Прецессия Томаса

В физике прецессия Томаса , названная в честь Ллевеллина Томаса , представляет собой релятивистскую поправку, которая применяется к вращению элементарной частицы или вращению макроскопического гироскопа и связывает угловую скорость вращения частицы, движущейся по криволинейной орбите, с угловой скоростью. скорость орбитального движения.

Для данного инерционного кадра , если второй кадр усилен по Лоренцу относительно него, а третий усилен относительно второго, но неколлинеарен с первым усилением, то преобразование Лоренца между первым и третьим кадрами включает комбинированное усиление. и вращение, известное как « вращение Вигнера » или «вращение Томаса». Для ускоренного движения ускоренная система отсчета в каждый момент времени имеет инерциальную систему отсчета. Два повышения с небольшим интервалом времени (измеренным в лабораторных условиях) друг от друга приводят к вращению Вигнера после второго повышения. В пределе интервала времени, стремящегося к нулю, ускоренная система отсчета будет вращаться в каждый момент времени, поэтому ускоренная система отсчета вращается с угловой скоростью.

Прецессию можно понимать геометрически как следствие того факта, что пространство скоростей в теории относительности является гиперболическим , и поэтому параллельный перенос вектора (угловой скорости гироскопа) по окружности (его линейной скорости) оставляет его направленным в другом направлении. или понимается алгебраически как результат некоммутативности преобразований Лоренца . Прецессия Томаса дает поправку к спин-орбитальному взаимодействию в квантовой механике учитывает релятивистское замедление времени между электроном и ядром атома , которая .

Прецессия Томаса — это кинематический эффект в плоском пространстве-времени специальной теории относительности . В искривленном пространстве-времени общей теории относительности прецессия Томаса в сочетании с геометрическим эффектом приводит к прецессии де Ситтера . Хотя прецессия Томаса ( чистое вращение после траектории, которая возвращается к исходной скорости ) является чисто кинематическим эффектом, она возникает только при криволинейном движении и, следовательно, не может наблюдаться независимо от какой-либо внешней силы, вызывающей криволинейное движение, например, вызванное электромагнитным полем. , гравитационное поле или механическая сила, поэтому прецессия Томаса обычно сопровождается динамическими эффектами . ^[1]

Если система не испытывает внешнего крутящего момента, например, во внешних скалярных полях, то ее спиновая динамика определяется только прецессией Томаса. Единственное дискретное вращение Томаса (в отличие от серии бесконечно малых вращений, которые составляют прецессию Томаса) присутствует в ситуациях, когда три или более инерциальных систем отсчета находятся в неколлинеарном движении, как можно увидеть с помощью преобразований Лоренца .

История [ править ]

Прецессия Томаса в теории относительности была известна уже Людвику Зильберштейну . ^[2] в 1914 году. Но единственное знание Томаса о релятивистской прецессии пришло из статьи де Ситтера о релятивистской прецессии Луны, впервые опубликованной в книге Эддингтона . ^[3]

В 1925 году Томас релятивистски пересчитал частоту прецессии разделения дублетов в тонкой структуре атома. Таким образом, он нашел недостающий множитель 1/2, который стал известен как половина Томаса.

Это открытие релятивистской прецессии спина электрона привело к пониманию значения релятивистского эффекта. Эффект впоследствии был назван «прецессией Томаса».

Введение [ править ]

Определение [ править ]

Рассмотрим физическую систему, движущуюся в пространстве-времени Минковского . Предположим, что в любой момент существует инерциальная система, в которой система покоится. Это предположение иногда называют третьим постулатом относительности. ^[4] Это означает, что в любой момент координаты и состояние системы могут быть преобразованы Лоренцем в лабораторную систему посредством некоторого преобразования Лоренца.

Пусть на систему действуют внешние силы , которые не создают крутящего момента по отношению к ее центру масс в (мгновенной) системе покоя. Условие «отсутствия крутящего момента» необходимо для выделения явления прецессии Томаса. В качестве упрощающего предположения предполагается, что внешние силы возвращают систему к исходной скорости через некоторое конечное время. Зафиксируйте систему Лоренца $O$ такую, что начальная и конечная скорости равны нулю.

Вектор спина Паули-Любанского $S μ$ определяется как $(0,) Si в$ системы системе покоя , где $S i -$ трехвектор углового момента относительно центра масс. При движении от начального к конечному положению $S µ$ подвергается повороту, записанному в $O$ , от своего начального к конечному значению. Это непрерывное изменение и есть прецессия Томаса. ^[5]

Заявление [ править ]

Рассмотрим движение частицы . Введем лабораторную систему отсчёта $Σ$ , в которой наблюдатель может измерить относительное движение частицы. В каждый момент времени частица имеет инерциальную систему отсчета , в которой она покоится. Относительно этой лабораторной системы координат мгновенная скорость частицы равна $v (t)$ с величиной $| в | = v$ ограничено скоростью света $c$ , так что $0 \leq v < c$ . Здесь время $t$ — это координатное время , измеренное в лабораторных условиях, а не собственное время частицы.

За исключением верхнего предела величины, скорость частицы является произвольной и не обязательно постоянной; соответствующий ему вектор ускорения равен $a = d v (t)/ dt$ . В результате вигнеровского вращения в каждый момент времени рамка частицы прецессирует с угловой скоростью, определяемой уравнением ^[6]^[7]^[8]^[9]

Прецессия Томаса

${\boldsymbol {\omega }}_{\text{T}}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {a} \times \mathbf {v}$

где × — векторное произведение и

\gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {|\mathbf {v} (t)|^{2}}{c^{2}}}}}}

— мгновенный фактор Лоренца , функция мгновенной скорости частицы. Как и любая угловая скорость, $ω T$ является псевдовектором ; его величина - это угловая скорость, с которой прецессирует рамка частицы (в радианах в секунду), а также точки направления вдоль оси вращения. Как обычно, используется правостороннее соглашение векторного произведения (см. правило правой руки ).

Прецессия зависит от ускоренного движения и неколлинеарности мгновенной скорости и ускорения частицы. Прецессии не происходит, если частица движется с постоянной скоростью (постоянная $v$ , поэтому $a = 0$ ) или ускоряется по прямой (в этом случае $v$ и $a$ параллельны или антипараллельны, поэтому их векторное произведение равно нулю). Частица должна двигаться по кривой, скажем, по дуге, спирали , спирали , круговой или эллиптической орбите , чтобы ее каркас прецессировал. Угловая скорость прецессии максимальна, если векторы скорости и ускорения перпендикулярны на протяжении всего движения (круговая орбита), и велика, если их величины велики (величина $v$ почти $с$ ).

В нерелятивистском пределе $v \to 0$ , поэтому $γ \to 1$ , а угловая скорость примерно равна

{\boldsymbol {\omega }}_{\text{T}}\approx {\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {a} \times \mathbf {v}

Коэффициент 1/2 оказывается решающим фактором для согласия с экспериментальными результатами. Неофициально он известен как «половина Томаса».

Математическое объяснение

Преобразования Лоренца [ править ]

Описание относительного движения предполагает преобразования Лоренца , и их удобно использовать в матричной форме; Символьные матричные выражения суммируют преобразования, ими легко манипулировать, а при необходимости полные матрицы можно записать явно. Кроме того, чтобы предотвратить загромождение уравнений дополнительными факторами $c$ , удобно использовать определение $β (t) = v (t)/ c$ с величиной $| β | = β$ такой, что $0 \leq β < 1$ .

Пространственно-временные координаты лабораторного кадра собираются в вектор-столбец 4×1 , а повышение представляется как симметричная матрица 4×4 соответственно.

X={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,,\quad B({\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{x}&-\gamma \beta _{y}&-\gamma \beta _{z}\\-\gamma \beta _{x}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{y}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{z}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}

и повернуть

\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}

является Лоренца фактором $β$ . В других кадрах соответствующие координаты также упорядочены в векторы-столбцы. Обратная матрица повышения соответствует повышению в противоположном направлении и определяется как $B (β) -1 знак равно B (- β)$ .

В момент лабораторно записанного времени $t$ , измеренного в лабораторной системе координат, преобразование пространственно-временных координат из лабораторной системы $Σ$ в систему координат частицы Σ $'$ равно

X'=B({\boldsymbol {\beta }})X

( 1 )

, записанное в лаборатории, $и в более позднее время t + Δ t$ мы можем определить новую систему отсчета $Σ''$ для частицы, которая движется со скоростью $β + Δ β$ относительно $Σ$ , и соответствующий импульс равен

X''=B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})X

( 2 )

Векторы $β$ и $Δβ представляют$ собой два отдельных вектора. Последний представляет собой небольшое приращение, и его можно удобно разделить на компоненты, параллельные (‖) и перпендикулярные (⊥) к $β.$ ^{[номер 1]}

\Delta {\boldsymbol {\beta }}=\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }

Объединение ( 1 ) и ( 2 ) дает преобразование Лоренца между $Σ'$ и $Σ''$ ,

X''=B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})X'\,,

( 3 )

и эта композиция содержит всю необходимую информацию о движении между этими двумя лабораторными временами. Обратите внимание: $B (β + Δ β) B (- β)$ и $B (β + Δ β)$ являются бесконечно малыми преобразованиями, поскольку они включают небольшое приращение относительной скорости, а $B (- β)$ — нет.

Композиция двух ускорений соответствует одному ускорению в сочетании с вращением Вигнера вокруг оси, перпендикулярной относительным скоростям;

\Lambda =B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )

( 4 )

Вращение задается матрицей вращения $R$ 4×4 в представлении ось-угол , а системы координат считаются правыми . Эта матрица вращает 3D-векторы против часовой стрелки вокруг оси ( активное преобразование ) или, что эквивалентно, вращает системы координат по часовой стрелке вокруг той же оси (пассивное преобразование). Вектор оси-угла $Δ θ$ параметризует вращение, его величина $Δ θ$ - это угол $поворота Σ''$ , а направление параллельно оси вращения, в этом случае ось параллельна векторному произведению $(- β)\times(β + Δ β) знак равно - β \timesΔ β$ . Если углы отрицательные, то направление вращения меняется на противоположное. Обратная матрица имеет вид $R (Δ θ) -1 знак равно р (-Δ θ)$ .

Наддуву соответствует (небольшое изменение) вектор наддува $Δ b$ с величиной и направлением относительной скорости наддува (деленной на $c$ ). Повышение $B (Δ b)$ и вращение $R (Δ θ)$ здесь являются бесконечно малыми преобразованиями, поскольку $Δ b$ и вращение $Δ θ$ малы.

Вращение порождает прецессию Томаса, но здесь есть одна тонкость. Чтобы интерпретировать систему отсчета частицы как сопутствующую инерциальную систему отсчета относительно лабораторной системы отсчета и согласиться с нерелятивистским пределом, мы ожидаем, что преобразование между мгновенными системами отсчета частицы в моменты времени $t$ и $t + Δ t$ будет связано усилением без вращения. Объединение ( 3 ) и ( 4 ) и перестановка дает

B(\Delta \mathbf {b} )X'=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})X''=X'''\,,

( 5 )

еще один мгновенный кадр $Σ'''$ где вводится $с координатами X''$ , чтобы предотвратить объединение с $Σ''$ . Подводя итог системам отсчета: в лабораторной системе отсчета $Σ$ наблюдатель измеряет движение частицы, а три мгновенные инерциальные системы отсчета, в которых частица находится в покое, — это $Σ'$ (в момент времени $t$ ), $Σ''$ (в момент времени $t + Δt ($ ) и $Σ'''$ в момент времени $t + Δt)$ . Кадры $Σ''$ и $Σ'''$ находятся в одном и том же месте и времени, они отличаются только поворотом. Напротив, $Σ'$ и $Σ'''$ различаются усилением и лабораторным интервалом времени $Δ t$ .

Связывание координат $X "'$ с лабораторными координатами $X$ через ( 5 ) и ( 2 );

X'''=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})X''=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})X\,,

( 6 )

система $Σ'''$ повернута в отрицательном смысле.

Вращение происходит между двумя моментами лабораторного времени. При $Δ t \to 0$ рамка частицы вращается в каждый момент, и непрерывное движение частицы представляет собой непрерывное вращение с угловой скоростью в каждый момент. Разделив $-Δ θ$ на $Δ t$ и приняв предел $Δ t \to 0$ , угловая скорость по определению равна

{\boldsymbol {\omega }}_{T}=-\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {\theta }}}{\Delta t}}

( 7 )

Осталось выяснить, чем $именно является Δ θ$ .

Извлечение формулы [ править ]

Композиция может быть получена путем явного вычисления матричного произведения. Матрица повышения $β + Δ β$ потребует величины и коэффициента Лоренца этого вектора. Поскольку $Δ β$ мало, члены «второго порядка» $| Δ β | 2$ , $(Δ β x) 2$ , $(Δ b y) 2$ , $Δ β x Δ β y$ и выше пренебрежимо малы. Воспользовавшись этим фактом, квадрат величины вектора равен

|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}=|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+2{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}

и разложение фактора Лоренца $β + Δ β$ в степенной ряд дает первый порядок по $Δ β$ ,

{\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}&=1+{\frac {1}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \\&=\left(1+{\frac {|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \right)+\left(1+{\frac {3}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+\cdots \right){\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\\&\approx \gamma +\gamma ^{3}{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\end{aligned}}

используя фактор Лоренца $γ$ для $β$ , как указано выше.

Состав бустов в плоскости xy

To simplify the calculation without loss of generality, take the direction of $β$ to be entirely in the $x$ direction, and $Δ β$ in the $xy$ plane, so the parallel component is along the $x$ direction while the perpendicular component is along the $y$ direction. The axis of the Wigner rotation is along the $z$ direction. In the Cartesian basis $e x, e y, e z$ , a set of mutually perpendicular unit vectors in their indicated directions, we have

{\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {e} _{x}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }=\Delta \beta _{x}\mathbf {e} _{x}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta \beta _{y}\mathbf {e} _{y}\,,\quad {\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}=\beta \Delta \beta _{y}\mathbf {e} _{z}

This simplified setup allows the boost matrices to be given explicitly with the minimum number of matrix entries. In general, of course, $β$ and $Δ β$ can be in any plane, the final result given later will not be different.

Explicitly, at time $t$ the boost is in the negative $x$ direction

B(-{\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}

and the boost at the time $t + Δ t$ is

B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma +\gamma ^{3}\beta \Delta \beta _{x}&-(\gamma \beta +\gamma ^{3}\Delta \beta _{x})&-\gamma \Delta \beta _{y}&0\\-(\gamma \beta +\gamma ^{3}\Delta \beta _{x})&\gamma +\gamma ^{3}\beta \Delta \beta _{x}&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&0\\-\gamma \Delta \beta _{y}&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

where $γ$ is the Lorentz factor of $β$ , not $β + Δ β$ . The composite transformation is then the matrix product

\Lambda =B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}1&-\gamma ^{2}\Delta \beta _{x}&-\gamma \Delta \beta _{y}&0\\-\gamma ^{2}\Delta \beta _{x}&1&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&0\\-\gamma \Delta \beta _{y}&-\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

Представляем бустер-генераторы

K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}

и генераторы вращения

J_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad J_{y}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}

вместе со скалярным произведением · облегчает выражение, независимое от координат

\Lambda =I-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)({\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }})\cdot \mathbf {J} -\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })\cdot \mathbf {K}

что справедливо, если $и$ ∆β $лежат β$ в любой плоскости. Это бесконечно малое преобразование Лоренца в форме комбинированного повышения и вращения. ^{[номер 2]}

\Lambda =I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} -\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K}

где

\Delta {\boldsymbol {\theta }}=\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {v} \times \Delta \mathbf {v}

\Delta \mathbf {b} =\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })

Разделив $Δ θ$ на $Δ t$ и приняв предел, как в ( 7 ), получим мгновенную угловую скорость

{\boldsymbol {\omega }}_{T}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {a} \times \mathbf {v}

где $a$ — ускорение частицы, наблюдаемое в лабораторных условиях. При выводе не были указаны и не использованы никакие силы, поэтому прецессия представляет собой кинематический эффект, возникающий из геометрических аспектов движения. Однако силы вызывают ускорения, поэтому прецессия Томаса наблюдается, если на частицу действуют силы.

Прецессию Томаса также можно получить с помощью уравнения переноса Ферми-Уокера . ^[10]Предполагается равномерное круговое движение в плоском пространстве-времени Минковского. 4-вектор спина ортогонален 4-вектору скорости. Транспорт Ферми-Уокера сохраняет это соотношение. Обнаружено, что скалярное произведение 4-вектора ускорения с 4-вектором спина меняется синусоидально со временем с угловой частотой γω, где ω — угловая частота кругового движения, а γ=1/√(1-v^2 /c^2), фактор Лоренца . Это легко показать, взяв вторую производную по времени от этого скалярного произведения. Поскольку эта угловая частота превышает ω, спин прецессирует в ретроградном направлении. Разность (γ-1)ω — это уже заданная угловая частота прецессии Томаса, что можно просто показать, осознав, что величина 3-ускорения равна ω v.

Приложения [ править ]

На электронных орбиталях [ править ]

В квантовой механике прецессия Томаса — это поправка к спин-орбитальному взаимодействию , которая учитывает релятивистское замедление времени между электроном и ядром в водородных атомах .

По сути, он утверждает, что вращающиеся объекты прецессируют , когда они ускоряются в специальной теории относительности , потому что усиления Лоренца не коммутируют друг с другом.

Для расчета спина частицы в магнитном поле необходимо учитывать также ларморовскую прецессию .

В маятнике Фуко [ править ]

Вращение плоскости качания маятника Фуко можно рассматривать как результат параллельного перемещения маятника в двумерной сфере евклидова пространства. Гиперболическое пространство скоростей в пространстве-времени Минковского представляет собой трёхмерную (псевдо-) сферу с мнимым радиусом и воображаемой времениподобной координатой. Параллельный перенос вращающейся частицы в релятивистском пространстве скоростей приводит к прецессии Томаса, аналогичной вращению плоскости качания маятника Фуко. ^[11] Угол поворота в обоих случаях определяется интегралом площади кривизны в соответствии с теоремой Гаусса–Бонне .

Прецессия Томаса вносит поправку к прецессии маятника Фуко. Для маятника Фуко, расположенного в городе Неймеген в Нидерландах, поправка равна:

\omega \approx 9.5\cdot 10^{-7}\,\mathrm {arcseconds} /\mathrm {day} .

Обратите внимание, что она более чем на два порядка меньше прецессии из-за общерелятивистской поправки, возникающей из-за перетаскивания системы отсчета , прецессии Лензе-Тирринга .

См. также [ править ]

Замечания [ править ]

^ Явно, использование векторной проекции и отклонения относительно направления $β$ дает
$\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }={\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta {\boldsymbol {\beta }}-{\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}$
но проще просто использовать параллельно-перпендикулярные компоненты.
^ Матрицы вращения и ускорения (каждая бесконечно малая) имеют вид
$R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \,,\quad B(\Delta \mathbf {b} )=I-\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} \,,$
На бесконечно малом уровне они общаются друг с другом.
$\Lambda =B(\Delta \mathbf {b} )R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )$
потому что произведения $(Δ θ \cdot J)(Δ b \cdot K)$ и $(Δ b \cdot K)(Δ θ \cdot J)$ пренебрежимо малы. Полный наддув и вращения не коммутируют. вообще

Примечания [ править ]

^ Малыкин 2006 г.
^ Зильберштейн 1914 , с. 169
^ Эддингтон 1924 г.
^ Гольдштейн 1980
^ Бен-Менахем 1986
^ Джексон 1975 , с. 543–546
^ Гольдштейн 1980 , с. 288
^ Сард 1970 , с. 280
^ Сексл и Урбантке 2001 , стр. 42.
^ Миснер, Торн и Уилер, Гравитация, стр. 165, стр. 175-176.
^ Криворученко 2009 г.

Ссылки [ править ]

Томас Л.Х. Кинематика электрона с осью, Фил. Маг. 7 1927 1–23
Бен-Менахем, А. (1985). «Возвращение к ротации Вигнера». Являюсь. Дж. Физ . 53 (1): 62–66. Бибкод : 1985AmJPh..53...62B . дои : 10.1119/1.13953 .
Бен-Менахем, С. (1986). «Прецессия Томаса и кривизна пространства скоростей». Дж. Математика. Физ . 27 (5): 1284–1286. Бибкод : 1986JMP....27.1284B . дои : 10.1063/1.527132 .
Кушинг, Дж. Т. (1967). «Векторные преобразования Лоренца». Являюсь. Дж. Физ . 35 (9): 858–862. Бибкод : 1967AmJPh..35..858C . дои : 10.1119/1.1974267 .
Эйнштейн, А. (1922), «Боковые огни теории относительности» , Nature , 112 (2809), Лондон: Метуэн: 319, Бибкод : 1923Natur.112..319. , doi : 10.1038/112319a0 , S2CID 4094626 ; (Электронная книга «Проект Гутенберг») {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
Эддингтон, А.С. (1924). Математическая теория относительности . Издательство Кембриджского университета ; (Введение) {{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
Кремер, Х. (январь 2004 г.). «Фактор прецессии Томаса в спин-орбитальном взаимодействии» (PDF) . Являюсь. Дж. Физ . 72 (1): 51–52. arXiv : физика/0310016 . Бибкод : 2004AmJPh..72...51K . дои : 10.1119/1.1615526 . S2CID 119533324 .
Криворученко, М.И. (2009). «Вращение плоскости качания маятника Фуко и прецессия вращения Томаса: две стороны одной монеты». Физ. Усп . 52 (8): 821–829. arXiv : 0805.1136 . Бибкод : 2009PhyU...52..821K . дои : 10.3367/UFNe.0179.200908e.0873 . S2CID 118449576 .
Малыкин, ГБ (2006). «Прецессия Томаса: правильные и неправильные решения». Физ. Усп . 49 (8): 83 стр. Бибкод : 2006PhyU...49..837M . дои : 10.1070/PU2006v049n08ABEH005870 . S2CID 119974630 .
Мокану, CI (1992). «О парадоксе релятивистского скоростного состава и вращении Томаса». Найденный. Физ. Летт . 5 (5): 443–456. Бибкод : 1992FoPhL...5..443M . дои : 10.1007/BF00690425 . ISSN 0894-9875 . S2CID 122472788 .
Ребилас, К. (2013). «Комментарий к элементарному анализу специальной релятивистской комбинации скоростей, вращения Вигнера и прецессии Томаса». Евро. Дж. Физ . 34 (3): L55–L61. Бибкод : 2013EJPh...34L..55R . дои : 10.1088/0143-0807/34/3/L55 . S2CID 122527454 . (бесплатный доступ)
Родос, Дж.А.; Семон, доктор медицины (2005). «Релятивистское пространство скоростей, вращение Вигнера и прецессия Томаса». Являюсь. Дж. Физ . 72 (7): 943–960. arXiv : gr-qc/0501070 . Бибкод : 2005APS..NES..R001S . дои : 10.1119/1.1652040 . S2CID 14764378 .
Зильберштейн, Л. (1914). Теория относительности . Лондон: Издательство Macmillan .
Томас, Л.Х. (1926). «Движение вращающегося электрона» . Природа . 117 (2945): 514. Бибкод : 1926Natur.117..514T . дои : 10.1038/117514a0 . S2CID 4084303 .
Унгар, А.А. (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы Лоренца». Основы физики письма . 1 (1): 57–81. Бибкод : 1988FoPhL...1...57U . дои : 10.1007/BF00661317 . ISSN 0894-9875 . S2CID 121240925 .
Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , том. 1, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-55001-7
Вигнер, EP (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Annals of Mathematics , 40 (1): 149–204, Бибкод : 1939AnMat..40..149W , doi : 10.2307/1968551 , JSTOR 1968551 , МР 1503456 , S2CID 121773411 .

Учебники [ править ]

Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. «Глава 7». Классическая механика (2-е изд.). Ридинг MA: Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-201-02918-5 .
Джексон, JD (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-30932-1 .
Джексон, JD (1975) [1962]. «Глава 11» . Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . стр. 542–545 . ISBN 978-0-471-43132-9 .
Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . п. 38. ISBN 0-7506-2768-9 .
Риндлер, В. (2006) [2001]. «Глава 9». Специальная, общая и космологическая теория относительности (2-е изд.). Даллас: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-856732-5 .
Райдер, Л.Х. (1996) [1985]. Квантовая теория поля (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521478144 .
Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 978-0805384918 .
Сексл, RU; Урбантке, Гонконг (2001) [1992]. Теория относительности, Группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и элементарных частиц . Спрингер. стр. 38–43. ISBN 978-3211834435 .

Внешние ссылки [ править ]

Статья Mathpages о прецессии Томаса
Альтернативный, подробный вывод прецессии Томаса (Роберт Литтлджон)
Краткий вывод прецессии Томаса

[10] Явно, использование векторной проекции и отклонения относительно направления $β$ дает
$\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }={\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta {\boldsymbol {\beta }}-{\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}$
но проще просто использовать параллельно-перпендикулярные компоненты.

[11] Матрицы вращения и ускорения (каждая бесконечно малая) имеют вид
$R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \,,\quad B(\Delta \mathbf {b} )=I-\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} \,,$
На бесконечно малом уровне они общаются друг с другом.
$\Lambda =B(\Delta \mathbf {b} )R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )$
потому что произведения $(Δ θ \cdot J)(Δ b \cdot K)$ и $(Δ b \cdot K)(Δ θ \cdot J)$ пренебрежимо малы. Полный наддув и вращения не коммутируют. вообще

[1] Малыкин 2006 г.

[2] Зильберштейн 1914 , с. 169

[3] Эддингтон 1924 г.

[4] Гольдштейн 1980

[5] Бен-Менахем 1986

[6] Джексон 1975 , с. 543–546

[7] Гольдштейн 1980 , с. 288

[8] Сард 1970 , с. 280

[9] Сексл и Урбантке 2001 , стр. 42.

[12] Миснер, Торн и Уилер, Гравитация, стр. 165, стр. 175-176.

[13] Криворученко 2009 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[номер 1]

[номер 2]

[10]

[11]