Модули (физика)
В квантовой теории поля термин модули ( т.е. поля модуль ; точнее, модулей ) иногда используется для обозначения скалярных полей , функция потенциальной энергии которых имеет непрерывные семейства глобальных минимумов. Такие потенциальные функции часто встречаются в суперсимметричных системах. Термин «модуль» заимствован из математики (точнее, пространство модулей заимствовано из алгебраической геометрии ), где он используется как синоним слова «параметр». Слово модули ( Moduln по-немецки) впервые появилось в 1857 году в Бернхарда Римана «Теория дер Abel'schen Functionen». знаменитой статье [1]
Пространства модулей в квантовых теориях поля
[ редактировать ]В квантовых теориях поля возможные вакуумы обычно обозначаются вакуумными математическими ожиданиями скалярных полей, поскольку лоренц-инвариантность заставляет вакуумные математические ожидания любых полей с более высоким спином исчезать. Эти значения вакуумного ожидания могут принимать любое значение, для которого потенциальная функция является минимумом. Следовательно, когда потенциальная функция имеет непрерывные семейства глобальных минимумов, пространство вакуума для квантовой теории поля представляет собой многообразие (или орбифолд), обычно называемое вакуумным многообразием . [2] Это многообразие часто называют пространством модулей вакуума или, для краткости, просто пространством модулей.
Термин «модули» также используется в теории струн для обозначения различных непрерывных параметров, которые обозначают возможные фоны струн : математическое ожидание дилатонного поля, параметры (например, радиус и сложная структура), которые определяют форму многообразия компактификации и т. д. . Эти параметры представлены в квантовой теории поля, которая аппроксимирует теорию струн при низких энергиях, значениями вакуумного ожидания безмассовых скалярных полей, что соответствует использованию, описанному выше. В теории струн термин «пространство модулей» часто используется специально для обозначения пространства всех возможных фонов струн.
Пространства модулей суперсимметричных калибровочных теорий
[ редактировать ]В общих квантовых теориях поля, даже если классическая потенциальная энергия минимизируется по большому набору возможных значений ожидания, после включения квантовых поправок почти все эти конфигурации перестают минимизировать энергию. В результате набор вакуумов квантовой теории обычно намного меньше, чем набор вакуумов классической теории . Заметное исключение возникает, когда различные рассматриваемые вакуумы связаны симметрией , которая гарантирует, что их энергетические уровни остаются точно вырожденными.
Совсем иначе обстоит дело в суперсимметричных квантовых теориях поля. В общем, они обладают большими пространствами модулей вакуумов, которые не связаны никакой симметрией, например, массы различных возбуждений могут различаться в разных точках пространства модулей. Пространства модулей суперсимметричных калибровочных теорий, как правило, легче вычислять, чем пространства модулей несуперсимметричных теорий, поскольку суперсимметрия ограничивает разрешенную геометрию пространства модулей, даже если включены квантовые поправки.
Разрешенные пространства модулей четырехмерных теорий
[ редактировать ]Чем больше суперсимметрии, тем сильнее ограничение на вакуумное многообразие. Поэтому если ограничение появляется ниже для данного числа N спиноров суперзарядов, то оно справедливо и для всех больших значений N.
N=1 Теории
[ редактировать ]Первое ограничение на геометрию пространства модулей было найдено в 1979 году Бруно Зумино и опубликовано в статье «Суперсимметрия и кэлеровы многообразия». [3] Он рассмотрел теорию N=1 в 4-х измерениях с глобальной суперсимметрией. N=1 означает, что фермионные компоненты алгебры суперсимметрии могут быть собраны в один майорановский суперзаряд . Единственными скалярами в такой теории являются комплексные скаляры киральных суперполей . Он обнаружил, что вакуумное многообразие допустимых значений вакуумного ожидания для этих скаляров является не только сложным, но и кэлеровым многообразием .
Если гравитация в теорию включена , так что существует локальная суперсимметрия, то полученная теория называется теорией супергравитации , и ограничение на геометрию пространства модулей становится сильнее. Пространство модулей должно быть не только кэлеровым, но и кэлерова форма должна подниматься до целых когомологий . Такие многообразия называются многообразиями Ходжа . Первый пример появился в статье 1979 года «Спонтанное нарушение симметрии и эффект Хиггса в супергравитации без космологической постоянной». [4] а общее утверждение появилось 3 года спустя в «Квантовании постоянной Ньютона в некоторых теориях супергравитации». [5]
N=2 теории
[ редактировать ]В расширенных 4-мерных теориях с суперсимметрией N=2, соответствующих одному спинорному суперзаряду Дирака , условия более сильные. Алгебра суперсимметрии N = 2 содержит два представления со скалярами: векторный мультиплет , содержащий комплексный скаляр, и гипермультиплет , содержащий два комплексных скаляра. Пространство модулей векторных мультиплетов называется кулоновской ветвью , а пространство гипермультиплетов — ветвью Хиггса . Полное пространство модулей локально является продуктом этих двух ветвей, поскольку теоремы о неперенормировке подразумевают, что метрика каждой из них не зависит от полей другого мультиплета. (См., например, Аргирес, « Непертурбативная динамика четырехмерных суперсимметричных теорий поля» , стр. 6–7, для дальнейшего обсуждения структуры местного продукта.)
В случае глобальной суперсимметрии N=2, другими словами, в отсутствие гравитации, кулоновская ветвь пространства модулей представляет собой специальное кэлерово многообразие . Первый пример этого ограничения появился в 1984 году в статье «Потенциалы и симметрии общей калибровочной супергравитации N=2: модели Янга-Миллса» Бернара де Вита и Антуана Ван Пройена , тогда как общее геометрическое описание базовой геометрии, называемое специальной геометрией , было представлено Эндрю Строминджером в его статье 1990 года «Специальная геометрия» .
Ветвь Хиггса представляет собой гиперкелеровое многообразие , как было показано Луисом Альваресом-Гоме и Дэниелом Фридманом в их статье 1981 года « Геометрическая структура и ультрафиолетовая конечность в суперсимметричной сигма-модели» . Включая гравитацию, суперсимметрия становится локальной. Тогда к специальной кулоновской ветви Кэлера нужно добавить то же самое условие Ходжа, что и в случае N=1. Джонатан Бэггер и Эдвард Виттен продемонстрировали в своей статье 1982 года «Взаимодействие материи в супергравитации N = 2» , что в этом случае ветвь Хиггса должна быть кватернионным кэлеровым многообразием .
N>2 Суперсимметрия
[ редактировать ]В расширенных супергравитациях с N>2 пространство модулей всегда должно быть симметричным .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Риман, Бернхард (1857). «Теория абелевых функций» . Журнал чистой и прикладной математики . 54 : 101-155.
- ^ Тиртал, Патель (16 января 2022 г.). «Механизм Киббла для электрослабых магнитных монополей и магнитных полей». Журнал физики высоких энергий . 2022 (1). Университет штата Аризона : 10. arXiv : 2108.05357 . Бибкод : 2022JHEP...01..059P . дои : 10.1007/JHEP01(2022)059 . S2CID 256034831 .
- ^ Зумино, Б. (ноябрь 1979 г.). «Суперсимметрия и кэлеровы многообразия» . Буквы по физике Б. 87 (3): 203–206. дои : 10.1016/0370-2693(79)90964-X .
- ^ Креммер, Э.; Юлия, Б.; Шерк, Дж.; Феррара, С.; Жирарделло, Л.; ван Ньювенхейзен, П. (январь 1979 г.). «Спонтанное нарушение симметрии и эффект Хиггса в супергравитации без космологической постоянной» . Ядерная физика Б . 147 (1–2): 105–131. дои : 10.1016/0550-3213(79)90417-6 . Архивировано из оригинала 10 декабря 2012 года.
- ^ Виттен, Эдвард; Баггер, Джонатан (сентябрь 1982 г.). «Квантование постоянной Ньютона в некоторых теориях супергравитации» . Буквы по физике Б. 115 (3): 202–206. дои : 10.1016/0370-2693(82)90644-X .
- Андрианополи, Л.; Бертолини, М.; Церезола, А.; Д'Аурия, Р.; Феррара, С.; Фре, П.; Магри, Т. (сентябрь 1997 г.). « N = 2 супергравитация и N = 2 супертеория Янга-Миллса на общих скалярных многообразиях: симплектические ковариационные измерения и отображение момента» . Журнал геометрии и физики . 23 (2): 111–189. arXiv : hep-th/9605032 . doi : 10.1016/S0393-0440(97)00002-8 , содержит обзор ограничений на пространства модулей в различных суперсимметричных калибровочных теориях.