Связь Леви-Чивита
В римановой или псевдоримановой геометрии (в частности, в лоренцевой геометрии теории общей относительности ) связность Леви-Чивита — это уникальная аффинная связность на касательном расслоении многообразия сохраняет (т. е. аффинная связность ), которая ( псевдо ) риманову метрику и не имеет кручения .
Основная теорема римановой геометрии утверждает, что существует единственная связь, удовлетворяющая этим свойствам.
В теории римановых и псевдоримановых многообразий термин ковариантная производная часто используется для обозначения связности Леви-Чивита. Компоненты (структурные коэффициенты) этой связи относительно системы локальных координат называются символами Кристоффеля .
История [ править ]
Связь Леви-Чивита названа в честь Туллио Леви-Чивита , хотя первоначально она была «открыта» Элвином Бруно Кристоффелем . Леви-Чивита, [1] вместе с Грегорио Риччи-Курбастро использовал символы Кристоффеля. [2] определить понятие параллельного переноса и изучить связь параллельного переноса с кривизной , тем самым разработав современное понятие голономии . [3]
В 1869 году Кристоффель обнаружил, что компоненты внутренней производной векторного поля при изменении системы координат преобразуются в компоненты контравариантного вектора. Это открытие стало настоящим началом тензорного анализа.
В 1906 году Л. Дж. Брауэр был первым математиком который рассмотрел параллельный перенос вектора , в случае пространство постоянной кривизны . [4] [5]
В 1917 году Леви-Чивита указал на ее важность для случая гиперповерхности , погруженной в евклидово пространство , т. е. для случая риманова многообразия , вложенного в «большое» объемлющее пространство. [1] Он интерпретировал внутреннюю производную в случае вложенной поверхности как тангенциальную составляющую обычной производной в окружающем аффинном пространстве. Идеи Леви-Чивиты о внутренней производной и параллельном перемещении вектора вдоль кривой имеют смысл на абстрактном римановом многообразии, даже несмотря на то, что первоначальная мотивация основывалась на конкретном вложении
В 1918 г., независимо от Леви-Чивита, аналогичные результаты получил Ян Арнольдус Схоутен . [6] В том же году Герман Вейль обобщил Результаты Леви-Чивита. [7] [8]
Обозначения [ править ]
- ( M , g ) обозначает риманово или псевдориманово многообразие .
- TM — касательное расслоение к M .
- g — риманова или псевдориманова метрика M .
- X , Y , Z — гладкие векторные поля на M гладкие сечения TM , т.е. .
- [ X , Y ] — Ли X и Y . скобка Это снова гладкое векторное поле.
Метрика g может принимать до двух векторов или векторных полей X , Y. в качестве аргументов число, (псевдо-) внутренний продукт X Y и В первом случае выходные данные представляют собой . В последнем случае скалярное произведение X p , Y p берется во всех точках p на многообразии, так что g ( X , Y ) определяет гладкую функцию на M . Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы на гладких функциях. В местных координатах , действие гласит
где Эйнштейна соглашение используется о суммировании.
Формальное определение [ править ]
Аффинное соединение называется связностью Леви-Чивита, если
- он сохраняет метрику , т. е. .
- оно кручения без , т. е. для любых векторных полей и у нас есть , где — скобка Ли векторных полей и .
Условие 1 выше иногда называют совместимостью с метрикой , а условие 2 иногда называют симметрией, ср. Текст Ду Кармо. [9]
теорема (псевдо) геометрии римановой Основная
Теорема . Каждое псевдориманово многообразие. имеет уникальную связь с Levi Civita .
доказательство : Если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной. Чтобы убедиться в этом, разгадайте определение действия связь на тензорах, чтобы найти
Следовательно, мы можем записать условие 1 как
В силу симметрии метрического тензора затем мы находим:
Поэтому по условию 2 правая часть равна
и находим Кошуля формулу
Следовательно, если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной, потому что является произвольным, невырождена и правая часть не зависит от .
Для доказательства существования заметим, что для данного векторного поля и , правая часть выражения Кошуля функционально линейна в векторном поле , а не просто линейный. Следовательно, в силу невырожденности , правая часть однозначно определяет некоторое новое векторное поле, которое мы предположительно обозначим как в левой части. Подставив формулу Кошуля, теперь можно убедиться, что для всех векторных полей и все функции
Следовательно, выражение Кошуля действительно определяет связность, причем эта связность совместима с метрикой и не имеет кручения, т. е. является (следовательно) связностью Леви-Чивита.
Заметим, что с небольшими изменениями то же доказательство показывает, что существует единственная связность, совместимая с метрикой и имеющая предписанное кручение.
Символы Кристоффеля [ править ]
Позволять — аффинная связность на касательном расслоении. Выберите местные координаты с полями координатных базисных векторов и написать для . Кристоффеля Символы из относительно этих координат определяются как
Символы Кристоффеля, наоборот, определяют связь в координатной окрестности, потому что
то есть,
Аффинное соединение совместимо с метрикой тогда и только тогда, когда
т.е. тогда и только тогда, когда
Аффинная связность ∇ не имеет кручения тогда и только тогда, когда
т.е. тогда и только тогда, когда
симметричен по двум нижним индексам.
Как проверяют, принимая за , координатные векторные поля (или вычисляет напрямую), выражение Кошуля связи Леви-Чивита, полученное выше, эквивалентно определению символов Кристоффеля в терминах метрики как
где как обычно являются коэффициентами двойственного метрического тензора, т.е. элементами обратной матрицы .
Производная по кривой [ править ]
любая аффинная связность) также определяет производную по кривым , иногда обозначаемую D. Связность Леви-Чивита (как и
Учитывая гладкую кривую γ на ( M , g ) и векторное поле V вдоль γ, ее производная определяется формулой
Формально D — это обратное соединение γ *∇ на расслоении обратного образа γ * TM .
В частности, является векторным полем вдоль самой кривой γ . Если обращается в нуль, кривая называется геодезической ковариантной производной. Формально это условие можно переформулировать как исчезновение обратной связи, примененной к :
Если ковариантная производная является связностью Леви-Чивита некоторой метрики, то геодезическими для связности являются именно те геодезические метрики , которые параметризуются пропорционально длине своей дуги.
Параллельный транспорт [ править ]
В общем, параллельный транспорт вдоль кривой относительно соединения определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривой. Если соединение является соединением Леви-Чивита, то эти изоморфизмы ортогональны , то есть сохраняют скалярные произведения в различных касательных пространствах.
На изображениях ниже показан параллельный перенос связи Леви-Чивита, связанной с двумя разными римановыми метриками на плоскости, выраженными в полярных координатах . Метрика левого изображения соответствует стандартной евклидовой метрике. , а метрика справа имеет стандартный вид в полярных координатах (когда ), и тем самым сохраняет вектор касательная к окружности. Эта вторая метрика имеет особенность в начале координат, как можно увидеть, выразив ее в декартовых координатах:
Пример: единичная сфера в R 3 [ редактировать ]
Пусть ⟨ , ⟩ — обычное скалярное произведение на R 3 . Давайте 2 — единичная сфера в R 3 . Касательное пространство к S 2 в точке m естественным образом отождествляется с векторным подпространством R 3 состоящий из всех векторов, ортогональных m . Отсюда следует, что векторное поле Y на S 2 можно рассматривать как карту Y : S 2 → Р 3 , что удовлетворяет
Обозначим dm Y Y дифференциал отображения . точке m в Тогда у нас есть:
Лемма — Формула
Непосредственно доказывается, что ∇ удовлетворяет тождеству Лейбница и является C ∞ ( С 2 ) линейный по первой переменной. Также можно с помощью простых вычислений показать, что это соединение не имеет кручения. Итак, все, что здесь нужно доказать, это то, что приведенная выше формула создает векторное поле, касательное к S 2 . То есть нам нужно доказать, что для всех m из S 2
Фактически эта связность является связностью Леви-Чивита для метрики на S 2 унаследовано от Р 3 . Действительно, можно проверить, что эта связность сохраняет метрику.
Поведение масштабировании при конформном
Если метрика в конформном классе заменяется конформно перемасштабированной метрикой того же класса , то связь Леви-Чивита преобразуется по правилу [10]
В качестве приложения снова рассмотрим единичную сферу, но на этот раз в стереографической проекции , так что метрика (в комплексных координатах Фубини – Студи ) является:
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Леви-Чивита, Туллио (1917). « Понятие параллелизма на любом многообразии». Отчеты Математического цирка Палермо (на итальянском языке). 42 : 173–205. дои : 10.1007/BF03014898 . ЖФМ 46.1125.02 . S2CID 122088291 .
- ^ Кристоффель, Элвин Б. (1869). «О преобразовании однородных дифференциальных выражений второй степени» . Журнал чистой и прикладной математики . 1869 (70): 46–70. дои : 10.1515/crll.1869.70.46 . S2CID 122999847 .
- ^ См. Спивак, Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию (Том II) . Опубликуй или погибни Пресса. п. 238. ИСБН 0-914098-71-3 .
- ^ Брауэр, Л.Э.Дж. (1906). «Силовое поле неевклидовых отрицательно искривленных пространств». Королевская академия наук. Побежден . 15 :75–94.
- ^ Брауэр, Л.Э.Дж. (1906). «Силовое поле неевклидовых пространств отрицательной кривизны». Королевская академия наук. Слушания . 9 : 116–133. Стартовый код : 1906KNAB....9..116B .
- ^ Схоутен, Ян Арнольдус (1918). «Прямой анализ теории относительности». Труды Королевской академии наук в Амстердаме . 12 (6):95.
- ^ Вейль, Герман (1918). «Гравитация и электричество». Отчеты о заседаниях Берлинской академии : 465–480.
- ^ Вейль, Герман (1918). «Чистая бесконечно малая геометрия» . Математический журнал . 2 (3–4): 384–411. Нагрудный код : 1918MatZ....2..384W . дои : 10.1007/bf01199420 . S2CID 186232500 .
- ^ Карму, Манфредо Пердиган ду (1992). Риманова геометрия . Фрэнсис Дж. Флаэрти. Бостон: Биркхойзер. ISBN 0-8176-3490-8 . OCLC 24667701 .
- ^ Артур Бесс (1987). Многообразия Эйнштейна . Спрингер. п. 58.
Ссылки [ править ]
- Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Академическая пресса. ISBN 0-12-116052-1 .
- Кобаяши, Шошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии . John Wiley & Sons . 0-470-49647-9 . См. том I, стр. 158
Внешние ссылки [ править ]
- «Связь Леви-Чивита» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- MathWorld: связь Леви-Чивита
- PlanetMath: связь Леви-Чивита
- Связь Леви-Чивита в Атласе многообразия