Категория Фукая

В симплектической топологии — категория Фукая симплектического многообразия. $(X,\omega )$ это категория ${\mathcal {F}}(X)$ объектами которого являются лагранжевы подмногообразия $X$ , а морфизмы являются лагранжевыми цепными группами Флоера : $\mathrm {Hom} (L_{0},L_{1})=CF(L_{0},L_{1})$ . Его более тонкую структуру можно описать как A∞ _{категорию} - .

Они названы в честь Кенджи Фукая, который представил $A_{\infty }$ язык первым в контексте гомологии Морса , ^[1] и существуют в нескольких вариантах. Поскольку категории Фукая являются A∞ _- категориями , с ними связаны производные категории , которые являются предметом знаменитой гипотезы гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича . ^[2] Эта гипотеза теперь подтверждена вычислительно на ряде примеров.

Формальное определение [ править ]

Позволять $(X,\omega )$ быть симплектическим многообразием. Для каждой пары лагранжевых подмногообразий $L_{0},L_{1}\subset X$ которые пересекаются поперечно, определяется коцепный комплекс Флоера $CF^{*}(L_{0},L_{1})$ который представляет собой модуль, созданный точками пересечения $L_{0}\cap L_{1}$ . Коцепной комплекс Флоера рассматривается как набор морфизмов из $L_{0}$ к $L_{1}$ . Категория Фукая – это $A_{\infty }$ категория, то есть помимо обычных составов существуют карты более высокого состава.

\mu _{d}:CF^{*}(L_{d-1},L_{d})\otimes CF^{*}(L_{d-2},L_{d-1})\otimes \cdots \otimes CF^{*}(L_{1},L_{2})\otimes CF^{*}(L_{0},L_{1})\to CF^{*}(L_{0},L_{d}).

Оно определяется следующим образом. Выберите совместимую почти сложную структуру $J$ на симплектическом многообразии $(X,\omega )$ . Для генераторов $p_{d-1,d}\in CF^{*}(L_{d-1},L_{d}),\ldots ,p_{0,1}\in CF^{*}(L_{0},L_{1})$ и $q_{0,d}\in CF^{*}(L_{0},L_{d})$ коцепных комплексов пространство модулей $J$ -голоморфные многоугольники с $d+1$ лица, каждое из которых отображается в $L_{0},L_{1},\ldots ,L_{d}$ имеет счет

n(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1};q_{0,d})

в кольце коэффициентов. Затем определите

\mu _{d}(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1})=\sum _{q_{0,d}\in L_{0}\cap L_{d}}n(p_{d-1,d},\ldots ,p_{0,1})\cdot q_{0,d}\in CF^{*}(L_{0},L_{d})

и продлить $\mu _{d}$ многолинейным способом.

Последовательность высших композиций $\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,$ удовлетворить $A_{\infty }$ отношений, поскольку границы различных пространств модулей голоморфных многоугольников соответствуют конфигурациям вырожденных многоугольников.

Это определение категории Фукая для общего (компактного) симплектического многообразия никогда не было строго дано. Основной проблемой является проблема трансверсальности, которая важна для определения подсчета голоморфных дисков.

См. также [ править ]

Гомотопическая ассоциативная алгебра

Ссылки [ править ]

^ Кенджи Фукая, гомотопия Морса, $A_{\infty }$ категории и гомологии Флоера , препринт ИИГС № 020-94 (1993)
^ Концевич, Максим, Гомологическая алгебра зеркальной симметрии , Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Цюрих, 1994), 120–139, Биркхойзер, Базель, 1995.

Библиография [ править ]

Дени Ору , Знакомство с категориями Фукая для начинающих.

Пауль Зейдель , Категории Фукая и теория Пикара-Лефшеца. Цюрихские лекции по высшей математике
Фукая, Кенджи ; О, Ён-Гын ; Охта, Хироши; Оно, Каору (2009), Лагранжево пересечение Теория Флоера: аномалия и препятствие. Часть I , Исследования AMS/IP в области высшей математики, том. 46, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд; Международная пресса, Сомервилл, Массачусетс, ISBN 978-0-8218-4836-4 , МР 2553465
Фукая, Кенджи ; О, Ён-Гын ; Охта, Хироши; Оно, Каору (2009), Лагранжево пересечение, теория Флоера: аномалия и препятствие. Часть II , Исследования AMS/IP в области высшей математики, том. 46, Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд; Международная пресса, Сомервилл, Массачусетс, ISBN 978-0-8218-4837-1 , МР 2548482

Внешние ссылки [ править ]

Тема « на MathOverflow Определена ли категория Фукая?»

[1] Кенджи Фукая, гомотопия Морса, $A_{\infty }$ категории и гомологии Флоера , препринт ИИГС № 020-94 (1993)

[2] Концевич, Максим, Гомологическая алгебра зеркальной симметрии , Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Цюрих, 1994), 120–139, Биркхойзер, Базель, 1995.

[1]

[2]