Теория струн

В физике , теория струн представляет собой теоретическую основу , в которой точечные частицы заменяются физики элементарных частиц одномерными объектами называемыми струнами . Теория струн описывает, как эти струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На масштабах расстояний, превышающих масштаб струны, струна выглядит как обычная частица, чья масса , заряд и другие свойства определяются колебательным состоянием струны. В теории струн одно из многих колебательных состояний струны соответствует гравитону , квантовомеханической частице, несущей гравитационную силу . Таким образом, теория струн является теорией квантовой гравитации .

Теория струн – это обширный и разнообразный предмет, который пытается ответить на ряд глубоких вопросов фундаментальной физики . Теория струн внесла ряд достижений в математическую физику , которые были применены к множеству проблем в физике черных дыр , космологии ранней Вселенной , ядерной физике и физике конденсированного состояния , а также стимулировала ряд крупных разработок в области чистой математики. . Поскольку теория струн потенциально обеспечивает единое описание гравитации и физики элементарных частиц, она является кандидатом на роль теории всего , автономной математической модели , описывающей все фундаментальные силы и формы материи . Несмотря на большую работу над этими проблемами, неизвестно, в какой степени теория струн описывает реальный мир и какую свободу теория предоставляет в выборе своих деталей.

Теория струн была впервые изучена в конце 1960-х годов как теория сильного ядерного взаимодействия , прежде чем от нее отказались в пользу квантовой хромодинамики . Впоследствии стало понятно, что те самые свойства, которые сделали теорию струн непригодной в качестве теории ядерной физики, сделали ее многообещающим кандидатом на роль квантовой теории гравитации. Самая ранняя версия теории струн, теория бозонных струн , включала только класс частиц, известных как бозоны . Позже она развилась в теорию суперструн , которая постулирует связь, называемую суперсимметрией, между бозонами и классом частиц, называемых фермионами . Было разработано пять последовательных версий теории суперструн, прежде чем в середине 1990-х годов было высказано предположение, что все они представляют собой разные предельные случаи единой теории в одиннадцати измерениях, известной как М-теория . В конце 1997 года теоретики обнаружили важную взаимосвязь, названную соответствием антиде Ситтера/конформной теории поля (соответствие AdS/CFT), которая связывает теорию струн с другим типом физической теории, называемым квантовая теория поля .

Одна из проблем теории струн заключается в том, что полная теория не имеет удовлетворительного определения при всех обстоятельствах. Другая проблема заключается в том, что эта теория, как полагают, описывает огромный ландшафт возможных вселенных, что усложняет разработку теорий физики элементарных частиц, основанных на теории струн. Эти проблемы заставили некоторых членов сообщества раскритиковать эти подходы к физике и поставить под сомнение ценность продолжения исследований по унификации теории струн.

Основы

Обзор

В 20 веке возникли две теоретические основы для формулирования законов физики. Первая — это Альберта Эйнштейна , общая теория относительности теория, объясняющая силу гравитации и структуру пространства-времени на макроуровне. Другая — квантовая механика , совершенно другая формулировка, которая использует известные принципы вероятности для описания физических явлений на микроуровне. К концу 1970-х годов эти две концепции оказались достаточными для объяснения большинства наблюдаемых особенностей Вселенной — от элементарных частиц до атомов и эволюции звезд и Вселенной в целом. ^[1]

Несмотря на эти успехи, остается еще много проблем, которые предстоит решить. Одной из глубочайших проблем современной физики является проблема квантовой гравитации . ^[1] Общая теория относительности формулируется в рамках классической физики , тогда как другие фундаментальные силы описываются в рамках квантовой механики. Квантовая теория гравитации необходима для того, чтобы примирить общую теорию относительности с принципами квантовой механики, но трудности возникают при попытке применить обычные предписания квантовой теории к силе гравитации. ^[2] Помимо проблемы разработки последовательной теории квантовой гравитации, существует множество других фундаментальных проблем в физике атомных ядер , черных дыр и ранней Вселенной. ^[а]

Теория струн — это теоретическая основа , которая пытается ответить на эти и многие другие вопросы. Отправной точкой теории струн является идея о том, что точечные частицы также физики элементарных частиц можно моделировать как одномерные объекты, называемые струнами . Теория струн описывает, как струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. В данной версии теории струн существует только один вид струн, который может выглядеть как небольшая петля или сегмент обычной струны и может вибрировать по-разному. На масштабах расстояний, превышающих масштаб струны, струна будет выглядеть как обычная частица, соответствующая неструнным моделям элементарных частиц, с ее массой , зарядом и другими свойствами, определяемыми колебательным состоянием струны. Применение теории струн как формы квантовой гравитации предполагает колебательное состояние, ответственное за гравитон , еще не доказанную квантовую частицу, которая, как предполагается, несет гравитационную силу. ^[3]

Одним из главных достижений последних нескольких десятилетий в теории струн было открытие определенных «дуальностей», математических преобразований, которые отождествляют одну физическую теорию с другой. Физики, изучающие теорию струн, обнаружили ряд подобных двойственностей между различными версиями теории струн, и это привело к предположению, что все непротиворечивые версии теории струн объединены в единую структуру, известную как М-теория . ^[4]

Исследования теории струн также дали ряд результатов о природе черных дыр и гравитационном взаимодействии. Существуют определенные парадоксы, которые возникают, когда кто-то пытается понять квантовые аспекты черных дыр, и работы по теории струн пытались прояснить эти вопросы. В конце 1997 года это направление работы завершилось открытием соответствия антиде Ситтера/конформной теории поля или AdS/CFT. ^[5] Это теоретический результат, который связывает теорию струн с другими физическими теориями, которые лучше понимаются теоретически. Соответствие AdS/CFT имеет значение для изучения черных дыр и квантовой гравитации, а также применяется к другим предметам, включая ядерную ^[6] и физика конденсированного состояния . ^[7]^[8]

Поскольку теория струн включает в себя все фундаментальные взаимодействия, включая гравитацию, многие физики надеются, что в конечном итоге она будет развита до такой степени, что полностью опишет нашу Вселенную, что сделает ее теорией всего . Одна из целей текущих исследований в области теории струн — найти решение теории, которое воспроизводит наблюдаемый спектр элементарных частиц с небольшой космологической постоянной , содержащих темную материю и правдоподобный механизм космической инфляции . Несмотря на достигнутый прогресс в достижении этих целей, неизвестно, в какой степени теория струн описывает реальный мир и какую свободу теория предоставляет в выборе деталей. ^[9]

Одна из проблем теории струн заключается в том, что полная теория не имеет удовлетворительного определения при всех обстоятельствах. Рассеяние струн проще всего определить с помощью методов теории возмущений , но в целом неизвестно, как определить теорию струн непертурбативно . ^[10] Также неясно, существует ли какой-либо принцип, по которому теория струн выбирает свое вакуумное состояние — физическое состояние, определяющее свойства нашей Вселенной. ^[11] Эти проблемы заставили некоторых членов сообщества критиковать эти подходы к унификации физики и ставить под сомнение ценность продолжения исследований по этим проблемам. ^[12]

Струны

Применение квантовой механики к физическим объектам, таким как электромагнитное поле , которые простираются в пространстве и времени, известно как квантовая теория поля . В физике элементарных частиц квантовые теории поля составляют основу нашего понимания элементарных частиц, которые моделируются как возбуждения в фундаментальных полях. ^[13]

В квантовой теории поля обычно вычисляются вероятности различных физических событий, используя методы теории возмущений . Пертурбативная квантовая теория поля, разработанная Ричардом Фейнманом и другими в первой половине двадцатого века, использует специальные диаграммы, называемые диаграммами Фейнмана для организации вычислений . Думается, что эти диаграммы изображают пути точечных частиц и их взаимодействия. ^[13]

Отправной точкой теории струн является идея о том, что точечные частицы квантовой теории поля также можно моделировать как одномерные объекты, называемые струнами. ^[14] Взаимодействие струн наиболее просто определяется путем обобщения теории возмущений, используемой в обычной квантовой теории поля. На уровне диаграмм Фейнмана это означает замену одномерной диаграммы, представляющей путь точечной частицы, двумерной (2D) поверхностью, представляющей движение струны. ^[15] В отличие от квантовой теории поля, теория струн не имеет полного непертурбативного определения, поэтому многие теоретические вопросы, на которые физики хотели бы ответить, остаются вне досягаемости. ^[16]

В теориях физики элементарных частиц, основанных на теории струн, характерный масштаб длины струн предполагается порядка планковской длины , или $10 -35$ метров — масштаб, в котором считается, что эффекты квантовой гравитации становятся значительными. ^[15] На гораздо больших масштабах длины, таких как масштабы, видимые в физических лабораториях, такие объекты будут неотличимы от нульмерных точечных частиц, а колебательное состояние струны будет определять тип частицы. Одно из колебательных состояний струны соответствует гравитону — квантовомеханической частице, несущей гравитационную силу. ^[3]

Первоначальной версией теории струн была бозонная теория струн , но эта версия описывала только бозоны , класс частиц, которые передают силы между частицами материи, или фермионами . Теория бозонных струн в конечном итоге была вытеснена теориями, называемыми теориями суперструн . Эти теории описывают как бозоны, так и фермионы, и они включают теоретическую идею, называемую суперсимметрией . В теориях с суперсимметрией у каждого бозона есть аналог — фермион, и наоборот. ^[17]

Существует несколько версий теории суперструн: тип I , тип IIA , тип IIB и две разновидности струн гетеротической теории $( SO (32)$ и $E 8 \times E 8$ ). Различные теории допускают существование разных типов струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, обладают разной симметрией . Например, теория типа I включает как открытые струны (которые представляют собой сегменты с концами), так и закрытые струны (образующие замкнутые петли), тогда как типы IIA, IIB и гетеротический включают только закрытые струны. ^[18]

Дополнительные измерения

В повседневной жизни существуют три привычных измерения (3D) пространства: высота, ширина и длина. Общая теория относительности Эйнштейна рассматривает время как измерение, наравне с тремя пространственными измерениями; В общей теории относительности пространство и время не моделируются как отдельные сущности, а вместо этого объединяются в четырехмерное (4D) пространство-время . В этом контексте явление гравитации рассматривается как следствие геометрии пространства-времени. ^[19]

Несмотря на то, что Вселенная хорошо описывается четырехмерным пространством-временем, есть несколько причин, по которым физики рассматривают теории в других измерениях. В некоторых случаях, моделируя пространство-время в различном количестве измерений, теория становится более математически понятной, и можно легче выполнять расчеты и получать общие идеи. ^[б] Существуют также ситуации, когда теории в двух или трех измерениях пространства-времени полезны для описания явлений физики конденсированного состояния. ^[13] Наконец, существуют сценарии, в которых на самом деле может существовать более четырехмерного пространства-времени, которое, тем не менее, сумело избежать обнаружения. ^[20]

Теории струн требуют дополнительных измерений пространства-времени для своей математической непротиворечивости. В теории бозонных струн пространство-время 26-мерное, в теории суперструн — 10-мерное, а в М-теории — 11-мерное. Поэтому, чтобы описать реальные физические явления с помощью теории струн, необходимо представить сценарии, в которых эти дополнительные измерения не наблюдались бы в экспериментах. ^[21]

Компактификация — это один из способов изменения количества измерений в физической теории. Предполагается, что при компактификации некоторые дополнительные измерения «замыкаются» сами в себе, образуя круги. ^[22] В пределе, когда эти свернутые измерения становятся очень маленькими, получается теория, в которой пространство-время фактически имеет меньшее количество измерений. Стандартная аналогия — рассмотреть многомерный объект, например садовый шланг. Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, кажется, что он имеет только одно измерение — длину. Однако, приближаясь к шлангу, мы обнаруживаем, что он содержит второе измерение — окружность. Таким образом, муравей, ползающий по поверхности шланга, будет двигаться в двух измерениях.

Компактификацию можно использовать для построения моделей, в которых пространство-время фактически четырехмерно. Однако не каждый способ компактификации дополнительных измерений создает модель с правильными свойствами для описания природы. В жизнеспособной модели физики элементарных частиц компактные дополнительные измерения должны иметь форму многообразия Калаби–Яу . ^[22] Многообразие Калаби–Яу — это особое пространство , которое в приложениях к теории струн обычно считается шестимерным. Он назван в честь математиков Эухенио Калаби и Шинг-Тунг Яу . ^[23]

Другой подход к уменьшению числа измерений — это так называемый сценарий мира бран . В этом подходе физики предполагают, что наблюдаемая Вселенная представляет собой четырехмерное подпространство пространства более высокого измерения. В таких моделях бозоны физики элементарных частиц, переносящие силу, возникают из открытых струн с конечными точками, прикрепленными к четырехмерному подпространству, тогда как гравитация возникает из замкнутых струн, распространяющихся через большее окружающее пространство. Эта идея играет важную роль в попытках разработать модели реальной физики на основе теории струн и дает естественное объяснение слабости гравитации по сравнению с другими фундаментальными силами. ^[24]

Двойственность

Примечательным фактом, касающимся теории струн, является то, что все различные версии теории связаны весьма нетривиальным образом. Одно из отношений, которое может существовать между различными теориями струн, называется S-дуальностью . Это соотношение, которое гласит, что совокупность сильно взаимодействующих частиц в одной теории в некоторых случаях может рассматриваться как совокупность слабо взаимодействующих частиц в совершенно другой теории. Грубо говоря, совокупность частиц называется сильно взаимодействующей, если они объединяются и распадаются часто, и слабо взаимодействующей, если они делают это нечасто. Теория струн типа I оказывается эквивалентной по S-дуальности $гетеротической теории струн SO (32)$ . Аналогично, теория струн типа IIB нетривиальным образом связана сама с собой S-дуальностью. ^[25]

Другая связь между различными теориями струн — Т-двойственность . Здесь рассматриваются струны, распространяющиеся вокруг дополнительного кругового измерения. Т-дуальность утверждает, что струна, распространяющаяся по окружности радиуса $R$ , эквивалентна струне, распространяющейся по окружности радиуса $1/ R$ в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойственном описании. Например, струна имеет импульс при движении по окружности, а также может оборачиваться по окружности один или несколько раз. Число оборотов струны по окружности называется числом витков . Если в одном описании струна имеет импульс $p$ и номер витка $n$ она будет иметь импульс $n$ и номер витка $p$ , в двойном описании . Например, теория струн типа IIA эквивалентна теории струн типа IIB посредством Т-дуальности, а две версии гетеротической теории струн также связаны Т-дуальностью. ^[25]

В общем, термин двойственность относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические системы оказываются нетривиальным образом эквивалентными. Две теории, связанные дуальностью, не обязательно должны быть теориями струн. Например, дуальность Монтонена-Оливе является примером отношения S-дуальности между квантовыми теориями поля. Соответствие AdS/CFT является примером двойственности, связывающей теорию струн с квантовой теорией поля. Если две теории связаны двойственностью, это означает, что одну теорию можно каким-то образом преобразовать так, что она в конечном итоге будет выглядеть точно так же, как другая теория. Тогда говорят, что две теории двойственны друг другу при трансформации. Иными словами, две теории представляют собой математически разные описания одних и тех же явлений. ^[26]

Браны

В теории струн и других связанных теориях брана — это физический объект, который обобщает понятие точечной частицы на более высокие измерения. Например, точечную частицу можно рассматривать как брану нулевого измерения, а струну — как брану первого измерения. Также можно рассмотреть браны более высокой размерности. В размерности p они называются p -бранами. Слово брана происходит от слова «мембрана», которое относится к двумерной бране. ^[27]

Браны — это динамические объекты, которые могут распространяться в пространстве-времени в соответствии с правилами квантовой механики. Они имеют массу и могут иметь другие атрибуты, такие как заряд. P - брана выметает ( p +1)-мерный объем пространства-времени, называемый мировым объемом . Физики часто изучают поля, аналогичные электромагнитному полю, живущему в мировом объеме браны. ^[27]

В теории струн D-браны представляют собой важный класс бран, возникающих при рассмотрении открытых струн. Поскольку открытая струна распространяется в пространстве-времени, ее конечные точки должны лежать на D-бране. Буква «D» в D-бране относится к определенному математическому условию в системе, известному как граничное условие Дирихле . Изучение D-бран в теории струн привело к важным результатам, таким как соответствие AdS/CFT, которое пролило свет на многие проблемы квантовой теории поля. ^[27]

Браны часто изучаются с чисто математической точки зрения, и они описываются как объекты определенных категорий , таких как производная категория когерентных пучков на комплексном алгебраическом многообразии или категория Фукая симплектического многообразия . ^[28] Связь между физическим понятием браны и математическим понятием категории привела к важным математическим открытиям в области алгебраической и симплектической геометрии. ^[29] и теория представлений . ^[30]

М-теория

До 1995 года теоретики считали, что существует пять последовательных версий теории суперструн (тип I, тип IIA, тип IIB и две версии гетеротической теории струн). Это понимание изменилось в 1995 году, когда Эдвард Виттен предположил, что пять теорий представляют собой всего лишь особые предельные случаи одиннадцатимерной теории, называемой М-теорией. Гипотеза Виттена была основана на работах ряда других физиков, включая Ашока Сена , Криса Халла , Пола Таунсенда и Майкла Даффа . Его заявление привело к волне исследовательской деятельности, ныне известной как вторая суперструнная революция . ^[31]

Объединение теорий суперструн

В 1970-е годы многие физики заинтересовались теориями супергравитации , сочетающими общую теорию относительности с суперсимметрией. В то время как общая теория относительности имеет смысл в любом количестве измерений, супергравитация устанавливает верхний предел количества измерений. ^[32] В 1978 году работа Вернера Нама показала, что максимальная размерность пространства-времени, в которой можно сформулировать непротиворечивую суперсимметричную теорию, равна одиннадцати. ^[33] В том же году Юджин Креммер , Бернар Джулия и Жоэль Шерк из Высшей нормальной школы показали, что супергравитация не только допускает существование до одиннадцати измерений, но и наиболее элегантна в этом максимальном количестве измерений. ^[34]^[35]

Первоначально многие физики надеялись, что путем компактизации одиннадцатимерной супергравитации можно будет построить реалистичные модели нашего четырехмерного мира. Была надежда, что такие модели дадут единое описание четырех фундаментальных сил природы: электромагнетизма, сильных и слабых ядерных взаимодействий и гравитации. Интерес к одиннадцатимерной супергравитации вскоре угас, поскольку в этой схеме были обнаружены различные недостатки. Одна из проблем заключалась в том, что законы физики, по-видимому, различают движение по часовой стрелке и против нее — явление, известное как хиральность . Эдвард Виттен и другие заметили, что это свойство киральности не может быть легко получено путем компактификации одиннадцати измерений. ^[35]

Во время первой суперструнной революции в 1984 году многие физики обратились к теории струн как к единой теории физики элементарных частиц и квантовой гравитации. В отличие от теории супергравитации, теория струн смогла учесть киральность стандартной модели и создала теорию гравитации, согласующуюся с квантовыми эффектами. ^[35] Еще одной особенностью теории струн, которая привлекла многих физиков в 1980-х и 1990-х годах, была ее высокая степень уникальности. В обычных теориях частиц можно рассматривать любую совокупность элементарных частиц, классическое поведение которых описывается произвольным лагранжианом . В теории струн возможности гораздо более ограничены: к 1990-м годам физики утверждали, что существует только пять непротиворечивых суперсимметричных версий теории. ^[35]

Хотя существовало лишь несколько последовательных теорий суперструн, оставалось загадкой, почему не было хотя бы одной последовательной формулировки. ^[35] Однако когда физики начали более внимательно изучать теорию струн, они поняли, что эти теории связаны сложным и нетривиальным образом. Они обнаружили, что систему сильно взаимодействующих струн в некоторых случаях можно рассматривать как систему слабо взаимодействующих струн. Это явление известно как S-двойственность. Его изучал Ашок Сен в контексте гетеротических струн в четырех измерениях. ^[36]^[37] и Крисом Халлом и Полом Таунсендом в контексте теории типа IIB. ^[38] Теоретики также обнаружили, что различные теории струн могут быть связаны Т-дуальностью. Эта двойственность подразумевает, что струны, распространяющиеся в совершенно разных геометриях пространства-времени, могут быть физически эквивалентными. ^[39]

Примерно в то же время, когда многие физики изучали свойства струн, небольшая группа физиков изучала возможные применения объектов более высоких размерностей. В 1987 году Эрик Бергшофф, Эргин Сезгин и Пол Таунсенд показали, что одиннадцатимерная супергравитация включает двумерные браны. ^[40] Интуитивно эти объекты выглядят как листы или мембраны, распространяющиеся в одиннадцатимерном пространстве-времени. Вскоре после этого открытия Майкл Дафф , Пол Хоу, Такео Инами и Келлог Стелле рассмотрели особую компактификацию одиннадцатимерной супергравитации, в которой одно из измерений свернуто в круг. ^[41] В этом случае можно представить, как мембрана обволакивает круговое измерение. Если радиус круга достаточно мал, то эта мембрана выглядит как струна в десятимерном пространстве-времени. Дафф и его сотрудники показали, что эта конструкция в точности воспроизводит струны, возникающие в теории суперструн типа IIA. ^[42]

Выступая на конференции по теории струн в 1995 году, Эдвард Виттен сделал удивительное предположение, что все пять теорий суперструн на самом деле представляют собой просто разные предельные случаи одной теории в одиннадцати измерениях пространства-времени. Заявление Виттена объединило все предыдущие результаты о S- и T-дуальности и появлении многомерных бран в теории струн. ^[43] В течение нескольких месяцев после заявления Виттена в Интернете появились сотни новых статей, подтверждающих различные части его предложения. ^[44] Сегодня этот шквал работ известен как вторая суперструнная революция. ^[45]

Первоначально некоторые физики предполагали, что новая теория является фундаментальной теорией мембран, но Виттен скептически относился к роли мембран в теории. В статье 1996 года Горжава и Виттен написали: «Поскольку было высказано предположение, что одиннадцатимерная теория является супермембранной теорией, но есть некоторые причины сомневаться в этой интерпретации, мы уклончиво назовем ее М-теорией, оставив будущее – отношение М к мембранам». ^[46] В отсутствие понимания истинного значения и структуры М-теории Виттен предположил, что М должна обозначать «магию», «тайну» или «мембрану» в зависимости от вкуса, а истинное значение названия должно Решение будет принято, когда станет известна более фундаментальная формулировка теории. ^[47]

Теория матрицы

В математике матрица — это прямоугольный массив чисел или других данных. В физике матричная модель — это особый вид физической теории, математическая формулировка которой важным образом включает понятие матрицы. Матричная модель описывает поведение набора матриц в рамках квантовой механики. ^[48]

Одним из важных примеров матричной модели является матричная модель BFSS, предложенная Томом Бэнксом , Вилли Фишлером , Стивеном Шенкером и Леонардом Саскиндом в 1997 году. Эта теория описывает поведение набора из девяти больших матриц. В своей оригинальной статье эти авторы, среди прочего, показали, что нижний энергетический предел этой матричной модели описывается одиннадцатимерной супергравитацией. Эти расчеты привели их к предположению, что матричная модель BFSS в точности эквивалентна М-теории. Таким образом, матричная модель BFSS может использоваться в качестве прототипа для правильной формулировки М-теории и инструмента для исследования свойств М-теории в относительно простой обстановке. ^[48]

Разработка формулировки матричной модели М-теории побудила физиков рассмотреть различные связи между теорией струн и разделом математики, называемым некоммутативной геометрией . Этот предмет является обобщением обычной геометрии, в котором математики определяют новые геометрические понятия, используя инструменты некоммутативной алгебры . ^[49] В статье 1998 года Ален Конн , Майкл Р. Дуглас и Альберт Шварц показали, что некоторые аспекты матричных моделей и М-теории описываются некоммутативной квантовой теорией поля , особым видом физической теории, в которой пространство-время описывается математически с использованием некоммутативная геометрия. ^[50] Это установило связь между матричными моделями и М-теорией, с одной стороны, и некоммутативной геометрией, с другой. Это быстро привело к открытию других важных связей между некоммутативной геометрией и различными физическими теориями. ^[51]^[52]

Черные дыры

В общей теории относительности черная дыра определяется как область пространства-времени, в которой гравитационное поле настолько сильное, что ни одна частица или излучение не могут покинуть ее. В принятых в настоящее время моделях звездной эволюции считается, что черные дыры возникают, когда массивные звезды подвергаются гравитационному коллапсу , и считается, что многие галактики содержат сверхмассивные черные дыры в своих центрах . Черные дыры также важны по теоретическим причинам, поскольку они представляют собой серьезные проблемы для теоретиков, пытающихся понять квантовые аспекты гравитации. Теория струн оказалась важным инструментом для исследования теоретических свойств черных дыр, поскольку она обеспечивает основу, в которой теоретики могут изучать их термодинамику . ^[53]

Формула Бекенштейна – Хокинга

В разделе физики, называемом статистической механикой , энтропия является мерой случайности или беспорядка физической системы. Эта концепция была изучена в 1870-х годах австрийским физиком Людвигом Больцманом , который показал, что термодинамические свойства газа могут быть получены из совокупности свойств многих составляющих его молекул . Больцманн утверждал, что, усредняя поведение всех различных молекул газа, можно понять макроскопические свойства, такие как объем, температура и давление. Кроме того, эта точка зрения побудила его дать точное определение энтропии как натурального логарифма числа различных состояний молекул (также называемых микросостояниями ), которые вызывают одни и те же макроскопические свойства. ^[54]

В двадцатом веке физики начали применять те же концепции к черным дырам. В большинстве систем, таких как газы, энтропия зависит от объема. В 1970-х годах физик Джейкоб Бекенштейн предположил, что энтропия черной дыры пропорциональна площади ее горизонта событий — границы, за которой материя и излучение теряются из-за ее гравитационного притяжения. ^[55] В сочетании с идеями физика Стивена Хокинга ^[56] Работа Бекенштейна дала точную формулу энтропии черной дыры. Формула Бекенштейна – Хокинга выражает энтропию $S$ как

S={\frac {c^{3}kA}{4\hbar G}}

где $c$ — скорость света , $k$ — постоянная Больцмана , $ħ$ — приведенная постоянная Планка , $G$ — постоянная Ньютона , а $A$ — площадь поверхности горизонта событий. ^[57]

Как и любая физическая система, черная дыра имеет энтропию, определяемую количеством различных микросостояний, которые приводят к одним и тем же макроскопическим особенностям. Формула энтропии Бекенштейна-Хокинга дает ожидаемое значение энтропии черной дыры, но к 1990-м годам у физиков все еще не было вывода этой формулы путем подсчета микросостояний в теории квантовой гравитации. Обнаружение такого вывода этой формулы считалось важным испытанием жизнеспособности любой теории квантовой гравитации, такой как теория струн. ^[58]

Вывод в рамках теории струн

В статье 1996 года Эндрю Стромингер и Камран Вафа показали, как вывести формулу Бекенштейна-Хокинга для некоторых черных дыр в теории струн. ^[59] Их расчет был основан на наблюдении, что D-браны, которые выглядят как колеблющиеся мембраны, когда они слабо взаимодействуют, становятся плотными, массивными объектами с горизонтами событий, когда взаимодействия сильные. Другими словами, система сильно взаимодействующих D-бран в теории струн неотличима от черной дыры. Строминджер и Вафа проанализировали такие системы D-бран и рассчитали количество различных способов размещения D-бран в пространстве-времени так, чтобы их совокупная масса и заряд были равны заданным массе и заряду образовавшейся черной дыры. Их расчет точно воспроизвел формулу Бекенштейна-Хокинга, включая коэффициент $1/4$ . ^[60] Последующие работы Стромингера, Вафы и других уточнили первоначальные расчеты и дали точные значения «квантовых поправок», необходимых для описания очень маленьких черных дыр. ^[61]^[62]

Черные дыры, которые Строминджер и Вафа рассматривали в своей оригинальной работе, сильно отличались от настоящих астрофизических черных дыр. Единственное отличие заключалось в том, что Строминджер и Вафа рассматривали только экстремальные черные дыры , чтобы упростить расчеты. Они определяются как черные дыры с минимально возможной массой, совместимой с данным зарядом. ^[63] Строминджер и Вафа также ограничили внимание черными дырами в пятимерном пространстве-времени с нефизической суперсимметрией. ^[64]

Хотя изначально расчет энтропии Строминджером и Вафой был разработан в очень специфическом и физически нереалистичном контексте теории струн, он привел к качественному пониманию того, как энтропия черной дыры может быть объяснена в любой теории квантовой гравитации. Действительно, в 1998 году Строминджер утверждал, что первоначальный результат можно обобщить на произвольную непротиворечивую теорию квантовой гравитации, не полагаясь на струны или суперсимметрию. ^[65] В сотрудничестве с несколькими другими авторами в 2010 году он показал, что некоторые результаты об энтропии черных дыр можно распространить на неэкстремальные астрофизические черные дыры. ^[66]^[67]

Переписка AdS/CFT

Одним из подходов к формулированию теории струн и изучению ее свойств является соответствие антиде Ситтера/конформной теории поля (AdS/CFT). Это теоретический результат, который подразумевает, что теория струн в некоторых случаях эквивалентна квантовой теории поля. Помимо предоставления информации о математической структуре теории струн, соответствие AdS/CFT пролило свет на многие аспекты квантовой теории поля в режимах, когда традиционные вычислительные методы неэффективны. ^[6] Соответствие AdS/CFT было впервые предложено Хуаном Малдасеной в конце 1997 года. ^[68] Важные аспекты переписки подробно раскрыты в статьях Стивена Губсера , Игоря Клебанова и Александра Марковича Полякова . ^[69] и Эдвард Виттен. ^[70] К 2010 году статья Малдасены имела более 7000 цитирований, став самой цитируемой статьей в области физики высоких энергий . ^[с]

Обзор переписки

В переписке AdS/CFT геометрия пространства-времени описывается в терминах определенного вакуумного решения уравнения Эйнштейна, называемого анти-де Ситтеровским пространством . ^[6] Проще говоря, антидеситтеровское пространство — это математическая модель пространства-времени, в которой понятие расстояния между точками (метрика ) отличается от понятия расстояния в обычной евклидовой геометрии . Оно тесно связано с гиперболическим пространством , которое можно рассматривать как диск , как показано слева. ^[71] На этом изображении показано мозаика диска треугольниками и квадратами. Расстояние между точками этого диска можно определить так, чтобы все треугольники и квадраты были одинакового размера, а внешняя граница круга находилась бесконечно далеко от любой точки внутри. ^[72]

Можно представить себе стопку гиперболических дисков, каждый из которых представляет состояние Вселенной в данный момент времени. Полученный геометрический объект представляет собой трехмерное антидеситтеровское пространство. ^[71] Он выглядит как сплошной цилиндр , у которого любое сечение является копией гиперболического диска. На этой картинке время течет по вертикали. Поверхность этого цилиндра играет важную роль в соответствии AdS/CFT. Как и в случае с гиперболической плоскостью, антидеситтеровское пространство искривлено таким образом, что любая точка внутри него фактически находится бесконечно далеко от этой граничной поверхности. ^[72]

Цилиндр, образованный стопкой копий диска, показанного на предыдущем рисунке. — Трехмерное антидеситтеровское пространство похоже на стопку гиперболических дисков , каждый из которых представляет состояние Вселенной в данный момент времени. В результате пространство-время выглядит как сплошной цилиндр .

Эта конструкция описывает гипотетическую вселенную только с двумя пространственными измерениями и одним временным измерением, но ее можно обобщить на любое количество измерений. Действительно, гиперболическое пространство может иметь более двух измерений, и можно «складывать» копии гиперболического пространства, чтобы получить многомерные модели антидеситтеровского пространства. ^[71]

Важной особенностью антидеситтеровского пространства является его граница (которая в случае трехмерного антидеситтеровского пространства выглядит как цилиндр). Одним из свойств этой границы является то, что внутри небольшой области на поверхности вокруг любой заданной точки она выглядит точно так же, как пространство Минковского — модель пространства-времени, используемая в негравитационной физике. ^[73] Поэтому можно рассмотреть вспомогательную теорию, в которой «пространство-время» задается границей антидеситтеровского пространства. Это наблюдение является отправной точкой для соответствия AdS/CFT, в котором говорится, что границу антидеситтеровского пространства можно рассматривать как «пространство-время» для квантовой теории поля. Утверждается, что эта квантовая теория поля эквивалентна теории гравитации, такой как теория струн, в объемном антидеситтеровском пространстве в том смысле, что существует «словарь» для перевода сущностей и вычислений в одной теории в их аналоги в другая теория. Например, отдельная частица в теории гравитации может соответствовать некоторому набору частиц в теории границ. Кроме того, предсказания двух теорий количественно идентичны: если две частицы имеют 40-процентную вероятность столкновения в теории гравитации, то соответствующие совокупности в теории границ также будут иметь 40-процентную вероятность столкновения. ^[74]

Приложения к квантовой гравитации

Открытие соответствия AdS/CFT стало крупным достижением в понимании физиками теории струн и квантовой гравитации. Одна из причин этого заключается в том, что это соответствие дает формулировку теории струн в терминах квантовой теории поля, которая хорошо понятна при сравнении. Другая причина заключается в том, что она обеспечивает общую основу, в которой физики могут изучать и пытаться разрешить парадоксы черных дыр. ^[53]

В 1975 году Стивен Хокинг опубликовал расчет, который предположил, что черные дыры не являются полностью черными, а испускают тусклое излучение из-за квантовых эффектов вблизи горизонта событий . ^[56] Поначалу результат Хокинга представлял проблему для теоретиков, поскольку предполагал, что черные дыры уничтожают информацию. Точнее, расчет Хокинга, казалось, противоречил одному из основных постулатов квантовой механики , который утверждает, что физические системы развиваются во времени согласно уравнению Шредингера . Это свойство обычно называют унитарностью временной эволюции. Очевидное противоречие между расчетами Хокинга и постулатом унитарности квантовой механики стало известно как информационный парадокс черной дыры . ^[75]

Соответствие AdS/CFT разрешает информационный парадокс черной дыры, по крайней мере в некоторой степени, потому что оно показывает, как черная дыра может развиваться в соответствии с квантовой механикой в некоторых контекстах. Действительно, можно рассматривать черные дыры в контексте соответствия AdS/CFT, и любая такая черная дыра соответствует конфигурации частиц на границе антидеситтеровского пространства. ^[76] Эти частицы подчиняются обычным правилам квантовой механики и, в частности, развиваются унитарным образом, поэтому черная дыра также должна развиваться унитарным образом, соблюдая принципы квантовой механики. ^[77] В 2005 году Хокинг объявил, что парадокс был решен в пользу сохранения информации посредством переписки AdS/CFT, и предложил конкретный механизм, с помощью которого черные дыры могут сохранять информацию. ^[78]

Приложения к ядерной физике

Помимо приложений к теоретическим проблемам квантовой гравитации, соответствие AdS/CFT применялось к множеству задач квантовой теории поля. Одной физической системой, которая изучалась с использованием соответствия AdS/CFT, является кварк-глюонная плазма , экзотическое состояние материи, создаваемое в ускорителях частиц . Это состояние вещества возникает на короткие мгновения, когда тяжелые ионы, такие как ядра золота или свинца, сталкиваются при высоких энергиях. Такие столкновения заставляют кварки , составляющие атомные ядра, разграничиваться при температурах около двух триллионов Кельвинов , условиях, аналогичных тем, которые существуют при температуре около $10 градусов. -11$ секунд после Большого взрыва . ^[79]

Физика кварк-глюонной плазмы регулируется теорией, называемой квантовой хромодинамикой , но эта теория математически неразрешима в задачах, связанных с кварк-глюонной плазмой. ^[д] В статье, опубликованной в 2005 году, Дам Тхань Сон и его сотрудники показали, что соответствие AdS/CFT можно использовать для понимания некоторых аспектов кварк-глюонной плазмы, описывая ее на языке теории струн. ^[80] Применяя соответствие AdS/CFT, Сан и его коллеги смогли описать кварк-глюонную плазму в терминах черных дыр в пятимерном пространстве-времени. Расчет показал, что соотношение двух величин, связанных с кварк-глюонной плазмой, сдвиговой вязкости и объемной плотности энтропии, должно быть примерно равно некоторой универсальной константе . В 2008 году предсказанное значение этого отношения для кварк-глюонной плазмы было подтверждено на Релятивистском коллайдере тяжелых ионов в Брукхейвенской национальной лаборатории . ^[7]^[81]

Приложения к физике конденсированного состояния

Соответствие AdS/CFT также использовалось для изучения аспектов физики конденсированного состояния. За десятилетия физики- экспериментаторы конденсированного состояния открыли ряд экзотических состояний материи, включая сверхпроводники и сверхтекучие жидкости . Эти состояния описываются с использованием формализма квантовой теории поля, но некоторые явления трудно объяснить с помощью стандартных методов теории поля. Некоторые теоретики конденсированного состояния, в том числе Субир Сачдев, надеются, что соответствие AdS/CFT позволит описать эти системы на языке теории струн и узнать больше об их поведении. ^[7]

К настоящему времени достигнуты определенные успехи в использовании методов теории струн для описания перехода сверхтекучей жидкости в изолятор . Сверхтекучая жидкость — это система электрически нейтральных атомов , которая течет без всякого трения . Такие системы часто производятся в лаборатории с использованием жидкого гелия , но недавно экспериментаторы разработали новые способы получения искусственных сверхтекучих жидкостей путем заливки триллионов холодных атомов в решетку перекрещивающихся лазеров . Эти атомы изначально ведут себя как сверхтекучие, но по мере того, как экспериментаторы увеличивают интенсивность лазеров, они становятся менее подвижными, а затем внезапно переходят в изолирующее состояние. Во время перехода атомы ведут себя необычным образом. Например, атомы замедляются до остановки со скоростью, которая зависит от температуры и постоянной Планка — фундаментального параметра квантовой механики, который не входит в описание других фаз . Это поведение недавно было понято путем рассмотрения двойного описания, в котором свойства жидкости описываются в терминах черной дыры более высокого измерения. ^[8]

Феноменология

Помимо того, что теория струн представляет собой идею, представляющую значительный теоретический интерес, она обеспечивает основу для построения моделей реальной физики, сочетающих в себе общую теорию относительности и физику элементарных частиц. Феноменология — это раздел теоретической физики, в котором физики конструируют реалистичные модели природы на основе более абстрактных теоретических идей. Феноменология струн — это часть теории струн, которая пытается построить реалистичные или полуреалистичные модели на основе теории струн.

Частично из-за теоретических и математических трудностей, а частично из-за чрезвычайно высоких энергий, необходимых для экспериментальной проверки этих теорий, до сих пор нет экспериментальных доказательств, которые бы однозначно указывали на то, что какая-либо из этих моделей является правильным фундаментальным описанием природы. Это заставило некоторых членов сообщества раскритиковать эти подходы к объединению и поставить под сомнение ценность продолжения исследований по этим проблемам. ^[12]

Физика элементарных частиц

Принятая в настоящее время теория, описывающая элементарные частицы и их взаимодействия, известна как стандартная модель физики элементарных частиц . Эта теория дает единое описание трех фундаментальных сил природы: электромагнетизма, а также сильных и слабых ядерных взаимодействий. Несмотря на свои выдающиеся успехи в объяснении широкого круга физических явлений, стандартная модель не может полностью описать реальность. Это происходит потому, что стандартная модель не учитывает силу гравитации, а также из-за таких проблем, как проблема иерархии и неспособность объяснить структуру фермионных масс или темной материи.

Теория струн использовалась для построения множества моделей физики элементарных частиц, выходящих за рамки стандартной модели. Обычно такие модели основаны на идее компактификации. Начиная с десяти- или одиннадцатимерного пространства-времени струнной или М-теории, физики постулируют форму дополнительных измерений. Подходящим образом выбрав эту форму, они смогут построить модели, примерно аналогичные стандартной модели физики элементарных частиц, вместе с дополнительными неоткрытыми частицами. ^[82] Один из популярных способов вывести реалистичную физику из теории струн — начать с гетеротической теории десяти измерений и предположить, что шесть дополнительных измерений пространства-времени имеют форму шестимерного многообразия Калаби-Яу. Такие компактификации открывают множество способов извлечения реалистичной физики из теории струн. Другие подобные методы можно использовать для построения реалистичных или полуреалистичных моделей нашего четырехмерного мира на основе М-теории. ^[83]

Космология

Теория Большого взрыва является преобладающей космологической моделью Вселенной, начиная с самых ранних известных периодов и заканчивая ее последующей крупномасштабной эволюцией. Несмотря на успех в объяснении многих наблюдаемых особенностей Вселенной, включая галактическое красное смещение , относительное изобилие легких элементов, таких как водород и гелий , а также существование космического микроволнового фона , есть несколько вопросов, которые остаются без ответа. Например, стандартная модель Большого взрыва не объясняет, почему Вселенная кажется одинаковой во всех направлениях, почему она кажется плоской на очень больших расстояниях или почему определенные гипотетические частицы, такие как магнитные монополи, не наблюдаются в экспериментах. ^[84]

В настоящее время ведущим кандидатом на теорию, выходящую за рамки Большого взрыва, является теория космической инфляции. Инфляция, разработанная Аланом Гутом и другими в 1980-х годах, постулирует период чрезвычайно быстрого ускоренного расширения Вселенной, предшествующий расширению, описываемому стандартной теорией Большого взрыва. Теория космической инфляции сохраняет успехи Большого взрыва, одновременно обеспечивая естественное объяснение некоторых загадочных особенностей Вселенной. ^[85] Теория также получила поразительное подтверждение в результате наблюдений за космическим микроволновым фоном — излучением, которое заполнило небо примерно через 380 000 лет после Большого взрыва. ^[86]

В теории инфляции быстрое первоначальное расширение Вселенной вызвано гипотетической частицей, называемой инфлатоном . Точные свойства этой частицы не зафиксированы теорией, но в конечном итоге должны быть выведены из более фундаментальной теории, такой как теория струн. ^[87] Действительно, было предпринято несколько попыток идентифицировать инфлатон в спектре частиц, описываемых теорией струн, и изучить инфляцию с помощью теории струн. Хотя эти подходы могут в конечном итоге найти поддержку в данных наблюдений, таких как измерения космического микроволнового фона, применение теории струн в космологии все еще находится на ранних стадиях. ^[88]

Связь с математикой

Помимо влияния на исследования в области теоретической физики , теория струн стимулировала ряд крупных достижений в области чистой математики . Как и многие развивающиеся идеи в теоретической физике, теория струн в настоящее время не имеет математически строгой формулировки, в которой можно было бы точно определить все ее понятия. В результате физики, изучающие теорию струн, часто руководствуются физической интуицией, пытаясь предположить взаимосвязь между, казалось бы, разными математическими структурами, которые используются для формализации различных частей теории. Эти гипотезы позже доказываются математиками, и, таким образом, теория струн служит источником новых идей в чистой математике. ^[89]

Зеркальная симметрия

После того, как многообразия Калаби-Яу вошли в физику как способ компактификации дополнительных измерений в теории струн, многие физики начали изучать эти многообразия. В конце 1980-х годов несколько физиков заметили, что при такой компактификации теории струн невозможно однозначно восстановить соответствующее многообразие Калаби–Яу. ^[90] Вместо этого две разные версии теории струн, типа IIA и типа IIB, могут быть компактифицированы на совершенно разных многообразиях Калаби – Яу, что приведет к одной и той же физике. В этой ситуации многообразия называются зеркальными многообразиями, а связь между двумя физическими теориями называется зеркальной симметрией . ^[28]

Независимо от того, обеспечивают ли компактификации Калаби–Яу теории струн правильное описание природы, существование зеркальной двойственности между различными теориями струн имеет важные математические последствия. Многообразия Калаби-Яу, используемые в теории струн, представляют интерес для чистой математики, а зеркальная симметрия позволяет математикам решать задачи перечислительной геометрии — раздела математики, связанного с подсчетом количества решений геометрических вопросов. ^[28]^[91]

Перечислительная геометрия изучает класс геометрических объектов, называемых алгебраическими многообразиями , которые определяются обращением в нуль многочленов . Например, кубика Клебша, изображенная справа, представляет собой алгебраическое многообразие, определенное с помощью определенного полинома третьей степени от четырех переменных. Знаменитый результат математиков девятнадцатого века Артура Кэли и Джорджа Салмона гласит, что на такой поверхности полностью лежат ровно 27 прямых линий. ^[92]

Обобщая эту проблему, можно спросить, сколько прямых можно нарисовать на многообразии Калаби – Яу пятой степени, таком как проиллюстрированное выше, которое определяется полиномом пятой степени. Эту задачу решил немецкий математик XIX века Герман Шуберт , который обнаружил, что таких линий ровно 2875. В 1986 году геометр Шелдон Кац доказал, что количество кривых, таких как круги, которые определяются полиномами второй степени и полностью лежат в квинтике, составляет 609 250. ^[93]

К 1991 году большинство классических задач перечислительной геометрии было решено, и интерес к перечислительной геометрии начал уменьшаться. ^[94] Эта область получила новый импульс в мае 1991 года, когда физики Филип Канделас , Ксения де ла Осса , Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для перевода сложных математических вопросов об одном многообразии Калаби-Яу в более простые вопросы о его зеркале. ^[95] В частности, они использовали зеркальную симметрию, чтобы показать, что шестимерное многообразие Калаби–Яу может содержать ровно 317 206 375 кривых третьей степени. ^[94] Помимо подсчета кривых третьей степени, Канделас и его сотрудники получили ряд более общих результатов по подсчету рациональных кривых, выходящих далеко за рамки результатов, полученных математиками. ^[96]

Первоначально эти результаты Канделаса были обоснованы физическими соображениями. Однако математики обычно предпочитают строгие доказательства, не требующие обращения к физической интуиции. Вдохновленные работами физиков по зеркальной симметрии, математики построили свои собственные аргументы, подтверждающие перечислительные предсказания зеркальной симметрии. ^[и] Сегодня зеркальная симметрия является активной областью математических исследований, и математики работают над разработкой более полного математического понимания зеркальной симметрии, основанного на интуиции физиков. ^[102] Основные подходы к зеркальной симметрии включают гомологической зеркальной симметрии программу Максима Концевича. ^[29] и гипотеза SYZ Эндрю Строминджера, Шинг-Тунг Яу и Эрика Заслоу . ^[103]

Чудовищный самогон

Теория групп — это раздел математики, изучающий концепцию симметрии . Например, можно рассмотреть такую геометрическую фигуру, как равносторонний треугольник. Над этим треугольником можно совершать различные операции, не меняя его формы. Его можно повернуть на 120°, 240° или 360° или отразить в любой из линий, обозначенных $S 0$ , $S 1$ или $S 2$ на картинке. Каждая из этих операций называется симметрией , и совокупность этих симметрий удовлетворяет определенным техническим свойствам, превращая ее в то, что математики называют группой . В этом конкретном примере группа известна как группа диэдра шестого порядка , поскольку она состоит из шести элементов. Общая группа может описывать конечное или бесконечное число симметрий; если существует только конечное число симметрий, она называется конечной группой . ^[104]

Математики часто стремятся классифицировать ( или составить список) всех математических объектов данного типа. Обычно считается, что конечные группы слишком разнообразны, чтобы их можно было классифицировать. Более скромная, но все же сложная задача — классифицировать все конечные простые группы. Это конечные группы, которые можно использовать в качестве строительных блоков для построения произвольных конечных групп точно так же, как простые числа можно использовать для построения произвольных целых чисел путем взятия произведений. ^[ф] Одним из главных достижений современной теории групп является классификация конечных простых групп — математическая теорема, которая дает список всех возможных конечных простых групп. ^[104]

Эта классификационная теорема определяет несколько бесконечных семейств групп, а также 26 дополнительных групп, которые не вписываются ни в одно семейство. Последние группы называются «спорадическими», и каждая из них обязана своим существованием замечательному стечению обстоятельств. Самая крупная спорадическая группа, так называемая группа монстров , насчитывает более $1053$ элементов, более чем в тысячу раз превышающих количество атомов на Земле. ^[105]

График $j$ -функции на комплексной плоскости

На вид несвязанная конструкция — это $j$ -функция теории чисел . Этот объект принадлежит к особому классу функций, называемых модульными функциями , графики которых образуют определенный повторяющийся узор. ^[106] Хотя эта функция появляется в разделе математики, который, кажется, сильно отличается от теории конечных групп, эти два предмета оказываются тесно связанными. В конце 1970-х годов математики Джон Маккей и Джон Томпсон заметили, что некоторые числа, возникающие при анализе группы монстров (а именно, размерности ее неприводимых представлений ), связаны с числами, входящими в формулу для $j$ -функции (а именно, коэффициенты его ряда Фурье ). ^[107] Эти отношения получили дальнейшее развитие Джон Хортон Конвей и Саймон Нортон. ^[108] который назвал это чудовищным самогоном, потому что он казался надуманным. ^[109]

В 1992 году Ричард Борчердс построил мост между теорией модулярных функций и конечными группами и в процессе объяснил наблюдения Маккея и Томпсона. ^[110]^[111] Работа Борчердса существенно использовала идеи теории струн, расширяя более ранние результаты Игоря Френкеля , Джеймса Леповски и Арне Меурмана , которые осознали группу монстров как симметрию конкретного ^{[ который? ]} вариант теории струн. ^[112] В 1998 году Борчердс был награжден медалью Филдса за свою работу. ^[113]

С 1990-х годов связь теории струн и самогона привела к дальнейшим результатам в математике и физике. ^[105] В 2010 году физики Тору Эгучи , Хироси Оогури и Юдзи Тачикава обнаружили связи между другой спорадической группой, группой Матье $M 24$ , и определенной версией ^{[ который? ]} теории струн. ^[114] Миранда Ченг , Джон Дункан и Джеффри А. Харви предложили обобщение этого явления самогона, называемое теневым самогоном . ^[115] и их гипотеза была математически доказана Дунканом, Майклом Гриффином и Кеном Оно . ^[116] Виттен также предположил, что версия теории струн, появляющаяся в чудовищном самогоне, может быть связана с некой упрощенной моделью гравитации в трех измерениях пространства-времени. ^[117]

История

Первые результаты

Некоторые из структур, вновь введенных теорией струн, возникли впервые гораздо раньше как часть программы классического объединения, начатой Альбертом Эйнштейном . Первым, кто добавил пятое измерение к теории гравитации, был Гуннар Нордстрем в 1914 году, который заметил, что гравитация в пяти измерениях описывает как гравитацию, так и электромагнетизм в четырех измерениях. Нордстрем попытался объединить электромагнетизм со своей теорией гравитации , которая, однако, была заменена общей теорией относительности Эйнштейна в 1919 году. После этого немецкий математик Теодор Калуца объединил пятое измерение с общей теорией относительности , и эту идею обычно приписывают только Калузе. В 1926 году шведский физик Оскар Кляйн дал физическую интерпретацию ненаблюдаемого дополнительного измерения — оно заключено в небольшой круг. Эйнштейн ввел несимметричный метрический тензор , а намного позже Бранс и Дике добавили к гравитации скалярную составляющую. Эти идеи будут возрождены в теории струн, где их требуют условия согласованности.

Теория струн была первоначально разработана в конце 1960-х и начале 1970-х годов как никогда не до конца успешная теория адронов , субатомных частиц , таких как протон и нейтрон , которые испытывают сильное взаимодействие . В 1960-х годах Джеффри Чу и Стивен Фраучи обнаружили, что мезоны образуют семейства, называемые траекториями Редже , массы которых связаны со спинами таким образом, который позже был понят Йоитиро Намбу , Хольгером Бехом Нильсеном и Леонардом Сасскиндом как взаимосвязь, ожидаемая от вращающихся струн. Чу выступал за создание теории взаимодействия этих траекторий, которая не предполагала бы, что они состоят из каких-либо фундаментальных частиц, но строила бы их взаимодействия из условий самосогласования на S-матрице . Подход S-матрицы был начат Вернером Гейзенбергом в 1940-х годах как способ построения теории, которая не опиралась на локальные представления о пространстве и времени, которые, по мнению Гейзенберга, разрушались в ядерном масштабе. Хотя масштабы отличались на многие порядки, подход, который он защищал, идеально подходил для теории квантовой гравитации.

Работая с экспериментальными данными, Р. Долен, Д. Хорн и К. Шмид разработали некоторые правила сумм для адронного обмена. При разлете частицы и античастицы виртуальные частицы могут обмениваться двумя качественно разными способами. В s-канале две частицы аннигилируют, образуя временные промежуточные состояния, которые распадаются на частицы конечного состояния. В t-канале частицы обмениваются промежуточными состояниями путем испускания и поглощения. В теории поля два вклада складываются вместе: один дает непрерывный фоновый вклад, а другой дает пики при определенных энергиях. В данных было ясно, что пики крадут фон — авторы интерпретировали это как утверждение, что вклад t-канала был двойным по отношению к вкладу s-канала, то есть оба описывали всю амплитуду и включали другой.

Результат был широко разрекламирован Мюрреем Гелл-Манном , что привело Габриэле Венециано к построению амплитуды рассеяния , которая обладала свойством дуальности Долена-Хорна-Шмида, позже переименованной в дуальность мирового листа. Амплитуда нуждалась в полюсах, где частицы появляются, на прямолинейных траекториях, и существует специальная математическая функция, полюса которой равномерно расположены на половине реальной линии, — гамма-функция , — которая широко использовалась в теории Редже. Манипулируя комбинациями гамма-функций, Венециано смог найти постоянную амплитуду рассеяния с полюсами на прямых линиях, в основном с положительными остатками, которая подчинялась двойственности и имела соответствующий масштаб Редже при высоких энергиях. Амплитуда могла соответствовать данным рассеяния ближнего луча, а также другим подгонкам типа Редже и имела наводящее на размышления интегральное представление, которое можно было использовать для обобщения.

В течение следующих лет сотни физиков работали над завершением программы начальной загрузки этой модели, что принесло немало сюрпризов. Сам Венециано обнаружил, что для того, чтобы амплитуда рассеяния описывала рассеяние частицы, фигурирующее в теории, очевидном условии самосогласования, самая легкая частица должна быть тахионом . Мигель Вирасоро и Джоэл Шапиро обнаружили другую амплитуду, которая теперь понимается как амплитуда замкнутых струн, а Зиро Коба и Хольгер Нильсен обобщили интегральное представление Венециано на многочастичное рассеяние. Венециано и Серджио Фубини представили операторный формализм для вычисления амплитуд рассеяния, который был предшественником конформной теории мирового листа , а Вирасоро понял, как удалять полюсы с остатками с неправильным знаком, используя ограничение на состояния. Клод Лавлейс рассчитал амплитуду петли и отметил, что существует несоответствие, если только размерность теории не равна 26. Чарльз Торн , Питер Годдард и Ричард Брауэр продолжили доказывать, что не существует состояний, распространяющихся с неправильным знаком в размерностях, меньших или равных. до 26.

В 1969–70 годах Йоитиро Намбу , Хольгер Бех Нильсен и Леонард Зюскинд признали, что теорию можно описать в пространстве и времени в терминах струн. Амплитуды рассеяния были систематически выведены из принципа действия Питером Годдардом , Джеффри Голдстоуном , Клаудио Ребби и Чарльзом Торном , что дало пространственно-временную картину вершинным операторам, введенным Венециано и Фубини, и геометрическую интерпретацию условий Вирасоро .

В 1971 году Пьер Рамон добавил в модель фермионы, что позволило ему сформулировать двумерную суперсимметрию для отмены состояний с неправильным знаком. Джон Шварц и Андре Неве Вскоре добавили к теории Ферми еще один сектор. В фермионных теориях критическая размерность составляла 10. Стэнли Мандельштам сформулировал конформную теорию мирового листа как для бозе-, так и для ферми-случая, дав двумерный теоретико-полевой интеграл по путям для генерации операторного формализма. Мичио Каку и Кейджи Киккава дали другую формулировку бозонной струны как теории струнного поля с бесконечным множеством типов частиц и полями, принимающими значения не в точках, а в петлях и кривых.

В 1974 году Тамиаки Ёнея обнаружил, что все известные теории струн включают безмассовую частицу со спином два, которая подчиняется правильным тождествам Уорда и является гравитоном. Джон Шварц и Джоэл Шерк пришли к такому же выводу и сделали смелый шаг, предположив, что теория струн — это теория гравитации, а не теория адронов. Они вновь представили теорию Калуцы-Клейна как способ разобраться в дополнительных измерениях. В то же время квантовая хромодинамика была признана правильной теорией адронов, сместив внимание физиков и, по-видимому, оставив бутстреп-программу на свалке истории .

Теория струн в конце концов выбралась из мусорной корзины, но в течение следующего десятилетия все работы по теории полностью игнорировались. Тем не менее, теория продолжала развиваться устойчивыми темпами благодаря работе горстки преданных. Фердинандо Глиоцци , Жоэль Шерк и Дэвид Олив в 1977 году поняли, что оригинальные струны Ramond и Neveu Schwarz по отдельности несовместимы и их необходимо объединить. Получившаяся в результате теория не имела тахиона, а ее пространственно-временная суперсимметрия была доказана Джоном Шварцем и Майклом Грином в 1984 году. В том же году Александр Поляков дал теории современную формулировку интеграла по траекториям и продолжил широко развивать конформную теорию поля. . В 1979 году Дэниел Фридан показал, что уравнения движения теории струн, являющиеся обобщениями уравнений Эйнштейна общей теории относительности , возникают из уравнений ренормгруппы двумерной теории поля. Шварц и Грин открыли Т-дуальность и построили две теории суперструн — IIA и IIB, связанные Т-дуальностью, и теории типа I с открытыми струнами. Условия непротиворечивости были настолько строгими, что вся теория определялась почти однозначно, имея лишь несколько дискретных вариантов выбора.

Первая суперструнная революция

В начале 1980-х годов Эдвард Виттен обнаружил, что большинство теорий квантовой гравитации не могут учитывать киральные фермионы, такие как нейтрино. Это привело его в сотрудничестве с Луисом Альваресом-Гоме к изучению нарушений законов сохранения в теориях гравитации с аномалиями , придя к выводу, что теории струн типа I несовместимы. Грин и Шварц обнаружили вклад в аномалию, которую пропустили Виттен и Альварес-Гоме, которая ограничивала калибровочную группу теории струн типа I до SO(32). Придя к пониманию этого расчета, Эдвард Виттен пришел к убеждению, что теория струн действительно является последовательной теорией гравитации, и стал известным ее защитником. Следуя примеру Виттена, между 1984 и 1986 годами сотни физиков начали работать в этой области, и это иногда называют первой суперструнной революцией . ^{[ нужна ссылка ]}

В этот период Дэвид Гросс , Джеффри Харви , Эмиль Мартинек и Райан Ром открыли гетеротические струны . Калибровочная группа этих закрытых струн представляла собой две копии E8 , и каждая копия могла легко и естественно включать стандартную модель. Филип Канделас , Гэри Горовиц , Эндрю Строминджер и Эдвард Виттен обнаружили, что многообразия Калаби-Яу представляют собой компактификации, сохраняющие реалистичную степень суперсимметрии, а Лэнс Диксон и другие разработали физические свойства орбифолдов — отличительных геометрических особенностей, допускаемых в теории струн. Кумрун Вафа обобщил Т-двойственность окружностей на произвольные многообразия, создав математическое поле зеркальной симметрии . Дэниел Фридан , Эмиль Мартинек и Стивен Шенкер развили ковариантное квантование суперструны, используя методы конформной теории поля. Дэвид Гросс и Випул Перивал обнаружили, что теория возмущений струн расходится. Стивен Шенкер показал, что оно расходится гораздо быстрее, чем в теории поля, предполагая, что новые непертурбативные объекты отсутствуют. ^{[ нужна ссылка ]}

В 1990-х годах Джозеф Полчински обнаружил, что теория требует объектов более высокой размерности, называемых D-бранами , и отождествил их с решениями супергравитации в виде черных дыр. Они были поняты как новые объекты, предложенные пертурбативными расходимостями, и они открыли новую область с богатой математической структурой. Быстро стало ясно, что D-браны и другие p-браны, а не только струны, сформировали материю струнных теорий, и была раскрыта физическая интерпретация струн и бран — они представляют собой разновидность черной дыры. Леонард Сасскинд включил голографический принцип Герардуса 'т Хоофта в теорию струн, отождествив длинные высоковозбужденные состояния струны с обычными тепловыми состояниями черной дыры. Как предположил 'т Хоофт, колебания горизонта черной дыры, теория мирового листа или мирового объема, описывает не только степени свободы черной дыры, но и всех близлежащих объектов.

Вторая суперструнная революция

В 1995 году на ежегодной конференции теоретиков струн в Университете Южной Калифорнии (USC) Эдвард Виттен выступил с речью о теории струн, которая, по сути, объединила пять существовавших в то время теорий струн и породила новую 11-ю. теория размерностей, называемая М-теорией . М-теория была заложена в работах Пола Таунсенда Примерно в то же время . Начавшийся в это время всплеск активности иногда называют второй суперструнной революцией . ^[31]

В этот период Том Бэнкс , Вилли Фишлер , Стивен Шенкер и Леонард Сасскинд сформулировали матричную теорию — полное голографическое описание М-теории с использованием бран IIA D0. ^[48] Это было первое определение теории струн, которое было полностью непертурбативным и представляло собой конкретную математическую реализацию голографического принципа . Это пример дуальности калибровочно-гравитации, и теперь он считается частным случаем соответствия AdS/CFT . Эндрю Стромингер и Камрун Вафа рассчитали энтропию некоторых конфигураций D-бран и нашли согласие с полуклассическим ответом для черных дыр с экстремальным зарядом. ^[59] Петр Горжава и Виттен нашли одиннадцатимерную формулировку гетеротических теорий струн, показав, что орбифолды решают проблему киральности. Виттен отметил, что эффективное описание физики D-бран при низких энергиях осуществляется с помощью суперсимметричной калибровочной теории, и нашел геометрические интерпретации математических структур калибровочной теории, которые он и Натан Зайберг ранее открыли, с точки зрения расположения бран.

В 1997 году Хуан Малдасена отметил, что низкоэнергетические возбуждения теории вблизи черной дыры состоят из объектов, близких к горизонту, что для экстремально заряженных черных дыр выглядит как антидеситтеровское пространство . ^[68] Он отметил, что в этом пределе калибровочная теория описывает струнные возбуждения вблизи бран. Поэтому он выдвинул гипотезу, что теория струн в геометрии чрезвычайно заряженной черной дыры вблизи горизонта, антиде-ситтеровском пространстве, умноженном на сферу с потоком, одинаково хорошо описывается низкоэнергетической предельной калибровочной теорией , суперсимметричной калибровочной теорией Янга с N = 4. – Теория Миллса . Эту гипотезу, которая называется соответствием AdS/CFT , в дальнейшем развили Стивен Губсер , Игорь Клебанов и Александр Поляков . ^[69] и Эдвард Виттен, ^[70] и теперь это хорошо принято. Это конкретная реализация голографического принципа , который имеет далеко идущие последствия для черных дыр , локальности и информации в физике, а также природы гравитационного взаимодействия. ^[53] Было показано, что благодаря этой взаимосвязи теория струн связана с калибровочными теориями, такими как квантовая хромодинамика , и это привело к более количественному пониманию поведения адронов , возвращая теорию струн к ее истокам. ^{[ нужна ссылка ]}

Критика

Количество решений

Чтобы построить модели физики элементарных частиц на основе теории струн, физики обычно начинают с определения формы дополнительных измерений пространства-времени. Каждая из этих различных форм соответствует различной возможной вселенной или «состоянию вакуума» с различным набором частиц и сил. Теория струн в ее нынешнем понимании имеет огромное количество вакуумных состояний, обычно их число оценивается примерно в $10. 500$ , и они могут быть достаточно разнообразными, чтобы учесть практически любое явление, которое можно наблюдать при низких энергиях. ^[118]

Многие критики теории струн выразили обеспокоенность по поводу большого количества возможных вселенных, описываемых теорией струн. В своей книге Not Even Wrong Питер Войт , преподаватель математического факультета Колумбийского университета , утверждает, что большое количество различных физических сценариев делает теорию струн бесполезной в качестве основы для построения моделей физики элементарных частиц. По мнению Войта,

Возможное существование, скажем, $10500$ Согласованность различных состояний вакуума для теории суперструн, вероятно, разрушает надежду использовать теорию для предсказания чего-либо. Если выбрать среди этого большого набора только те состояния, свойства которых согласуются с нынешними экспериментальными наблюдениями, вполне вероятно, что их все еще будет настолько большое количество, что можно будет получить практически любое значение, какое пожелаем, для результатов любого нового наблюдения. ^[119]

Некоторые физики считают, что такое большое количество решений на самом деле является достоинством, поскольку оно может позволить естественное антропное объяснение наблюдаемых значений физических констант , в частности небольшого значения космологической постоянной. ^[119] Антропный принцип — это идея о том, что некоторые числа, встречающиеся в законах физики, не зафиксированы каким-либо фундаментальным принципом, но должны быть совместимы с эволюцией разумной жизни. В 1987 году Стивен Вайнберг опубликовал статью, в которой утверждал, что космологическая постоянная не могла быть слишком большой, иначе галактики и разумная жизнь не смогли бы развиваться. ^[120] Вайнберг предположил, что может существовать огромное количество возможных непротиворечивых вселенных, каждая из которых имеет разное значение космологической постоянной, а наблюдения указывают на небольшое значение космологической постоянной только потому, что люди живут во Вселенной, которая допускает разумную жизнь, и следовательно, наблюдатели должны существовать. ^[121]

Теоретик струн Леонард Сасскинд утверждал, что теория струн обеспечивает естественное антропное объяснение небольшого значения космологической постоянной. ^[122] По мнению Сасскинда, различные состояния вакуума в теории струн могут быть реализованы как разные вселенные внутри более крупной мультивселенной . Тот факт, что наблюдаемая Вселенная имеет небольшую космологическую постоянную, является всего лишь тавтологическим следствием того факта, что для существования жизни требуется небольшая величина. ^[123] Многие видные теоретики и критики не согласились с выводами Зюскинда. ^[124] По мнению Войта, «в данном случае [антропное рассуждение] является не чем иным, как оправданием неудачи. Спекулятивные научные идеи терпят неудачу не только тогда, когда они делают неправильные предсказания, но и тогда, когда они оказываются бессодержательными и неспособными что-либо предсказать». ^[125]

Совместимость с темной энергией

Остается неизвестным, совместима ли теория струн с метастабильной положительной космологической постоянной .Некоторые предполагаемые примеры таких решений действительно существуют, например, модель, описанная Качру и др . в 2003 году. ^[126] В 2018 году группа из четырех физиков выдвинула спорную гипотезу, которая подразумевала бы, что такой Вселенной не существует . Это противоречит некоторым популярным моделям темной энергии, таким как Λ-CDM , которая требует положительной энергии вакуума. Однако теория струн, вероятно, совместима с определенными типами квинтэссенции , где темная энергия вызвана новым полем с экзотическими свойствами. ^[127]

Независимость от фона

Одним из фундаментальных свойств общей теории относительности Эйнштейна является то, что она не зависит от фона , а это означает, что формулировка теории никоим образом не отдает предпочтение определенной геометрии пространства-времени. ^[128]

Одна из главных критических замечаний к теории струн с самого начала заключалась в том, что она не является явно независимой от фона. В теории струн обычно необходимо указать фиксированную эталонную геометрию пространства-времени, а все другие возможные геометрии описываются как возмущения этой фиксированной геометрии. В своей книге «Проблемы с физикой » физик Ли Смолин из Института теоретической физики «Периметр» утверждает, что это принципиальная слабость теории струн как теории квантовой гравитации, заявляя, что теория струн не смогла включить это важное открытие из общей теории относительности. ^[129]

Другие не согласились с характеристикой теории струн Смолиным. В рецензии на книгу Смолина теоретик струн Джозеф Полчинский пишет:

[Смолин] ошибочно принимает один из аспектов используемого математического языка за одну из описываемых физических явлений. Новые физические теории часто открываются с использованием не самого подходящего для них математического языка... В теории струн всегда было ясно, что физика не зависит от фона, даже если используемый язык не является таковым, и поиск более подходящий язык продолжается. Действительно, как с опозданием отмечает Смолин, [AdS/CFT] предлагает решение этой проблемы, неожиданное и мощное. ^[130]

Полчинский отмечает, что важной открытой проблемой квантовой гравитации является разработка голографических описаний гравитации, которые не требуют, чтобы гравитационное поле было асимптотически антидеситтеровским. ^[130] Смолин в ответ заявил, что переписка AdS/CFT в том виде, в каком она сейчас понимается, может оказаться недостаточно сильной, чтобы решить все опасения по поводу независимости от фона. ^[131]

Социология науки

Со времени суперструнной революции 1980-х и 1990-х годов теория струн была одной из доминирующих парадигм теоретической физики высоких энергий. ^[132] Некоторые теоретики струн выразили мнение, что не существует столь же успешной альтернативной теории, решающей глубокие вопросы фундаментальной физики. В интервью 1987 года нобелевский лауреат Дэвид Гросс сделал следующие противоречивые комментарии о причинах популярности теории струн:

Самая главная [причина] в том, что других хороших идей нет. Вот что привлекает в это большинство людей. Когда люди начали интересоваться теорией струн, они ничего о ней не знали. На самом деле, первая реакция большинства людей заключается в том, что теория крайне уродлива и неприятна, по крайней мере, так было несколько лет назад, когда понимание теории струн было гораздо менее развито. Людям было трудно узнать об этом и возбудиться. Так что я думаю, что настоящая причина, по которой эта игра привлекла людей, заключается в том, что в городе нет другой игры. Все другие подходы к построению теорий великого объединения, которые изначально были более консервативными и лишь постепенно становились все более радикальными, потерпели неудачу, и эта игра до сих пор не провалилась. ^[133]

Несколько других известных теоретиков и комментаторов выразили аналогичные взгляды, предполагая, что жизнеспособных альтернатив теории струн не существует. ^[134]

Многие критики теории струн комментировали такое положение дел. В своей книге, критикующей теорию струн, Питер Войт рассматривает статус исследований теории струн как нездоровый и вредный для будущего фундаментальной физики. Он утверждает, что чрезвычайная популярность теории струн среди физиков-теоретиков отчасти является следствием финансовой структуры академических кругов и жесткой конкуренции за ограниченные ресурсы. ^[135] В своей книге «Дорога к реальности » физик-математик Роджер Пенроуз выражает аналогичные взгляды, заявляя: «Часто безумная конкуренция, которую порождает эта простота общения, приводит к эффекту подножия , когда исследователи боятся остаться позади, если не присоединятся». ^[136] Пенроуз также утверждает, что технические трудности современной физики вынуждают молодых учёных полагаться на предпочтения авторитетных исследователей, а не искать новые собственные пути. ^[137] Ли Смолин в своей критике выражает несколько иную позицию, утверждая, что теория струн выросла из традиции физики элементарных частиц, которая препятствует спекуляциям об основах физики, в то время как его предпочтительный подход, петлевая квантовая гравитация , поощряет более радикальное мышление. По словам Смолина,

Теория струн — мощная, хорошо мотивированная идея, заслуживающая большей части работ, посвященных ей. Если она до сих пор терпела неудачу, то основная причина заключается в том, что ее внутренние недостатки тесно связаны с ее сильными сторонами – и, конечно, история не закончена, поскольку теория струн вполне может оказаться частью истины. Реальный вопрос не в том, почему мы потратили так много энергии на теорию струн, а в том, почему мы не потратили достаточно энергии на альтернативные подходы. ^[138]

Далее Смолин предлагает ряд рецептов того, как ученые могли бы стимулировать большее разнообразие подходов к исследованиям квантовой гравитации. ^[139]

Примечания

^ Например, физики все еще работают над пониманием явления удержания кварков , парадоксов черных дыр и происхождения темной энергии .
^ Например, в контексте переписки AdS/CFT теоретики часто формулируют и изучают теории гравитации в нефизических числах измерений пространства-времени.
^ «Самые цитируемые статьи за 2010 год в хеп-те» . Проверено 25 июля 2013 г.
^ Точнее, нельзя применять методы пертурбативной квантовой теории поля.
^ Два независимых математических доказательства зеркальной симметрии были даны Гивенталем. ^[97]^[98] и Лиан и др. ^[99]^[100]^[101]
^ Точнее, нетривиальная группа называется простой , если ее единственными нормальными подгруппами являются тривиальная группа и сама группа. Теорема Джордана–Гельдера показывает, что конечные простые группы являются строительными блоками для всех конечных групп.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Беккер, Беккер и Шварц , с. 1
^ Цвибах , с. 6
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Беккер, Беккер и Шварц , стр. 2–3.
^ Беккер, Беккер и Шварц , стр. 9–12.
^ Беккер, Беккер и Шварц , стр. 14–15.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Клебанов Игорь; Мальдасена, Хуан (2009). «Решение квантовых теорий поля с помощью искривленного пространства-времени» . Физика сегодня . 62 (1): 28–33 [28]. Бибкод : 2009ФТ....62а..28К . дои : 10.1063/1.3074260 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Мерали, Зия (2011). «Коллаборативная физика: теория струн находит товарища по скамейке запасных» . Природа . 478 (7369): 302–304 [303]. Бибкод : 2011Natur.478..302M . дои : 10.1038/478302a . ПМИД 22012369 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сачдев, Субир (2013). «Странный и вязкий». Научный американец . 308 (44): 44–51 [51]. Бибкод : 2012SciAm.308a..44S . doi : 10.1038/scientificamerican0113-44 . ПМИД 23342451 .
^ Беккер, Беккер и Шварц , стр. 3, 15–16.
^ Беккер, Беккер и Шварц , с. 8
^ Беккер, Беккер и Шварц , стр. 13–14.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ух ты
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Зи, Энтони (2010). «Части V и VI». Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-14034-6 .
^ Беккер, Беккер и Шварц , с. 2
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Беккер, Беккер и Шварц , с. 6
^ Цвибах , с. 12
^ Беккер, Беккер и Шварц , с. 4
^ Цвибах , с. 324
^ Лес , с. 4
^ Цвибах , с. 9
^ Цвибах , с. 8
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Яу и Надис , Ч. 6
^ Яу и Надис , с. IX
^ Рэндалл, Лиза; Сундрам, Раман (1999). «Альтернатива компактификации». Письма о физических отзывах . 83 (23): 4690–4693. arXiv : hep-th/9906064 . Бибкод : 1999PhRvL..83.4690R . дои : 10.1103/PhysRevLett.83.4690 . S2CID 18530420 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Беккер, Беккер и Шварц
^ Цвибах , с. 376
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мур, Грегори (2005). «Что такое... брана?» (PDF) . Уведомления АМС . 52 : 214–215 . Проверено 29 декабря 2016 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Аспинуолл, Пол; Бриджленд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин Антон; Мур, Грегори; Сигал, Грэм; Сендрой, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Браны Дирихле и зеркальная симметрия . Монографии Клэя по математике . Том. 4. Американское математическое общество. п. 13. ISBN 978-0-8218-3848-8 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Концевич, Максим (1995). «Гомологическая алгебра зеркальной симметрии». Материалы Международного конгресса математиков . стр. 120–139. arXiv : alg-geom/9411018 . Бибкод : 1994alg.geom.11018K . дои : 10.1007/978-3-0348-9078-6_11 . ISBN 978-3-0348-9897-3 . S2CID 16733945 .
^ Капустин Антон; Виттен, Эдвард (2007). «Электро-магнитный дуализм и геометрическая программа Ленглендса». Связь в теории чисел и физике . 1 (1): 1–236. arXiv : hep-th/0604151 . Бибкод : 2007CNTP....1....1K . дои : 10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1 . S2CID 30505126 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дафф
^ Дафф , с. 64
^ Нам, Уолтер (1978). «Суперсимметрии и их представления» (PDF) . Ядерная физика Б . 135 (1): 149–166. Бибкод : 1978НуФБ.135..149Н . дои : 10.1016/0550-3213(78)90218-3 . Архивировано (PDF) из оригинала 26 июля 2018 г. Проверено 25 августа 2019 г.
^ Креммер, Юджин; Джулия, Бернар; Шерк, Жоэль (1978). «Теория супергравитации в одиннадцати измерениях». Буквы по физике Б. 76 (4): 409–412. Бибкод : 1978PhLB...76..409C . дои : 10.1016/0370-2693(78)90894-8 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Дафф , с. 65
^ Сен, Ашок (1994). «Двойственность сильной и слабой связи в четырехмерной теории струн». Международный журнал современной физики А. 9 (21): 3707–3750. arXiv : hep-th/9402002 . Бибкод : 1994IJMPA...9.3707S . дои : 10.1142/S0217751X94001497 . S2CID 16706816 .
^ Сен, Ашок (1994). «Дион-монопольные связанные состояния, самодуальные гармонические формы в пространстве мультимонопольных модулей и $SL (2, Z)$ -инвариантность в теории струн». Буквы по физике Б. 329 (2): 217–221. arXiv : hep-th/9402032 . Бибкод : 1994PhLB..329..217S . дои : 10.1016/0370-2693(94)90763-3 . S2CID 17534677 .
^ Халл, Крис; Таунсенд, Пол (1995). «Единство суперструнных дуальностей». Ядерная физика Б . 4381 (1): 109–137. arXiv : hep-th/9410167 . Бибкод : 1995НуФБ.438..109H . дои : 10.1016/0550-3213(94)00559-W . S2CID 13889163 .
^ Дафф , с. 67
^ Бергшофф, Эрик; Сезгин, Эргин; Таунсенд, Пол (1987). «Супермембраны и одиннадцатимерная супергравитация» (PDF) . Буквы по физике Б. 189 (1): 75–78. Бибкод : 1987PhLB..189...75B . дои : 10.1016/0370-2693(87)91272-X . S2CID 123289423 . Архивировано (PDF) из оригинала 15 ноября 2020 г. Проверено 25 августа 2019 г.
^ Дафф, Майкл; Хау, Пол; Инами, Такео; Стелле, Келлог (1987). «Суперструны в $D = 10$ из супермембран в $D = 11$ » (PDF) . Ядерная физика Б . 191 (1): 70–74. Бибкод : 1987PhLB..191...70D . дои : 10.1016/0370-2693(87)91323-2 . Архивировано (PDF) из оригинала 15 ноября 2020 г. Проверено 25 августа 2019 г.
^ Дафф , с. 66
^ Виттен, Эдвард (1995). «Динамика теории струн в различных измерениях». Ядерная физика Б . 443 (1): 85–126. arXiv : hep-th/9503124 . Бибкод : 1995НуФБ.443...85Вт . дои : 10.1016/0550-3213(95)00158-О . S2CID 16790997 .
^ Дафф , стр. 67–68.
^ Беккер, Беккер и Шварц , с. 296
^ Горжава, Петр; Виттен, Эдвард (1996). «Гетеротическая и струнная динамика типа I из одиннадцати измерений». Ядерная физика Б . 460 (3): 506–524. arXiv : hep-th/9510209 . Бибкод : 1996NuPhB.460..506H . дои : 10.1016/0550-3213(95)00621-4 . S2CID 17028835 .
^ Дафф, Майкл (1996). «М-теория (теория, ранее известная как струны)». Международный журнал современной физики А. 11 (32): 6523–41 (раздел 1). arXiv : hep-th/9608117 . Бибкод : 1996IJMPA..11.5623D . дои : 10.1142/S0217751X96002583 . S2CID 17432791 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Бэнкс, Том; Фишлер, Вилли; Шенкер, Стивен; Сасскинд, Леонард (1997). «Теория М как матричная модель: гипотеза». Физический обзор D . 55 (8): 5112–5128. arXiv : hep-th/9610043 . Бибкод : 1997PhRvD..55.5112B . дои : 10.1103/physrevd.55.5112 . S2CID 13073785 .
^ Конн, Ален (1994). Некоммутативная геометрия . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-185860-5 .
^ Конн, Ален; Дуглас, Майкл; Шварц, Альберт (1998). «Некоммутативная геометрия и теория матриц». Журнал физики высоких энергий . 19981 (2): 003. arXiv : hep-th/9711162 . Бибкод : 1998JHEP...02..003C . дои : 10.1088/1126-6708/1998/02/003 . S2CID 7562354 .
^ Nekrasov, Nikita; Schwarz, Albert (1998). "Instantons on noncommutative $R 4$ и (2,0) суперконформная шестимерная теория». Communications in Mathematical Physics . 198 (3): 689–703. arXiv : hep-th/9802068 . Bibcode : 1998CMaPh.198..689N . doi : 10.1007/s002200050490 . S2CID 14125789 .
^ Зайберг, Натан; Виттен, Эдвард (1999). «Теория струн и некоммутативная геометрия». Журнал физики высоких энергий . 1999 (9): 032. arXiv : hep-th/9908142 . Бибкод : 1999JHEP...09..032S . дои : 10.1088/1126-6708/1999/09/032 . S2CID 668885 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с де Аро, Себастьян; Дикс, Деннис; 'т Хофт, Джерард; Верлинде, Эрик (2013). «Сорок лет теории струн в размышлениях об ее основах» . Основы физики . 43 (1): 1–7 [2]. Бибкод : 2013FoPh...43....1D . дои : 10.1007/s10701-012-9691-3 .
^ Яу и Надис , стр. 187–188
^ Бекенштейн, Джейкоб (1973). «Черные дыры и энтропия». Физический обзор D . 7 (8): 2333–2346. Бибкод : 1973PhRvD...7.2333B . дои : 10.1103/PhysRevD.7.2333 . S2CID 122636624 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хокинг, Стивен (1975). «Рождение частиц черными дырами» . Связь в математической физике . 43 (3): 199–220. Бибкод : 1975CMaPh..43..199H . дои : 10.1007/BF02345020 . S2CID 55539246 .
^ Лес , с. 417
^ Яу и Надис , с. 189
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Строминджер, Эндрю; Вафа, Камрун (1996). «Микроскопическое происхождение энтропии Бекенштейна – Хокинга». Буквы по физике Б. 379 (1): 99–104. arXiv : hep-th/9601029 . Бибкод : 1996PhLB..379...99S . дои : 10.1016/0370-2693(96)00345-0 . S2CID 1041890 .
^ Яу и Надис , стр. 190–192
^ Мальдасена, Хуан; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1997). «Энтропия черной дыры в М-теории». Журнал физики высоких энергий . 1997 (12): 002. arXiv : hep-th/9711053 . Бибкод : 1997JHEP...12..002M . дои : 10.1088/1126-6708/1997/12/002 . S2CID 14980680 .
^ Оогури, Хироси; Строминджер, Эндрю; Вафа, Камрун (2004). «Аттракторы черных дыр и топологическая струна». Физический обзор D . 70 (10): 106007. arXiv : hep-th/0405146 . Бибкод : 2004PhRvD..70j6007O . дои : 10.1103/physrevd.70.106007 . S2CID 6289773 .
^ Яу и Надис , стр. 192–193
^ Яу и Надис , стр. 194–195
^ Строминджер, Эндрю (1998). «Энтропия черной дыры из окологоризонтных микросостояний». Журнал физики высоких энергий . 1998 (2): 009. arXiv : hep-th/9712251 . Бибкод : 1998JHEP...02..009S . дои : 10.1088/1126-6708/1998/02/009 . S2CID 2044281 .
^ Гуика, Моника; Хартман, Томас; Сун, Вэй; Строминджер, Эндрю (2009). «Переписка Керра и CFT». Физический обзор D . 80 (12): 124008. arXiv : 0809.4266 . Бибкод : 2009PhRvD..80l4008G . дои : 10.1103/PhysRevD.80.124008 . S2CID 15010088 .
^ Кастро, Алехандра; Мэлони, Александр; Строминджер, Эндрю (2010). «Скрытая конформная симметрия черной дыры Керра». Физический обзор D . 82 (2): 024008. arXiv : 1004.0996 . Бибкод : 2010PhRvD..82b4008C . дои : 10.1103/PhysRevD.82.024008 . S2CID 118600898 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мальдасена, Хуан (1998). «Большой $N-$ предел суперконформных теорий поля и супергравитации». Успехи теоретической и математической физики . 2 (2): 231–252. arXiv : hep-th/9711200 . Бибкод : 1998AdTMP...2..231M . дои : 10.4310/ATMP.1998.V2.N2.A1 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Губсер, Стивен; Клебанов Игорь; Поляков, Александр (1998). «Корреляторы калибровочной теории из некритической теории струн». Буквы по физике Б. 428 (1–2): 105–114. arXiv : hep-th/9802109 . Бибкод : 1998PhLB..428..105G . дои : 10.1016/S0370-2693(98)00377-3 . S2CID 15693064 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Виттен, Эдвард (1998). «Анти-де Ситтеровское пространство и голография». Успехи теоретической и математической физики . 2 (2): 253–291. arXiv : hep-th/9802150 . Бибкод : 1998AdTMP...2..253W . дои : 10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a2 . S2CID 10882387 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Малдасена 2005 , с. 60
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Малдасена 2005 , с. 61
^ Цвибах , с. 552
^ Мальдасена 2005 , стр. 61–62.
^ Сасскинд, Леонард (2008). Война черных дыр: моя битва со Стивеном Хокингом за то, чтобы сделать мир безопасным для квантовой механики . Литтл, Браун и компания. ISBN 978-0-316-01641-4 .
^ Цвибах , с. 554
^ Малдасена 2005 , с. 63
^ Хокинг, Стивен (2005). «Потеря информации в черных дырах». Физический обзор D . 72 (8): 084013. arXiv : hep-th/0507171 . Бибкод : 2005PhRvD..72h4013H . дои : 10.1103/PhysRevD.72.084013 . S2CID 118893360 .
^ Цвибах , с. 559
^ Ковтун, ПК; Сын, Дам Т.; Старинец, АО (2005). «Вязкость в сильно взаимодействующих квантовых теориях поля из физики черных дыр». Письма о физических отзывах . 94 (11): 111601. arXiv : hep-th/0405231 . Бибкод : 2005PhRvL..94k1601K . doi : 10.1103/PhysRevLett.94.111601 . ПМИД 15903845 . S2CID 119476733 .
^ Лузум, Мэтью; Ромачке, Пол (2008). «Конформная релятивистская вязкая гидродинамика: приложения к результатам RHIC при $\sqrt с NN = 200$ ГэВ». Физический обзор C . 78 (3): 034915. arXiv : 0804.4015 . Бибкод : 2008PhRvC..78c4915L . дои : 10.1103/PhysRevC.78.034915 .
^ Канделас, Филип; Горовиц, Гэри; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Ядерная физика Б . 258 : 46–74. Бибкод : 1985НуФБ.258...46С . дои : 10.1016/0550-3213(85)90602-9 .
^ Яу и Надис , стр. 147–150
^ Беккер, Беккер и Шварц , стр. 530–531.
^ Беккер, Беккер и Шварц , с. 531
^ Беккер, Беккер и Шварц , с. 538
^ Беккер, Беккер и Шварц , с. 533
^ Беккер, Беккер и Шварц , стр. 539–543.
^ Делинь, Пьер; Этингоф, Павел; Фрид, Дэниел; Джеффри, Лиза; Каждан, Дэвид; Морган, Джон; Моррисон, Дэвид; Виттен, Эдвард, ред. (1999). Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том. 1. Американское математическое общество. п. 1. ISBN 978-0821820124 .
^ Хорус , с. XVII
^ Это
^ Яу и Надис , с. 167
^ Яу и Надис , с. 166
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Яу и Надис , с. 169
^ Канделас, Филип; де ла Осса, Ксения; Грин, Пол; Паркс, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби – Яу как точно разрешимая суперконформная теория поля». Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. Бибкод : 1991НуФБ.359...21С . дои : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 .
^ Яу и Надис , с. 171
^ Гивенталь, Александр (1996). «Эквивариантные инварианты Громова-Виттена» . Уведомления о международных математических исследованиях . 1996 (13): 613–663. дои : 10.1155/S1073792896000414 . S2CID 554844 .
^ Гивенталь, Александр (1998). «Зеркальная теорема для торических полных пересечений». Топологическая теория поля, примитивные формы и смежные темы . стр. 141–175. arXiv : alg-geom/9701016v2 . дои : 10.1007/978-1-4612-0705-4_5 . ISBN 978-1-4612-6874-1 . S2CID 2884104 .
^ Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (1997). «Зеркальный принцип, Я». Азиатский математический журнал . 1 (4): 729–763. arXiv : alg-geom/9712011 . Бибкод : 1997alg.geom.12011L . дои : 10.4310/ajm.1997.v1.n4.a5 . S2CID 8035522 .
^ Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (1999а). «Зеркальный принцип II». Азиатский математический журнал . 3 : 109–146. arXiv : математика/9905006 . Бибкод : 1999math......5006L . дои : 10.4310/ajm.1999.v3.n1.a6 . S2CID 17837291 .
Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (1999b). «Зеркальный принцип III». Азиатский математический журнал . 3 (4): 771–800. arXiv : математика/9912038 . Бибкод : 1999math.....12038L . дои : 10.4310/ajm.1999.v3.n4.a4 .
^ Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (2000). «Зеркальный принцип IV». Обзоры по дифференциальной геометрии . 7 : 475–496. arXiv : math/0007104 . Бибкод : 2000math......7104L . дои : 10.4310/sdg.2002.v7.n1.a15 . S2CID 1099024 .
^ Хори , с. XIX
^ Строминджер, Эндрю; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик (1996). «Зеркальная симметрия — это Т-двойственность». Ядерная физика Б . 479 (1): 243–259. arXiv : hep-th/9606040 . Бибкод : 1996НуФБ.479..243С . дои : 10.1016/0550-3213(96)00434-8 . S2CID 14586676 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Черт возьми, Дэвид; Фут, Ричард (2004). Абстрактная алгебра . Уайли. стр. 102–103. ISBN 978-0-471-43334-7 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кларрайх, Эрика (12 марта 2015 г.). «Математики гоняются за тенью самогона» . Журнал Кванта . Архивировано из оригинала 15 ноября 2020 года . Проверено 31 мая 2015 г.
^ Ганнон , с. 2
^ Ганнон , с. 4
^ Конвей, Джон; Нортон, Саймон (1979). «Чудовищный самогон». Бык. Лондонская математика. Соц . 11 (3): 308–339. дои : 10.1112/blms/11.3.308 .
^ Ганнон , с. 5
^ Ганнон , с. 8
^ Борчердс, Ричард (1992). «Чудовищный самогон и супералгебры Ли» (PDF) . Математические изобретения . 109 (1): 405–444. Бибкод : 1992InMat.109..405B . CiteSeerX 10.1.1.165.2714 . дои : 10.1007/BF01232032 . S2CID 16145482 . Архивировано (PDF) из оригинала 15 ноября 2020 г. Проверено 25 октября 2017 г.
^ Френкель, Игорь; Леповски, Джеймс; Мерман, Арне (1988). Вершинные операторные алгебры и монстр . Чистая и прикладная математика. Том. 134. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-267065-7 .
^ Ганнон , с. 11
^ Эгучи, Тору; Оогури, Хироси; Татикава, Юдзи (2011). «Заметки о поверхности К3 и группе Матье $М 24$ ». Экспериментальная математика . 20 (1): 91–96. arXiv : 1004.0956 . дои : 10.1080/10586458.2011.544585 . S2CID 26960343 .
^ Ченг, Миранда ; Дункан, Джон; Харви, Джеффри (2014). «Умбральный самогон». Связь в теории чисел и физике . 8 (2): 101–242. arXiv : 1204.2779 . Бибкод : 2012arXiv1204.2779C . дои : 10.4310/CNTP.2014.v8.n2.a1 . S2CID 119684549 .
^ Дункан, Джон; Гриффин, Майкл; Оно, Кен (2015). «Доказательство гипотезы теневого самогона» . Исследования в области математических наук . 2 : 26. arXiv : 1503.01472 . Бибкод : 2015arXiv150301472D . дои : 10.1186/s40687-015-0044-7 . S2CID 43589605 .
^ Виттен, Эдвард (2007). «Возвращение к трехмерной гравитации». arXiv : 0706.3359 [ hep-th ].
^ Войт , стр. 240–242
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Войт , с. 242
^ Вайнберг, Стивен (1987). «Антропная связь с космологической постоянной». Письма о физических отзывах . 59 (22): 2607–2610. Бибкод : 1987PhRvL..59.2607W . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.2607 . ПМИД 10035596 .
^ Войт , с. 243
^ Сасскинд, Леонард (2005). Космический ландшафт: теория струн и иллюзия разумного замысла . Книги Бэк Бэй. ISBN 978-0316013338 .
^ Войт , стр. 242–243
^ Войт , с. 240
^ Войт , с. 249
^ Качру, Шамит; Каллош, Рената; Линде, Андрей; Триведи, Сандип П. (2003). «Де Ситтер Вакуа в теории струн». Физ. Преподобный Д. 68 (4): 046005. arXiv : hep-th/0301240 . Бибкод : 2003PhRvD..68d6005K . дои : 10.1103/PhysRevD.68.046005 . S2CID 119482182 .
^ Волчовер, Натали (9 августа 2018 г.). «Темная энергия может быть несовместима с теорией струн» . Журнал Кванта . Фонд Саймонса. Архивировано из оригинала 15 ноября 2020 года . Проверено 2 апреля 2020 г.
^ Смолин , с. 81
^ Смолин , с. 184
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Полчински, Джозеф (2007). "Все натянуто?" . Американский учёный . 95:72 . дои : 10.1511/2007.63.72 . Проверено 29 декабря 2016 г.
^ Смолин, Ли (апрель 2007 г.). «Ответ на рецензию на книгу Джо Полчински «Проблемы с физикой»» . kitp.ucsb.edu. Архивировано из оригинала 5 ноября 2015 года . Проверено 31 декабря 2015 г.
^ Пенроуз , с. 1017
^ Войт , стр. 224–225
^ Войт , Глава 16.
^ Войт , с. 239
^ Пенроуз , с. 1018
^ Пенроуз , стр. 1019–1020.
^ Смолин , с. 349
^ Смолин , Ч. 20

Библиография

Беккер, Катрин; Беккер, Мелани ; Шварц, Джон (2007). Теория струн и М-теория: современное введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86069-7 .
Дафф, Майкл (1998). «Теория, ранее известная как струны». Научный американец . 278 (2): 64–9. Бибкод : 1998SciAm.278b..64D . doi : 10.1038/scientificamerican0298-64 .
Гэннон, Терри. Самогон за пределами монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику . Издательство Кембриджского университета.
Хори, Кентаро; Кац, Шелдон; Клемм, Альбрехт; Пандхарипанде, Рахул; Томас, Ричард; Вафа, Камрун; Вакил, Рави; Заслоу, Эрик, ред. (2003). Зеркальная симметрия (PDF) . Монографии Клэя по математике . Том. 1. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2955-4 . Архивировано из оригинала (PDF) 19 сентября 2006 г.
Мальдасена, Хуан (2005). «Иллюзия гравитации» (PDF) . Научный американец . 293 (5): 56–63. Бибкод : 2005SciAm.293e..56M . doi : 10.1038/scientificamerican1105-56 . ПМИД 16318027 . Архивировано из оригинала (PDF) 1 ноября 2014 года . Проверено 29 декабря 2016 г.
Пенроуз, Роджер (2005). Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной . Кнопф. ISBN 978-0-679-45443-4 .
Смолин, Ли (2006). Проблемы с физикой: расцвет теории струн, падение науки и что будет дальше . Нью-Йорк: ISBN Houghton Mifflin Co. 978-0-618-55105-7 .
Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-87033-5 .
Войт, Питер (2006). Даже не так: провал теории струн и поиск единства в физическом законе . Основные книги. п. 105 . ISBN 978-0-465-09275-8 .
Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Основные книги. ISBN 978-0-465-02023-2 .
Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88032-9 .

Дальнейшее чтение

Учебники

Беккер, К.; Беккер, М.; Шварц, Дж. Х. (2006). Теория струн и М-теория: современное введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521860697 .
Блюменхаген, Р.; Люст, Д.; Тайзен, С. (2012). Основные понятия теории струн . Спрингер. ISBN 978-3642294969 .
Грин, Майкл; Шварц, Джон; Виттен, Эдвард (2012). Теория суперструн. Том. 1: Введение . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107029118 .
Грин, Майкл; Шварц, Джон; Виттен, Эдвард (2012). Теория суперструн. Том. 2: Амплитуды контуров, аномалии и феноменология . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107029132 .
Ибаньес, Ле; Уранга, AM (2012). Теория струн и физика элементарных частиц: введение в феноменологию струн . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521517522 .
Кирицис, Э. (2019). Коротко о теории струн . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0691155791 .
Ортин, Т. (2015). Гравитация и струны . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521768139 .
Полчински, Джозеф (1998). Теория струн Том. 1: Введение в бозонную струну . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63303-1 .
Полчински, Джозеф (1998). Теория струн Том. 2: Теория суперструн и не только . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63304-8 .
Уэст, П. (2012). Введение в струны и браны . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521817479 .
Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88032-9 .

Внешние ссылки

Веб-сайты

Not Even Wrong — Блог, критикующий теорию струн.
Почему теория струн — Введение в теорию струн.
Педагогические пособия по теории струн — обзор теории струн на вводном уровне, а также вспомогательные средства, помогающие понять некоторые из наиболее сложных концепций. Для тех, кто изучал квантовую теорию поля от автора книги «Квантовая теория поля для студентов».

Видео

bbc-horizon:parallel-uni — художественный документальный фильм BBC Horizon 2002 года , эпизод «Параллельные вселенные» посвящен истории и возникновению М-теории и вовлеченным ученым.
pbs.org-nova: элегантный-юни — , удостоенный премии «Эмми» трехчасовой мини-сериал Новы с Брайаном Грином в 2003 году , адаптированный из его «Элегантной вселенной» (исходные даты трансляции PBS : 28 октября с 20:00 до 22:00 и 4, 8 ноября). – 21:00, 2003).

[3] Например, физики все еще работают над пониманием явления удержания кварков , парадоксов черных дыр и происхождения темной энергии .

[21] Например, в контексте переписки AdS/CFT теоретики часто формулируют и изучают теории гравитации в нефизических числах измерений пространства-времени.

[73] «Самые цитируемые статьи за 2010 год в хеп-те» . Проверено 25 июля 2013 г.

[83] Точнее, нельзя применять методы пертурбативной квантовой теории поля.

[106] Два независимых математических доказательства зеркальной симметрии были даны Гивенталем. ^[97]^[98] и Лиан и др. ^[99]^[100]^[101]

[110] Точнее, нетривиальная группа называется простой , если ее единственными нормальными подгруппами являются тривиальная группа и сама группа. Теорема Джордана–Гельдера показывает, что конечные простые группы являются строительными блоками для всех конечных групп.

[Becker,_Becker_2007,_p._1-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Беккер, Беккер и Шварц , с. 1

[2] Цвибах , с. 6

[Becker,_Becker_2007,_pp._2-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Беккер, Беккер и Шварц , стр. 2–3.

[5] Беккер, Беккер и Шварц , стр. 9–12.

[6] Беккер, Беккер и Шварц , стр. 14–15.

[Klebanov_and_Maldacena_2009-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Клебанов Игорь; Мальдасена, Хуан (2009). «Решение квантовых теорий поля с помощью искривленного пространства-времени» . Физика сегодня . 62 (1): 28–33 [28]. Бибкод : 2009ФТ....62а..28К . дои : 10.1063/1.3074260 .

[Merali_2011-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Мерали, Зия (2011). «Коллаборативная физика: теория струн находит товарища по скамейке запасных» . Природа . 478 (7369): 302–304 [303]. Бибкод : 2011Natur.478..302M . дои : 10.1038/478302a . ПМИД 22012369 .

[Sachdev-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сачдев, Субир (2013). «Странный и вязкий». Научный американец . 308 (44): 44–51 [51]. Бибкод : 2012SciAm.308a..44S . doi : 10.1038/scientificamerican0113-44 . ПМИД 23342451 .

[10] Беккер, Беккер и Шварц , стр. 3, 15–16.

[11] Беккер, Беккер и Шварц , с. 8

[12] Беккер, Беккер и Шварц , стр. 13–14.

[Woit_2006-13] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ух ты

[Zee_2010-14] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Зи, Энтони (2010). «Части V и VI». Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-14034-6 .

[15] Беккер, Беккер и Шварц , с. 2

[Becker,_Becker_2007,_p._6-16] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Беккер, Беккер и Шварц , с. 6

[17] Цвибах , с. 12

[18] Беккер, Беккер и Шварц , с. 4

[19] Цвибах , с. 324

[20] Лес , с. 4

[22] Цвибах , с. 9

[23] Цвибах , с. 8

[Yau_and_Nadis_2010,_Ch._6-24] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Яу и Надис , Ч. 6

[25] Яу и Надис , с. IX

[Randall-26] Рэндалл, Лиза; Сундрам, Раман (1999). «Альтернатива компактификации». Письма о физических отзывах . 83 (23): 4690–4693. arXiv : hep-th/9906064 . Бибкод : 1999PhRvL..83.4690R . дои : 10.1103/PhysRevLett.83.4690 . S2CID 18530420 .

[Becker-27] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Беккер, Беккер и Шварц

[28] Цвибах , с. 376

[Moore_2005,_p._214-29] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Мур, Грегори (2005). «Что такое... брана?» (PDF) . Уведомления АМС . 52 : 214–215 . Проверено 29 декабря 2016 г.

[Aspinwall_et_al._2009-30] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Аспинуолл, Пол; Бриджленд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин Антон; Мур, Грегори; Сигал, Грэм; Сендрой, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Браны Дирихле и зеркальная симметрия . Монографии Клэя по математике . Том. 4. Американское математическое общество. п. 13. ISBN 978-0-8218-3848-8 .

[Kontsevich_1995-31] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Концевич, Максим (1995). «Гомологическая алгебра зеркальной симметрии». Материалы Международного конгресса математиков . стр. 120–139. arXiv : alg-geom/9411018 . Бибкод : 1994alg.geom.11018K . дои : 10.1007/978-3-0348-9078-6_11 . ISBN 978-3-0348-9897-3 . S2CID 16733945 .

[Kapustin-32] Капустин Антон; Виттен, Эдвард (2007). «Электро-магнитный дуализм и геометрическая программа Ленглендса». Связь в теории чисел и физике . 1 (1): 1–236. arXiv : hep-th/0604151 . Бибкод : 2007CNTP....1....1K . дои : 10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1 . S2CID 30505126 .

[Duff_1998-33] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Дафф

[34] Дафф , с. 64

[Nahm-35] Нам, Уолтер (1978). «Суперсимметрии и их представления» (PDF) . Ядерная физика Б . 135 (1): 149–166. Бибкод : 1978НуФБ.135..149Н . дои : 10.1016/0550-3213(78)90218-3 . Архивировано (PDF) из оригинала 26 июля 2018 г. Проверено 25 августа 2019 г.

[Cremmer-36] Креммер, Юджин; Джулия, Бернар; Шерк, Жоэль (1978). «Теория супергравитации в одиннадцати измерениях». Буквы по физике Б. 76 (4): 409–412. Бибкод : 1978PhLB...76..409C . дои : 10.1016/0370-2693(78)90894-8 .

[Duff_1998,_p._65-37] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Дафф , с. 65

[Sen1994a-38] Сен, Ашок (1994). «Двойственность сильной и слабой связи в четырехмерной теории струн». Международный журнал современной физики А. 9 (21): 3707–3750. arXiv : hep-th/9402002 . Бибкод : 1994IJMPA...9.3707S . дои : 10.1142/S0217751X94001497 . S2CID 16706816 .

[Sen1994b-39] Сен, Ашок (1994). «Дион-монопольные связанные состояния, самодуальные гармонические формы в пространстве мультимонопольных модулей и $SL (2, Z)$ -инвариантность в теории струн». Буквы по физике Б. 329 (2): 217–221. arXiv : hep-th/9402032 . Бибкод : 1994PhLB..329..217S . дои : 10.1016/0370-2693(94)90763-3 . S2CID 17534677 .

[Hull-40] Халл, Крис; Таунсенд, Пол (1995). «Единство суперструнных дуальностей». Ядерная физика Б . 4381 (1): 109–137. arXiv : hep-th/9410167 . Бибкод : 1995НуФБ.438..109H . дои : 10.1016/0550-3213(94)00559-W . S2CID 13889163 .

[41] Дафф , с. 67

[Bergshoeff-42] Бергшофф, Эрик; Сезгин, Эргин; Таунсенд, Пол (1987). «Супермембраны и одиннадцатимерная супергравитация» (PDF) . Буквы по физике Б. 189 (1): 75–78. Бибкод : 1987PhLB..189...75B . дои : 10.1016/0370-2693(87)91272-X . S2CID 123289423 . Архивировано (PDF) из оригинала 15 ноября 2020 г. Проверено 25 августа 2019 г.

[Duff1987-43] Дафф, Майкл; Хау, Пол; Инами, Такео; Стелле, Келлог (1987). «Суперструны в $D = 10$ из супермембран в $D = 11$ » (PDF) . Ядерная физика Б . 191 (1): 70–74. Бибкод : 1987PhLB..191...70D . дои : 10.1016/0370-2693(87)91323-2 . Архивировано (PDF) из оригинала 15 ноября 2020 г. Проверено 25 августа 2019 г.

[44] Дафф , с. 66

[Witten1995-45] Виттен, Эдвард (1995). «Динамика теории струн в различных измерениях». Ядерная физика Б . 443 (1): 85–126. arXiv : hep-th/9503124 . Бибкод : 1995НуФБ.443...85Вт . дои : 10.1016/0550-3213(95)00158-О . S2CID 16790997 .

[46] Дафф , стр. 67–68.

[47] Беккер, Беккер и Шварц , с. 296

[Horava-48] Горжава, Петр; Виттен, Эдвард (1996). «Гетеротическая и струнная динамика типа I из одиннадцати измерений». Ядерная физика Б . 460 (3): 506–524. arXiv : hep-th/9510209 . Бибкод : 1996NuPhB.460..506H . дои : 10.1016/0550-3213(95)00621-4 . S2CID 17028835 .

[Duff1996-49] Дафф, Майкл (1996). «М-теория (теория, ранее известная как струны)». Международный журнал современной физики А. 11 (32): 6523–41 (раздел 1). arXiv : hep-th/9608117 . Бибкод : 1996IJMPA..11.5623D . дои : 10.1142/S0217751X96002583 . S2CID 17432791 .

[Banks-50] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Бэнкс, Том; Фишлер, Вилли; Шенкер, Стивен; Сасскинд, Леонард (1997). «Теория М как матричная модель: гипотеза». Физический обзор D . 55 (8): 5112–5128. arXiv : hep-th/9610043 . Бибкод : 1997PhRvD..55.5112B . дои : 10.1103/physrevd.55.5112 . S2CID 13073785 .

[Connes-51] Конн, Ален (1994). Некоммутативная геометрия . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-185860-5 .

[CDS-52] Конн, Ален; Дуглас, Майкл; Шварц, Альберт (1998). «Некоммутативная геометрия и теория матриц». Журнал физики высоких энергий . 19981 (2): 003. arXiv : hep-th/9711162 . Бибкод : 1998JHEP...02..003C . дои : 10.1088/1126-6708/1998/02/003 . S2CID 7562354 .

[Nekrasov-53] Nekrasov, Nikita; Schwarz, Albert (1998). "Instantons on noncommutative $R 4$ и (2,0) суперконформная шестимерная теория». Communications in Mathematical Physics . 198 (3): 689–703. arXiv : hep-th/9802068 . Bibcode : 1998CMaPh.198..689N . doi : 10.1007/s002200050490 . S2CID 14125789 .

[SW-54] Зайберг, Натан; Виттен, Эдвард (1999). «Теория струн и некоммутативная геометрия». Журнал физики высоких энергий . 1999 (9): 032. arXiv : hep-th/9908142 . Бибкод : 1999JHEP...09..032S . дои : 10.1088/1126-6708/1999/09/032 . S2CID 668885 .

[de_Haro_et_al._2013,_p.2-55] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с де Аро, Себастьян; Дикс, Деннис; 'т Хофт, Джерард; Верлинде, Эрик (2013). «Сорок лет теории струн в размышлениях об ее основах» . Основы физики . 43 (1): 1–7 [2]. Бибкод : 2013FoPh...43....1D . дои : 10.1007/s10701-012-9691-3 .

[56] Яу и Надис , стр. 187–188

[Bekenstein-57] Бекенштейн, Джейкоб (1973). «Черные дыры и энтропия». Физический обзор D . 7 (8): 2333–2346. Бибкод : 1973PhRvD...7.2333B . дои : 10.1103/PhysRevD.7.2333 . S2CID 122636624 .

[Hawking1975-58] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хокинг, Стивен (1975). «Рождение частиц черными дырами» . Связь в математической физике . 43 (3): 199–220. Бибкод : 1975CMaPh..43..199H . дои : 10.1007/BF02345020 . S2CID 55539246 .

[59] Лес , с. 417

[60] Яу и Надис , с. 189

[Strominger_and_Vafa_1996-61] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Строминджер, Эндрю; Вафа, Камрун (1996). «Микроскопическое происхождение энтропии Бекенштейна – Хокинга». Буквы по физике Б. 379 (1): 99–104. arXiv : hep-th/9601029 . Бибкод : 1996PhLB..379...99S . дои : 10.1016/0370-2693(96)00345-0 . S2CID 1041890 .

[62] Яу и Надис , стр. 190–192

[MSW-63] Мальдасена, Хуан; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1997). «Энтропия черной дыры в М-теории». Журнал физики высоких энергий . 1997 (12): 002. arXiv : hep-th/9711053 . Бибкод : 1997JHEP...12..002M . дои : 10.1088/1126-6708/1997/12/002 . S2CID 14980680 .

[OST-64] Оогури, Хироси; Строминджер, Эндрю; Вафа, Камрун (2004). «Аттракторы черных дыр и топологическая струна». Физический обзор D . 70 (10): 106007. arXiv : hep-th/0405146 . Бибкод : 2004PhRvD..70j6007O . дои : 10.1103/physrevd.70.106007 . S2CID 6289773 .

[65] Яу и Надис , стр. 192–193

[66] Яу и Надис , стр. 194–195

[Strominger1998-67] Строминджер, Эндрю (1998). «Энтропия черной дыры из окологоризонтных микросостояний». Журнал физики высоких энергий . 1998 (2): 009. arXiv : hep-th/9712251 . Бибкод : 1998JHEP...02..009S . дои : 10.1088/1126-6708/1998/02/009 . S2CID 2044281 .

[Guica-68] Гуика, Моника; Хартман, Томас; Сун, Вэй; Строминджер, Эндрю (2009). «Переписка Керра и CFT». Физический обзор D . 80 (12): 124008. arXiv : 0809.4266 . Бибкод : 2009PhRvD..80l4008G . дои : 10.1103/PhysRevD.80.124008 . S2CID 15010088 .

[CMS-69] Кастро, Алехандра; Мэлони, Александр; Строминджер, Эндрю (2010). «Скрытая конформная симметрия черной дыры Керра». Физический обзор D . 82 (2): 024008. arXiv : 1004.0996 . Бибкод : 2010PhRvD..82b4008C . дои : 10.1103/PhysRevD.82.024008 . S2CID 118600898 .

[Maldacena1998-70] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мальдасена, Хуан (1998). «Большой $N-$ предел суперконформных теорий поля и супергравитации». Успехи теоретической и математической физики . 2 (2): 231–252. arXiv : hep-th/9711200 . Бибкод : 1998AdTMP...2..231M . дои : 10.4310/ATMP.1998.V2.N2.A1 .

[Gubser-71] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Губсер, Стивен; Клебанов Игорь; Поляков, Александр (1998). «Корреляторы калибровочной теории из некритической теории струн». Буквы по физике Б. 428 (1–2): 105–114. arXiv : hep-th/9802109 . Бибкод : 1998PhLB..428..105G . дои : 10.1016/S0370-2693(98)00377-3 . S2CID 15693064 .

[Witten1998-72] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Виттен, Эдвард (1998). «Анти-де Ситтеровское пространство и голография». Успехи теоретической и математической физики . 2 (2): 253–291. arXiv : hep-th/9802150 . Бибкод : 1998AdTMP...2..253W . дои : 10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a2 . S2CID 10882387 .

[Maldacena_2005,_p._60-74] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Малдасена 2005 , с. 60

[Maldacena_2005,_p._61-75] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Малдасена 2005 , с. 61

[76] Цвибах , с. 552

[77] Мальдасена 2005 , стр. 61–62.

[Susskind2008-78] Сасскинд, Леонард (2008). Война черных дыр: моя битва со Стивеном Хокингом за то, чтобы сделать мир безопасным для квантовой механики . Литтл, Браун и компания. ISBN 978-0-316-01641-4 .

[79] Цвибах , с. 554

[80] Малдасена 2005 , с. 63

[Hawking2005-81] Хокинг, Стивен (2005). «Потеря информации в черных дырах». Физический обзор D . 72 (8): 084013. arXiv : hep-th/0507171 . Бибкод : 2005PhRvD..72h4013H . дои : 10.1103/PhysRevD.72.084013 . S2CID 118893360 .

[82] Цвибах , с. 559

[Kovtun,_Son,_and_Starinets_2001-84] Ковтун, ПК; Сын, Дам Т.; Старинец, АО (2005). «Вязкость в сильно взаимодействующих квантовых теориях поля из физики черных дыр». Письма о физических отзывах . 94 (11): 111601. arXiv : hep-th/0405231 . Бибкод : 2005PhRvL..94k1601K . doi : 10.1103/PhysRevLett.94.111601 . ПМИД 15903845 . S2CID 119476733 .

[Luzum-85] Лузум, Мэтью; Ромачке, Пол (2008). «Конформная релятивистская вязкая гидродинамика: приложения к результатам RHIC при $\sqrt с NN = 200$ ГэВ». Физический обзор C . 78 (3): 034915. arXiv : 0804.4015 . Бибкод : 2008PhRvC..78c4915L . дои : 10.1103/PhysRevC.78.034915 .

[Candelas1985-86] Канделас, Филип; Горовиц, Гэри; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Ядерная физика Б . 258 : 46–74. Бибкод : 1985НуФБ.258...46С . дои : 10.1016/0550-3213(85)90602-9 .

[87] Яу и Надис , стр. 147–150

[88] Беккер, Беккер и Шварц , стр. 530–531.

[89] Беккер, Беккер и Шварц , с. 531

[90] Беккер, Беккер и Шварц , с. 538

[91] Беккер, Беккер и Шварц , с. 533

[92] Беккер, Беккер и Шварц , стр. 539–543.

[Deligne-93] Делинь, Пьер; Этингоф, Павел; Фрид, Дэниел; Джеффри, Лиза; Каждан, Дэвид; Морган, Джон; Моррисон, Дэвид; Виттен, Эдвард, ред. (1999). Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том. 1. Американское математическое общество. п. 1. ISBN 978-0821820124 .

[94] Хорус , с. XVII

[95] Это

[96] Яу и Надис , с. 167

[97] Яу и Надис , с. 166

[Yau_and_Nadis_2010,_p._169-98] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Яу и Надис , с. 169

[Candelas1991-99] Канделас, Филип; де ла Осса, Ксения; Грин, Пол; Паркс, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби – Яу как точно разрешимая суперконформная теория поля». Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. Бибкод : 1991НуФБ.359...21С . дои : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 .

[100] Яу и Надис , с. 171

[Givental1996-101] Гивенталь, Александр (1996). «Эквивариантные инварианты Громова-Виттена» . Уведомления о международных математических исследованиях . 1996 (13): 613–663. дои : 10.1155/S1073792896000414 . S2CID 554844 .

[Givental1998-102] Гивенталь, Александр (1998). «Зеркальная теорема для торических полных пересечений». Топологическая теория поля, примитивные формы и смежные темы . стр. 141–175. arXiv : alg-geom/9701016v2 . дои : 10.1007/978-1-4612-0705-4_5 . ISBN 978-1-4612-6874-1 . S2CID 2884104 .

[Lian1997-103] Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (1997). «Зеркальный принцип, Я». Азиатский математический журнал . 1 (4): 729–763. arXiv : alg-geom/9712011 . Бибкод : 1997alg.geom.12011L . дои : 10.4310/ajm.1997.v1.n4.a5 . S2CID 8035522 .

[Lian1999-104] Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (1999а). «Зеркальный принцип II». Азиатский математический журнал . 3 : 109–146. arXiv : математика/9905006 . Бибкод : 1999math......5006L . дои : 10.4310/ajm.1999.v3.n1.a6 . S2CID 17837291 .
Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (1999b). «Зеркальный принцип III». Азиатский математический журнал . 3 (4): 771–800. arXiv : математика/9912038 . Бибкод : 1999math.....12038L . дои : 10.4310/ajm.1999.v3.n4.a4 .

[Lian2000-105] Лиан, Бонг; Лю, Кэфэн; Яу, Шинг-Тунг (2000). «Зеркальный принцип IV». Обзоры по дифференциальной геометрии . 7 : 475–496. arXiv : math/0007104 . Бибкод : 2000math......7104L . дои : 10.4310/sdg.2002.v7.n1.a15 . S2CID 1099024 .

[107] Хори , с. XIX

[SYZ-108] Строминджер, Эндрю; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик (1996). «Зеркальная симметрия — это Т-двойственность». Ядерная физика Б . 479 (1): 243–259. arXiv : hep-th/9606040 . Бибкод : 1996НуФБ.479..243С . дои : 10.1016/0550-3213(96)00434-8 . S2CID 14586676 .

[Dummit-109] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Черт возьми, Дэвид; Фут, Ричард (2004). Абстрактная алгебра . Уайли. стр. 102–103. ISBN 978-0-471-43334-7 .

[Klarreich_2015-111] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Кларрайх, Эрика (12 марта 2015 г.). «Математики гоняются за тенью самогона» . Журнал Кванта . Архивировано из оригинала 15 ноября 2020 года . Проверено 31 мая 2015 г.

[112] Ганнон , с. 2

[113] Ганнон , с. 4

[Conway-114] Конвей, Джон; Нортон, Саймон (1979). «Чудовищный самогон». Бык. Лондонская математика. Соц . 11 (3): 308–339. дои : 10.1112/blms/11.3.308 .

[115] Ганнон , с. 5

[116] Ганнон , с. 8

[Borcherds-117] Борчердс, Ричард (1992). «Чудовищный самогон и супералгебры Ли» (PDF) . Математические изобретения . 109 (1): 405–444. Бибкод : 1992InMat.109..405B . CiteSeerX 10.1.1.165.2714 . дои : 10.1007/BF01232032 . S2CID 16145482 . Архивировано (PDF) из оригинала 15 ноября 2020 г. Проверено 25 октября 2017 г.

[FLM-118] Френкель, Игорь; Леповски, Джеймс; Мерман, Арне (1988). Вершинные операторные алгебры и монстр . Чистая и прикладная математика. Том. 134. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-267065-7 .

[119] Ганнон , с. 11

[EOT-120] Эгучи, Тору; Оогури, Хироси; Татикава, Юдзи (2011). «Заметки о поверхности К3 и группе Матье $М 24$ ». Экспериментальная математика . 20 (1): 91–96. arXiv : 1004.0956 . дои : 10.1080/10586458.2011.544585 . S2CID 26960343 .

[CDH-121] Ченг, Миранда ; Дункан, Джон; Харви, Джеффри (2014). «Умбральный самогон». Связь в теории чисел и физике . 8 (2): 101–242. arXiv : 1204.2779 . Бибкод : 2012arXiv1204.2779C . дои : 10.4310/CNTP.2014.v8.n2.a1 . S2CID 119684549 .

[DGO-122] Дункан, Джон; Гриффин, Майкл; Оно, Кен (2015). «Доказательство гипотезы теневого самогона» . Исследования в области математических наук . 2 : 26. arXiv : 1503.01472 . Бибкод : 2015arXiv150301472D . дои : 10.1186/s40687-015-0044-7 . S2CID 43589605 .

[Witten2007-123] Виттен, Эдвард (2007). «Возвращение к трехмерной гравитации». arXiv : 0706.3359 [ hep-th ].

[124] Войт , стр. 240–242

[Woit_2006,_p._242-125] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Войт , с. 242

[Weinberg-126] Вайнберг, Стивен (1987). «Антропная связь с космологической постоянной». Письма о физических отзывах . 59 (22): 2607–2610. Бибкод : 1987PhRvL..59.2607W . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.2607 . ПМИД 10035596 .

[127] Войт , с. 243

[Susskind2005-128] Сасскинд, Леонард (2005). Космический ландшафт: теория струн и иллюзия разумного замысла . Книги Бэк Бэй. ISBN 978-0316013338 .

[129] Войт , стр. 242–243

[130] Войт , с. 240

[131] Войт , с. 249

[132] Качру, Шамит; Каллош, Рената; Линде, Андрей; Триведи, Сандип П. (2003). «Де Ситтер Вакуа в теории струн». Физ. Преподобный Д. 68 (4): 046005. arXiv : hep-th/0301240 . Бибкод : 2003PhRvD..68d6005K . дои : 10.1103/PhysRevD.68.046005 . S2CID 119482182 .

[133] Волчовер, Натали (9 августа 2018 г.). «Темная энергия может быть несовместима с теорией струн» . Журнал Кванта . Фонд Саймонса. Архивировано из оригинала 15 ноября 2020 года . Проверено 2 апреля 2020 г.

[134] Смолин , с. 81

[135] Смолин , с. 184

[Polchinski_2007-136] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Полчински, Джозеф (2007). "Все натянуто?" . Американский учёный . 95:72 . дои : 10.1511/2007.63.72 . Проверено 29 декабря 2016 г.

[137] Смолин, Ли (апрель 2007 г.). «Ответ на рецензию на книгу Джо Полчински «Проблемы с физикой»» . kitp.ucsb.edu. Архивировано из оригинала 5 ноября 2015 года . Проверено 31 декабря 2015 г.

[138] Пенроуз , с. 1017

[139] Войт , стр. 224–225

[140] Войт , Глава 16.

[141] Войт , с. 239

[142] Пенроуз , с. 1018

[143] Пенроуз , стр. 1019–1020.

[144] Смолин , с. 349

[145] Смолин , Ч. 20

[1]

[2]

[а]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[б]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[с]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[д]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

v т и Теория струн
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach