Квинтик тройной

В математике тройное многообразие пятой степени — это трехмерная гиперповерхность степени 5 в четырехмерном проективном пространстве. $\mathbb {P} ^{4}$. Неособые трехмерные многообразия пятой степени являются многообразиями Калаби–Яу .

Алмаз Ходжа неособой тройки квинтики — это

			1
		0		0
	0		1		0
1		101		101		1
	0		1		0
		0		0
			1

Математик Робберт Дейкграаф сказал: «Одно число, которое знает каждый алгебраический геометр, — это число 2875, потому что, очевидно, это число прямых в квинтике».

Определение

Трехмерное многообразие пятой степени — это специальный класс многообразий Калаби–Яу, определяемый степенью $5$ проективное разнообразие в $\mathbb {P} ^{4}$. Многие примеры построены как гиперповерхности в $\mathbb {P} ^{4}$, или полные пересечения, лежащие в $\mathbb {P} ^{4}$, или как гладкое многообразие, разрешающее особенности другого многообразия. В качестве множества многообразие Калаби-Яу имеет вид $$X=\{x=[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:p(x)=0\}$$где $p(x)$ это степень $5$ однородный полином. Один из наиболее изученных примеров — полином $$p(x)=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}$$называется полиномом Ферма . Для доказательства того, что такой полином определяет Калаби-Яу, требуются дополнительные инструменты, такие как формула присоединения и условия гладкости .

Гиперповерхности в P ⁴

Напомним, что однородный полином $f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(d))$ (где ${\mathcal {O}}(d)$ — поворот Серра гиперплоского линейного расслоения ) определяет проективное многообразие или проективную схему , $X$, из алгебры $${\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(f)}}$$где $k$ это поле, например $\mathbb {C}$. Затем, используя формулу присоединения для вычисления его канонического расслоения , мы имеем $${\begin{aligned}\Omega _{X}^{3}&=\omega _{X}\\&=\omega _{\mathbb {P} ^{4}}\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(-(4+1))\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(d-5)\end{aligned}}$$следовательно, для того, чтобы многообразие было Калаби-Яу, то есть оно имело тривиальное каноническое расслоение, его степень должна быть $5$. Тогда оно является многообразием Калаби-Яу, если, кроме того, это многообразие гладкое . В этом можно убедиться, взглянув на нули многочленов. $$\partial _{0}f,\ldots ,\partial _{4}f$$и убедившись, что набор $$\{x=[x_{0}:\cdots :x_{4}]|f(x)=\partial _{0}f(x)=\cdots =\partial _{4}f(x)=0\}$$пусто.

Примеры

Ферма

Одним из самых простых для проверки примеров многообразия Калаби-Яу является трехмерное многообразие Ферма , которое определяется исчезающим локусом многочлена $$f=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}$$Вычисление частных производных $f$ дает четыре полинома $${\begin{aligned}\partial _{0}f=5x_{0}^{4}\\\partial _{1}f=5x_{1}^{4}\\\partial _{2}f=5x_{2}^{4}\\\partial _{3}f=5x_{3}^{4}\\\partial _{4}f=5x_{4}^{4}\\\end{aligned}}$$Поскольку единственные точки, где они исчезают, задаются осями координат в $\mathbb {P} ^{4}$, исчезающее множество пусто, поскольку $[0:0:0:0:0]$ это не точка в $\mathbb {P} ^{4}$.

Ходжа

Другое применение трехмерного многообразия квинтики - изучение бесконечно малой обобщенной гипотезы Ходжа , где в этом случае может быть решена эта трудная проблема. Фактически, все линии на этой гиперповерхности можно найти явно.

троек

Другой популярный класс примеров квинтических троек, изучаемый во многих контекстах, — это семейство Дворков . Одно популярное исследование такой семьи принадлежит Канделасу, Де Ла Оссе, Грину и Парксу. когда они открыли зеркальную симметрию . Это дает семья ^{страницы 123-125} $$f_{\psi }=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$$где $\psi$ — это одиночный параметр, не равный корню пятой степени из единицы . Это можно найти, вычислив частные производные $f_{\psi }$ и оцениваем их нули. Частные производные имеют вид $${\begin{aligned}\partial _{0}f_{\psi }=5x_{0}^{4}-5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{1}f_{\psi }=5x_{1}^{4}-5\psi x_{0}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{2}f_{\psi }=5x_{2}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{3}x_{4}\\\partial _{3}f_{\psi }=5x_{3}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{4}\\\partial _{4}f_{\psi }=5x_{4}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}\\\end{aligned}}$$В точке, где все частные производные равны нулю, это дает соотношение $x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$. Например, в $\partial _{0}f_{\psi }$ мы получаем $${\begin{aligned}5x_{0}^{4}&=5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{4}&=\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{5}&=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\end{aligned}}$$путем разделения $5$ и умножив каждую сторону на $x_{0}$. От умножения этих семейств уравнений $x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}$ вместе у нас есть отношения $$\prod x_{i}^{5}=\psi ^{5}\prod x_{i}^{5}$$показывающее, что решение либо дается $x_{i}=0$ или $\psi ^{5}=1$. Но в первом случае они дают гладкое подмножество, поскольку меняющийся член в $f_{\psi }$ исчезает, поэтому особая точка должна лежать в $\psi ^{5}=1$. Учитывая такой $\psi$тогда особые точки имеют вид $$[\mu _{5}^{a_{0}}:\cdots :\mu _{5}^{a_{4}}]$$ такой, что $$\mu _{5}^{\sum a_{i}}=\psi ^{-1}$$где $\mu _{5}=e^{2\pi i/5}$. Например, точка $$[\mu _{5}^{4}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}]$$это решение обоих $f_{1}$ и его частные производные, поскольку $(\mu _{5}^{i})^{5}=(\mu _{5}^{5})^{i}=1^{i}=1$, и $\psi =1$.

Другие примеры

• Барт – Ньето квинтик
• Квинтик Консани – Шолтен

Кривые тройной квинтики

Вычисление количества рациональных кривых степени $1$ может быть вычислено явно с помощью исчисления Шуберта . Позволять $T^{*}$ быть рангом $2$ векторное расслоение на грассманиане $G(2,5)$ из $2$-самолеты в каком-то ранге $5$ векторное пространство. Проективизация $G(2,5)$ к $\mathbb {G} (1,4)$ дает проективный грасманиан линий степени 1 в $\mathbb {P} ^{4}$ и $T^{*}$ спускается к векторному расслоению на этом проективном грассманиане. Общий класс черни составляет $$c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}$$на ринге Чоу $A^{\bullet }(\mathbb {G} (1,4))$. Теперь раздел $l\in \Gamma (\mathbb {G} (1,4),T^{*})$ расслоения соответствует линейному однородному многочлену, ${\tilde {l}}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(1))$, поэтому часть ${\text{Sym}}^{5}(T^{*})$ соответствует многочлену пятой степени, отрезку $\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(5))$. Тогда, чтобы вычислить количество прямых на трехмерном многообразии общего положения квинтики, достаточно вычислить интеграл $$\int _{\mathbb {G} (1,4)}c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=2875$$Это можно сделать, используя принцип расщепления . С $${\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+(\alpha +\beta )+\alpha \beta \end{aligned}}$$и для измерения $2$ векторное пространство, $V=V_{1}\oplus V_{2}$, $${\text{Sym}}^{5}(V)=\bigoplus _{i=0}^{5}(V_{1}^{\otimes 5-i}\otimes V_{2}^{\otimes i})$$так что общий класс черна ${\text{Sym}}^{5}(T^{*})$ дается продуктом $$c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=\prod _{i=0}^{5}(1+(5-i)\alpha +i\beta )$$Тогда класс Эйлера или верхний класс $$5\alpha (4\alpha +\beta )(3\alpha +2\beta )(2\alpha +3\beta )(\alpha +4\beta )5\beta$$расширение этого с точки зрения исходных классов chern дает $${\begin{aligned}c_{6}({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))&=25\sigma _{1,1}(4\sigma _{1}^{2}+9\sigma _{1,1})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=(100\sigma _{2,2}+225\sigma _{2,2})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=325\sigma _{2,2}(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\end{aligned}}$$используя отношения $\sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,2}$, $\sigma _{1,1}^{2}=\sigma _{2,2}$.

Рациональные кривые

Герберт Клеменс ( 1984 ) предположил, что число рациональных кривых заданной степени в трехмерном многообразии общего положения пятой степени конечно. (Некоторые гладкие, но нетипичные трехмерные многообразия пятой степени имеют на себе бесконечные семейства прямых.) Это было проверено для степеней до 7 Шелдоном Кацем ( 1986 ), который также вычислил число 609250 рациональных кривых степени 2. Филип Канделас , Ксения К. де ла Осса и Пол С. Грин и др. ( 1991 )выдвинул общую формулу для виртуального числа рациональных кривых любой степени, что было доказано Гивенталем (1996) (тот факт, что виртуальное число равно фактическому числу, основан на подтверждении гипотезы Клеменса, известной в настоящее время степенью не более 11, Коттерилл (2012) ).Число рациональных кривых различной степени на трехмерном многообразии общего положения квинтики определяется выражением

2875, 609250, 317206375, 242467530000, ...(последовательность A076912 в OEIS ).

Поскольку общее трехмерное многообразие квинтики является трехмерным многообразием Калаби – Яу, а пространство модулей рациональных кривых заданной степени представляет собой дискретное конечное множество (следовательно, компактное), они имеют четко определенные инварианты Дональдсона – Томаса («виртуальное число точек» ); по крайней мере, для 1 и 2 степени они соответствуют фактическому количеству баллов.

См. также

• Перечислительная геометрия

• Зеркальная симметрия (теория струн)
• Gromov–Witten invariant
• Якобиан идеал - дает явную основу для разложения Ходжа.
• Теория деформации
• Структура Ходжа
• Исчисление Шуберта - методы определения количества линий в тройном многообразии квинтики.

Ссылки

• Арапура, Дону, «Вычисление некоторых чисел Ходжа» (PDF)
• Канделас, Филип; де ла Осса, Ксения К.; Грин, Пол С.; Паркс, Линда (1991), «Пара многообразий Калаби-Яу как точно разрешимая суперконформная теория», Nuclear Physics B , 359 (1): 21–74, Бибкод : 1991NuPhB.359...21C , doi : 10.1016/ 0550-3213(91)90292-6 , МР   1115626
• Клеменс, Герберт (1984), «Некоторые результаты об отображениях Абеля-Якоби», Темы трансцендентной алгебраической геометрии (Принстон, Нью-Джерси, 1981/1982) , Ann. математики. Студ., вып. 106, Princeton University Press , стр. 289–304, MR   0756858.
• Коттерилл, Итан (2012), «Рациональные кривые 11-й степени в трехмерной общей квинтике», The Quarterly Journal of Mathematics , 63 (3): 539–568, doi : 10.1093/qmath/har001 , MR   2967162
• Кокс, Дэвид А .; Кац, Шелдон (1999), Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия , Математические обзоры и монографии, том. 68, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1059-0 , МР   1677117
• Гивенталь, Александр Б. (1996), «Эквивариантные инварианты Громова-Виттена», International Mathematics Research Sciences , 1996 (13): 613–663, doi : 10.1155/S1073792896000414 , MR   1408320
• Кац, Шелдон (1986), «О конечности рациональных кривых на трехмерных многообразиях пятой степени» , Compositio Mathematica , 60 (2): 151–162, MR   0868135
• Пандхарипанде, Рахул (1998), «Рациональные кривые на гиперповерхностях (по А. Гивенталю)» , Astérisque , 1997/98 (252): 307–340, arXiv : math/9806133 , Bibcode : 1998math......6133P , МР   1685628