Супермногообразие

В физике и математике супермногообразия основанной являются обобщением концепции многообразия, на идеях суперсимметрии . Используется несколько определений, некоторые из которых описаны ниже.

Неофициальное определение

Неформальное определение обычно используется в учебниках физики и вводных лекциях. Он определяет супермногообразие как многообразие как с бозонными , так и с фермионными координатами. Локально оно состоит из координатных карт , которые делают его похожим на «плоское», «евклидово» суперпространство . Эти локальные координаты часто обозначаются

$(x,\theta ,{\bar {\theta }})$

где x - ( действительное число ) координата пространства-времени , а $\theta \,$ и ${\bar {\theta }}$ являются грассмановскими пространственными «направлениями».

Физическая интерпретация грассмановских координат является предметом споров; явные экспериментальные поиски суперсимметрии не дали положительных результатов. Однако использование переменных Грассмана позволяет значительно упростить ряд важных математических результатов. Это включает, среди прочего, компактное определение функциональных интегралов , правильное обращение с призраками при BRST-квантовании , отмену бесконечностей в квантовой теории поля , работу Виттена над теоремой Атьи-Зингера об индексе и более поздние приложения к зеркальной симметрии .

Использование координат со значениями Грассмана породило область суперматематики , в которой большие части геометрии могут быть обобщены до суперэквивалентов, включая большую часть римановой геометрии и большую часть теории групп Ли и алгебр Ли таких как супералгебры Ли ( и т. д.) . . ) Однако остаются вопросы, включая правильное расширение когомологий де Рама на супермногообразия.

Определение

Используются три разных определения супермногообразий. Одно из определений — это пучок над кольцевым пространством ; иногда это называют « алгебро-геометрическим подходом». Этот подход обладает математической элегантностью, но может быть проблематичным при различных расчетах и ​​интуитивном понимании. Второй подход можно назвать «конкретным подходом». поскольку он способен просто и естественно обобщать широкий класс понятий обычной математики. Для его определения требуется использование бесконечного числа суперсимметричных генераторов; однако все эти генераторы, кроме конечного числа, не несут никакого содержания, поскольку конкретный подход требует использования грубой топологии , которая делает почти все из них эквивалентными. Удивительно, но эти два определения, одно с конечным числом суперсимметричных генераторов, а другое с бесконечным числом генераторов, эквивалентны.

Третий подход описывает супермногообразие как топос суперточки . базовый Этот подход остается предметом активных исследований.

Алгебро-геометрический: как пучок

Хотя супермногообразия являются частными случаями некоммутативных многообразий , их локальная структура делает их более подходящими для изучения с помощью инструментов стандартной дифференциальной геометрии и локально окольцованных пространств .

Супермногообразие M размерности ( p , q ) — это пространство M с пучком супералгебр топологическое , обычно обозначаемое O _M или C. ^∞ ( M ), который локально изоморфен $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{p})\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})$, где последняя является грассмановой (внешней) алгеброй на q образующих.

Супермногообразие M размерности (1,1) иногда называют суперримановой поверхностью .

Исторически этот подход связан с Феликсом Березиным , Димитрием Лейтесом и Бертрамом Костантом .

Бетон: как гладкое многообразие

Другое определение описывает супермногообразие аналогично определению гладкого многообразия , за исключением того, что модельное пространство $\mathbb {R} ^{p}$ заменена моделью суперпространства $\mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}$.

Чтобы правильно определить это, необходимо объяснить, что такое $\mathbb {R} _{c}$ и $\mathbb {R} _{a}$являются. Они заданы как четное и нечетное вещественные подпространства одномерного пространства чисел Грассмана , которые по соглашению порождены счетным бесконечным числом антикоммутирующих переменных: т. е. одномерное пространство задается формулой $\mathbb {C} \otimes \Lambda (V),$где V бесконечномерно. Элемент z называется вещественным , если $z=z^{*}$; вещественные элементы, состоящие только из четного числа генераторов Грассмана, образуют пространство $\mathbb {R} _{c}$ , c-числ а вещественные элементы, состоящие только из нечетного числа образующих Грассмана, образуют пространство $\mathbb {R} _{a}$из a-числа . Обратите внимание, что c -числа коммутируют, а a -числа антикоммутируют. Пространства $\mathbb {R} _{c}^{p}$ и $\mathbb {R} _{a}^{q}$ тогда определяются как p -кратные и q -кратные декартовы произведения $\mathbb {R} _{c}$ и $\mathbb {R} _{a}$.

Как и в случае с обычным многообразием, супермногообразие определяется как совокупность карт , склеенных между собой дифференцируемыми функциями перехода. Это определение в терминах карт требует, чтобы функции перехода имели гладкую структуру и ненулевой якобиан . Этого можно достичь только в том случае, если отдельные карты используют топологию, которая значительно более грубая , чем топология векторного пространства алгебры Грассмана. Эта топология получается проектированием $\mathbb {R} _{c}^{p}$ вплоть до $\mathbb {R} ^{p}$а затем использовать для этого естественную топологию. Результирующая топология не является Хаусдорфовой , но ее можно назвать «проективно Хаусдорфовой».

То, что это определение эквивалентно первому, вовсе не очевидно; однако именно использование грубой топологии делает это таким, делая большинство «точек» идентичными. То есть, $\mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}$ с грубой топологией существенно изоморфен к $\mathbb {R} ^{p}\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})$

Свойства

В отличие от обычного многообразия, супермногообразие не состоит полностью из набора точек. согласно которой структура супермногообразия M содержится в его пучке OM _{Вместо этого принимается двойственная точка зрения ,} «гладких функций». С двойственной точки зрения инъективное отображение соответствует сюръекции пучков, а сюръективное отображение соответствует инъекции пучков.

Альтернативный подход к двойственной точке зрения состоит в использовании функтора точек .

Если M — супермногообразие размерности ( p , q ), то базовое пространство M наследует структуру дифференцируемого многообразия , пучком гладких функций которого является O _M /I , где I — идеал , порожденный всеми нечетными функциями. Таким образом M называется базовым пространством или телом M. , Факторотображение O _M → O _M /I соответствует инъективному отображению M → M ; таким образом, M является подмногообразием M .

Примеры

• Пусть M — многообразие. Нечетное касательное расслоение ΠTM является супермногообразием , заданным пучком Ω( M ) дифференциальных форм M. на
• В более общем смысле, пусть E → M — векторное расслоение . Тогда Π E — супермногообразие, заданное пучком Γ(ΛE ^* ). Фактически Π — функтор из категории векторных расслоений в категорию супермногообразий .
• Супергруппы Ли являются примерами супермногообразий.

Теорема Бэтчелора

Теорема Бэтчелора утверждает, что каждое супермногообразие неканонически изоморфно супермногообразию вида Π E . Слово «неканонически» не позволяет заключить, что супермногообразия — это просто прославленные векторные расслоения; хотя функтор Π сюръективно отображается на классы изоморфизма супермногообразий, он не является эквивалентностью категорий . Он был опубликован Марджори Бэтчелор в 1979 году.

Доказательство , теоремы Бэтчелора существенно опирается на существование разбиения единицы поэтому оно не справедливо для комплексных или вещественно-аналитических супермногообразий.

Нечетные симплектические структуры

Нечетная симплектическая форма

Во многих физических и геометрических приложениях супермногообразие имеет нечетную по Грассману симплектическую структуру . Все естественные геометрические объекты на супермногообразии градуированы. В частности, связка двухформ снабжена градуировкой. Нечетная симплектическая форма ω на супермногообразии — это замкнутая нечетная форма, индуцирующая невырожденное спаривание на TM . Такое супермногообразие называется P-многообразием . Его градуированная размерность обязательно равна ( n , n ), потому что нечетная симплектическая форма индуцирует пару нечетных и четных переменных. Существует версия теоремы Дарбу для P-многообразий, позволяющая локально оснастить P-многообразие набором координат, где нечетная симплектическая форма ω записывается как

$\omega =\sum _{i}d\xi _{i}\wedge dx_{i},$

где $x_{i}$ являются четными координатами, а $\xi _{i}$странные координаты. (Нечетную симплектическую форму не следует путать с четной по Грассману симплектической формой на супермногообразии. Напротив, версия Дарбу четной симплектической формы имеет вид

$\sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}+\sum _{j}{\frac {\varepsilon _{j}}{2}}(d\xi _{j})^{2},$

где $p_{i},q_{i}$ являются четными координатами, $\xi _{i}$ нечетные координаты и $\varepsilon _{j}$ либо +1, либо −1.)

Антибрекет

Учитывая нечетную симплектическую 2-форму ω, можно определить скобку Пуассона , известную как антискобка любых двух функций F и G на супермногообразии, следующим образом:

$\{F,G\}={\frac {\partial _{r}F}{\partial z^{i}}}\omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}G}{\partial z^{j}}}.$

Здесь $\partial _{r}$ и $\partial _{l}$— правая и левая производные соответственно, а z — координаты супермногообразия. С этой скобкой алгебра функций на супермногообразии становится алгеброй антискобок .

Преобразование координат , сохраняющее антискобку, называется P-преобразованием . Если Березиниан P-преобразования равен единице, то оно называется SP-преобразованием .

P и SP-многообразия

Используя теорему Дарбу для нечетных симплектических форм, можно показать, что P-многообразия строятся из открытых множеств суперпространств. ${\mathcal {R}}^{n|n}$склеенные P-преобразованиями. Многообразие называется SP-многообразием, если эти функции перехода можно выбрать в качестве SP-преобразований. Эквивалентно, SP-многообразие можно определить как супермногообразие с невырожденной нечетной 2-формой ω и функцией плотности ρ такой, что на каждом участке координат существуют координаты Дарбу , в которых ρ тождественно равно единице.

Лаплас

Можно определить оператор Лапласа ∆ на SP-многообразии как оператор, который переводит функцию H в половину дивергенции соответствующего гамильтонова векторного поля . Явно определяется

$\Delta H={\frac {1}{2\rho }}{\frac {\partial _{r}}{\partial z^{a}}}\left(\rho \omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}H}{\partial z^{j}}}\right)$.

В координатах Дарбу это определение сводится к

$\Delta ={\frac {\partial _{r}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial _{l}}{\partial \theta _{a}}}$

где х ^а и θa _— четные и нечетные координаты такие, что

$\omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}$.

Лапласиан нечетен и нильпотентен.

$\Delta ^{2}=0$.

Можно определить когомологии функций H относительно лапласиана. В книге «Геометрия квантования Баталина-Вилковиского» Альберт Шварц доказал, что интеграл функции H по лагранжевому подмногообразию L зависит только от класса когомологий H и от класса гомологий тела L в теле объемлющего супермногообразия.

СЮЗИ

Предварительная SUSY-структура на супермногообразии размерности ( n , m ) — нечетное m -мерное распределение $P\subset TM$. С таким распределением ассоциируется его тензор Фробениуса $S^{2}P\mapsto TM/P$(поскольку P нечетно, кососимметричный элемент Фробениуса тензор — симметричная операция). Если этот тензор невырожден, например, находится на открытой орбите $GL(P)\times GL(TM/P)$, M называется SUSY-многообразием . SUSY-структура в размерности (1, k ) то же самое, что и нечетная структура контакта .

См. также

• Суперпространство
• Суперсимметрия
• Супергеометрия
• Градуированный коллектор
• Формализм Баталина–Вилковиского.

Ссылки

• Джозеф Бернштейн, « Лекции по суперсимметрии (заметки Денниса Гайтсгори) », программа по квантовой теории поля в IAS: осенний семестр
• А. Шварц, " Геометрия квантования Баталина-Вилковиского ", ArXiv hep-th/9205088
• К. Барточчи, У. Бруззо, Д. Эрнандес Руиперес, Геометрия супермногообразий (Kluwer, 1991) ISBN   0-7923-1440-9
• Л. Мангиаротти, Г. Сарданашвили , Связи классической и квантовой теории поля (World Scientific, 2000) ISBN   981-02-2013-8 ( arXiv : 0910.0092 )

Внешние ссылки

• Супермногообразия: неполный обзор в Атласе многообразий.