Субриманово многообразие

В математике субриманово многообразие — это определенный тип обобщения риманова многообразия . Грубо говоря, для измерения расстояний в субримановом многообразии разрешено идти только по кривым, касающимся так называемых горизонтальных подпространств .

Субримановы многообразия (и, тем более , римановы многообразия) несут естественную внутреннюю метрику, называемую метрикой Карно–Каратеодори . Хаусдорфова размерность таких метрических пространств всегда является целым числом и больше, чем их топологическая размерность (если только это на самом деле не риманово многообразие).

Субримановы многообразия часто встречаются при изучении систем со связями в классической механике , таких как движение транспортных средств по поверхности, движение манипуляторов роботов и орбитальная динамика спутников. Геометрические величины, такие как фаза Берри, можно понимать на языке субримановой геометрии. Группа Гейзенберга , важная для квантовой механики , имеет естественную субриманову структуру.

Определения

По распределению по $M$ мы имеем в подрасслоение касательного расслоения виду $M$ (см. также распределение ).

Учитывая распределение $H(M)\subset T(M)$ векторное поле в $H(M)$ называется горизонтальным . Кривая $\gamma$ на $M$ называется горизонтальным, если ${\dot {\gamma }}(t)\in H_{\gamma (t)}(M)$ для любого $t$.

Распространение на $H(M)$ называется вполне неинтегрируемым или скобкообразующим, если для любого $x\in M$ мы имеем, что любой касательный вектор можно представить как линейную комбинацию скобок Ли горизонтальных полей, т.е. векторов вида

$$A(x),\ [A,B](x),\ [A,[B,C]](x),\ [A,[B,[C,D]]](x),\dotsc \in T_{x}(M)$$

где все векторные поля $A,B,C,D,\dots$ горизонтальны. Это требование также известно как условие Хёрмандера .

Субриманово многообразие — это тройка $(M,H,g)$, где $M$ является дифференцируемым многообразием , $H$ представляет собой совершенно неинтегрируемое «горизонтальное» распределение и $g$ — гладкое сечение положительно определенных квадратичных форм на $H$.

Любое (связное) субриманово многообразие несет естественную внутреннюю метрику , называемую метрикой Карно–Каратеодори, определяемую как

$d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt,$

где нижняя грань берется вдоль всех горизонтальных кривых $\gamma :[0,1]\to M$ такой, что $\gamma (0)=x$, $\gamma (1)=y$.Горизонтальные кривые можно взять либо липшицевыми , абсолютно непрерывными , либо в пространстве Соболева. $H^{1}([0,1],M)$ получение одной и той же метрики во всех случаях.

Тот факт, что расстояние между двумя точками всегда конечно (т.е. любые две точки соединены горизонтальной кривой), является следствием условия Хёрмандера, известного как теорема Чоу-Рашевского .

Примеры

Положение автомобиля на плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами $x$ и $y$ за расположение и угол $\alpha$ который описывает ориентацию автомобиля. Следовательно, положение автомобиля можно описать точкой многообразия.

$\mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.$

Можно спросить, какое минимальное расстояние нужно проехать, чтобы добраться из одной позиции в другую? Это определяет метрику Карно–Каратеодори на многообразии

$\mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.$

Близкий пример субримановой метрики можно построить на группе Гейзенберга : возьмите два элемента $\alpha$ и $\beta$ в соответствующей алгебре Ли такой, что

$\{\alpha ,\beta ,[\alpha ,\beta ]\}$

охватывает всю алгебру. Горизонтальное распределение $H$ охвачен сдвигами влево $\alpha$ и $\beta$ является совершенно неинтегрируемым . Тогда выбрав любую гладкую положительную квадратичную форму на $H$ дает субриманову метрику на группе.

Свойства

Для каждого субриманова многообразия существует гамильтониан , называемый субримановым гамильтонианом , построенный на основе метрики многообразия. Обратно, каждый такой квадратичный гамильтониан индуцирует субриманово многообразие.

Решения соответствующих уравнений Гамильтона – Якоби для субриманова гамильтониана называются геодезическими и обобщают римановы геодезические .

См. также

• Группа Карно — класс групп Ли , образующих субримановы многообразия.
• Распределение
• Состояние Хёрмандера
• Оптимальное управление

Ссылки

• Аграчев Андрей; Барилари, Давиде; Боскейн, Уго, ред. (2019), Всеобъемлющее введение в субриманову геометрию , Кембриджские исследования по высшей математике, издательство Кембриджского университета, doi : 10.1017/9781108677325 , ISBN  9781108677325
• Беллаиш, Андре; Рислер, Жан-Жак, ред. (1996), Субриманова геометрия , Прогресс в математике, вып. 144, Биркхойзер Верлаг, ISBN  978-3-7643-5476-3 , МР   1421821
• Громов, Михаил (1996), «Пространства Карно-Каратеодори, видимые изнутри», в Беллаиш, Андре; Рислер, Жан-Жак (ред.), Субриманова геометрия (PDF) , Progr. Матем., вып. 144, Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, стр. 79–323, ISBN.  3-7643-5476-3 , MR   1421823 , заархивировано из оригинала (PDF) 9 июля 2015 г.
• Ле Донн, Энрико, Конспекты лекций по субримановой геометрии (PDF)
• Монтгомери, Ричард (2002), Экскурсия по субримановой геометрии, их геодезии и приложениям , Математические обзоры и монографии, том. 91, Американское математическое общество, ISBN.  0-8218-1391-9