Геодезика в общей теории относительности

Для более широкого освещения этой темы см. Геодезика .

В общей теории относительности обобщает геодезическая понятие «прямой линии» на искривленное пространство-время . Важно отметить, что мировая линия частицы, свободная от всех внешних, негравитационных сил, представляет собой особый тип геодезической. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется по геодезической.

В общей теории относительности гравитацию можно рассматривать не как силу, а как следствие искривленной геометрии пространства-времени, где источником кривизны является тензор энергии-импульса (представляющий, например, материю). Так, например, путь планеты, вращающейся вокруг звезды, представляет собой проекцию геодезической искривленной четырехмерной (4-D) геометрии пространства-времени вокруг звезды на трехмерное (3-D) пространство.

Математическое выражение

Полное уравнение геодезических :

$${d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\$$

где s — скалярный параметр движения (например, собственное время ), а $\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }$являются символами Кристоффеля (иногда называемыми коэффициентами аффинной связности или коэффициентами связности Леви-Чивита ), симметричными по двум нижним индексам. Греческие индексы могут принимать значения: 0, 1, 2, 3, а соглашение о суммировании. для повторяющихся индексов используется $\alpha$ и $\beta$. Величина в левой части этого уравнения представляет собой ускорение частицы, поэтому это уравнение аналогично законам движения Ньютона , которые также дают формулы для ускорения частицы. Символы Кристоффеля являются функциями четырех координат пространства-времени и поэтому не зависят от скорости или ускорения или других характеристик пробной частицы , движение которой описывается уравнением геодезических.

Эквивалентное математическое выражение с использованием координатного времени в качестве параметра

До сих пор уравнение геодезического движения записывалось в терминах скалярного параметра s . Альтернативно его можно записать в терминах временной координаты: $t\equiv x^{0}$(здесь мы использовали тройную черту для обозначения определения). Тогда геодезическое уравнение движения примет вид:

$${d^{2}x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .$$

Эта формулировка уравнения геодезического движения может быть полезна для компьютерных расчетов и для сравнения общей теории относительности с ньютоновской гравитацией. Эту форму геодезического уравнения движения легко вывести из формы, в которой в качестве параметра используется собственное время, используя цепное правило . Обратите внимание, что обе части этого последнего уравнения исчезают, когда индекс mu установлен равным нулю. Если скорость частицы достаточно мала, то уравнение геодезических сводится к следующему:

$${d^{2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}.$$

Здесь латинский индекс n принимает значения [1,2,3]. Это уравнение просто означает, что все пробные частицы в определенном месте и в определенное время будут иметь одинаковое ускорение, что является хорошо известной особенностью ньютоновской гравитации. Например, все, что плавает на Международной космической станции, будет испытывать примерно одинаковое ускорение под действием силы тяжести.

из принципа

Физик Стивен Вайнберг представил вывод геодезического уравнения движения непосредственно из принципа эквивалентности . Первым шагом в таком выводе является предположение, что свободно падающая частица не ускоряется в окрестности точки -события относительно свободно падающей системы координат ( $X^{\mu }$). Параметр $T\equiv X^{0}$, мы имеем следующее уравнение, локально применимое в условиях свободного падения:

$${d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}=0.$$

Следующим шагом является использование правила многомерной цепочки . У нас есть:

$${dX^{\mu } \over dT}={dx^{\nu } \over dT}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}$$

Дифференцируя еще раз по времени, имеем:

$${d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}={d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}$$

Мы уже говорили, что левая часть этого последнего уравнения должна исчезнуть в силу принципа эквивалентности. Поэтому:

$${d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}$$

Умножьте обе части этого последнего уравнения на следующую величину:

$${\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}$$

Следовательно, мы имеем следующее:

$${d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right].$$

Вайнберг определяет аффинную связность следующим образом:

$$\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \alpha }=\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]$$

что приводит к этой формуле:

$${d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}.$$

Обратите внимание: если бы мы использовали собственное время «s» в качестве параметра движения вместо локально инерциальной временной координаты «T», то наш вывод геодезического уравнения движения был бы полным. В любом случае, давайте продолжим, применяя правило одномерной цепочки :

$${d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}.$$

$${d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.$$

Как и прежде, мы можем установить $t\equiv x^{0}$. Тогда первая производная от x ⁰ по t равна единице, а вторая производная равна нулю. Замена λ на ноль дает:

$${\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.$$

Вычитание d x ^л / d t , умноженное на это значение из предыдущего уравнения, дает:

$${d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}+\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\lambda } \over dt}$$

которое является формой геодезического уравнения движения (с использованием координатного времени в качестве параметра).

Геодезическое уравнение движения альтернативно может быть получено с использованием концепции параллельного переноса .

Вывод уравнения геодезических с помощью действия

Мы можем (и это наиболее распространенный метод) вывести уравнение геодезических, используя принцип действия . Рассмотрим случай попытки найти геодезическую между двумя событиями, разделенными во времени.

Пусть действие будет

$$S=\int ds$$

где $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$является элементом линии . Внутри квадратного корня стоит отрицательный знак, поскольку кривая должна быть времениподобной. Чтобы получить уравнение геодезических, нам нужно изменить это действие. Для этого параметризуем это действие по параметру $\lambda$. Сделав это, мы получим:

$$S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\,d\lambda$$

Теперь мы можем пойти дальше и изменить это действие относительно кривой. $x^{\mu }$. По принципу наименьшего действия получаем:

$$0=\delta S=\int \delta \left({\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\right)\,d\lambda =\int {\frac {\delta \left(-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}\right)}{2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}}d\lambda$$

Используя правило произведения, получаем:

$$0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\delta g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}+g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d\delta x^{\nu }}{d\lambda }}\right)\,d\lambda =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }+2g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\,d\lambda$$

где

$${\frac {d\tau }{d\lambda }}={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}$$

Интегрируя по частям последнее слагаемое и отбрасывая полную производную (равную нулю на границах), получаем следующее:

$$0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\left(g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\right)\,d\tau =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}-2\delta x^{\mu }g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}\right)\,d\tau$$

Немного упрощая, мы видим, что:

$$0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-2{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\right)\delta x^{\mu }d\tau$$

так,

$$0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }-{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }\right)\delta x^{\mu }\,d\tau$$

умножив это уравнение на ${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$ мы получаем:

$$0=\int \left(g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)\right)\delta x^{\mu }\,d\tau$$

Итак, по принципу Гамильтона мы находим, что уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид

$$g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)=0$$

Умножение на обратный метрический тензор $g^{\mu \beta }$ мы поняли это

$${\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right){\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0$$

Таким образом, мы получаем уравнение геодезических:

$${\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0$$

с символом Кристоффеля , определенным через метрический тензор как

$$\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)$$

(Примечание: аналогичные выводы с небольшими поправками можно использовать для получения аналогичных результатов для геодезических между светоподобными или пространственно-подобные разделенные пары точек.)

Уравнение движения может следовать из уравнений поля для

Альберт Эйнштейн считал, что уравнение геодезического движения можно вывести из уравнений поля для пустого пространства , т. е. из того факта, что кривизна Риччи обращается в нуль. Он написал:

Было показано, что этот закон движения, обобщенный на случай сколь угодно больших гравитирующих масс, можно вывести только из уравнений поля пустого пространства. Согласно этому выводу, закон движения подразумевается из условия, что поле сингулярно нигде за пределами точек его порождающей массы.

и

Одним из недостатков первоначальной релятивистской теории гравитации было то, что как теория поля она не была полной; он ввел независимый постулат о том, что закон движения частицы задается уравнением геодезической.

Полная теория поля знает только поля, а не понятия частицы и движения. Ибо они не должны существовать независимо от поля, а должны рассматриваться как его часть.

На основе описания частицы без особенности имеется возможность логически более удовлетворительной трактовки комбинированной задачи: задача о поле и задача о движении совпадают.

И физики, и философы часто повторяли утверждение, что уравнение геодезических можно получить из уравнений поля для описания движения гравитационной сингулярности , но это утверждение остается спорным. По словам Дэвида Маламента : «Хотя геодезический принцип можно восстановить как теорему общей теории относительности, он не является следствием только уравнения Эйнштейна (или принципа сохранения). Для вывода рассматриваемых теорем необходимы другие предположения». Менее спорным является представление о том, что уравнения поля определяют движение жидкости или пыли в отличие от движения точки-сингулярности.

на случай

При выводе уравнения геодезических из принципа эквивалентности предполагалось, что частицы в локальной инерциальной системе координат не ускоряются. Однако в реальной жизни частицы могут быть заряжены и, следовательно, могут локально ускоряться в соответствии с силой Лоренца . То есть:

$${d^{2}X^{\mu } \over ds^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{\eta _{\alpha \beta }}.$$

с

$${\eta _{\alpha \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.$$

Минковского Тензор $\eta _{\alpha \beta }$ дан кем-то:

$$\eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$$

Эти последние три уравнения можно использовать в качестве отправной точки для вывода уравнения движения в общей теории относительности вместо того, чтобы предполагать, что ускорение равно нулю при свободном падении. Поскольку здесь задействован тензор Минковского, возникает необходимость ввести в общую теорию относительности нечто, называемое метрическим тензором . Метрический тензор g симметричен и локально сводится к тензору Минковского в свободном падении. Итоговое уравнение движения выглядит следующим образом:

$${d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{g_{\alpha \beta }}.$$

с

$${g_{\alpha \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=-1.$$

Последнее уравнение означает, что частица движется по времениподобной геодезической; безмассовые частицы, такие как фотон, вместо этого следуют нулевым геодезическим (замените -1 на ноль в правой части последнего уравнения). Важно, что два последних уравнения согласуются друг с другом, когда последнее дифференцируется по собственному времени, и следующая формула для символов Кристоффеля обеспечивает эту согласованность:

$$\Gamma ^{\lambda }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \tau }\left({\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\tau \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\tau }}}\right)$$

Это последнее уравнение не включает электромагнитные поля и применимо даже в том пределе, когда электромагнитные поля исчезают. Буква g с верхними индексами относится к обратному метрическому тензору. В общей теории относительности индексы тензоров понижаются и повышаются за счет сжатия метрического тензора или обратного ему соответственно.

стационарного

Геодезическую между двумя событиями также можно описать как кривую, соединяющую эти два события, которая имеет стационарный интервал (четырехмерную «длину»). Стационарный здесь используется в том смысле, в котором этот термин используется в вариационном исчислении , а именно, что интервал вдоль кривой минимально меняется среди кривых, близких к геодезической.

В пространстве Минковского существует только одна геодезическая, соединяющая любую данную пару событий, и для времяподобной геодезической это кривая с самым длинным собственным временем между двумя событиями. В искривленном пространстве-времени пара широко разделенных событий может иметь между собой более одной времяподобной геодезической. В таких случаях собственные времена вдоль нескольких геодезических вообще не будут одинаковыми. В таких случаях для некоторых геодезических кривая, соединяющая два события и находящаяся рядом с геодезической, может иметь либо большее, либо меньшее собственное время, чем геодезическая.

Для пространственноподобной геодезической, проходящей через два события, всегда существуют близлежащие кривые, проходящие через два события, которые имеют либо большую, либо меньшую собственную длину , чем геодезическая, даже в пространстве Минковского. В пространстве Минковского геодезическая будет прямой линией. Любая кривая, которая отличается от геодезической чисто пространственно ( т. е. не меняет временную координату) в любой инерциальной системе отсчета, будет иметь большую собственную длину, чем геодезическая, но кривая, которая отличается от геодезической чисто временно ( т. е. не меняет координаты пространства) в такой системе отсчета будет иметь меньшую собственную длину.

Интервал кривой в пространстве-времени равен

$$l=\int {\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\,ds\ .$$

Тогда уравнение Эйлера–Лагранжа ,

$${d \over ds}{\partial \over \partial {\dot {x}}^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\ ,$$

становится, после некоторых вычислений,

$$2\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }\right)=U^{\lambda }{d \over ds}\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\ ,$$

где $U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.$

показывать

Доказательство

The goal being to find a curve for which the value of

$$l=\int d\tau =\int {d\tau \over d\phi }\,d\phi =\int {\sqrt {(d\tau )^{2} \over (d\phi )^{2}}}\,d\phi =\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu } \over d\phi \,d\phi }}\,d\phi =\int f\,d\phi$$

is stationary, where

$$f={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}$$

such goal can be accomplished by calculating the Euler–Lagrange equation for f, which is

$${d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}.$$

Substituting the expression of f into the Euler–Lagrange equation (which makes the value of the integral l stationary), gives

$${d \over d\tau }{\partial {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over \partial x^{\lambda }}$$

Now calculate the derivatives:

$${\begin{aligned}{d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)&={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(1)\\[1ex]{d \over d\tau }\left({g_{\mu \nu }\delta ^{\mu }{}_{\lambda }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }\delta ^{\nu }{}_{\lambda } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)&={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(2)\\[1ex]{d \over d\tau }\left({g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)&={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(3)\\[1ex]{{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}{d \over d\tau }(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu })-(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over -g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}&={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}&&(4)\\[1ex]{(-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }){d \over d\tau }(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu })+{1 \over 2}(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }) \over -g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}&=g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }&&(5)\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })(g_{\lambda \nu ,\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\mu }+g_{\mu \lambda ,\nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \nu }{\ddot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu }{\ddot {x}}^{\mu })\\&=(g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })(g_{\alpha \beta }{\dot {x}}^{\alpha }{\dot {x}}^{\beta })+{1 \over 2}(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })\qquad \qquad (6)\end{aligned}}$$

$$g_{\lambda \nu ,\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu ,\nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+2g_{\lambda \mu }{\ddot {x}}^{\mu }={{\dot {x}}_{\lambda }{d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }) \over g_{\alpha \beta }{\dot {x}}^{\alpha }{\dot {x}}^{\beta }}\qquad \qquad (7)$$

$$2(\Gamma _{\lambda \mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}_{\lambda })={{\dot {x}}_{\lambda }{d \over d\tau }({\dot {x}}_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }) \over {\dot {x}}_{\beta }{\dot {x}}^{\beta }}={U_{\lambda }{d \over d\tau }(U_{\nu }U^{\nu }) \over U_{\beta }U^{\beta }}=U_{\lambda }{d \over d\tau }\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\qquad \qquad (8)$$

This is just one step away from the geodesic equation.

Если параметр s выбран аффинным, то правая часть приведенного выше уравнения обращается в нуль (поскольку $U_{\nu }U^{\nu }$является постоянным). Наконец, мы имеем уравнение геодезических

$$\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }=0\ .$$

Деривация с использованием автопараллельного транспорта

В качестве альтернативы уравнение геодезических можно получить на основе автопараллельного переноса кривых. Вывод основан на лекциях, прочитанных Фредериком П. Шуллером в Международной зимней школе We-Heraeus по гравитации и свету.

Позволять $(M,O,A,\nabla )$ быть гладким многообразием со связностью и $\gamma$быть кривой на многообразии. Говорят, что кривая автопараллельно транспортируется тогда и только тогда, когда $\nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0$.

Чтобы вывести уравнение геодезических, нам нужно выбрать карту $(U,x)\in A$:

$$\nabla _{{\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}\left({\dot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0$$

Используя $C^{\infty }$ линейность и правило Лейбница:

$${\dot {\gamma }}^{i}\left(\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\dot {\gamma }}^{m}\right){\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0$$

Использование того, как соединение действует на функции ( ${\dot {\gamma }}^{m}$) и разложив второе слагаемое с помощью функций коэффициента связи:

$${\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial {\dot {\gamma }}^{m}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0$$

Первое слагаемое можно упростить до ${\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}$. Переименование фиктивных индексов:

$${\ddot {\gamma }}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0$$

Наконец мы приходим к уравнению геодезических:

$${\ddot {\gamma }}^{q}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}=0$$

См. также

• геодезический
• Геодезическая прецессия
• Шварцшильдовская геодезия
• Геодезические как гамильтоновы потоки
• Мировая функция Synge

Библиография

• Стивен Вайнберг , Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности , (1972) John Wiley & Sons, Нью-Йорк ISBN   0-471-92567-5 . См. главу 3 .
• Лев Д. Ландау и Евгений М. Лифшиц , Классическая теория полей , (1973) Pergammon Press, Оксфорд ISBN   0-08-018176-7 См. раздел 87 .
• Чарльз В. Миснер , Кип С. Торн , Джон Арчибальд Уилер , Гравитация , (1970) WH Freeman, Нью-Йорк; ISBN   0-7167-0344-0 .
• Бернард Ф. Шутц , Первый курс общей теории относительности , (1985; 2002) Издательство Кембриджского университета: Кембридж, Великобритания; ISBN   0-521-27703-5 . См. главу 6 .
• Роберт М. Уолд , Общая теория относительности , (1984) Издательство Чикагского университета, Чикаго. См. раздел 3.3 .