Якобианский идеал

В математике якобианский идеал или градиентный идеал — это идеал, порожденный якобианом функции или ростка функции .Позволять ${\mathcal {O}}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ обозначим кольцо функций гладких в $n$ переменные и $f$ функция в кольце. Якобианский идеал $f$ является

$J_{f}:=\left\langle {\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right\rangle .$

с

В теории деформаций деформации гиперповерхности, заданные многочленом $f$ классифицируется по кольцу

$${\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f)+J_{f}}}.$$

Это показано с помощью карты Кодайры–Спенсера .

с

В теории Ходжа существуют объекты, называемые реальными структурами Ходжа , которые представляют собой данные реального векторного пространства. $H_{\mathbb {R} }$ и возрастающая фильтрация $F^{\bullet }$ из $H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ удовлетворяющий списку структур совместимости. Для гладкого проективного многообразия $X$ существует каноническая структура Ходжа.

Утверждение для гиперповерхностей степени d

В особом случае $X$ определяется однородной степенью $d$ полиномиальный $f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n+1},{\mathcal {O}}(d))$ эту структуру Ходжа можно полностью понять из идеала Якобиана. Для его градуированных фигур это определяется картой

$$\mathbb {C} [Z_{0},\ldots ,Z_{n}]^{(d(n-1+p)-(n+2))}\to {\frac {F^{p}H^{n}(X,\mathbb {C} )}{F^{p+1}H^{n}(X,\mathbb {C} )}}$$

который сюръективен на примитивных когомологиях, обозначаемых ${\text{Prim}}^{p,n-p}(X)$ и имеет ядро $J_{f}$. Обратите внимание, что классы примитивных когомологий — это классы $X$ которые не происходят от $\mathbb {P} ^{n+1}$, что и есть класс Лефшеца $[L]^{n}=c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{d}$.

Эскиз доказательства

Приведение к карте остатков

Для $X\subset \mathbb {P} ^{n+1}$ существует связанная с ним короткая точная последовательность комплексов

$$0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\xrightarrow {res} \Omega _{X}^{\bullet }[-1]\to 0$$

где средний комплекс — это комплекс пучков логарифмических форм , а правая карта — это карта вычетов . С этим связана длинная точная последовательность в когомологиях. Из теоремы Лефшеца о гиперплоскости существует только одна интересная группа когомологий $X$, что $H^{n}(X;\mathbb {C} )=\mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })$. Из длинной точной последовательности этой короткой точной последовательности получается индуцированное отображение остатков

$$\mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)\to \mathbb {H} ^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet }[-1])$$

где правая часть равна $\mathbb {H} ^{n}(\mathbb {P} ^{n+1},\Omega _{X}^{\bullet })$, который изоморфен $\mathbb {H} ^{n}(X;\Omega _{X}^{\bullet })$. Кроме того, существует изоморфизм

$$H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \mathbb {H} ^{n+1}\left(\mathbb {P} ^{n+1};\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}^{\bullet }(\log X)\right)$$

Через эти изоморфизмы существует индуцированное отображение вычетов

$$res:H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\to H^{n}(X;\mathbb {C} )$$

который инъективен и сюръективен в отношении примитивных когомологий. Также существует разложение Ходжа

$$H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)\cong \bigoplus _{p+q=n+1}H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))$$

и $H^{q}(\Omega _{\mathbb {P} }^{p}(\log X))\cong {\text{Prim}}^{p-1,q}(X)$.

группы когомологий

Оказывается, когомологий де Рама группа $H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X)$ гораздо более понятен и имеет явное описание в терминах полиномов. $F^{p}$ часть натянута мероморфными формами, имеющими полюса порядка $\leq n-p+1$ который скатывается на $F^{p}$ часть ${\text{Prim}}^{n}(X)$. Это происходит из изоморфизма редукции

$$F^{p+1}H_{dR}^{n+1}(\mathbb {P} ^{n+1}-X;\mathbb {C} )\cong {\frac {\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p+1))}{d\Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{n+1}}(n-p))}}$$

Используя канонический $(n+1)$-форма

$$\Omega =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}Z_{j}dZ_{0}\wedge \cdots \wedge {\hat {dZ_{j}}}\wedge \cdots \wedge dZ_{n+1}$$

на $\mathbb {P} ^{n+1}$ где ${\hat {dZ_{j}}}$ обозначает удаление из индекса, эти мероморфные дифференциальные формы имеют вид

$${\frac {A}{f^{n-p+1}}}\Omega$$

где

$${\begin{aligned}{\text{deg}}(A)&=(n-p+1)\cdot {\text{deg}}(f)-{\text{deg}}(\Omega )\\&=(n-p+1)\cdot d-(n+2)\\&=d(n-p+1)-(n+2)\end{aligned}}$$

Наконец, оказывается ядро ^{Лемма 8.11.} состоит из всех полиномов вида $A'+fB$ где $A'\in J_{f}$. Обратите внимание на тождество Эйлера

$$f=\sum Z_{j}{\frac {\partial f}{\partial Z_{j}}}$$

шоу $f\in J_{f}$.

См. также

• Число Милнора
• Структура Ходжа
• Карта Кодайры-Спенсера
• Связь Гаусса – Манина
• Разворачивание