})}{f(u_{n-1})u_{n}}}\Delta _{n},$ ( уравнение 69 )

где, для краткости, f ( u ) = 1 + u + u ² . Сумма n длин эпох получается по формуле

$\Omega _{n}-\Omega _{0}=\left[n(n-1)+{\frac {nf(u_{n-1})}{u_{n-1}}}\right]\delta _{0}\Omega _{0}.$ ( уравнение 70 )

Это видно из уравнения. 68, что |α _n+1 | > |α _n |, т. е. амплитуды колебаний функций α и β увеличиваются в течение всей эпохи, хотя коэффициенты δ _n могут быть малы. Если минимум в начале эры глубокий, следующие минимумы не станут мельче; другими словами, вычет |α — β| в момент перехода между эпохами Каснера остается большой. Это утверждение не зависит от длины эры k, поскольку переходы между эпохами определяются общим правилом (уравнением). 37 также для длинных эпох.

Амплитуда последнего колебания функций α или β в данную эпоху связана с амплитудой первого колебания соотношением |α _{k −1} | знак равно |α ₀ | ( к + х ) / (1 + х ). Даже при k значениях , составляющих несколько единиц, x можно пренебречь по сравнению с k, так что увеличение амплитуд колебаний α и β становится пропорциональным длине эры. Для функций a = e ^а и б = е ^б это означает, что если амплитуда их колебаний в начале эры была А ₀ , то в конце этой эры амплитуда станет $A_{0}^{k/(1+x)}$.

Продолжительность эпох Каснера (в логарифмическом времени) также увеличивается внутри данной эры; это легко вычислить из уравнения. 69 , что Δ _{n +1} > Δ _n . Общая продолжительность эпохи составляет

$\Omega _{0}^{\prime }-\Omega _{0}\equiv \Omega _{k}-\Omega _{0}=k\left(k+x+{\frac {1}{x}}\right)\delta _{0}\Omega _{0}$ ( уравнение 71 )

(член с 1/ x возникает из последней, k -й эпохи, длина которой велика при малых x ; ср. рис. 2). Момент Ω _n окончания k -й эпохи данной эры одновременно является моментом Ω' ₀ начала следующей эры.

В первую эпоху Каснера новой эры функция γ первой поднимается от минимального значения γ _k = − Ω _k (1 − δ _k ), которого она достигла в предыдущую эпоху; эта величина играет роль стартовой амплитуды δ' ₀ Ω' ₀ для новой серии колебаний. Легко получить, что:

$\delta _{0}^{\prime }\Omega _{0}^{\prime }=\left(\delta _{0}^{-1}+k^{2}+kx-1\right)\delta _{0}\Omega _{0}.$ ( ур. 72 )

Очевидно, что δ' ₀ Ω' ₀ > δ ₀ Ω ₀ . Даже при не очень больших k увеличение амплитуды весьма существенно: функция c = e ^с начинает колебаться по амплитуде $A_{0}'\sim A_{0}^{k^{2}}$. Вопрос об упомянутых выше «опасных» случаях резкого понижения верхнего предела колебаний пока оставлен в стороне.

Согласно уравн. 40 прирост плотности вещества в течение первых ( k − 1) эпох определяется формулой

$\ln \left({\frac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _{n}}}\right)=2\left[1-p_{3}(u_{n})\right]\Delta _{n+1}.$

Для последней k эпохи данной эры при u = x <1 наибольшая степень равна p ₂ ( x ) (а не p ₃ ( x ) ). Поэтому для роста плотности за всю эпоху получим

$\ln \left({\frac {\varepsilon _{k}}{\varepsilon _{0}}}\right)\equiv \ln \left({\frac {\varepsilon _{0}'}{\varepsilon _{0}}}\right)=2(k-1+x)\delta _{0}\Omega _{0}.$ ( уравнение 73 )

Поэтому даже при не очень больших k значениях $\varepsilon _{0}'/\varepsilon _{0}\sim A_{0}^{2k}$. В течение следующей эпохи (с длиной k ') плотность будет расти быстрее из-за увеличившейся стартовой амплитуды A0 _: ' $\varepsilon _{0}''/\varepsilon _{0}'\sim A_{0}'^{2k''}\sim A_{0}^{2k^{2}k'}$и т. д. Эти формулы иллюстрируют резкое увеличение плотности вещества.

сингулярности

Последовательность длин эпох k ^{( с )} , измеряемый числом содержащихся в них эпох Каснера, приобретает асимптотически характер случайного процесса. То же самое относится и к последовательности перестановок пар осциллирующих функций при переходе от одной эпохи к другой (это зависит от того, являются ли числа k ^{( с )} четные или нечетные). Источником этой стохастичности является правило уравнений. 41 – 42, согласно которым переход от одной эпохи к другой определяется бесконечной числовой последовательностью значений u . Другими словами, это правило гласит, что если вся бесконечная последовательность начинается с определенного начального значения $u_{\max }^{(0)}=k^{(0)}+x^{(0)}$, то длины эпох k ⁽⁰⁾ , к ⁽¹⁾ , ..., — числа в цепной дроби разложении

$k^{(0)}+x^{(0)}=k^{(0)}+{\frac {1}{k^{(1)}+{\frac {1}{k^{(2)}+\dots }}}}.$ ( уравнение 73а )

Это разложение соответствует преобразованию отображения отрезка [0, 1] на себя по формуле Tx = {1/ x }, т. е. x _{s +1} = {1/ x _s }. Это преобразование принадлежит к так называемым расширяющим преобразованиям интервала [0, 1], т. е. преобразованиям x → f ( x ) с | ж ' ( Икс ) | > 1. Такие преобразования обладают свойством экспоненциальной неустойчивости: если взять изначально две близкие точки, их взаимное расстояние увеличивается экспоненциально при итерациях преобразований. Хорошо известно, что экспоненциальная неустойчивость приводит к появлению сильных стохастических свойств.

Можно перейти к вероятностному описанию такой последовательности, рассматривая не определенное начальное значение x ⁽⁰⁾ но значения x ⁽⁰⁾ = x, распределенные в интервале от 0 до 1 в соответствии с некоторым вероятностным законом распределения w ₀ ( x ). Тогда значения x ^(с) завершение каждой эпохи также будет иметь распределения, подчиняющиеся определенным законам w _s (x) . Пусть w _s (x)dx — вероятность того, что s -я эра завершится со значением $u_{\max }^{(s)}=x$ лежащий в заданном интервале dx .

Значение х ^(с) = x , завершающий s -ю эру, может возникнуть из начальных (для этой эры) значений $u_{\max }^{(s)}=x+k$, где к = 1, 2, ...; эти ценности $u_{\max }^{(s)}$ соответствуют значениям x ^{( с –1)} = 1/( k + x ) для предыдущей эпохи. Учитывая это, можно записать следующее рекуррентное соотношение, выражающее распределение вероятностей w _s (x) через распределение w _{s –1} ( x ):

$w_{s}(x)dx=\sum _{k=1}^{\infty }w_{s-1}\left({\frac {1}{k+x}}\right)\left\vert d{\frac {1}{k+x}}\right\vert$

или

$w_{s}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\left(k+x\right)^{2}}}w_{s-1}\left({\frac {1}{k+x}}\right).$ ( уравнение 73c )

Если распределение w _s ( x ) стремится с ростом s к стационарному (независимому от s ) предельному распределению w ( x ), то последнее должно удовлетворять уравнению, полученному из уравнения. 73c , опустив индексы функций w _{s −1} ( x ) и w _s ( x ). Это уравнение имеет решение

$w(x)={\frac {1}{\left(1+x\right)\ln 2}}$ ( уравнение 74 )

(нормирован на единицу и приведен к первому порядку по x ).

Чтобы s -я эра имела длину k , предыдущая эра должна заканчиваться номером x в интервале между 1/( k + 1) и 1/ k . Следовательно, вероятность того, что эра будет иметь длину k , равна (в стационарном пределе)

$W(k)=\int \limits _{1/(k+1)}^{1/k}w(x)\,dx={\frac {1}{\ln 2}}\ln {\frac {(k+1)^{2}}{k(k+2)}}.$ ( уравнение 75 )

При больших значениях k

$W(k)\approx {\frac {1}{k^{2}\ln 2}}.$ ( уравнение 76 )

Связывая статистические свойства космологической модели с эргодическими свойствами преобразования x _{s +1} = {1/ x _s }, необходимо отметить важный момент. В бесконечной последовательности чисел x, построенной по этому правилу, сколь угодно малые (но никогда не обращающиеся в нуль) значения x будут наблюдаться , соответствующие сколь угодно большим длинам k. Подобные случаи могут (вовсе не обязательно!) порождать некоторые специфические ситуации, когда понятие эр, как последовательностей эпох Каснера, сменяющих друг друга по правилу (1). 37 , теряет смысл (хотя колебательный характер эволюции модели все еще сохраняется). Такая «аномальная» ситуация может проявляться, например, в необходимости сохранить в правой части уравнения. 26 термов не только с одной из функций a , b , c (скажем, a ⁴ ), как и в случае «обычной» смены эпох Каснера, но одновременно с двумя из них (скажем , ⁴ , б ⁴ , а ² б ² ).

При выходе из «аномальной» серии колебаний восстанавливается последовательность регулярных эр. Статистический анализ поведения модели, полностью основанный на регулярных итерациях преобразований уравнения . 42 подтверждается важной теоремой: вероятность появления аномальных случаев асимптотически стремится к нулю по мере увеличения числа итераций s → ∞ (т. е. времени t → 0), что доказано в конце этого раздела. Справедливость этого утверждения во многом обусловлена ​​очень быстрой скоростью увеличения амплитуд колебаний в каждую эпоху и особенно при переходе от одной эпохи к другой.

Однако процесс релаксации космологической модели к «стационарному» статистическому режиму (с t → 0, начиная с данного «начального момента») менее интересен, чем свойства самого этого режима с учетом конкретных условий. законы изменения физических характеристик модели в течение последовательных эпох.

Представление о скорости установления стационарного распределения можно получить из следующего примера. Пусть начальные значения x ⁽⁰⁾ быть распределены в узком интервале шириной δ x ⁽⁰⁾ о каком-то определенном числе. Из рекуррентного соотношения (упр.) 73в (или непосредственно из уравнения разложения 73а ) легко заключить, что ширины распределений w _s ( x ) (около других определенных чисел) будут тогда равны

$\delta x^{(s)}\approx \delta x^{(0)}\cdot k^{(1)2}k^{(2)2}\dots k^{(s)2}$ ( уравнение 76a )

(это выражение справедливо только до тех пор, пока оно определяет величины δ x ^(с) ≪ 1).

Среднее значение ${\bar {k}}$, рассчитанное по этому распределению, расходится логарифмически. Для последовательности, обрезанной по очень большому, но все же конечному числу N , имеем ${\bar {k}}\sim \ln N$. Полезность среднего значения в этом случае весьма ограничена из-за его нестабильности: из-за медленного уменьшения W ( k ) колебания k расходятся быстрее, чем его среднее значение. Более адекватной характеристикой этой последовательности является вероятность того, что случайно выбранное из нее число принадлежит эпохе длины K , где K велико. Эта вероятность равна ln K / N. ln Это мало, если $1\ll K\ll N$. В этом отношении можно сказать, что случайно выбранное число из данной последовательности с высокой вероятностью принадлежит длинной эпохе.

Удобно усреднять выражения, зависящие одновременно от k ^{( с )} и х ^{( с )} . Поскольку обе эти величины получены из одной и той же величины x ^{( с –1)} (что завершает предыдущую эпоху) в соответствии с формулой k ^{( с )} + х ^{( с )} = 1/ х ^{( с –1)} , их статистические распределения нельзя считать независимыми. Совместное распределение W _s ( k , x ) dx обеих величин можно получить из распределения w _{s –1} ( x ) dx, сделав в последнем замену x → 1/( x + k ). Другими словами, функция W _s ( k , x ) задается самим выражением под знаком суммы в правой части уравнения. 73с . В стационарном пределе, взяв w из уравнения. 74 , получаем

$W(k,x)={\frac {k+x+1}{\left(k+x\right)\ln 2}}.$ ( уравнение 76b )

Суммирование этого распределения по k возвращает нас к уравнению. 74 , и интегрирование по dx в уравнение. 75 .

Рекуррентные формулы, определяющие переходы между эпохами, переписаны с индексом s , нумерующим последовательные эры (а не эпохи Каснера в данной эпохе!), начиная с некоторой эры ( s = 0), определенной как начальная. Ом ^{( с )} и ε ^{( с )} – соответственно начальный момент и начальная плотность материи в s -ю эру; δ ^{( с )} Ой ^{( с )} — начальная амплитуда колебаний той пары функций α, β, γ, которая колеблется в данную эпоху: k ^{( с )} — продолжительность s -й эры, а x ^{( с )} определяет длину (количество эпох Каснера) следующей эры по k ^{( с +1)} = [1/ х ^{( с )} ]. Согласно уравнениям 71 – 73

$\Omega ^{(s+1)}/\Omega ^{(s)}=1+\delta ^{(s)}k^{(s)}\left(k^{(s)}+x^{(s)}+{\frac {1}{x^{(s)}}}\right)\equiv \exp \xi ^{(s)},$ ( ур. 77 )

$\delta ^{(s+1)}=1-{\frac {\left(k^{(s)}/x^{(s)}+1\right)\delta ^{(s)}}{1+\delta ^{(s)}k^{(s)}\left(1+x^{(s)}+1/x^{(s)}\right)}},$ ( уравнение 78 )

$\ln \left({\frac {\varepsilon ^{(s+1)}}{\varepsilon ^{(s)}}}\right)=2\left(k^{(s)}+x^{(s)}-1\right)\delta ^{(s)}\Omega ^{(s)}$ ( уравнение 79 )

(ИКС ^{( с )} введен в уравнение. 77, который будет использоваться далее).

Величины δ ^{( с )} имеют устойчивое стационарное статистическое распределение P (δ) и стабильное (небольшие относительные колебания) среднее значение. За их решимость КЛ в соавторстве с Ильей Лифшицем , братом Евгения Лифшица, использован (с соответствующими оговорками) приближенный метод, основанный на предположении статистической независимости случайной величины δ. ^{( с )} и случайных величин k ^{( с )} , Икс ^{( с )} . Для функции P (δ) было составлено интегральное уравнение, выражающее тот факт, что величины δ ^{( с +1)} и δ ^{( с )} связаны между собой соотношением ур. 78 имеют такое же распределение; это уравнение было решено численно. В более поздней работе Халатников и др. показал, что распределение P (δ) действительно можно найти именно аналитическим методом (см. рис. 5 ).

Для статистических свойств в стационарном пределе разумно ввести так называемое естественное расширение преобразования Tx = {1/ x }, продолжив его без ограничения на отрицательные индексы. Иначе говоря, это переход от односторонней бесконечной последовательности чисел ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...), связанной равенствами Tx = {1/ x }, к «вдвойне бесконечной» последовательность X = (..., x ₋₁ , x ₀ , x ₁ , x ₂ , ...) чисел, связанных одними и теми же равенствами для всех –∞ < s < ∞. Конечно, такое разложение не является единственным в прямом смысле слова (поскольку x _{s –1} не определяется однозначно x _s ), но все статистические свойства расширенной последовательности однородны на всей ее длине, т. е. инвариантны относительно относительно произвольного сдвига (и x ₀ теряет смысл «начального» состояния). Последовательность X эквивалентна последовательности целых чисел K = (..., k ₋₁ , k ₀ , k ₁ , k ₂ , ...), построенной по правилу k _s = [1/ x _{s –1} ] . И наоборот, каждое число X определяется целыми числами K как бесконечное число. непрерывная дробь

$x_{s}={\frac {1}{k_{s+1}+{\frac {1}{k_{s+2}+\dots }}}}\equiv x_{s+1}^{+}$ ( уравнение 79a )

(удобство введения обозначений $x_{s+1}^{+}$со смещенным на 1 индексом, станет ясно из дальнейшего). Для краткости обозначения непрерывная дробь обозначается просто перечислением (в квадратных скобках) ее знаменателей; тогда определение $x_{s}^{+}$ можно записать как

$x_{s}^{+}=\left[k_{s},k_{s+1},\dots \right]$ ( уравнение 79b )

Обратные величины определяются непрерывной дробью с ретроградной (в сторону убывания индексов) последовательностью знаменателей.

$x_{s}^{-}=\left[k_{s-1},k_{s-2},\dots \right]$ ( уравнение 79c )

Рекуррентное соотношение уравн. 78 преобразуется путем временного введения обозначения η _s = (1 − δ _s )/δ _s . Тогда уравнение. 78 можно переписать как

$\eta _{s+1}={\frac {1}{\eta _{s}x_{s-1}+k_{s}}}$

Итерацией получается бесконечная непрерывная дробь.

$\eta _{s+1}x_{s}=\left[k_{s},k_{s-1},\dots \right]=x_{s+1}^{-}$

Следовательно $\eta _{s}=x_{s}^{-}/x_{s}^{+}$ и наконец

$\delta _{s}={\frac {x_{s}^{+}}{x_{s}^{+}+x_{s}^{-}}}$ ( уравнение 79d )

Это выражение для δ _s содержит только два (вместо трёх в ) случайные величины $x_{s}^{+}$ и $x_{s}^{-}$, каждое из которых принимает значения в интервале [0, 1].

Это следует из определения уравнения. 79с это $1/x_{s}^{-}=x_{s}^{-}+k_{s}=x_{s}^{-}+\left[1/x_{s}^{+}\right]$. Следовательно, сдвиг всей последовательности X на один шаг вправо означает совместное преобразование величин $x_{s}^{+}$ и $x_{s}^{-}$ в соответствии с

$x_{s+1}^{+}={\frac {1}{x_{s}^{+}}},\quad x_{s+1}^{-}={\frac {1}{{\frac {1}{x_{s}^{+}}}+x_{s}^{-}}}$ ( уравнение 79e )

Это взаимно однозначное отображение в единичном квадрате . Таким образом, теперь мы имеем взаимно однозначное преобразование двух величин вместо неоднозначного преобразования Tx = {1/ x } одной величины.

Количества $x_{s}^{+}$ и $x_{s}^{-}$ имеют совместное стационарное распределение P ( x ⁺ , Икс ⁻ ). Поскольку уравнение 79e представляет собой взаимно однозначное преобразование, условие стационарности распределения выражается просто функциональным уравнением

$P\left(x_{s}^{+},x_{s}^{-}\right)=P\left(x_{s+1}^{+},x_{s+1}^{-}\right)J$ ( уравнение 79f )

где J — якобиан преобразования.

Сдвиг последовательности X на один шаг приводит к следующему преобразованию Т единичного квадрата:

$x^{\prime }={\frac {1}{x}},\quad y^{\prime }={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}}$

(с $x\equiv x_{0}^{+}$, $y\equiv x_{0}^{-}$, ср. экв. 79д ). Плотность P ( x , y ) определяет инвариантную меру этого преобразования. Естественно предположить, что P ( x , y ) — симметричная функция от x и y . Это означает, что мера инвариантна относительно преобразования S ( x , y ) = ( y , x ) и, следовательно, относительно произведения ST с ST ( x , y ) = ( x″ , y″ ) и

$x''={\frac {1}{{\frac {1}{x}}+y}},\quad y''={\frac {1}{x}}$

Очевидно, ST имеет первый интеграл H = 1/ x + y . На прямой H = const ≡ c преобразование имеет вид

${\frac {1}{x''}}=\left[{\frac {1}{x}}\right]+y=\left[{\frac {1}{x}}\right]+c-{\frac {1}{x}}=c-\left\{{\frac {1}{x}}\right\}$

Следовательно, инвариантная плотность меры ST должна иметь вид

$f(c)\ dc\ d{\frac {1}{x}}=f\left({\frac {1}{x}}+y\right){\frac {1}{x^{2}}}dx\ dy$

Учитывая симметрию P ( x , y ) = P ( y , x ), это становится f ( c ) = c ⁻² и, следовательно (после нормализации)

$P\left(x_{s}^{+},x_{s}^{-}\right)={\frac {1}{\left(1+x^{+}x^{-}\right)^{2}\ln 2}}$ ( ур. 79g )

(его интегрирование по x ⁺ или х ^– дает функцию w ( x ) eq. 74 ). Сведение преобразования к взаимно однозначному отображению уже использовалось Черноффом и Барроу. и они получили формулу вида уравнения. 79g , но для других переменных; их статья не содержит приложений к проблемам, рассматриваемым в работе Халатникова и др.

Корректность уравнения. 79g можно проверить также непосредственным расчетом; якобиан уравнения преобразования . 79е это

$J={\frac {\partial \left(x_{s+1}^{+},x_{s+1}^{-}\right)}{\partial \left(x_{s}^{+},x_{s}^{-}\right)}}={\frac {\partial x_{s+1}^{+}}{\partial x_{s}^{+}}}{\frac {\partial x_{s+1}^{-}}{\partial x_{s}^{-}}}=\left({\frac {x_{s+1}^{+}}{x_{s}^{+}}}\right)^{2}$

(при его расчете следует учитывать, что $\left[1/x_{s}^{+}\right]+\left\{1/x_{s}^{+}\right\}=1/x_{s}^{+}$).

Функция распределения вероятностей P (δ). Красная линия: точное уравнение функции. 79ч . Синяя линия: приближенное решение интегрального уравнения в. Обе кривые кажутся поразительно похожими, а средние значения обоих распределений равны 0,50.

Поскольку по уравн. 79d δ _s выражается через случайные величины x ⁺ и х ⁻ , знание их совместного распределения позволяет вычислить статистическое распределение P (δ) путем интегрирования P ( x ⁺ , Икс ⁻ ) по одной из переменных при постоянном значении δ. Ввиду симметрии функции уравн. 79g по переменным x ⁺ и х ⁻ , P (δ) = P (1 − δ), т. е. функция P (δ) симметрична относительно точки δ = 1/2. Затем

$P(\delta )\ d\delta =d\delta \int _{0}^{1}P\left(x^{+},{\frac {x^{+}\delta }{1-\delta }}\right)\left({\frac {\partial x^{-}}{\partial \delta }}\right)_{x^{+}}dx^{+}$

Вычислив этот интеграл (для 0 ≤ δ ≤ 1/2 и затем воспользовавшись вышеупомянутой симметрией), наконец,

$P(\delta )={\frac {1}{\left(|1-2\delta |+1\right)\ln 2}}$ ( уравнение 79h )

Среднее значение ${\bar {\delta }}$= 1/2 уже в результате симметрии функции P (δ). Таким образом, среднее значение начальной (в каждую эпоху) амплитуды колебаний функций α, β, γ возрастает как Ω/2.

Статистическая связь между большими временными интервалами Ω и количеством содержащихся в них эр находится путем многократного применения уравнения (1). 77 :

${\frac {\Omega ^{(s)}}{\Omega ^{(0)}}}=\exp \left(\sum _{p=0}^{s-1}\xi ^{(p)}\right).$ ( уравнение 80 )

Однако прямое усреднение этого уравнения не имеет смысла: из-за медленного убывания функции W ( k ) урав. 76 , средние значения величины exp ξ ^{( с )} неустойчивы в указанном смысле – с увеличением области усреднения колебания растут даже быстрее, чем само среднее значение. Эта неустойчивость устраняется логарифмированием: «дважды логарифмического» интервала времени

$\tau _{s}\equiv \ln \left({\frac {\Omega ^{(s)}}{\Omega ^{(0)}}}\right)=\ln |\ln t_{s}|-\ln |\ln t_{0}|=\sum _{p=0}^{s-1}\xi ^{(p)}$ ( уравнение 81 )

выражается суммой величин ξ ^{( п )} которые имеют стабильное статистическое распределение. Среднее значение τ составляет ${\bar {\tau }}=s{\bar {\xi }}$. Вычислять ${\bar {\xi }}$обратите внимание, что уравнение 77 можно переписать как

$\xi _{s}=\ln {\frac {\left(k_{s}+x_{s}\right)\delta _{s}}{x_{s}\left(1-\delta _{s+1}\right)}}=\ln {\frac {\delta _{s}}{x_{s}x_{s-1}\left(1-\delta _{s+1}\right)}}$ ( уравнение 81a )

Для стационарного распределения ${\overline {\ln x_{s}}}={\overline {\ln x_{s-1}}}$, а в силу симметричности функции P (δ) также ${\overline {\ln \delta _{s}}}={\overline {\ln \left(\delta _{s+1}\right)}}$. Следовательно

${\bar {\xi }}=-2{\overline {\ln x}}=-2\int _{0}^{1}w(x)\ln x\ dx={\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}=2.37$

( w ( x ) из уравнения 74 ). Таким образом

${\overline {\tau _{s}}}=2.37s,$ ( ур. 82 )

который определяет средний дважды логарифмический интервал времени, содержащий s последовательных эр.

При больших s количество членов в сумме уравн. 81 велико и согласно общим теоремам эргодической теории значения τ _s распределены вокруг ${\overline {\tau _{s}}}$ по закону Гаусса с плотностью

$\rho (\tau _{s})=\left(2\pi D_{\tau }\right)^{-1/2}\exp \left[-\left(\tau _{s}-{\overline {\tau _{s}}}\right)^{2}/2D_{\tau }\right]$ ( уравнение 82a )

Расчет дисперсии D _τ более сложен, поскольку не только знание ${\bar {\xi }}$ и ${\overline {\xi ^{2}}}$ необходимы, но и корреляции ${\overline {\xi _{p}\xi _{p\prime }}}$. Расчет можно упростить, переставив члены в сумме уравнения. 81 . Используя уравнение 81а сумму можно переписать как

$\sum _{p=1}^{s}\xi _{p}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p+1}\right)x_{p}x_{p-1}}}=\ln \prod _{p=1}^{s}{\frac {\delta _{p}}{\left(1-\delta _{p}\right)x_{p-1}^{2}}}+\ln {\frac {x_{0}}{x_{s}}}+\ln {\frac {1-\delta _{1}}{1-\delta _{s+1}}}$

Последние два члена не увеличиваются с увеличением s ; эти члены можно опустить, поскольку предельные законы для больших s являются доминирующими. Затем

$\sum _{p=1}^{s}\xi _{p}=\sum _{p=1}^{s}\ln {\frac {x_{p}^{-}}{x_{p}^{+}}}$ ( уравнение 82b )

выражение (79d) для δ _p ( учтено ). С той же точностью (т. е. с точностью до членов, не возрастающих с ростом s ) справедливо равенство

$\sum _{p=1}^{s}\xi _{p}^{+}=\sum _{p=1}^{s}\xi _{p}^{-}$ ( уравнение 82c )

действует. Действительно, в силу уравн. 79е

$x_{p+1}^{+}+{\frac {1}{x_{p+1}^{-}}}={\frac {1}{x_{p}^{+}}}+x_{p}^{-}$

и поэтому

$\ln \left(1+x_{p+1}^{+}x_{p+1}^{-}\right)-\ln x_{p+1}^{-}=\ln \left(1+x_{p}^{+}x_{p}^{-}\right)-\ln x_{p}^{+}$

Суммируя это тождество по p eq. 82с получается. Наконец снова с той же точностью $x_{p}^{+}$ меняется на x _p под знаком суммы и, таким образом, представляем τ _s как

$\tau _{s}=\sum _{p=1}^{\infty }\eta _{p},\quad \eta _{p}=-2\ln x_{p}$ ( ур. 83 )

Дисперсия этой суммы в пределе больших s равна

$D_{{\tau }_{s}}={\overline {\left(\tau _{s}-{\overline {\tau _{s}}}\right)^{2}}}\approx s\left\{{\overline {\eta ^{2}}}-{\bar {\eta }}^{2}+2\sum _{p=1}^{\infty }\left({\overline {\eta _{0}\eta _{p}}}-{\bar {\eta }}^{2}\right)\right\}$ ( уравнение 84 )

Учтено, что в силу статистической однородности последовательности X корреляции ${\overline {\eta _{p}\eta _{p\prime }}}$зависят только от различий | р - р '|. Среднее значение ${\bar {\eta }}={\bar {\xi }}$; средний квадрат

${\overline {\eta ^{2}}}=4\int _{0}^{1}w(x)\ln ^{2}x\ dx={\frac {6\xi (3)}{\ln 2}}=10.40$

Учитывая также значения корреляций ${\overline {\eta _{0}\eta _{p}}}$с р = 1, 2, 3 конечный результат D _{τ s} = (3,5 ± 0,1) с (рассчитано численно) получен .

При увеличении s относительное колебание $D_{{\tau }_{s}}/{\overline {\tau _{s}}}$ стремится к нулю, поскольку s ^−1/2 . Другими словами, статистическое соотношение уравн. 82 становится почти наверняка на свободе . Это позволяет инвертировать зависимость, т. е. представить ее в виде зависимости среднего числа эр s _τ , сменяющихся местами в заданном интервале τ двойного логарифмического времени:

${\overline {s_{\tau }}}=0.47\tau .$ ( уравнение 85 )

Статистическое распределение точных значений s _τ вокруг его среднего значения также является гауссовым с дисперсией

$D_{s_{\tau }}=3.5{\frac {{\overline {s_{\tau }}}^{3}}{\tau ^{2}}}=0.26\tau$

Соответствующее статистическое распределение задается тем же распределением Гаусса, в котором случайная величина теперь равна s _τ при заданном τ:

$\rho (s_{\tau })\propto \exp \left\{-\left(s_{\tau }-0.47\tau \right)^{2}/0.43\tau \right\}.$ ( уравнение 86 )

С этой точки зрения источником статистического поведения является произвол в выборе начальной точки интервала τ, наложенного на бесконечную последовательность сменяющихся эпох.

Относительно плотности вещества, уравн. 79 можно переписать с учетом уравнения. 80 в форме

$\ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s+1)}}{\varepsilon ^{(s)}}}=\eta _{s}+\sum _{p=0}^{s-1}\xi _{p},\quad \eta _{s}=\ln \left[2\delta ^{(s)}\left(k^{(s)}+x^{(s)}-1\right)\Omega ^{(0)}\right]$

и тогда для полного изменения энергии за s эр

$\ln \ln {\frac {\varepsilon ^{(s)}}{\varepsilon ^{(0)}}}=\ln \sum _{p=0}^{s-1}\exp \left\{\sum _{q=0}^{p}\xi _{q}+\eta _{p}\right\}.$ ( уравнение 87 )

Член с суммой по p дает основной вклад в это выражение, поскольку содержит показатель степени большой степени. Оставив только этот член и усреднив уравнение. 87 , в правой части получим выражение $s{\bar {\xi }}$что совпадает с уравнением 82 ; все остальные члены суммы (а также члены со степенями η _s ) приводят лишь к поправкам относительного порядка 1/ s . Поэтому,

${\overline {\ln \ln \left({\frac {\varepsilon ^{(s)}}{\varepsilon ^{(0)}}}\right)}}={\overline {\ln \left({\frac {\Omega ^{(s)}}{\Omega ^{(0)}}}\right)}}.$ ( уравнение 88 )

В силу почти определённого характера связи между τ _s и s экв. 88 можно записать как

${\overline {\ln \ln \left(\varepsilon _{\tau }/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=\tau \quad {\text{or}}\quad {\overline {\ln \ln \left(\varepsilon ^{(s)}/\varepsilon ^{(0)}\right)}}=2.1s,$

который определяет значение двойного логарифма прироста плотности, усредненного по заданным двойно-логарифмическим интервалам времени τ или по заданному числу эпох s .

Эти устойчивые статистические зависимости существуют именно для дважды логарифмических интервалов времени и для увеличения плотности. Для других характеристик, например, ln (ε ^{( с )} / е ⁽⁰⁾ ) или Ом ^(с) / Ой ⁽⁰⁾ = exp τ _s относительная флуктуация увеличивается экспоненциально с увеличением диапазона усреднения, тем самым лишая термин «среднее значение» устойчивого значения.

Происхождение статистической зависимости урав. 88 можно проследить уже из исходного закона изменения плотности в отдельные эпохи Каснера. Согласно уравн. 21 , в течение всей эволюции мы имеем

$\ln \ln \varepsilon (t)={\text{const}}+\ln \Omega +\ln 2(1-p_{3}(t)),$

причем 1 − p ₃ ( t ) меняется от эпохи к эпохе, пробегая значения в интервале от 0 до 1. Член ln Ω = ln ln (1/ t ) монотонно возрастает; с другой стороны, член ln2(1 − p3 _{(сравнимые с ln Ω} ) только тогда, когда появляются значения p3 _, очень близкие к единице (т.е. очень малые | p1 _{) может принимать большие значения} |). Это именно те «опасные» случаи, которые нарушают регулярный ход эволюции, выражаемый рекуррентными соотношениями (ур. 77 – экв. 79 .

Осталось показать, что в асимптотическом предельном режиме такие случаи действительно не возникают. Спонтанная эволюция модели начинается в определенный момент, когда произвольным образом задаются определенные начальные условия. Соответственно, под «асимптотикой» понимается режим, достаточно удаленный от выбранного начального момента.

чрезмерно малые значения параметра u = x (а значит, и | p ₁ | ≈ x Опасными являются случаи, когда в конце эпохи появляются ). Критерием отбора таких случаев является неравенство

$x^{(s)}\exp \left|\alpha ^{(s)}\right|\lesssim 1,$ ( ур. 89 )

где | α ^{( с )} | – начальная глубина минимумов функций, колеблющихся в эрах ( более корректно было бы выбрать конечную амплитуду, но это только усилило бы критерий выбора).

Значение х ⁽⁰⁾ в первую эпоху определяется начальными условиями. Опасными являются значения в интервале δ x ⁽⁰⁾ ~ exp ( − |α ⁽⁰⁾ | ), а также в интервалах, которые могут привести к опасным случаям в следующих эпохах. Чтобы х ^{( с )} попасть в опасный интервал δ x ^{( с )} ~ exp ( − | α ^{( с )} | ), начальное значение x ⁽⁰⁾ должен лежать в интервале шириной δ x ⁽⁰⁾ ~ δ х ^{( с )} / к ^{(1)^2} ... к ^{( с )^2} . Следовательно, из единичного интервала всех возможных значений x ⁽⁰⁾ , опасные случаи появятся на участках λ этого интервала:

$\lambda =\exp \left(\left|-\alpha ^{(s)}\right|\right)+\sum _{s=1}^{\infty }\sum _{k}{\frac {\exp \left(\left|-\alpha ^{(s)}\right|\right)}{k^{(1)^{2}}k^{(2)^{2}}\dots k^{(s)^{2}}}}$ ( уравнение 90 )

(внутренняя сумма берется по всем значениям k ⁽¹⁾ , к ⁽²⁾ , ... , к ^{( с )} от 1 до ∞). Легко показать, что эта эра сходится к значению λ $\ll$1, порядок величины которого определяется первым членом в уравнении. 90 . Об этом может свидетельствовать сильное преобладание эпохи, которую заменяют | α ^{( с )} | = (с + 1) | а ⁽⁰⁾ |, независимо от длин эпох k ⁽¹⁾ , к ⁽²⁾ , ... (На самом деле | α ^{( с )} | увеличиваться гораздо быстрее; даже в самом неблагоприятном случае k ⁽¹⁾ = к ⁽²⁾ = ... = 1 значения | α ^{( с )} | увеличиваться как q ^с | а ⁽⁰⁾ | при q > 1.) Отмечая, что

$\sum _{k}{\frac {1}{k^{(1)^{2}}k^{(2)^{2}}\dots k^{(s)^{2}}}}=\left(\pi ^{2}/6\right)^{s}$

получается

$\lambda =\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\sum _{s=0}^{\infty }\left[\left(\pi ^{2}/6\right)\exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right)\right]^{s}\approx \exp \left(\left|-\alpha ^{(0)}\right|\right).$

Если начальное значение x ⁽⁰⁾ лежит вне опасной области λ, опасных случаев не будет. Если он лежит внутри этой области, то возникают опасные случаи, но по их завершению модель возобновляет «регулярную» эволюцию с новым начальным значением, которое лишь изредка (с вероятностью λ) может попасть в опасный интервал. Повторные опасные случаи происходят с вероятностью λ ² , л ³ , ... , асимптотически сходящаяся к нулю.

Общее решение с малыми колебаниями

В рассмотренных моделях эволюция метрики вблизи особенности изучается на примере метрик однородного пространства. Из характеристики этой эволюции ясно, что аналитическое построение общего решения для особенности такого типа должно производиться отдельно для каждой из основных составляющих эволюции: для эпох Каснера, для процесса переходов между эпохами, вызванного возмущения», для длительных эпох с двумя возмущениями, действующими одновременно. В эпоху Каснера (т.е. при малых возмущениях) метрика определяется уравнением. 7 без условия λ = 0.

BKL далее разработал модель, независимую от распределения материи (однородную или неоднородную) для длительной эпохи с небольшими колебаниями. Временная зависимость этого решения оказывается очень похожей на таковую в частном случае однородных моделей; последнее можно получить из модели, не зависящей от распределения, специальным выбором содержащихся в ней произвольных функций.

Удобно, однако, построить общее решение в системе координат, несколько отличной от синхронной системы отсчета: g _0α = 0, как и в синхронной системе отсчета, но вместо g ₀₀ = 1 теперь g ₀₀ = − g ₃₃ . Определив снова тензор пространственной метрики γ _αβ = − g _αβ , имеем, следовательно,

$g_{00}=\gamma _{33},\quad g_{0\alpha }=0.$ ( уравнение 91 )

Специальная пространственная координата записывается как x ³ = z , а временная координата записывается как x ⁰ = ξ (в отличие от собственного времени t ); будет показано, что ξ соответствует одной и той же переменной, определенной в однородных моделях. Дифференцирование по ξ и z обозначено точкой и штрихом соответственно. Латинские индексы a , b , c принимают значения 1, 2, соответствующие пространственным координатам x. ¹ , Икс ² который также будет записан как x , y . Следовательно, метрика

$ds^{2}=\gamma _{33}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-\gamma _{ab}dx^{a}dx^{b}-2\gamma _{a3}dx^{a}dz.$ ( уравнение 92 )

Искомое решение должно удовлетворять неравенствам

$\gamma _{33}\ll \gamma _{ab},$ ( уравнение 93 )

$\gamma _{a3}^{2}\ll \gamma _{aa}\gamma _{33}$ ( ур. 94 )

(эти условия указывают, что одна из функций a ² , б ² , с ² мал по сравнению с двумя другими, что также имело место с однородными моделями).

Неравенство уравнение. 94 означает, что компоненты γ _{a 3} малы в том смысле, что при любом соотношении сдвигов dx ^а и dz , условия с продукцией dx ^а dz можно опустить в квадрате элемента пространственной длины dl ² . Следовательно, первым приближением к решению является метрическое уравнение. 92 с γ _{a 3} = 0:

$ds^{2}=\gamma _{33}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-\gamma _{ab}dx^{a}dx^{b}.$ ( уравнение 95 )

В этом легко убедиться, вычислив компоненты тензора Риччи. $R_{0}^{0}$, $R_{3}^{0}$, $R_{3}^{3}$, $R_{a}^{b}$используя метрическое уравнение 95 и условие уравнения. 93 что все члены, содержащие производные по координатам x ^а малы по сравнению с членами с производными по ξ и z (их отношение ~ γ ₃₃ / γ _ab ). Другими словами, чтобы получить уравнения основного приближения, γ ₃₃ и γ _ab в уравн. 95 следует дифференцировать так, как будто они не зависят от x ^а . Обозначение

$\gamma _{33}=e^{\psi },\quad {\dot {\gamma }}_{ab}=\varkappa _{ab},\quad \gamma _{ab}^{\prime }=\lambda _{ab},\quad |\gamma _{ab}|=G^{2},$ ( уравнение 96 )

получаем следующие уравнения:

$2e^{\psi }R_{a}^{b}=G^{-1}\left(G\lambda _{a}^{b}\right)^{\prime }-G^{-1}\left(G\varkappa _{a}^{b}\right){\dot {}}=0,$ ( уравнение 97 )

$2e^{\psi }R_{3}^{0}={\frac {1}{2}}\varkappa \psi ^{\prime }+{\frac {1}{2}}\lambda {\dot {\psi }}-\varkappa ^{\prime }-{\frac {1}{2}}\varkappa _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}=0,$ ( уравнение 98 )

$2e^{\psi }(R_{0}^{0}-R_{3}^{3})=\lambda \psi ^{\prime }+\varkappa {\dot {\psi }}-{\dot {\varkappa }}-\lambda ^{\prime }-{\frac {1}{2}}\varkappa _{a}^{b}\varkappa _{b}^{a}-{\frac {1}{2}}\lambda _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}=0.$ ( уравнение 99 )

Повышение и понижение индекса здесь осуществляется с помощью γ _ab . Количества $\varkappa$ и λ — сокращения $\varkappa _{a}^{a}$ и $\lambda _{a}^{a}$ Посредством чего

$\varkappa =2{\dot {G}}/G,\quad \lambda =2G^{\prime }/G.$ ( ур. 100 )

Что касается компонент тензора Риччи $R_{a}^{0}$, $R_{a}^{3}$, по этому расчету они тождественно равны нулю. В следующем приближении (т. е. с учетом малых γ _{a 3} и производных по x , y определяют _{) величины γ a 3} по уже известным γ ₃₃ и γ _ab .

Сокращение уравнения. 97 дает $G^{\prime \prime }+{\ddot {G}}=0$, и поэтому,

$G=f_{1}(x,y,\xi +z)+f_{2}(x,y,\xi -z).$ ( уравнение 101 )

возможны разные случаи В зависимости от переменной G . В приведенном выше случае g ⁰⁰ = с ³³ $\gg$ с ^аб и $N\approx g^{00}\left({\dot {G}}\right)^{2}-\gamma ^{33}\left(G^{\prime }\right)^{2}=4\gamma ^{33}{\dot {f}}_{1}{\dot {f}}_{2}$. Случай N > 0 (величина N времениподобна) приводит к интересным временным сингулярностям. Подставив в уравнение 101 f ₁ = 1/2 (ξ + z ) sin y , f ₂ = 1/2 (ξ − z ) sin y приводит к G типа

$G=\xi \sin y.\,$ ( уравнение 102 )

Этот выбор не умаляет общности выводов; можно показать, что общность возможна (в первом приближении) именно за счет остальных допустимых преобразований переменных. При N < 0 (величина N пространственноподобна) можно заменить G = z , что обобщает известную метрику Эйнштейна – Розена . При N = 0 приходим к волновой метрике Робинсона – Бонди. зависящее только от ξ + z или только от ξ − z (ср. ). Коэффициент sin y в уравнении 102 поставлен для удобства сравнения с однородными моделями. Принимая во внимание уравнение 102 , уравнения уравнения. 97 – экв. 99 стать

${\dot {\varkappa }}_{a}^{b}+\xi ^{-1}\varkappa _{a}^{b}-{\lambda _{a}^{b}}^{\prime }=0,$ ( ур. 103 )

${\dot {\psi }}=-\xi ^{-1}+{\frac {1}{4}}\xi \left(\varkappa _{a}^{b}\varkappa _{b}^{a}+\lambda _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}\right).$ ( уравнение 104 )

$\psi ^{\prime }={\frac {1}{2}}\xi _{a}^{b}\lambda _{b}^{a}.$ ( уравнение 105 )

Основные уравнения : 103 определение компонентов γ _ab ; затем функция ψ находится путем простого интегрирования уравнения. 104 – экв. 105 .

Переменная ξ принимает значения от 0 до ∞. Решение уравнения. 103 рассматривается на двух границах, ξ $\gg$ 1 и $\ll$ 1. При больших значениях ξ можно искать решение, принимающее вид разложения 1/ √ ξ :

$\gamma _{ab}=\xi \left[a_{ab}(x,y,z)+O(1/{\sqrt {\xi }})\right],$ ( уравнение 106 )

Посредством чего

$|a_{ab}|=\sin ^{2}y\,$ ( уравнение 107 )

(для уравнения 107 необходимо, чтобы условие 102 было истинным). Подставив уравнение 103 в экв. 106 , получаем в первом порядке

${\left({a^{ac}}^{\prime }a_{bc}\right)}^{\prime }=0,$ ( уравнение 108 )

где величины a ^и обратную матрице aac _{составляют матрицу ,} . Решение уравнения. 108 имеет вид

$a_{ab}=l_{a}l_{b}e^{-2\rho z}+m_{a}m_{b}e^{2\rho z},$ ( уравнение 109 )

$l_{1}m_{2}+l_{2}m_{1}=\sin y,$ ( уравнение 110 )

где l _a , m _a , ρ — произвольные функции координат x , y , связанные условием (ур.). 110 получено из уравнения. 107 .

Для нахождения высших членов этого разложения удобно записать матрицу искомых величин γ _ab в виде

$\gamma _{ab}=\xi \left({\tilde {L}}e^{H}L\right)_{ab},$ ( уравнение 111 )

$L={\begin{bmatrix}l_{1}e^{-\rho z}&l_{2}e^{-\rho z}\\m_{1}e^{\rho z}&m_{2}e^{\rho z}\end{bmatrix}},$ ( уравнение 112 )

где символ ~ означает транспонирование матрицы. Матрица H симметрична и ее след равен нулю. Презентация уравнения. 111 обеспечивает симметрию γ _ab и выполнение условия (1). 102 . Если exp H заменить на 1, из уравнения получим: 111 γ _ab = ξ a _ab с ab _из уравнения . 109 . Другими словами, первый член разложения γ _ab соответствует H = 0; высшие члены получаются путем разложения по степеням матрицы H , компоненты которой считаются малыми.

Независимые компоненты матрицы H записываются как σ и φ, так что

$H={\begin{bmatrix}\sigma &\varphi \\\varphi &-\sigma \end{bmatrix}}.$ ( ур. 113 )

Подставив уравнение 111 в экв. 103 и оставляя только члены, линейные по H , для σ и φ получаем

${\ddot {\sigma }}+\xi ^{-1}{\dot {\sigma }}-\sigma ^{\prime \prime }=0,$

${\ddot {\varphi }}+\xi ^{-1}{\dot {\varphi }}-\varphi ^{\prime \prime }+4\rho ^{2}\varphi =0.$ ( уравнение 114 )

Если попытаться найти решение этих уравнений в виде рядов Фурье по координате z , то для коэффициентов ряда как функций от ξ получим уравнения Бесселя. Основными членами асимптотики решения при больших ξ являются

$\sigma ={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(A_{1n}e^{in\omega \xi }+B_{1n}e^{-in\omega \xi }\right)e^{in\omega z},$

$\varphi ={\frac {1}{\sqrt {\xi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(A_{2n}e^{in\omega \xi }+B_{2n}e^{-in\omega \xi }\right)e^{in\omega z},$ ( уравнение 115 )

$\omega _{n}^{2}=n^{2}\omega ^{2}+4\rho ^{2}.$

Коэффициенты A и B являются произвольными комплексными функциями координат x , y и удовлетворяют необходимым условиям для действительных σ и φ; базовая частота ω является произвольной действительной функцией x , y . Теперь из уравнения. 104 – экв. 105 нетрудно получить первый член функции ψ:

$\psi =\rho ^{2}\xi ^{2}\,$ ( уравнение 116 )

(этот член обращается в нуль, если ρ = 0; в этом случае главным членом является линейный по ξ из разложения: ψ = ξ q ( x , y ), где q — положительная функция ).

Поэтому при больших значениях ξ компоненты метрического тензора γ _ab осциллируют при уменьшении ξ на фоне медленного убывания, вызванного уменьшением множителя ξ в уравнении. 111 . Компонента γ ₃₃ = e ^п быстро убывает по закону, близкому к exp (ρ ² Икс ² ); это делает возможным условие уравн. 93 .

Далее БКЛ рассматривает случай ξ $\ll$1. Первое приближение к решению уравнения. 103 находится из предположения (подтвержденного результатом), что в этих уравнениях можно исключить члены с производными по координатам:

${\dot {\varkappa }}_{a}^{b}+\xi ^{-1}\varkappa _{a}^{b}=0.$ ( уравнение 117 )

Это уравнение вместе с условием ур. 102 дает

$\gamma _{ab}=\lambda _{a}\lambda _{b}\xi ^{2s_{1}}+\mu _{a}\mu _{b}\xi ^{2s_{2}},\,$ ( уравнение 118 )

где λ _a , µ _a , s ₁ , s ₂ — произвольные функции всех 3 координат x , y , z , которые связаны с другими условиями

$\lambda _{1}\mu _{2}-\lambda _{2}\mu _{1}=\sin y,\quad s_{1}+s_{2}=1.\,$ ( ур. 119 )

Уравнения ​ 104 – экв. 105 дать сейчас

$\gamma _{33}=e^{\psi }\sim \xi ^{-(1-s_{1}^{2}-s_{2}^{2})}.\,$ ( ур. 120 )

Производные ${\lambda _{a}^{b}}^{\prime }$, рассчитанный по формуле 118 , содержат члены ~ ξ ^{4 с ₁ − 2} и ~ ξ ^{4 с ₂ − 2} в то время как члены остались в уравнении. 117 ~ ξ ⁻² . Следовательно, применение уравнения. 103 вместо уравнения. 117 допускается при условиях s ₁ > 0, s ₂ > 0; следовательно, 1 - $s_{1}^{2}-s_{2}^{2}$ > 0.

Таким образом, при малых ξ колебания функции γ _ab прекращаются, а функция γ ₃₃ начинает возрастать при уменьшении ξ. Это мода Каснера, и когда γ ₃₃ сравнивается с γ _ab , приведенное выше приближение неприменимо.

Чтобы проверить совместимость этого анализа, БКЛ изучил уравнения $R_{\alpha }^{0}$ = 0, $R_{\alpha }^{3}$= 0, и, вычислив по ним компоненты γ _{a 3} , подтвердил выполнение неравенства уравн. 94 происходит . Эта учеба показал, что в обеих асимптотических областях компоненты γ _{a 3} были ~ γ ₃₃ . , правильность неравенства Следовательно 93 сразу подразумевает правильность неравенства (ур.). 94 .

Это решение содержит, как и должно быть для общего случая поля в вакууме, четыре произвольные функции от трех пространственных координат x , y , z . В районе ξ $\ll$1 этими функциями являются, например, λ ₁ , λ ₂ , µ ₁ , s ₁ . В районе ξ $\gg$1 четыре функции определяются рядом Фурье по координате z из уравнения. 115 с коэффициентами, которые являются функциями x , y ; хотя разложение в ряд Фурье (или интеграл?) характеризует особый класс функций, этот класс достаточно велик, чтобы охватить любое конечное подмножество множества всех возможных начальных условий.

Решение содержит также ряд других произвольных функций координат x , y . Такие двумерные произвольные функции появляются, вообще говоря, потому, что связи между трехмерными функциями в решениях уравнений Эйнштейна являются дифференциальными (а не алгебраическими), оставляя в стороне более глубокий вопрос о геометрическом смысле этих функций. БКЛ не подсчитывал количество независимых двумерных функций, поскольку в этом случае трудно сделать однозначные выводы, так как трехмерные функции определяются набором двумерных функций (ср. Больше подробностей).

Наконец, БКЛ показывает, что общее решение содержит частное решение, полученное выше для однородных моделей.

Подставляя базисные векторы однородного пространства Бьянки типа IX в уравнение. 7 пространственно-временная метрика этой модели принимает вид

$ds_{IX}^{2}=dt^{2}-\left[\left(a^{2}\sin ^{2}z+b^{2}\cos ^{2}z\right)\sin ^{2}y+c^{2}\cos ^{2}y\right]dx^{2}-\left[a^{2}\cos ^{2}z+b^{2}\sin ^{2}z\right]dy^{2}-c^{2}dz^{2}+$

$\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin {2z}\sin {y}\ dxdy-2c^{2}\cos {y}\ dxdz.$

( ур. 121 )

Когда c ² $\ll$ а ² , б ² , можно игнорировать c ² везде, кроме члена c ² дз ² . Чтобы перейти от синхронного кадра, используемого в упр. 121 в кадр с условиями урав. 91 преобразование dt = cd ξ/2 и замена z → z /2 выполнены. Предполагая также, что χ ≡ ln ( a / b ) $\ll$1, из уравнения 121 в первом приближении:

$ds_{IX}^{2}={\tfrac {1}{4}}c^{2}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-ab\left\{\sin ^{2}{y}\left(1-\chi \cos {z}\right)dx^{2}+\left(1+\chi \cos {z}\right)+2\chi \sin {z}\sin {y}\ dx\ dy\right\}.$ ( уравнение 122 )

Аналогично, с базисными векторами однородного пространства Бьянки типа VIII можно получить

$ds_{VIII}^{2}={\tfrac {1}{4}}c^{2}\left(d\xi ^{2}-dz^{2}\right)-ab\left\{\sin ^{2}{y}\left(\operatorname {ch} z-\chi \right)dx^{2}+\left(\operatorname {ch} z+\chi \right)+2\operatorname {sh} z\sin {y}\ dx\ dy\right\}.$ ( ур. 123 )

Согласно приведенному выше анализу однородных пространств, в обоих случаях ab = ξ (упрощая $a_{0}^{2}$= ξ ₀ ), а χ взято из уравнения. 51 ; функция c (ξ) задается формулами 53 и уравнение. 61 соответственно для моделей Типов IX и VIII.

Идентичная метрика для типа VIII получается из уравнения. 112 , экв. 115 , экв. 116 выбирая двумерные векторы l _a и m _a в виде

$l_{1}=m_{1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin {y},\qquad l_{2}=m_{2}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$ ( уравнение 124 )

и замена

$\rho ={\tfrac {1}{2}},\quad A_{20}^{*}=B_{20}=iAe^{i\xi _{0}},\quad A_{1n}=A_{2n}=B_{1n}=B_{2n}=0\quad (n\neq 0).$ ( уравнение 125 )

Чтобы получить метрику для типа IX, следует заменить

$\rho =0,\omega =1,$

$A_{11}=-B_{11}^{*}=A_{1,-1}^{*}=-B_{1,-1}=-{\frac {1}{2}}Ae^{-i\xi _{0}},$
$A_{21}=B_{21}^{*}=A_{2,-1}^{*}=B_{2,-1}=-{\frac {1}{2}}iAe^{-i\xi _{0}},$

$A_{1n}=A_{2n}=B_{1n}=B_{2n}=0\quad (n\neq \pm 0)$ ( ур. 126 )

(для расчета c (ξ) приближения в уравнении 116 недостаточно, и вычисляется член в ψ, линейный по ξ )

Этот анализ был сделан для пустого пространства. Включение материи не делает решение менее общим и не меняет его качественных характеристик.

Ограничением, имеющим большое значение для общего решения, является то, что все трехмерные функции, содержащиеся в уравнении метрики . 122 и экв. 123 должен иметь единый и общий интервал изменения характеристики. Только это позволяет аппроксимировать в уравнениях Эйнштейна все производные пространственных компонент метрики простыми произведениями этих компонент на характеристические волновые числа, что приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям типа полученных для однородной модели IX типа. В этом причина совпадения однородных и общих решений.

Отсюда следует, что и модель IX типа, и ее обобщение содержат колебательный режим с единственным пространственным масштабом произвольной величины, не выделяющийся среди других никакими физическими условиями. Однако известно, что в нелинейных системах с бесконечными степенями свободы такая мода неустойчива и частично диссипирует в меньшие колебания. В общем случае малых возмущений с произвольным спектром всегда найдутся такие, амплитуда которых будет увеличиваться за счет полной энергии процесса. В результате возникает сложная картина разномасштабных движений с определенным распределением энергии и обменом энергией между колебаниями разных масштабов. Этого не происходит только в том случае, когда развитие мелкомасштабных колебаний невозможно по физическим условиям. Для последнего должна существовать некоторая естественная физическая длина, определяющая минимальный масштаб выхода энергии из системы с динамическими степенями свободы (что, например, имеет место в жидкости с определенной вязкостью). Однако врожденного физического масштаба гравитационного поля в вакууме не существует, а значит, нет и препятствий для развития колебаний сколь угодно малых масштабов.

Выводы

БКЛ описывают особенности космологического решения уравнений Эйнштейна, имеющие сложный колебательный характер. Хотя эти особенности изучались преимущественно на пространственно-однородных моделях, имеются убедительные основания предполагать, что особенности в общем решении уравнений Эйнштейна имеют такие же характеристики; это обстоятельство делает модель БКЛ важной для космологии.

Основанием для такого утверждения является тот факт, что колебательный режим при приближении к сингулярности вызывается одиночным возмущением, которое также вызывает неустойчивость обобщенного решения Каснера. Подтверждением общности модели является аналитическая конструкция для длительной эпохи с малыми колебаниями. Хотя последнее поведение и не является необходимым элементом эволюции метрики вблизи сингулярности, оно обладает всеми основными качественными свойствами: колебанием метрики в двух пространственных измерениях и монотонным изменением в третьем измерении с некоторым возмущением этого режима в конце некоторого времени. интервал. Однако переходы между эпохами Каснера в общем случае неоднородной пространственной метрики детально не выяснены.

Проблема, связанная с возможными ограничениями геометрии пространства, вызванными сингулярностью, была оставлена ​​в стороне для дальнейшего изучения. Однако с самого начала ясно, что исходная модель БКЛ применима как к конечному, так и к бесконечному пространству; об этом свидетельствует существование колебательных моделей сингулярности как для закрытого, так и для открытого пространства-времени.

Колебательный режим подхода к сингулярности придает новый аспект термину «конечность времени». Между любым конечным моментом мирового времени t и моментом t = 0 существует бесконечное число колебаний. В этом смысле процесс приобретает бесконечный характер. Вместо времени t более адекватной переменной для его описания является ln t, с помощью которого процесс расширяется до $-\infty$.

BKL учитывает эволюцию метрики в направлении уменьшения времени. Уравнения Эйнштейна симметричны относительно знака времени, так что одинаково возможна эволюция метрики в направлении увеличения времени. Однако эти два случая принципиально различны, поскольку прошлое и будущее не эквивалентны в физическом смысле. Будущая сингулярность может иметь физический смысл только в том случае, если она возможна при произвольных начальных условиях, существовавших в предыдущий момент. Распределение материи и поля в какой-то момент эволюции Вселенной не обязательно соответствуют конкретным условиям, необходимым для существования данного специального решения уравнений Эйнштейна.

Выбор решений, соответствующих реальному миру, связан с глубокими физическими требованиями, которые невозможно найти, используя только существующую теорию относительности, и которые могут быть найдены в результате будущего синтеза физических теорий. Таким образом, может оказаться, что такой выбор выделяет какой-то особый (например, изотропный) тип особенности. Тем не менее естественнее предположить, что в силу своей общности колебательный режим должен быть основной характеристикой начальных стадий эволюции.

свойство модели «Миксмастер» : В этом отношении значительный интерес представляет показанное Мизнером связанных с распространением световых сигналов. В изотропной модели существует «световой горизонт», означающий, что для каждого момента времени существует некоторое максимальное расстояние, на котором обмен световыми сигналами и, следовательно, причинная связь невозможны: сигнал не может достичь таких расстояний за время с момента сингулярности t = 0.

Распространение сигнала определяется уравнением ds = 0. В изотропной модели вблизи особенности t = 0 интервальный элемент равен $ds^{2}=dt^{2}-2td{\bar {l}}^{2}$, где $d{\bar {l}}^{2}$ представляет собой независимую от времени пространственную дифференциальную форму. Замена $t=\eta ^{2}/2$ урожайность

$ds^{2}=\eta ^{2}\left(d\eta ^{2}-d{\bar {l}}^{2}\right).$ ( уравнение 127 )

Расстояние" $\Delta {\bar {l}}$ достигаемый сигналом

$\Delta {\bar {l}}=\Delta \eta .$ ( ур. 128 )

Поскольку η, как и t , проходит через значения, начиная с 0, до «момента» η сигналы могут распространяться только на расстояние $\Delta {\bar {l}}\leq \eta$ который фиксирует самое дальнее расстояние до горизонта.

Существование светового горизонта в изотропной модели ставит проблему в понимании природы наблюдаемой в настоящее время изотропии реликтового излучения. Согласно изотропной модели, наблюдаемая изотропия означает изотропные свойства излучения, поступающего к наблюдателю из таких областей пространства, которые не могут быть причинно связаны друг с другом. В модели колебательной эволюции вблизи сингулярности ситуация может быть иной.

Например, в однородной модели пространства IX типа сигнал распространяется в направлении, в котором за длительную эпоху масштабы изменяются по закону, близкому к ~ t . Квадрат элемента расстояния в этом направлении равен dl ² = т ² ${\bar {l}}^{2}$, а соответствующий элемент четырехмерного интервала равен $ds^{2}=dt^{2}-t^{2}{\bar {l}}^{2}$. Замена $t=e^{\eta }$ представляет это в форме

$ds^{2}=e^{2\eta }\left(d\eta ^{2}-d{\bar {l}}^{2}\right),$ ( ур. 129 )

а для распространения сигнала имеется уравнение типа eq. 128 снова. Важным отличием является то, что переменная η теперь принимает значения, начиная с $-\infty$ (если метрическое уравнение 129 справедливо для всех t, начиная с t = 0).

Поэтому для каждого данного «момента» η находятся промежуточные интервалы Δη, достаточные для того, чтобы сигнал преодолел каждое конечное расстояние.

Таким образом, в течение долгого времени открывается световой горизонт в заданном направлении пространства. Хотя продолжительность каждой длительной эпохи еще конечна, в ходе мировой эволюции эпохи сменяются бесконечное число раз в разных направлениях пространства. Это обстоятельство заставляет ожидать, что в данной модели возможна причинная связь между событиями во всем пространстве. Из-за этого свойства Миснер назвал эту модель «Вселенная Mixmaster» по торговой марке тестомесильной машины.

По мере удаления от сингулярности влияние материи на метрическую эволюцию, которое на ранних этапах эволюции было незначительным, постепенно усиливается и со временем становится доминирующим. Можно ожидать, что этот эффект приведет к постепенной «изотропизации» пространства, в результате чего его характеристики приблизится к модели Фридмана, адекватно описывающей современное состояние Вселенной.

Наконец, БКЛ ставит проблему о возможности рассмотрения «сингулярного состояния» мира с бесконечно плотной материей на основе существующей теории относительности. Физическое применение уравнений Эйнштейна в их нынешнем виде в этих условиях может выясниться только в процессе будущего синтеза физических теорий и в этом смысле проблема не может быть решена в настоящее время.

Важно, что сама теория гравитации не теряет своей логической связности (т. е. не приводит к внутренним противоречиям) при любых плотностях материи. Другими словами, эта теория не ограничена налагаемыми ею условиями, которые могли бы сделать логически недопустимым и спорным ее применение при очень больших плотностях; ограничения в принципе могли появиться только в результате «внешних» по отношению к теории гравитации факторов. Это обстоятельство делает изучение особенностей космологических моделей формально приемлемым и необходимым в рамках существующей теории.

Библиография

• Андерссон, Ларс; Рендалл, Алан Д. (2001). «Спокойные космологические сингулярности». Связь в математической физике . 218 (3): 479–511. arXiv : gr-qc/0001047 . Бибкод : 2001CMaPh.218..479A . дои : 10.1007/s002200100406 . S2CID   16167683 .
• Аштекар, Абхай ; Хендерсон, Адам; Слоан, Дэвид (2011). «Гамильтонова формулировка гипотезы Белинского-Халатникова-Лифшица». Физический обзор D . 83 (8): 084024. arXiv : 1102.3474 . Бибкод : 2011PhRvD..83h4024A . дои : 10.1103/PhysRevD.83.084024 . S2CID   119888235 .
• Барроу, Джон Д .; Типлер, Фрэнк Дж. (1979). «Анализ общих исследований особенностей Белинского, Халатникова и Лифшица». Отчеты по физике . 56 (7): 371–402. Бибкод : 1979PhR....56..371B . дои : 10.1016/0370-1573(79)90097-8 .
• Барроу, Джон Д .; Типлер, Фрэнк Дж. (1981). «Возвращение к общим исследованиям сингулярностей». Письма по физике . 82А (9): 441–445. дои : 10.1016/B978-0-08-036364-6.50050-8 .
• Белинский Владимир Александрович ; Халатников, И. М. (1966). «Общее решение уравнений гравитации с одновременной фиктивной особенностью». ЖЭТФ . 49 (3): 1000. Бибкод : 1966JETP...22..694B .
• Белинский Владимир Александрович ; Халатников И.М. (1969а). «О природе особенностей общего решения уравнений гравитации». ЖЭТФ . 56 :1700.
• Белинский Владимир Александрович ; Халатников И.М. (1969б). «Общее решение уравнений гравитации с физической особенностью». ЖЭТФ . 57 :2163.
• Belinsky, Vladimir A. ; Khalatnikov, Isaak M. ; Lifshitz, Evgeny M. (1970). "Колебательный режим приближения к особой точке в релятивистской космологии". Uspekhi Fizicheskikh Nauk . 102 (11): 463–500. Bibcode : 1970UsFiN.102..463B . doi : 10.3367/ufnr.0102.197011d.0463 . ; English translation in Белинский, В.А.; Халатников И.М.; Лифшиц, Э.М. (1970). «Колебательный подход к особой точке в релятивистской космологии». Достижения физики . 19 (80): 525–573. Бибкод : 1970AdPhy..19..525B . дои : 10.1080/00018737000101171 .
• Белинский Владимир Александрович ; Халатников, Исаак М. (1970). «Общее решение уравнений гравитации с физической колебательной особенностью». ЖЭТФ . 59 : 314. Бибкод : 1971ЖЭТП...32..169Б .
• Белинский Владимир Александрович ; Халатников И.М. ; Лифшиц, Э.М. (1971). «Колебательный режим приближения к сингулярности в однородных космологических моделях с вращающимися осями». ЖЭТФ . 60 (6): 1969–1979.
• Белинский, В.А. (1992). «Турбулентность гравитационного поля вблизи космологической сингулярности». Письма ЖЭТФ . 56 (9): 437–440.
• Белинский, Владимир ; Энно, Марк (2018). Космологическая сингулярность . Издательство Кембриджского университета . arXiv : 1404.3864 . дои : 10.1017/9781107239333 . ISBN  978-1-107-04747-1 .
• Бергер, Беверли ; Монкриф, Винсент (1993). «Численное исследование космологических особенностей». Физический обзор D . 48 (10): 4676–4687. arXiv : gr-qc/9307032 . Бибкод : 1993PhRvD..48.4676B . дои : 10.1103/PhysRevD.48.4676 . ПМИД   10016121 . S2CID   450414 .
• Бергер, Беверли К .; Монкриф, Винсент (1998). «Численные доказательства того, что сингулярность в поляризованных U (1) симметричных космологиях на T ³ × R — доминирование скорости». Physical Review D. 57 ( 12): 7235–7240. arXiv : gr-qc/9801078 . Bibcode : 1998PhRvD..57.7235B . doi : 10.1103/PhysRevD.57.7235 . S2CID   119539705 .
• Бергер, Беверли ; Гарфинкл, Дэвид; Айзенберг, Джеймс ; Монкриф, Винсент; Уивер, Марша (1998). « Сингулярность в общем гравитационном коллапсе пространственноподобна, локальна и колебательна». Буквы по современной физике А. 13 (19): 1565–1573. arXiv : gr-qc/9805063 . Бибкод : 1998MPLA...13.1565B . дои : 10.1142/S0217732398001649 . S2CID   118889710 .
• Бергер, Беверли К .; Монкриф, Винсент (2000). «Подпись для локальной динамики Mixmaster в U (1)-симметричных космологиях». Физический обзор D . 62 (123501): 123501. arXiv : gr-qc/0006071 . Бибкод : 2000PhRvD..62l3501B . дои : 10.1103/PhysRevD.62.123501 . S2CID   10389665 .
• Бергер, Беверли К. (2002). «Численные подходы к особенностям пространства-времени» . Живые обзоры в теории относительности . 5 (1): 1. arXiv : gr-qc/0201056 . Бибкод : 2002LRR.....5....1B . дои : 10.12942/lrr-2002-1 . ПМК   5256073 . ПМИД   28179859 .
• Бини, Донато; Керубини, Кристиан; Янцен, Роберт (2007). «Параметризация индекса Каснера Лифшица-Халатникова и тензор Вейля». Иль Нуово Чименто Б. 122 (5): 521–536. arXiv : 0710.4902 . Бибкод : 2007NCimB.122..521B . дои : 10.1393/ncb/i2007-10396-4 . S2CID   15854390 .
• Бини, Донато; Керубини, Кристиан; Джералико, Андреа; Янцен, Роберт Т. (2009). «Электрокардиограмма Вселенной Миксмастер». Классическая и квантовая гравитация . 26 (2): 025012. arXiv : 0808.0828 . Бибкод : 2009CQGra..26b5012B . дои : 10.1088/0264-9381/26/2/025012 . S2CID   14552653 .
• Бонди, Герман ; Пирани, ФАЭ; Робинсон, И. (1959). «Гравитационные волны в общей теории относительности. III. Точные плоские волны». Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 251 (1267): 519–533. Бибкод : 1959RSPSA.251..519B . дои : 10.1098/rspa.1959.0124 . JSTOR   100727 . S2CID   122766998 .
• Чернофф, Дэвид Ф.; Барроу, доктор медицинских наук (1983). «Хаос во вселенной Mixmaster». Письма о физических отзывах . 50 (2): 134–137. Бибкод : 1983PhRvL..50..134C . doi : 10.1103/PhysRevLett.50.134 .
• Дамур, Тибо ; Хенно, Марк (2000). «Хаос в суперструнной космологии». Письма о физических отзывах . 85 (5): 920–923. arXiv : hep-th/0003139 . Бибкод : 2000PhRvL..85..920D . дои : 10.1103/PhysRevLett.85.920 . ПМИД   10991439 . S2CID   10752273 .
• Дамур, Тибо ; Энно, Марк ; Джулия, Бернар; Николай, Герман (2001). «Гиперболические алгебры Каца – Муди и хаос в моделях Калуцы-Клейна». Буквы по физике Б. 509 (3–4): 323–330. arXiv : hep-th/0103094 . Бибкод : 2001PhLB..509..323D . дои : 10.1016/S0370-2693(01)00498-1 . S2CID   16964946 .
• Дамур, Тибо ; Энно, Марк ; Николай, Герман (2003). «Космологический бильярд». Классическая и квантовая гравитация . 20 (9): 145–200 рэндов. CiteSeerX   10.1.1.262.7733 . дои : 10.1088/0264-9381/20/9/201 . S2CID   250877925 .
• Damour, Thibault; Henneaux, Marc; Rendall, Alan D.; Weaver, Marsha (2002). "Kasner-like behaviour for subcritical Einstein-matter systems". Annales Henri Poincaré. 3 (6): 1049–1111. arXiv:gr-qc/0202069. Bibcode:2002AnHP....3.1049D. doi:10.1007/s000230200000. S2CID 17092394.
• Demaret, Jacques; Henneaux, Marc; Spindel, Philipe (1985). "Non-oscillatory behaviour in vacuum Kaluza–Klein cosmologies". Physics Letters. 164B (1–3): 27–29. Bibcode:1985PhLB..164...27D. doi:10.1016/0370-2693(85)90024-3.
• Demaret, Jacques; Hanquin, Jean-Luc; Henneaux, Marc; Spindel, Philipe; Taormina, Anna (1986). "The fate of the Mixmaster behaviour in vacuum inhomogeneous Kaluza-Klein cosmological models". Physics Letters B. 175 (2): 129–132. Bibcode:1986PhLB..175..129D. doi:10.1016/0370-2693(86)90701-X.
• Demaret, Jacques; de Rop, Yves; Henneaux, Marc (1989). "Are Kaluza-Klein models of the Universe chaotic?". International Journal of Theoretical Physics. 28 (9): 1067–1079. Bibcode:1989IJTP...28.1067D. doi:10.1007/BF00670349. S2CID 121065247.
• Einstein, Albert; Rosen, Nathan (1937). "On gravitational waves". Journal of the Franklin Institute. 223 (1): 43–54. Bibcode:1937FrInJ.223...43E. doi:10.1016/S0016-0032(37)90583-0.
• Frasca, Marco (2006). "Strong coupling expansion for general relativity". International Journal of Modern Physics D. 15 (9): 1373–1386. arXiv:hep-th/0508246. Bibcode:2006IJMPD..15.1373F. doi:10.1142/S0218271806009091. S2CID 15369171.
• Гарфинкл, Дэвид (2004). «Численное моделирование общих особенностей». Физ. Преподобный Летт. 93 (16): 161101. arXiv : gr-qc/0312117 . Бибкод : 2004PhRvL..93p1101G . doi : 10.1103/PhysRevLett.93.161101 . ПМИД   15524970 . S2CID   37917240 .
• Гарфинкл, Дэвид (2007). «Численное моделирование общих гравитационных особенностей». Классическая и квантовая гравитация . 24 (12): 295–306. arXiv : 0808.0160 . Бибкод : 2007CQGra..24S.295G . дои : 10.1088/0264-9381/24/12/S19 . S2CID   16899122 .
• Герох, Роберт П. (1966). «Особенности в закрытых вселенных». Письма о физических отзывах . 17 (8): 445–447. Бибкод : 1966PhRvL..17..445G . doi : 10.1103/PhysRevLett.17.445 .
• Годзь, Анджей; Груб, Александра; Пехоцкий, Влодзимеж (2023). «Квантовая динамика, соответствующая хаотическому сценарию БКЛ». Европейский физический журнал C. 83 (2): 150. arXiv : 2204.11274 . Бибкод : 2023EPJC...83..150G . doi : 10.1140/epjc/s10052-023-11284-6 . S2CID   254044770 .
• Хокинг, Стивен В. (1965). «Возникновение особенностей в открытых вселенных» . Письма о физических отзывах . 15 (17): 689–690. Бибкод : 1965PhRvL..15..689H . дои : 10.1103/PhysRevLett.15.689 .
• Хокинг, Стивен В .; Эллис, СКФ (1968). «Космическое излучение черного тела и существование особенностей в нашей Вселенной». Астрофизический журнал . 152 : 25. Бибкод : 1968ApJ...152...25H . дои : 10.1086/149520 .
• Хайнцле, Дж. Марк; Уггла, Клаас; Рёр, Никлас (2009). «Космологический бильярдный аттрактор». Адв. Теор. Математика. Физ . 13 (2): 293–407. arXiv : gr-qc/0702141 . Бибкод : 2007gr.qc.....2141H . дои : 10.4310/ATMP.2009.v13.n2.a1 . S2CID   119470976 .
• Энно, Марк ; Перссон, Дэниел; Шпиндель, Филипп (2008). «Пространственноподобные особенности и скрытые симметрии гравитации» . Живые обзоры в теории относительности . 11 (1): 1. arXiv : 0710.1818 . Бибкод : 2008LRR....11....1H . дои : 10.12942/lrr-2008-1 . ПМЦ   5255974 . ПМИД   28179821 .
• Кац, Виктор Г. (1983). Бесконечномерные алгебры Ли: введение . Прогресс в математике. Том. 44. Базель: Биркхойзер. п. 245. дои : 10.1007/978-1-4757-1382-4 . ISBN  9780817631185 .
• Каснер, Эдвард (1921). «Геометрические теоремы о космологических уравнениях Эйнштейна». Американский журнал математики . 43 (4): 217–221. Бибкод : 1921AmJM...43..217K . дои : 10.2307/2370192 . JSTOR   2370192 .
• Халатников Исаак М. ; Лифшиц, Э.М. ; Ханин, К.М.; Щур, Л.Н.; Синай, Я.Г. (1985). «О стохастичности в релятивистской космологии». Журнал статистической физики . 38 (1–2): 97–114. Бибкод : 1985JSP....38...97K . дои : 10.1007/BF01017851 . S2CID   120521834 .
• Khalatnikov, Isaak M. ; Kamenshchik, Aleksander Yu. (2008). "Lev Landau and the problem of singularities in cosmology". Physics-Uspekhi . 51 (6): 609–616. arXiv : 0803.2684 . Bibcode : 2008PhyU...51..609K . doi : 10.1070/PU2008v051n06ABEH006550 . S2CID  14878079 .
• Халатников И.М. ; Лифшиц, Э.М. (1970). «Общее космологическое решение уравнений гравитации с особенностью во времени». Письма о физических отзывах . 24 (2): 76. Бибкод : 1970PhRvL..24...76K . дои : 10.1103/PhysRevLett.24.76 .
• Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1988). Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Том. 2 (7-е изд.). Москва: Наука . ISBN  978-5-02-014420-0 .
• Ландау, Лев Д. ; Лифшиц, Евгений М. (1987). Механика жидкости . Курс теоретической физики . Том. 6 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN  978-0-08-033933-7 .
• Лифшиц Евгений Михайлович ; И. М. Халатников (1961). «Об особенностях космологических решений уравнений гравитации.I». ЖЭТФ . 39 : 149.
• Лифшиц Евгений Михайлович ; И. М. Халатников (1961). «Об особенностях космологических решений уравнений гравитации.II». ЖЭТФ . 39 :800.
• Лифшиц Евгений Михайлович ; Судаков В.В.; Халатников, И. М. (1961). «Особенности космологических решений уравнений гравитации.III». ЖЭТФ . 40 : 1847 г .; Physical Review Letters , 6 , 311 (1961)
• Лифшиц, Евгений М .; Халатников, Исаак М. (1963). «Проблемы реалистической космологии» . Специальные физические науки . 80 (7): 391–438. дои : 10.3367/УФНр.0080.196307д.0391 . , английский перевод в Лифшиц, Э.М.; Халатников, И. М. (1963). «Проблемы релятивистской космологии». Достижения физики . 12 (46): 185. Бибкод : 1963AdPhy..12..185L . дои : 10.1080/00018736300101283 .
• Лифшиц Евгений Михайлович ; Халатников, Исаак М. (1970). «Колебательный режим приближения к сингулярности в открытой космологической модели». Письма ЖЭТФ . 11 : 200–203.
• Лифшиц, Э.М. ; Лифшиц, И.М. ; Халатников, И.М. (1970). «Асимптотический анализ колебательного режима приближения к сингулярности в однородных космологических моделях». ЖЭТФ . 59 : 322.
• Миснер, Ч. В. (1969). «Вселенная Миксмастера». Письма о физических отзывах . 22 (20): 1071–1074. Бибкод : 1969PhRvL..22.1071M . дои : 10.1103/PhysRevLett.22.1071 .
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN  978-0-7167-0334-1 .
• Нельсон, Роберт А. (1981). «Координатно-зависимая формулировка уравнений общей теории относительности 3 + 1 для идеальной жидкости». Общая теория относительности и гравитация . 13 (6): 569–580. Бибкод : 1981GReGr..13..569N . дои : 10.1007/BF00757243 . S2CID   122196359 .
• Пенроуз, Роджер (1965). «Гравитационный коллапс и сингулярности пространства-времени» . Письма о физических отзывах . 14 (3): 57–59. Бибкод : 1965PhRvL..14...57P . doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .
• Петров, Алексей З. (1969). Пространства Эйнштейна . Оксфорд: Пергамон Пресс . ISBN  978-0-08-012315-8 .
• Rugh, Svend E. (1994). "Chaos in the Einstein Equations -- characterization and importance?". Deterministic Chaos in General Relativity. Kananaskis, Alberta, Canada: Springer Science+Business Media New York. pp. 359–422. doi:10.1007/978-1-4757-9993-4. ISBN 978-1-4757-9995-8.
• Saotome, Ryo; Akhoury, Ratindranath; Garfinkle, David (2010). "Examining gravitational collapse with test scalar fields". Classical and Quantum Gravity. 27 (165019): 165019. arXiv:1004.3569. Bibcode:2010CQGra..27p5019S. doi:10.1088/0264-9381/27/16/165019. S2CID 55229333.
• Taub, A.H. (1951). "Empty space-times admitting a three parameter group of motions". Annals of Mathematics. Second Series. 53 (3): 472–490. Bibcode:1951AnMat..53..472T. doi:10.2307/1969567. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969567. MR 0041565.
• Thorne, Kip (1994). Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy. W W Norton. ISBN 978-0-393-31276-8.]; Kip Thorne (2015). Geometrodynamics: The Nonlinear Dynamics of Curved Spacetime (Video lecture). The Van Leer Jerusalem Institute.
• Uggla, Claes; van Elst, Henk; Wainwright, John; Ellis, George F.R. (2003). "Past attractor in inhomogeneous cosmology". Physical Review D. 68 (10): 103502. arXiv:gr-qc/0304002. Bibcode:2003PhRvD..68j3502U. doi:10.1103/PhysRevD.68.103502. S2CID 53635765.
• Weaver, Marsha; Isenberg, James; Berger, Beverly K. (1998). "Mixmaster behavior in inhomogeneous cosmological spacetimes". Physical Review Letters. 80 (14): 2984–2987. arXiv:gr-qc/9712055. Bibcode:1998PhRvL..80.2984W. doi:10.1103/PhysRevLett.80.2984. S2CID 119467400.
• Damour, Thibault (19 November 2015). The Structure of Cosmological Singularities (Video lecture). Institut Henri Poincaré.