Гомологическая зеркальная симметрия
| Теория струн |
|---|
 |
| Фундаментальные объекты |
| Пертурбативная теория |
|
| Непертурбативные результаты |
| Феноменология |
| Математика |
Гомологическая зеркальная симметрия — математическая гипотеза Максима Концевича . Он ищет систематическое математическое объяснение явления, называемого зеркальной симметрией , впервые обнаруженного физиками, изучающими теорию струн .
История [ править ]
В обращении к Международному конгрессу математиков 1994 года в Цюрихе Концевич (1994) пары многообразий Калаби – Яу X и Y можно объяснить как эквивалентность триангулированной категории , построенной на основе алгебраической геометрии X предположил, что зеркальную симметрию для ( производная категория когерентных пучков на X построенная на основе симплектической геометрии Y ) и другая триангулированная категория , (производная категория Фукая ).
Эдвард Виттен первоначально описал топологическое искажение суперсимметричной теории поля N = (2,2) моделей A и B. в то, что он назвал топологическими теориями струн [ нужна ссылка ] . Эти модели касаются отображения римановых поверхностей в фиксированную цель — обычно многообразие Калаби – Яу. Большинство математических предсказаний зеркальной симметрии заложено в физической эквивалентности A-модели на Y B-модели на его зеркале X. и Когда римановы поверхности имеют пустую границу, они представляют собой мировые листы замкнутых струн. Чтобы охватить случай открытых струн, необходимо ввести граничные условия для сохранения суперсимметрии. В A-модели эти граничные условия имеют форму лагранжевых подмногообразий с Y некоторой дополнительной структурой (часто называемой структурой браны). В B-модели граничные условия имеют вид голоморфных (или алгебраических) подмногообразий X с голоморфными (или алгебраическими) векторными расслоениями на них. Это объекты, которые используются для создания соответствующих категорий. [ нужна ссылка ] . Их часто называют бранами А и В соответственно. Морфизмы в категориях задаются безмассовым спектром открытых струн, натянутых между двумя бранами. [ нужна ссылка ] .
Модели замкнутой струны A и B охватывают только так называемый топологический сектор — небольшую часть полной теории струн. Точно так же браны в этих моделях являются лишь топологическими аппроксимациями полных динамических объектов, которые являются D-бранами . Несмотря на это, математика, возникшая в результате этого небольшого кусочка теории струн, оказалась одновременно глубокой и сложной.
В 2016-17 учебном году Школа математики Института перспективных исследований в Принстоне посвятила целый год гомологической зеркальной симметрии. Среди участников были Пол Сайдель из Массачусетского технологического института , Максим Концевич из IHÉS и Денис Ору из Калифорнийского университета в Беркли . [1]
Примеры [ править ]
Лишь на нескольких примерах математикам удалось проверить эту гипотезу. В своем оригинальном выступлении Концевич отметил, что гипотезу можно доказать в случае эллиптических кривых с использованием тэта-функций . Следуя этим путем, Александр Полищук и Эрик Заслоу предоставили доказательство версии гипотезы для эллиптических кривых. Кенджи Фукая смог установить элементы гипотезы для абелевых многообразий . Позже Концевич и Ян Сойбельман предоставили доказательство большинства гипотез для неособых расслоений торов над аффинными многообразиями, используя идеи гипотезы SYZ . В 2003 году Пауль Зейдель доказал гипотезу в случае поверхности четвертой степени . В 2002 году Хаузель и Таддеус (2002) объяснили гипотезу SYZ в контексте системы Хитчина и двойственности Ленглендса.
Ходж Даймонд [ править ]
Размеры h п , д пространств гармонических ( p , q )-дифференциальных форм (что эквивалентно когомологиям, т. е. замкнутым формам по модулю точных форм) традиционно располагаются в форме ромба, называемого ромбом Ходжа . Эти (p,q)-числа Бетти можно вычислить для полных пересечений с помощью производящей функции, описанной Фридрихом Хирцебрухом . [2] [3] [4] Например, для трехмерного многообразия ромб Ходжа имеет p и q в диапазоне от 0 до 3:
| час 3,3 | ||||||
| час 3,2 | час 2,3 | |||||
| час 3,1 | час 2,2 | час 1,3 | ||||
| час 3,0 | час 2,1 | час 1,2 | час 0,3 | |||
| час 2,0 | час 1,1 | час 0,2 | ||||
| час 1,0 | час 0,1 | |||||
| час 0,0 |
Зеркальная симметрия переводит размерность (p, q)-й дифференциальной формы h п , д для исходного многообразия в h НП , q из этого для коллектора встречной пары. А именно, для любого многообразия Калаби–Яу ромб Ходжа не изменяется при повороте на π радиан, а ромбы Ходжа зеркальных многообразий Калаби–Яу связаны поворотом на π/2 радиан.
В случае эллиптической кривой , которая рассматривается как одномерное многообразие Калаби–Яу, ромб Ходжа особенно прост: это следующая фигура.
| 1 | ||
| 1 | 1 | |
| 1 |
В случае поверхности K3 , которая рассматривается как двумерное многообразие Калаби–Яу, поскольку числа Бетти равны {1, 0, 22, 0, 1}, их ромб Ходжа представляет собой следующую фигуру.
| 1 | ||||
| 0 | 0 | |||
| 1 | 20 | 1 | ||
| 0 | 0 | |||
| 1 |
В трехмерном случае, обычно называемом многообразием Калаби–Яу , происходит очень интересная вещь. Иногда встречаются пары зеркал, скажем, M и W , которые имеют ромбы Ходжа, симметричные друг другу по диагональной линии.
М- й бриллиант:
| 1 | ||||||
| 0 | 0 | |||||
| 0 | а | 0 | ||||
| 1 | б | б | 1 | |||
| 0 | а | 0 | ||||
| 0 | 0 | |||||
| 1 |
W's алмаз:
| 1 | ||||||
| 0 | 0 | |||||
| 0 | б | 0 | ||||
| 1 | а | а | 1 | |||
| 0 | б | 0 | ||||
| 0 | 0 | |||||
| 1 |
M и W соответствуют A- и B-моделям в теории струн. Зеркальная симметрия не только заменяет гомологические измерения, но также симплектическую структуру и сложную структуру пар зеркал. Таково происхождение гомологической зеркальной симметрии.
В 1990–1991 гг. Канделас и др. 1991 год оказал большое влияние не только на перечислительную алгебраическую геометрию, но и на всю математику и мотивировал Концевича (1994) . Зеркальная пара двух тройных многообразий квинтики в этой статье имеет следующие ромбы Ходжа.
|
|
См. также [ править ]
- Гипотеза зеркальной симметрии - более математически обоснованная статья
- Топологическая квантовая теория поля
- Теория категорий
- Гомологии Флоера
- Категория Фукая
- Производная категория
- Квинтик тройной
Ссылки [ править ]
- ^ Математическая школа IAS: Специальный год по гомологической зеркальной симметрии
- ^ «Ромб Ходжа полных пересечений» . math.stackexchange.com . Проверено 6 марта 2017 г.
- ^ «Таблицы когомологий полных пересечений» . pbelmans.ncag.info . Проверено 6 марта 2017 г.
- ^ Николаеску, Ливиу. «Числа Ходжа полных пересечений» (PDF) .
- Канделас, Филип; де ла Осса, Ксения К.; Грин, Пол С.; Паркс, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби-Яу как точно разрешимая суперконформная теория». Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. Бибкод : 1991НуФБ.359...21С . дои : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 . МР 1115626 .
- Концевич, Максим (1994). «Гомологическая алгебра зеркальной симметрии». arXiv : alg-geom/9411018 .
- Концевич, Максим; Сойбельман, Ян (2000). «Гомологическая зеркальная симметрия и расслоения тора». arXiv : math.SG/0011041 .
- Зайдель, Пол (2003). «Гомологическая зеркальная симметрия поверхности четвертой степени». arXiv : math.SG/0310414 .
- Хаузель, Тамас; Таддеус, Майкл (2002). «Зеркальная симметрия, двойственность Ленглендса и система Хитчина». Математические изобретения . 153 (1): 197–229. arXiv : math.DG/0205236 . Бибкод : 2003InMat.153..197H . дои : 10.1007/s00222-003-0286-7 . S2CID 11948225 .