Мировая функция Synge

В общей теории относительности мировая Синджа функция — это гладкая локально определенная функция пар точек в гладком пространстве-времени. $M$ с гладкой лоренцевой метрикой $g$ . Позволять $x,x'$ быть двумя точками в пространстве-времени, и предположим, что $x$ принадлежит выпуклой нормальной окрестности $U$ из $x,x'$ (относится к связи Леви-Чивита, связанной с $g$ ) так что существует единственная геодезическая $\gamma (\lambda )$ от $x$ к $x'$ включен в $U$ , с точностью до аффинного параметра $\lambda$ . Предполагать $\gamma (\lambda _{0})=x'$ и $\gamma (\lambda _{1})=x$ . Тогда мировая функция Synge определяется как:

\sigma (x,x')={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}-\lambda _{0})\int _{\gamma }g_{\mu \nu }(z)t^{\mu }t^{\nu }d\lambda

где $t^{\mu }={\frac {dz^{\mu }}{d\lambda }}$ - касательный вектор к аффинно параметризованной геодезической $\gamma (\lambda )$ . То есть, $\sigma (x,x')$ составляет половину квадрата геодезической длины со знаком от $x$ к $x'$ вычисляется вдоль уникального геодезического сегмента, в $U$ , соединяя две точки. Мировая функция Synge четко определена, поскольку приведенный выше интеграл инвариантен при перепараметризации. В частности, для пространства-времени Минковского мировая функция Synge упрощается до половины пространственно-временного интервала между двумя точками: она определена глобально и принимает форму

\sigma (x,x')={\frac {1}{2}}\eta _{\alpha \beta }(x-x')^{\alpha }(x-x')^{\beta }.

Очевидно, что функцию Синга можно определить и в римановых многообразиях, и в этом случае она имеет неотрицательный знак. Вообще говоря, функция Синджа определена только локально, и попытка определить расширение областей, больших, чем выпуклые нормальные окрестности, обычно приводит к многозначной функции, поскольку может существовать несколько геодезических сегментов, соединяющих пару точек в пространстве-времени. Однако его можно определить в окрестности диагонали $M\times M$ , хотя это определение требует некоторого произвольного выбора. Мировая функция Синджа (а также ее расширение на окрестность диагонали $M\times M$ ) появляется, в частности, в ряде теоретических построений квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени . Это важнейший объект, используемый для построения параметрикса функций Грина лоренцевских гиперболических уравнений в частных производных 2-го порядка в глобально гиперболическом многообразии , а также в определении гауссовских состояний Адамара.

Ссылки

Синг, Джон, Л. (1960). Относительность: общая теория . Северная Голландия. ISBN 0-521-34400-Х . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

Фуллинг, Стивен, А. (1989). Аспекты квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени . ЧАШКА. ISBN 0-521-34400-Х . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )