Связь Леви-Чивита

В римановой или псевдоримановой геометрии (в частности, в лоренцевой геометрии общей теории относительности ) связность Леви-Чивита — это уникальная аффинная связность на касательном расслоении многообразия аффинная (т. е. связность ), которая сохраняет ( псевдо ) риманову метрику и не имеет кручения .

Основная теорема римановой геометрии утверждает, что существует единственная связь, удовлетворяющая этим свойствам.

В теории римановых и псевдоримановых многообразий термин ковариантная производная часто используется для обозначения связности Леви-Чивита. Компоненты (структурные коэффициенты) этой связи относительно системы локальных координат называются символами Кристоффеля .

История

Связь Леви-Чивита названа в честь Туллио Леви-Чивита , хотя первоначально она была «открыта» Элвином Бруно Кристоффелем . Леви-Чивита, вместе с Грегорио Риччи-Курбастро использовал символы Кристоффеля. определить понятие параллельного переноса и изучить связь параллельного переноса с кривизной , развивая тем самым современное понятие голономии .

В 1869 году Кристоффель обнаружил, что компоненты внутренней производной векторного поля при изменении системы координат преобразуются в компоненты контравариантного вектора. Это открытие стало настоящим началом тензорного анализа.

В 1906 году Л. Дж. Брауэр был первым математиком, рассмотрел параллельный перенос вектора который в случае пространство постоянной кривизны .

В 1917 году Леви-Чивита указал на ее важность для случая гиперповерхности, погруженной в евклидово пространство , т. е. для случая риманова многообразия, вложенного в «большое» объемлющее пространство. Он интерпретировал внутреннюю производную в случае вложенной поверхности как тангенциальную составляющую обычной производной в окружающем аффинном пространстве. Идеи Леви-Чивиты о внутренней производной и параллельном перемещении вектора вдоль кривой имеют смысл на абстрактном римановом многообразии, даже несмотря на то, что первоначальная мотивация основывалась на конкретном вложении $M^{n}\subset \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.$

В 1918 г., независимо от Леви-Чивита, Ян Арнольдус Схоутен . аналогичные результаты получил В том же году Герман Вейль обобщил Результаты Леви-Чивита.

Обозначения

• ( M , g ) обозначает риманово или псевдориманово многообразие .
• TM — касательное расслоение к M .
• g — риманова или псевдориманова M . метрика
• X , Y , Z — гладкие векторные поля на M , т.е. сечения TM . гладкие
• [ X , Y ] — Ли X Y и . скобка Это снова гладкое векторное поле.

Метрика g до двух векторов или векторных полей X , Y. может принимать в качестве аргументов В первом случае выходные данные представляют собой число, (псевдо-) продукт внутренний X и Y . В последнем случае скалярное произведение X _p , Y _p берется во всех точках p на многообразии так, что g ( X , Y ) определяет гладкую функцию на M . Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы на гладких функциях. В местных координатах $(x_{1},\ldots ,x_{n})$, действие гласит

$X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _{i}f$

где Эйнштейна соглашение используется о суммировании.

Формальное определение

Аффинное соединение $\nabla$ называется связностью Леви-Чивита, если

1. он сохраняет метрику , т. е. $\nabla g=0$.
2. оно кручения без , т. е. для любых векторных полей $X$ и $Y$ у нас есть $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$, где $[X,Y]$ — скобка Ли векторных полей $X$ и $Y$.

Условие 1 выше иногда называют совместимостью с метрикой , а условие 2 иногда называют симметрией, ср. Текст Ду Кармо.

геометрии

Основная статья: Основная теорема римановой геометрии

Теорема. Каждое псевдориманово многообразие. $(M,g)$ имеет уникальную связь с Levi Civita $\nabla$.

доказательство :Если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной. Чтобы убедиться в этом, разгадайте определение действия связь на тензорах, чтобы найти

$X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).$

Следовательно, мы можем записать условие 1 как

$X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z).$

В силу симметрии метрического тензора $g$ затем мы находим:

$X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X).$

Поэтому по условию 2 правая часть равна

$2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X),$

и находим Кошуля формулу

$g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Big \}}.$

Следовательно, если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной, потому что $Z$ является произвольным, $g$ невырождена и правая часть не зависит от $\nabla$.

Чтобы доказать существование, заметим, что для данного векторного поля $X$ и $Y$, правая часть выражения Кошуля функционально линейна в векторном поле $Z$, а не просто линейный. Следовательно, в силу невырожденности $g$, правая часть однозначно определяет некоторое новое векторное поле, которое мы предположительно обозначим $\nabla _{X}Y$ как в левой части. Подставив формулу Кошуля, можно теперь убедиться, что для всех векторных полей $X,Y,Z$и все функции $f$

$g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X}Y_{2},Z)$

$g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)$

$g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}$

$g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).$

Следовательно, выражение Кошуля действительно определяет связность, причем эта связность совместима с метрикой и не имеет кручения, т. е. является (следовательно) связностью Леви-Чивита.

Заметим, что с небольшими изменениями то же доказательство показывает, что существует единственная связность, совместимая с метрикой и имеющая предписанное кручение.

Символы Кристоффеля

Позволять $\nabla$ — аффинная связность на касательном расслоении. Выберите местные координаты $x^{1},\ldots ,x^{n}$ с полями координатных базисных векторов $\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ и напиши $\nabla _{j}$ для $\nabla _{\partial _{j}}$. Кристоффеля Символы $\Gamma _{jk}^{l}$ из $\nabla$ относительно этих координат определяются как

$\nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}$

Символы Кристоффеля, наоборот, определяют связь $\nabla$ в координатной окрестности, потому что

${\begin{aligned}\nabla _{X}Y&=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}\end{aligned}}$

то есть,

$(\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}$

Аффинное соединение $\nabla$ совместимо с метрикой тогда и только тогда, когда

$\partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j},\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l},\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})$

т.е. тогда и только тогда, когда

$\partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.$

Аффинная связность ∇ не имеет кручения тогда и только тогда, когда

$\nabla _{j}\partial _{k}-\nabla _{k}\partial _{j}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l})\partial _{l}=[\partial _{j},\partial _{k}]=0.$

т.е. тогда и только тогда, когда

$\Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}$

симметричен по двум нижним индексам.

Как проверяют, принимая за $X,Y,Z$, координатные векторные поля $\partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}$ (или вычисляет напрямую), выражение Кошуля связи Леви-Чивита, полученное выше, эквивалентно определению символов Кристоффеля в терминах метрики как

$\Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)$

где как обычно $g^{ij}$ являются коэффициентами двойственного метрического тензора, т.е. элементами обратной матрицы $g_{kl}$.

Производная по кривой

и любая аффинная связность) также определяет производную по кривым , иногда обозначаемую D. Связность Леви-Чивита ( как

Учитывая гладкую кривую γ на ( M , g ) и векторное поле V вдоль γ, ее производная определяется формулой

$D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.$

Формально D — это соединение обратного образа γ *∇ на расслоении обратного образа γ * TM .

В частности, ${\dot {\gamma }}(t)$ является векторным полем вдоль самой кривой γ . Если $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)$ обращается в нуль, кривая называется геодезической ковариантной производной. Формально это условие можно переформулировать как исчезновение обратной связи, примененной к ${\dot {\gamma }}$:

$\left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.$

Если ковариантная производная является связностью Леви-Чивиты некоторой метрики, то геодезическими для связности являются именно те геодезические метрики , которые параметризуются пропорционально длине своей дуги.

Параллельный транспорт

В общем, параллельный транспорт вдоль кривой относительно соединения определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривой. Если соединение является соединением Леви-Чивита, то эти изоморфизмы ортогональны , то есть сохраняют скалярные произведения в различных касательных пространствах.

На изображениях ниже показан параллельный перенос связи Леви-Чивита, связанной с двумя разными римановыми метриками на плоскости, выраженными в полярных координатах . Метрика левого изображения соответствует стандартной евклидовой метрике. $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}$, а метрика справа имеет стандартный вид в полярных координатах (когда $r=1$), и тем самым сохраняет вектор ${\partial \over \partial \theta }$ касательная к окружности. Эта вторая метрика имеет особенность в начале координат, как можно увидеть, выразив ее в декартовых координатах:

$dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

$d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}$

$dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

Параллельные перевозки по маршруту Леви-Чивита

Этот транспорт задается метрикой $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}$.

Этот транспорт задается метрикой $ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}$.

Пример: единичная сфера в R ³

Пусть ⟨ , ⟩ — обычное скалярное произведение на R ³ . Пусть S ² — единичная сфера в R ³ . Касательное пространство к S ² в точке m естественным образом отождествляется с векторным подпространством R ³ состоящий из всех векторов, ортогональных m . Отсюда следует, что векторное поле Y на S ² можно рассматривать как карту Y : S ² → Р ³ , что удовлетворяет ${\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.$

Обозначим dm _Y Y отображения . в точке m дифференциал Тогда у нас есть:

Лемма — Формула

$$\left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X(m))+\langle X(m),Y(m)\rangle m$$

определяет аффинную связность на S ² с исчезающим кручением.

Доказательство

Непосредственно доказывается, что ∇ удовлетворяет тождеству Лейбница и является C ^∞ ( С ² ) линейный по первой переменной. Это также простой расчет, показывающий, что это соединение не имеет кручения. Итак, все, что здесь нужно доказать, это то, что приведенная выше формула создает векторное поле, касательное к S ² . То есть нам нужно доказать, что для всех m из S ²

$${\bigl \langle }\left(\nabla _{X}Y\right)(m),m{\bigr \rangle }=0\qquad (1).$$

Рассмотрим карту f , которая отправляет каждое m из S ² до ⟨ Y ( m ), m ⟩ , которое всегда равно 0. Отображение f постоянно, следовательно, его дифференциал обращается в нуль. В частности

$$d_{m}f(X)={\bigl \langle }d_{m}Y(X),m{\bigr \rangle }+{\bigl \langle }Y(m),X(m){\bigr \rangle }=0.$$

Отсюда следует уравнение (1), приведенное выше. КЭД

Фактически эта связность является связностью Леви-Чивита для метрики на S ² унаследовано от Р ³ . Действительно, можно проверить, что эта связность сохраняет метрику.

Поведение

Если метрика $g$ в конформном классе заменяется конформно перемасштабированной метрикой того же класса ${\hat {g}}=e^{2\gamma }g$, то связь Леви-Чивита преобразуется по правилу

$${\widehat {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+X(\gamma )Y+Y(\gamma )X-g(X,Y)\mathrm {grad} _{g}(\gamma ).$$

где $\mathrm {grad} _{g}(\gamma )$ — векторное поле градиента $\gamma$ т.е. векторное поле $g$-двойственный к $d\gamma$, в местных координатах, заданных формулой $g^{ik}(\partial _{i}\gamma )\partial _{k}$. Действительно, тривиально проверить, что ${\widehat {\nabla }}$ не имеет скручивания. Для проверки метричности предположим, что $g(Y,Y)$ является постоянным. В этом случае

$${\hat {g}}({\widehat {\nabla }}_{X}Y,Y)=X(\gamma ){\hat {g}}(Y,Y)={\frac {1}{2}}X({\hat {g}}(Y,Y)).$$

В качестве приложения снова рассмотрим единичную сферу, но на этот раз в стереографической проекции , так что метрика (в комплексных координатах Фубини – Студи $z,{\bar {z}}$) является:

$$g={\frac {4\,dz\,d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}.$$

Это показывает, что метрика сферы конформно плоская, с евклидовой метрикой. $dz\,d{\bar {z}}$, с $\gamma =\ln(2)-\ln(1+z{\bar {z}})$. У нас есть $d\gamma =-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\,dz+z\,d{\bar {z}})$, и так

$${\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{z}=-{\frac {2{\bar {z}}\partial _{z}}{1+z{\bar {z}}}}.$$

С евклидовым градиентом $\mathrm {grad} _{Euc}(\gamma )=-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\partial _{z}+z\partial _{\bar {z}})$, у нас есть

$${\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{\bar {z}}=0.$$

Эти отношения вместе с их комплексно-сопряженными элементами определяют символы Кристоффеля для двухсферы.

См. также

• Соединение Вайценбека

Ссылки

• Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Академическая пресса. ISBN  0-12-116052-1 .
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-470-49647-9 . См. том I, стр. 158

Внешние ссылки

• «Связь Леви-Чивита» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld: связь Леви-Чивита
• PlanetMath: связь Леви-Чивита
• Связь Леви-Чивита в Атласе многообразия